Một số định lý hội tụ mạnh giải bài toán điểm bất động chung tách trong không gian hilbert

Mở đầuCho C và Q là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của các không gian Hilbert H1 và H2, tương ứng.. Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến một số đặc trưng c

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

HOÀNG THỊ VẦN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TÁCH

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Trương Minh Tuyên

2 TS Phạm Hồng Trường

THÁI NGUYÊN - 2020

Lời cảm ơn

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Trương Minh Tuyên người thầy đãluôn tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập vàhoàn thiện luận văn

Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô trong khoa Toán–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều kiệncho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường

Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn tới người thân trong gia đình, bạn

bè và đồng nghiệp đã luôn động viên tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trongsuốt quá trình học tập và viết luận văn này

Mục lục

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert 3

1.2 Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 11

1.2.1 Ánh xạ không giãn 11

1.2.2 Phương pháp chiếu lai ghép 15

1.2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp 15

1.3 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 16

Chương 2 Hai phương pháp chiếu giải bài toán điểm bất động chung tách 21 2.1 Phát biểu bài toán 21

2.2 Phương pháp chiếu lai ghép 23

2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp 27

2.4 Ứng dụng 31

2.4.1 Bài toán (MSCFPP) 31

2.4.2 Bài toán (MSCNPP) 32

G(A) đồ thị của toán tử A

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền ảnh của toán tử A

A−1 toán tử ngược của toán tử A

Mở đầu

Cho C và Q là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của các không gian Hilbert

H1 và H2, tương ứng Cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn Bàitoán chấp nhận tách (SFP-Split Feasibility Problem) có dạng như sau:

Tìm một phần tử x∗ ∈ C ∩ T−1(Q) (0.1)

Một dạng tổng quát của Bài toán (0.1) là bài toán chấp nhận tách đa tập(MSSFP-Multiple sets Split Feasibility Problem), bài toán này được phát biểunhư sau: Cho Ci, i = 1, 2, , N và Qj, j = 1, 2, , M là các tập con lồi và đóngcủa H1 và H2 tương ứng

Tìm một phần tử x∗ ∈ ∩Ni=1Ci∩ T−1(∩Mj=1Qj) 6= ∅ (0.2)

Mô hình bài toán (SFP) lần đầu tiên được giới thiệu và nghiên cứu bởi Y.Censor và T Elfving [5] cho mô hình các bài toán ngược Bài toán này đóng vaitrò quan trọng trong khôi phục hình ảnh trong Y học, điều khiển cường độ xạ trịtrong điều trị bệnh ung thư, khôi phục tín hiệu (xem [3], [4]) hay có thể áp dụngcho việc giải các bài toán cân bằng trong kinh tế, lý thuyết trò chơi

Bài toán chấp nhận tách (0.1) là một trường hợp đặc biệt của bài toán điểmbất động chung tách Dạng tổng quát của bài toán điểm bất động chung táchđược phát biểu như sau: Cho Ti : H1 −→ H1, i = 1, 2, , N và Sj : H2 −→ H2,

j = 1, 2, , M là các ánh xạ không giãn trên H1 và H2, tương ứng

Tìm phần tử x∗ ∈ ∩Ni=1Fix(Ti) ∩ T−1 ∩Mj=1Fix(Sj)
6= ∅ (0.3)

Thời gian gần đây, lớp các Bài toán (0.3) đã thu hút sự quan tâm nghiên cứucủa nhiều nhà toán học trong và ngoài nước Năm 2019, các tác giả Reich S và

Tuyen T.M đã đưa ra một phương pháp lặp mới dựa trên phương pháp chiếu laighép (Hybrid projection method) để giải Bài toán (0.3) (xem [8, Định lý 4.2]).Mục đích của luận văn này là trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 4.2trong [8] và trình bày lại một kết quả của tác giả Ha M.T.N về phương pháp chiếu

co hẹp [6] để xấp xỉ một nghiệm của Bài toán (0.3) cho trường hợp M = N = 1.Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, luận văn đề cập đến một số đặc trưng cơ bản của khônggian Hilbert, phép chiếu mêtric, ánh xạ không giãn cùng các phương pháp chiếulai ghép hay chiếu co hẹp để tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ này Mục cuốicùng của chương này đề cập đến khái niệm toán tử đơn điệu và một số tính chất

cơ bản

Chương 2 Hai phương pháp chiếu giải bài toán điểm bất động chungtách

Chương này tác giả trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 4.2 trong [8]

và trình bày lại kết quả của tác giả Ha M.T.H trong [6] Ngoài ra, bằng cách sửdụng tính chất điểm bất động của ánh xạ trung bình hay tính chất của toán tửgiải đối với toán tử đơn điệu, tác giả cũng đưa ra một số phương pháp giải Bàitoán (0.3) và bài toán không điểm chung tách

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này bao gồm ba mục chính Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưng cơbản của không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một số kết quả vềánh xạ không giãn, cùng với các phương pháp chiếu lai ghép và chiếu thu hẹp tìmđiểm bất động cho lớp ánh xạ này Mục 1.3 trình bày một số khái niệm và tínhchất cơ bản về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert Nội dung của chươngnày phần lớn được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2]

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu

là h., i và chuẩn được kí hiệu là k.k

Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau

kx − yk2+ kx − zk2 = ky − zk2+ 2hx − y, x − zi,với mọi x, y, z ∈ H

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Mệnh đề 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, với mọi x, y ∈ H

Ta được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.3 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, nếu với x, y ∈ Hthỏa mãn điều kiện

Nhắc lại rằng, dãy {xn} trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu vềphần tử x ∈ H, nếu

lim

n→∞hxn, yi = hx, yi,với mọi y ∈ H Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì xn * x.Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Chẳng hạn xét không gian l2 = {xn} ⊂

R : P∞n=1|xn|2 < ∞ và {en} ⊂ l2, được cho bởi

|hen, yi|2 ≤ kyk2 < ∞

Suy ra limn→∞hen, yi = 0, tức là en * 0 Tuy nhiên, {en} không hội tụ về 0, vì

Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức

là nếu {xn} ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn * x và

kxnk → kxk, thì xn → x, khi n → ∞

Chứng minh Ta có

kxn − xk2 = kxnk2− 2hxn, xi + kxk2

→ 0, n → ∞

Suy ra xn → x, khi n → ∞ Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.6 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực H.Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử x∗ ∈ C sao cho

kx∗k ≤ kxk với mọi x ∈ C

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

x∈Ckxk Khi đó, tồn tại {xn} ⊂ C sao cho

kx∗− y∗k2 = 2(kx∗k2+ ky∗k2) − 4kx

∗+ y∗

2 k2

Chứng minh Vì C là tập lồi, đóng và khác rỗng nên x − C cũng là tập lồi, đóng

và khác rỗng Do đó, theo Mệnh đề 1.6, tồn tại duy nhất một phần tử PC ∈ Csao cho

Mệnh đề 1.8 Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert

H Cho PC : H −→ C là một ánh xạ Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:

a) PC là phép chiếu mêtric từ H lên C;

b) hy − PCx, x − PCxi ≤ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C;

Chứng minh Thật vậy, giả sử PC là phép chiếu mêtric từ H lên C, tức là kx −

PCxk = infu∈Ckx − uk Với mọi x ∈ H, y ∈ C và với mọi α ∈ (0, 1), đặt

yα = αy + (1 − α)PCx Vì C lồi nên yα ∈ C và do đó

Do đó, kx − PCxk = infu∈Ckx − uk, hay PC là phép chiếu mêtric từ H lên C

Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây:

Hệ quả 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC làphép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, ta có các khẳng định sau:

Hệ quả được chứng minh.

Mệnh đề 1.9 Cho C là một tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H và

x /∈ C Khi đó, tồn tại một phần tử v ∈ H, v 6= 0 sao cho

với mọi y ∈ C Suy ra

hv, y − x + x − PCxi ≤ 0,với mọi y ∈ C Điều này tương đương với

hy, zi < hy, xi − ε,

với mọi z ∈ C Đặc biệt

hy, xni < hy, xi − ε,với mọi n Cho n → ∞, ta nhận được

hy, xi ≤ hy, xi − ε,

điều này là vô lý Do đó, C là tập đóng yếu

Chú ý 1.2 Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng

Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.11 Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu

1.2 Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

1.2.1 Ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.2 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianHilbert thực H Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếuvới mọi x, y ∈ C, ta có

kT x − T yk ≤ kx − yk

Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T là Fix(T ), tức là Fix(T ) ={x ∈ C : T x = x}

Mệnh đề dưới đây cho ta mô tả về tính chất của tập điểm bất động Fix(T )

Mệnh đề 1.12 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianHilbert thực H và T : C −→ H là một ánh xạ không giãn Khi đó, Fix(T ) là mộttập lồi và đóng trong H

Chứng minh Giả sử Fix(T ) 6= ∅

Trước hết, ta chỉ ra Fix(T ) là tập đóng Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãnnên T liên tục trên C Giả sử {xn} là một dãy bất kỳ trong Fix(T ) thỏa mãn

xn → x, khi n → ∞ Vì {xn} ⊂ Fix(T ), nên

kT xn − xnk = 0,

với mọi n ≥ 1 Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được kT x−xk = 0,tức là x ∈ Fix(T ) Do đó, Fix(T ) là tập đóng

Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của Fix(T ) Giả sử x, y ∈ Fix(T ), tức là T x = x

và T y = y Với mọi λ ∈ [0, 1], ta chỉ ra z = λx + (1 − λ)y ∈ Fix(T ) Thật vậy,nếu x = y, thì z = x = y ∈ Fix(T ) Giả sử x 6= y, khi đó ta có

kT z − xk = kT z − T xk ≤ kx − zk = (1 − λ)kx − yk,

kT z − yk = kT z − T yk ≤ ky − zk = λkx − yk

kT z − zk2 = kλ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)k2

= λkT z − xk2 + k(1 − λ)(T z − y)k2− λ(1 − λ)kx − yk2

= λkT z − T xk2+ (1 − λ)k(T z − T y)k2− λ(1 − λ)kx − yk2

≤ λkz − xk2+ (1 − λ)k(z − y)k2− λ(1 − λ)kx − yk2

= kλ(z − x) + (1 − λ)(z − y)k2 = 0.

Suy ra T z = z và do đó z ∈ Fix(T ) Vậy Fix(T ) là một tập lồi

Mệnh đề dưới đây cho ta biết về tính nửa đóng của ánh xạ không giãn T

Mệnh đề 1.13 (Nguyên lý nửa đóng, xem [1]) Giả sử T là một ánh xạ khônggiãn từ tập con lồi, đóng và khác rỗng C của không gian Hilbert thực H vào chính

nó Nếu T có điểm bất động, thì I − T là nửa đóng, tức là nếu {xn} là một dãytrong C hội tụ yếu về phần tử x ∈ C và dãy {(I − T )xn} hội tụ mạnh về phần tử

Mệnh đề 1.14 Cho C là một tập con lồi, đóng và bị chặn của không gian Hilbert

H Cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn Khi đó Fix(T ) 6= ∅

Chứng minh Lấy x0 ∈ C và dãy {αn} ⊂ (0, 1] sao cho αn → 0 Xác định dãy ánh

xạ {Tn} trên C như sau:

Tn(x) = αnx0+ (1 − αn)T (x),

với mọi n ≥ 1 và mọi x ∈ C

Với mọi x, y ∈ C, ta có

kTn(x) − Tn(y)k = (1 − αn)kT (x) − T (y)k ≤ (1 − αn)kx − yk

Suy ra, Tn là ánh xạ co với hệ số co 1 − αn Theo nguyên lý ánh xạ co Banach1tồn tại duy nhất xn ∈ C sao cho Tn(xn) = xn, tức là,

xn = αnx0+ (1 − αn)T (xn)

Từ đó suy ra

kxn − T (xn)k = αnkx0− T (xn)k ≤ αndiam(C) → 0

Do đó ta có kxn− T (xn)k → 0

Vì C là tập bị chặn và {xn} ⊂ C nên dãy {xn} cũng bị chặn Do đó theo Mệnh

đề 1.11, tồn tại một dãy con {xnk} ⊆ {xn} sao cho xnk * x∗ khi k → ∞ Do đó,theo Mệnh đề 1.13, ta nhận được x∗ ∈ Fix(T )

Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.15 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianHilbert H Cho (Ti)i∈I và một họ các ánh xạ không giãn từ C vào chính nó thỏamãn ∩i∈IFix(Ti) 6= ∅ Khi đó với mọi αi∈ (0, 1) thỏa mãn P

i∈I αi = 1 ta đều cóFix(P

i∈I αiTi) = ∩i∈IFix(Ti)

Chứng minh Dễ thấy ∩i∈IFix(Ti) ⊆ Fix(P

i∈IαiTi) Bây giờ ta sẽ chỉ ra bao hàmthức ngược lại Lấy y ∈ ∩i∈IFix(Ti), với mọi i ∈ I và mọi x ∈ C, từ Mệnh đề(1.1) và tính không giãn của Ti, ta có

Bây giờ, lấy bất kỳ x ∈ Fix(P

1.2.2 Phương pháp chiếu lai ghép

Trong mục này chúng tôi đề cập đến một phương pháp chiếu lai ghép để tìmđiểm bất động của ánh xạ không giãn Năm 2003, Nakajo và Takahashi [7] đãchứng minh định lý dưới đây:

Định lý 1.1 Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng, khácrỗng của H Cho T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với Fix(T ) 6= ∅.Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn} như sau

1.2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp

Trong tiểu mục này, chúng tôi giới thiệu một số kết quả của Takahashi W.,Takeuchi Y và Kubota R trong tài liệu [10] về phương pháp chiếu thu hẹp chobài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định lý 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng, khácrỗng của H Cho T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với Fix(T ) 6= ∅

và x0 ∈ H Với C1 = C và u1 = PC1x0, xác định dãy {un} như sau:

Định nghĩa 1.3 Một ánh xạ đa trị A : H −→ 2H được gọi là một toán tử đơnđiệu nếu

hu − v, x − yi ≥ 0 (1.7)

với mọi x, y ∈ H và mọi u ∈ A(x), v ∈ A(y)

Toán tử đơn điệu A được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị

G(A) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ A(x)}

không chứa thực sự trong đồ thị của bất kì toán tử đơn điệu nào khác trên H

Ví dụ 1.3 Toán tử A(x) = x3 với x ∈ R là đơn điệu cực đại trên R.

Thật vậy, hiển nhiên A là một toán tử đơn điệu trên R Ta sẽ chỉ ra đồ thịcủa A không là tập con thực sự của bất kỳ một toán tử đơn điệu nào khác trên

R Giả sử tồn tại một toán tử đơn điệu B trên R sao cho đồ thị của B chứathực sự đồ thị của A Khi đó, tồn tại phần tử x0 ∈ R sao cho (x0, m) ∈ G(B),nhưng (x0, m) /∈ G(A) Như vậy sẽ xảy ra hai trường hợp hoặc A(x0) > m hoặcA(x0) < m

Trường hợp 1: A(x0) > m

Giả sử x1 là nghiệm của phương trình A(x) = m, tức là A(x1) = m Khi

đó, x1 < x0 Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại x2 ∈ (x1, x0) sao cho

n = A(x2) ∈ (m, A(x0)) Từ (x0, m) ∈ G(B) và (x2, A(x2)) ∈ G(A) ⊂ G(B), suyra

(x0− x2)(m − A(x2)) ≥ 0

Vì x0 > x2, nên A(x2) ≤ m, điều này mâu thuẫn với A(x2) ∈ (m, A(x0)) Nhưvậy, không thể xảy ra trường hợp A(x0) > m

Trường hợp 2: A(x0) < m

Giả sử x1 là nghiệm của phương trình A(x) = m, tức là A(x1) = m Khi

đó, x1 > x0 Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại x2 ∈ (x0, x1) sao cho

n = A(x2) ∈ (A(x0), m) Từ (x0, m) ∈ G(B) và (x2, A(x2)) ∈ G(A) ⊂ G(B), suyra

(x0− x2)(m − A(x2)) ≥ 0

Vì x0 < x2, nên A(x2) ≥ m, điều này mâu thuẫn với A(x2) ∈ (A(x0), m) Nhưvậy, không thể xảy ra trường hợp A(x0) < m

Vậy không tồn tại toán tử đơn điệu B trên R sao cho đồ thị của B chứa thực

sự đồ thị của A Do đó, A là một toán tử đơn điệu cực đại trên R

với mọi x ∈ R là đơn điệu nhưng không đơn điệu cực đại trên R.

Thật vậy, rõ ràng A là một toán tử đơn điệu, nhưng đồ thị của A là tập conthực sự của đồ thị của toán tử đơn điệu B(x) = x3 với mọi x ∈ R

Chú ý 1.4 Toán tử đơn điệu A : H −→ 2H là đơn điệu cực đại khi và chỉ khiR(I + λA) = H với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnh của I + λA

Từ chú ý trên ta có một ví dụ khác dưới đây về toán tử đơn điệu cực đại:

Ví dụ 1.5 Cho T : H −→ H là một ánh xạ không giãn, tức là kT x − T yk ≤

kx − yk với mọi x, y ∈ H Khi đó A = I − T là một toán tử đơn điệu cực đại, ởđây I là ánh xạ đồng nhất trên H

Thật vậy, với mọi x, y ∈ H, ta có

hA(x) − A(y), x − yi = kx − yk2− kT x − T yk2 ≥ 0,

suy ra A là một toán tử đơn điệu

Tiếp theo, ta chỉ ra tính cực đại của A Với mỗi λ > 0 và mỗi y ∈ H, xétphương trình

Phương trình trên tương đương với

x = 1

1 + λ(λT x + y). (1.9)Xét ánh xạ f : H −→ H bởi

f (x) = 1

1 + λ(λT x + y),

với mọi x ∈ H Dễ thấy, f là ánh xạ co với hệ số co là λ

1 + λ ∈ (0, 1) Do đó,theo nguyên lý ánh xạ co Banach, phương trình (1.9) có duy nhất nghiệm Suy

ra, phương trình (1.8) có duy nhất nghiệm

Vậy A là một toán tử đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.4 Cho A : H −→ 2H là một toán tử đơn điệu cực đại Khi đó,ánh xạ JrA = (I + rA)−1, r > 0 được gọi là giải của A

Chú ý 1.5 i) Giải JrA của toán tử đơn điệu cực đại A là một ánh xạ đơn trị,không giãn và A(x) 3 0 khi và chỉ khi JrA(x) = x;

Thật vậy, giả sử tồn tại x ∈ H sao cho JrA(x) nhận ít nhất hai giá trị y và z

Từ định nghĩa của toán tử giải, suy ra



z ∈ y + µA(y), x ∈ z + λA(z)