Một phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách trong không gian hilbert

Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert 19 2.1 Một phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách.. Bảng ký hiệuR tập các số thực R+ tập các số thực khôn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN, NĂM 2020

Mục lục

Chương 1 Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert 7

1.1 Toán tử chiếu trong không gian Hilbert 7

1.1.1 Sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh 7

1.1.2 Ánh xạ không giãn và toán tử chiếu 9

1.1.3 Toán tử tuyến tính bị chặn 13

1.2 Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert 15

1.2.1 Bài toán chấp nhận tách 15

1.2.2 Phương pháp CQ trong không gian Hilbert hữu hạn chiều 15 Chương 2 Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert 19 2.1 Một phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách 19

2.1.1 Bài toán chấp nhận tách và bài toán điểm bất động 19

2.1.2 Một phương pháp lặp hiện trong không gian Hilbert 22

2.2 Ví dụ áp dụng 27

Lời cảm ơn

Trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu luận văn, em đã nhận được rấtnhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo, bạn bè và gia đình Em xinchân thành cảm ơn lãnh đạo, quý thầy cô giáo của Trường Đại học Khoa học -Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường, đồngthời đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong việc hoànthành luận văn Đặc biệt, em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâusắc nhất tới cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy đã tận tình giúp đỡ, hướngdẫn, truyền tải những kiến thức, kinh nghiệm quý báu và động viên, giúp đỡ

em hoàn thành luận văn của mình Trong khoảng thời gian hạn hẹp, khi làmluận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được nhữnggóp ý, giúp đỡ của thầy giáo, cô giáo để em hoàn thành bài luận văn của mìnhmột cách tốt nhất Em xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 05 tháng 12 năm 2020

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Điểm

Bảng ký hiệu

R tập các số thực

R+ tập các số thực không âm

RN không gian Euclid N chiều

H không gian Hilbert thực

B(a, r) hình cầu đóng tâm a bán kính r

∅ tập rỗng

∀x với mọi x

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền ảnh của toán tử A

A∗ toán tử liên hợp của toán tử A

I toán tử đồng nhất

d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C

Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

Γ tập nghiệm của bài toán SFP

PC(x) phép chiếu trực giao (mêtric) của phần tử x lên tập C

∇f toán tử đạo hàm của f

Mở đầu

Trong thực tế, có những mô hình, chẳng hạn mô hình IMRT (Intensity–Modulated Radiation Therapy) trong bức xạ trị liệu (xem [6, 7]) yêu cầu tìmnghiệm của một bài toán trong không gian này sao cho ảnh của nó qua mộttoán tử tuyến tính bị chặn là nghiệm của một bài toán trong không gian khác.Bài toán này có tên là bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) Bàitoán chấp nhận tách, viết tắt là (SFP), được phát biểu như sau:

Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho A(x∗) ∈ Q, (SFP)

ở đây, C và Q lần lượt là các tập con lồi, đóng và khác rỗng trong các khônggian Hilbert thực H1 và H2, A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn.Bài toán chấp nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế trong các bài toán xử lýtín hiệu và khôi phục ảnh (xem [4]), liệu pháp xạ trị điều chỉnh cường độ (xem[6, 7]), hay có thể áp dụng cho việc giải các bài toán cân bằng trong kinh tế,

lý thuyết trò chơi (xem [10]) Bài toán chấp nhận tách trong các không gianHilbert hữu hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Yair Censor và TommyElfving (xem [5]) Để giải bài toán chấp nhận tách trong không gian hữu hạnchiều, Charles Byrne (xem [3]) đã đề xuất phương pháp CQ bằng cách xét dãylặp

xn+1 = PC(xn − γAT(I − PQ)Axn), n ≥ 0, (1)

trong đó A là ma trận thực cỡ M × N, AT là ma trận chuyển vị của ma trận

A, C và Q lần lượt là hai tập con lồi đóng khác rỗng trong RN và RM, L là giátrị riêng lớn nhất của ma trận ATA và γ ∈ 0,L2
Sau đó Hong–Kun Xu (xem

[13]) đã xây dựng phương pháp CQ giải bài toán chấp nhận tách trong khônggian Hilbert thực vô hạn chiều:

xn+1 = PH1

C (IH1 − γA∗(IH2 − PH2

Q )Axn), n ≥ 0, (2)với γ ∈ 0, kAk2 2
, IH1 và IH2 lần lượt là các toán tử đơn vị trong H1 và H2, A∗

là toán tử liên hợp của A, PH1

C và PH2

Q lần lượt là các phép chiếu mêtric từ H1

lên C và từ H2 lên Qvà kAk là ký hiệu chuẩn của toán tử A Tác giả đã chứngminh được dãy lặp {xn} xác định bởi (2) hội tụ yếu đến nghiệm của bài toánchấp nhận tách (SFP) nếu bài toán này có nghiệm

Luận văn trình bày phương pháp CQ và một phương pháp lặp hiện giải bàitoán chấp nhận tách trong không gian Hilbert thực (hữu hạn và vô hạn chiều).Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 "Bài toánchấp nhận tách trong không gian Hilbert" Chương này trình bày khái niệm,một số tính chất cơ bản của không gian Hilbert thựcH; trình bày về phép chiếumêtric và toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert thực Phần cuốicủa chương giới thiệu về bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert thực

và phương pháp CQ giải bài toán chấp nhận tách không gian Hilbert thực hữuhạn chiều Chương 2 "Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách" Chươngnày trình bày một phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách trongkhông gian Hilbert thực vô hạn chiều, chứng minh sự hội tụ của phương pháp,đồng thời đưa ra một số ví dụ minh họa cho sự hội tụ của phương pháp

1.1 Toán tử chiếu trong không gian Hilbert

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng và chuẩn được kýhiệu tương ứng là h., i và k.k

1.1.1 Sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh

Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]) Cho {xn} là một dãy phần tử trong không gianHilbert thực H Dãy {xn} được gọi là

(a) hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu limn→∞hxn, yi = hx, yi với mọi y ∈ H;

(b) hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H nếu lim

n→∞kxn− xk = 0

Ta sử dụng ký hiệu xn * x, tức là dãy {xn} hội tụ yếu đến x và xn → x,tức là dãy {xn} hội tụ mạnh đến x

Định lý 1.1.2 (xem [2]) Trong không gian Hilbert thực H, nếu dãy {xn} ⊂ H

hội tụ yếu đến x0 ∈ H và dãy {kxnk} ⊂ H hội tụ đến kx0k ∈ H thì dãy {xn}

Định lý 1.1.3 (xem [2]) Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có

(i) kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi với mọi x, y ∈ H;

(ii) kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi với mọi x, y ∈ H;

(iii) ktx + (1 − t)yk2 = tkxk2+ (1 − t)kyk2− t(1 − t)kx − yk2 với mọi t ∈ [0, 1]

và mọi x, y ∈ H

Định lý 1.1.4 (xem [2]) Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó,

(i) |hx, yi| ≤ kxkkyk với mọi x, y ∈ H (bất đẳng thức Cauchy–Schwartz);

(ii) kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2) (đẳng thức hình bình hành);

(iii) Nếu limn→∞xn = a, limn→∞yn = b thì limn→∞hxn, yni = ha, bi

Định lý 1.1.5 (xem [2]) Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳngthức sau

kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi ∀x, y, z ∈ H

Bổ đề 1.1.6 (Z Opial) Cho H là một không gian Hilbert thực và {xn} là mộtdãy phần tử trong H sao cho tồn tại tập hợp C ⊂ H khác rỗng thỏa mãn cácđiều kiện:

(a) Tồn tại giới hạn limn→∞kxn − zk với mọi z ∈ C

(b) Nếu dãy con {xnk} của dãy {xn} thỏa mãn xnk * x, thì x ∈ C

Khi đó, tồn tại x∗ ∈ C sao cho xn * x∗

1.1.2 Ánh xạ không giãn và toán tử chiếu

Định nghĩa 1.1.7 (xem [2]) Cho C là một tập con khác rỗng của không gianHilbert thực H

(i) Ánh xạ T : C → H được gọi là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên C nếu tồntại hằng số L ≥ 0 sao cho

kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ C (1.1)

(ii) Trong (1.1), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T

được gọi là ánh xạ không giãn

Nhận xét 1.1.9 (a) Định nghĩa 1.1.8 tương đương với T = (I + S)/2là ánh

xạ không giãn vững, trong đó S : H → H là không giãn

(b) T là ánh xạ không giãn vững khi và chỉ khi

hx − y, T x − T yi ≥ kT x − T yk2, x, y ∈ H

(c) Một ánh xạ không giãn vững là ánh xạ 1/2-trung bình

Định nghĩa 1.1.10 Cho A : H → H là một ánh xạ

(a) A là ánh xạ đơn điệu nếu hAx − Ay, x − yi ≥ 0 với mọi x, y ∈ H

(b) A là ánh xạ β-đơn điệu mạnh với β > 0, nếu

hx − y, Ax − Ayi ≥ βkx − yk2 ∀x, y ∈ H

A là ánh xạ ν-đơn điệu mạnh ngược với ν > 0, nếu

hx − y, Ax − Ayi ≥ νkAx − Ayk2 ∀x, y ∈ H

Cho H là không gian Hilbert thực Ký hiệu Fix(T ) là tập hợp các điểm bấtđộng của ánh xạ T : H → H, tức là

Fix(T ) = {x ∈ H : T x = x}

Mệnh đề 1.1.11 (xem [4, 13]) Cho T : H → H là một ánh xạ Các khẳngđịnh sau là đúng:

(i) T là ánh xạ không giãn khi và chỉ khi I − T là toán tử 12-đơn điệu mạnhngược

(ii) Nếu T là toán tử ν-đơn điệu mạnh ngược và γ > 0, thì γT là toán tử νγ-đơnđiệu mạnh ngược

(iii) T là ánh xạ trung bình khi và chỉ khi I − T là toán tử ν-đơn điệu mạnhngược với mọi số ν > 12

(iv) Nếu T1 : H → H là ánh xạ α1-trung bình và T2 : H → H là ánh xạ

α2-trung bình, trong đó α1, α2 ∈ (0, 1), thì T1T2 : H → H cũng là ánh xạ

α-trung bình với α = α1 + α2 − α1α2

(v) Nếu T1 và T2 là các ánh xạ trung bình từ H vào H và có một điểm bấtđộng chung, thì Fix(T1T2) = Fix(T1) ∩Fix(T2)

Mệnh đề 1.1.12 (xem [13]) Cho H là một không gian Hilbert thực Nếu ánh

xạ T : H → H là trung bình với tập điểm bất động Fix(T ) 6= ∅, thì

(i) T là ánh xạ tiệm cận đều, nghĩa là

lim

n→∞kTn+1x − Tnxk = 0 với mọi x ∈ H

(ii) Với mọi x ∈ H, dãy Tkx ∞k=0 hội tụ yếu đến một điểm bất động của T

Cho H là một không gian Hilbert thực và hai điểm a, b ∈ H Tập tất cả cácđiểm x = (1 − λ)a + λb với 0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a và b, kýhiệu là [a, b]

Định nghĩa 1.1.13 (xem [2]) Tập C ⊂ H được gọi là một tập lồi nếu nóchứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó Nói cách khác tập C ⊂ H

là tập lồi nếu

(1 − λ)a + λb ∈ C với mọi a, b ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1

Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H

Ta xét hình chiếu của một phần tử x ∈ H lên tập lồi C

Định nghĩa 1.1.14 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trongkhông gian Hilbert thực H Ánh xạ PC : H → C xác định bởi

kx − PC(x)k = min

z∈C kx − zk

được gọi là toán tử chiếu (phép chiếu mêtric) lên C

Định lý 1.1.15 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trongkhông gian Hilbert thực H Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử

y = PC(x) ∈ C sao cho

kx − yk = min

u∈C kx − uk (1.2)Nhận xét 1.1.16 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gianHilbert thực H Toán tử chiếu PC và ánh xạ I − PC là ánh xạ không giãn và

1

2-đơn điệu mạnh ngược trên H tương ứng

Sau đây là một vài ví dụ về toán tử chiếu

Ví dụ 1.1.17 Giả sử a, b ∈ RN, a 6= 0 Xét nửa không gian C ⊂ RN và mặtphẳng Q ⊂ RN cho bởi

kak2 , nếu ha, x − bi 6= 0

Một số tính chất của toán tử chiếu lên tập lồi đóng khác rỗng C trong khônggian Hilbert thực H được trình bày trong các bổ đề dưới đây

Bổ đề 1.1.18 (xem [2]) Cho PC là toán tử chiếu không gian Hilbert thực H

lên tập lồi đóng khác rỗng C của H

(i) kPC(x) − PC(y)k ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ H

(ii) hx − y, PC(x) − PC(y)i ≥ kPC(x) − PC(y)k2 với mọi x, y ∈ H

(i) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X;

(ii) A(αx) = αAx với mọi x, y ∈ X và mọi α ∈ R.

Hay A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) với mọi x, y ∈ X và mọi α, β ∈ R.

Định nghĩa 1.1.22 (xem [2]) (a) Toán tử tuyến tính A từ không gian địnhchuẩn X vào không gian định chuẩn Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại mộthằng số M > 0 sao cho

= h(x1, x2), (2y1 + y2, y1 − 2y2)i = hx, A∗yi, ∀y ∈ R2

nên A∗ : R2 → R2 xác định bởi A(y) = (2y1 + y2, y1 − 2y2)T ∈ R2 Ta thấy

A∗ = A nên A là toán tử tự liên hợp trên R2

1.2 Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert

1.2.1 Bài toán chấp nhận tách

Bài toán chấp nhận tách (SFP) là bài toán

Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho A(x∗) ∈ Q, (SFP)

ở đây, C và Q lần lượt là các tập con lồi, đóng và khác rỗng trong các khônggian Hilbert thực H1 và H2, A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn

Ta gọi Ω là tập nghiệm của bài toán (SFP), nghĩa là

Ω = {x ∈ C : Ax ∈ Q} (1.7)

1.2.2 Phương pháp CQ trong không gian Hilbert hữu hạn chiều

Phương pháp CQ để giải bài toán chấp nhận tách (SFP) được mô tả nhưsau: Cho x0 ∈ C tùy ý Với k = 0, 1, dãy lặp {xk} được xác định bởi

xk+1 = PC(xk + γAT(PQ− I)Axk), (1.8)

trong đó C và Q lần lượt là hai tập con lồi đóng khác rỗng trong RN và RM,

A là ma trận thực cỡ M × N, AT là ma trận chuyển vị của ma trận A, L làgiá trị riêng lớn nhất của ma trận ATA và γ ∈ 0,L2

Với mỗi x ta đặt:

Sx = x + γAT(PQ− I)Ax (1.9)

và T x = PC(Sx), thì bước lặp của phương pháp CQ là xk+1 = T xk

Nhận xét 1.2.1 Thuật toán CQ chỉ bao gồm những tính toán phép chiếu

PC và PQ lên hai tập C và Q tương ứng, do đó có thể dễ dàng thực hiện đượctrong trường hợp tính toán được các phép chiếu này

Mệnh đề 1.2.2 (xem [3]) Phần tử ˆc trong C là một điểm bất động của ánh

xạ T, tức là, T ˆc = ˆc nếu và chỉ nếu cˆlà điểm cực tiểu hàm

kPQ(Ac) − Ack với c ∈ C

Chứng minh Giả sử ˆc là điểm cực tiểu của hàm kPQ(Ac) − Ack với c ∈ C.Khi đó,

kPQ(Aˆc) − Aˆck ≤ kPQ(Ac) − Ack ≤ kq − Ack với mọi q ∈ Q

Chọn q = PQ(Aˆc) ta nhận được

kPQ(Aˆc) − Aˆck ≤ kAc − PQ(Aˆc)k với mọi c ∈ C

Từ bất đẳng thức này và bất đẳng thức (1.3) trong Mệnh đề 1.1.19 cho thấy

hAc − Aˆc, Aˆc − PQ(Aˆc)i ≥ 0 với mọi x ∈ C

Từ

kc − Sˆck2 = kc − ˆck2 + 2γhAc − Aˆc, Aˆc − PQ(Aˆc)i + số hạng trừ c

chỉ ra rằng cˆlà điểm cực tiểu của hàm c − Sˆc với c ∈ C hay

kPQ(Ac) − Ack ≥ kPQ(Aˆc) − Aˆck

Định nghĩa 1.2.5 (xem [2]) Cho H là một không gian Hilbert thực Hàm

f : H → R được gọi là hàm lồi nếu:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), (1.10)

∀λ ∈ (0, 1) và ∀x, y ∈ H

Nhận xét 1.2.6 Hàm khả vi f là hàm lồi khi và chỉ khi:

f (z) ≥ f (x) + h∇f (x), z − xi ∀z ∈ H (1.11)

Định nghĩa 1.2.7 (xem [2]) Ta có các định nghĩa sau:

(a) Một phần tử g ∈ H được gọi là dưới gradient của hàm f : H → R tại x

nếu:

f (z) ≥ f (x) + hg, z − xi ∀z ∈ H (1.12)Nếu hàm f : H → R có ít nhất một dưới gradient tại x thì nó được gọi

là khả dưới vi phân tại x Tập dưới gradient của f tại x được ký hiệu là

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới yếu trên H nếu nó nửa liên tục dướiyếu tại mọi điểm x ∈ H.

Nếu đặt

f (x) = 1

2kAx − PQAxk2 (1.14)thì f là hàm lồi khả vi và có gradient liên tục Lipschitz được cho bởi công thức:

trong đó, τn được chọn thuộc khoảng 0, L2
ở mỗi bước lặp thứ n, L là hằng

số Lipschitz của ∇f Tuy nhiên, ta quan sát thấy rằng việc xác định τn phụthuộc vào chuẩn kAk của toán tử A(hoặc giá trị riêng lớn nhất của A∗A) Điềunày có nghĩa là để thực hiện thuật toán CQ trước tiên ta phải tính kAk, nhìnchung đây không phải là một việc dễ dàng trong thực tế

Trong Chương 2 sẽ trình bày một phương pháp lặp hiện khác giải bài toánchấp nhận tách (SFP) nhằm khắc phục hạn chế này

2.1 Một phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách

2.1.1 Bài toán chấp nhận tách và bài toán điểm bất động

Cho C và Q lần lượt là hai tập con lồi đóng khác rỗng trong các không gianHilbert thực H1 và H2, A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn Bàitoán chấp nhận tách, đã được đề cập trong Chương 1, là bài toán

Tìm x∗ ∈ C sao cho Ax∗ ∈ Q (2.1)

Năm 2010, Xu [13] đã phát triển phương pháp CQ để giải bài toán chấp nhậntách trong không gian Hilbert vô hạn chiều với dãy lặp {xk} được xác định bởi

Chứng minh Theo phân tích trên, nếu x∗ là nghiệm của bài toán chấp nhậntách (2.1) thì nó cũng là nghiệm của phương trình điểm bất động (2.4)

Bây giờ ngược lại, giả sử rằngx∗ là nghiệm của phương trình điểm bất động(2.4) Khi đó sử dụng tính chất của phép chiếu (Mệnh đề 1.1.19) ta nhận được

I − γA∗(I − PQ)Ax∗ − x∗, z − x∗ ≤ 0, z ∈ C

Thay z = x∗ ∈ C và v = PQAx∗ ∈ Q trong (2.7) suy ra Ax∗ = PQAx∗ ∈ Q.

Tức là x∗ là nghiệm của bài toán chấp nhận tách (2.1) 

Từ kết quả của Mệnh đề 2.1.1 nhận thấy rằng có thể sử dụng phương phápđiểm bất động để giải bài toán chấp nhận tách (2.1) Phương pháp CQ trong(2.2) có thể được viết lại như sau:

tử tuyến tính bị chặn Giả sử bài toán chấp nhận tách (2.1) có nghiệm Nếu

0 < γ < 2/kAk2, thì dãy xk sinh bởi dãy lặp (2.8) hội tụ yếu đến một nghiệmcủa bài toán chấp nhận tách (2.1)

Chứng minh Với 0 < γ < 2/kAk2 thì toán tử T : H → H được xác địnhbởi (2.9) là ánh xạ trung bình Theo Mệnh đề 1.1.12 và Mệnh đề 2.1.1, ta suy

ra dãy xk được xác định bởi (2.8) hội tụ yếu đến một nghiệm của bài toán