Bước đầu nghiên cứu sự hội tụ của dãy hàm đo được trên không gian đo

Lí do chọn đề tài Các dạng hội tụ của dãy hàm trên không gian đo là một phần nhỏ trong lĩnhvực Độ đo và tích phân Lebesgue.. Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi đã mạnh dạn đi vào ng

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoaToán - Lý - Tin, phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng, phòng đào tạo đại

học, các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, đặc biệt là cô Phạm Thị Thái, thầy

Vũ Việt Hùng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, cũng như độngviên tôi có thêm nghị lực hoàn thành đề tài này

Nhân dịp này tôi xin cảm ơn tới người thân và các bạn sinh viên lớp K53ĐHSP Toán

Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên của thầy cô và bạn bè đã tạo điềukiện thuận lợi để tôi hoàn thành đề tài

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn la, tháng 5 năm 2015

Người thực hiện

Sinh viên: Hoàng Thị Hiền - Trương Bá Hiệp

Mục lục

1.1 Đại số và σ-đại số tập hợp 9

1.1.1 Đại số tập hợp 9

1.1.2 Đại số các gian trongRk 13

1.1.3 σ−đại số tập hợp 14

1.2 Độ đo trên đại số các tập hợp 16

1.2.1 Hàm tập hợp 16

1.2.2 Độ đo trên đại số tập hợp 17

1.2.3 Một số tính chất cơ bản của độ đo 18

1.3 Mở rộng độ đo 19

1.3.1 Độ đo ngoài 20

1.3.2 Mở rộng độ đo 21

1.4 Độ đo trongRk 23

1.4.1 Độ đo Lebesgue trongR 24

1.4.2 Độ đo trongRk 25

1.5 Hàm đo được 26

1.5.1 Định nghĩa và điều kiện tương đương 26

1.5.2 Các phép toán đối với hàm đo được 27

1.5.3 Cấu trúc của hàm đo được 28

1.6 Tích phân Lebesgue 29

2 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM TRÊN KHÔNG GIAN ĐO 37 2.1 Hội tụ hầu khắp nơi 37

2.2 Hội tụ theo độ đo 39

2.3 Hội tụ đều 42

2.4 Hội tụ trung bình 44

2.5 Hội tụ hầu như đều 49

3 SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN ĐO 52 3.1 Sự liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo độ đo 52

3.2 Sự liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi 53

3.3 Sự liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ đều 56

3.4 Sự liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ hầu khắp nơi 57

3.5 Sự liên hệ giữa hội tụ hầu như đều và hội tụ hầu khắp nơi 59

3.6 Sự liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu như đều 603.7 Sự liên hệ hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ đều 623.8 Biểu đồ thể hiện sự liên hệ giữa các dạng hội tụ 63

TỪ VIẾT TẮT

VT vế trái

VP vế phảih.k.n hầu khắp nơih.n.d hầu như đều

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Các dạng hội tụ của dãy hàm trên không gian đo là một phần nhỏ trong lĩnhvực Độ đo và tích phân Lebesgue Đây là một trong những phần giải tíchđược ứng dụng nhiều trong thực tế , đó là nền tảng cho giải tích hiện đại Dovậy việc nghiên cứu là rất cần thiết, giúp chúng tôi nắm vững hơn kiến thức

về phần này và tạo điều kiện để chúng tôi nghiên cứu sâu hơn các phần giảitích có liên quan

Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi đã mạnh dạn đi vào nghiên cứu "Bước

đầu nghiên cứu sự hội tụ của dãy hàm đo được trên không gian đo"

2 Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giới hạn phạm

vi nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các dạng hội tụ của dãy hàm đo được trên không gian đo và sựliên hệ của các dạng hội tụ đó Từ đó đưa ra một số ứng dụng của lý thuyếtnày trong giải tích hiện đại

2.2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là sự hội tụ của dãy hàm đo được trên khônggian đo

2.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

các vấn đề kiến thức có liên quan một cách có hệ thống và logic Từ đó trìnhbày một cách chi tiết về sự hội tụ của dãy hàm đo được trên không gian đo.

2.4 Phương pháp nghiên cứu

Do đặt ra nhiệm vụ như trên và do đặc thù bộ môn, chúng tôi chọn phươngpháp sưu tầm tài liệu, hỏi ý kiến chuyên gia, giảng viên hướng dẫn, nhómnghiên cứu Từ đó hệ thống lại kiến thức theo nội dung của đề tài

2.5 Giới hạn phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu vấn đề về sự hội tụ của dãy hàm đo đượctrên không gian đo

3 Bố cục

Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra bố cục của đề tài được sắp xếp như sau:Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nộidung đề tài gồm ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trình bày cơ bản về lý thuyết độ đo, hàm đo được và về tích phân Lebesgue

để làm cơ sở cho những nghiên cứu trong các chương sau

Chương 2 Các dạng hội tụ

Trình bày một số dạng hội tụ quan trọng trong không gian đo bao gồm sự hội

tụ theo độ đo, hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ trung bình

Chương 3 Sự liên hệ giữa các dạng hội tụ

Trình bày những mối quan hệ giữa một số dạng hội tụ đã nêu trong chương

2 Đó là mối quan hệ giữa sự hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi.

4 Đóng góp của đề tài

Đề tài trình bày một cách có hệ thống kiến thức liên quan và chi tiết kiến thức

về sự hội tụ của dãy hàm trên không gian đo Đề tài là tài liệu tham khảochuyên sâu hữu ích cho các sinh viên chuyên ngành toán trong lĩnh vực của

đề tài, và cũng là tài liệu tham khảo cho sinh viên Khoa Toán – Lý – Tin trườngĐại học Tây Bắc tại thư viện của nhà trường

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Lý thuyết độ đo được xây dựng vững chắc trên lý thuyết về đại số và

σ-đại số tập hợp Trong phần đầu của chương này, chúng tôi dành cho việc trình

bày lý thuyết về đại số và σ− đại số tập hợp, tiếp đến chúng tôi trình bày lýthuyết độ đo và hàm đo được trên không gian đo

1.1 Đại số và σ-đại số tập hợp

1.1.1 Đại số tập hợp

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là tập khác ∅, C là họ các tập con ( nào đó ) của X

Ta nóiC là một đại số các tập con trên X nếu:

a)X∈ C

b) Nếu A∈ C thì CA= A∈ C

c) Nếu A, B∈ C thì A∪B∈ C

Từ định nghĩa ta có ví dụ minh họa sau đây về đại số tập hợp.

Ví dụ 1.1.2. (X, τ) là không gian tô pô, ta gọi C là họ các tập vừa đóng vừa

mở trong X Khi đó họC thỏa mãn các tiên đề về đại số tập hợp trên X

Thật vậy:

a)X∈ C vì X vừa mở vừa đóng

b)A∈ C, A vừa mở vừa đóng⇒ X\Avừa mở vừa đóng, do đó X\A∈ C.c)A, B∈ C ta cần chứng minh A∪B∈ C Thật vậy rõ ràng khi đó A∩Bcũngvừa đóng, vừa mở trong X

VậyClà đại số trên X

Mệnh đề sau đây cho thấy, để kiểm tra một đại số, có thể kiểm tra một cáchtương đương điều kiện c) bởi điều kiện c)’ A, B∈ C ⇒ A∩B∈ C

Mệnh đề 1.1.3. C là đại số trên X khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau:

A∩B=A∩B= A∪B

Theo điều kiện b) ta có A∪ B∈ C, tức là A∩B∈ C.

Vậy c) suy ra c)’ Ngược lại, tương tự ta cũng có c)’ suy ra c) và ta có điều phảichứng minh

Nhận xét 1.1.4. a) Nếu C là một đại số thì C chứa X và đóng kín đối với cácphép toán hữu hạn về tập hợp( phép hợp và giao hữu hạn, phép lấy hiệu, hiệuđối xứng)

Mệnh đề sau là kết quả quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại của đại

số sinh bởi một họ các tập hợp không nhất thiết là một đại số

Mệnh đề 1.1.5 Giao của một họ tùy ý các đại số các tập con của X là một đại số các

tập con của X Đặc biệt choA là họ các tập con của X, bao giờ cũng tồn tại một đại

hiệuC(A)là giao của tất cả các đại số các tập con của X chứaA,khi đóC(A)là một đại số gọi là đại số các tập con của X sinh bởiA.

Chứng minh. Thật vậy, lấy{Ci}i∈I là họ các đại số của X và đặtC = T

i ∈ I

Ci Khiđó

A∈\Ci ⇒ A∈ Ci∀i⇒CA∈ Ci∀i⇒CA∈ \Ci

Từ đó suy raCi là đại số trên X

Bây giờ ta đặtC(A) = T

1.1.2 Đại số các gian trong Rk

Trong mục này, chúng tôi trình bày một đại số quen thuộc trong Rk Đây

là đại số quan trọng trong việc xây dựng độ đo Lebesgue sau này

Chúng ta dùng kí hiệuRkbởi

Rk =R×R× · · · ×R

= {x|x= (x1, x2,· · ·, xk)}.Trước chúng ta xét tập J các loại khoảng trongR như sau:

J=n[a; b];(a; b);(a; b];[a; b);(−∞;+∞);(−∞; a);(−∞; a];(b;+∞);[b;+∞);∅)o,

Đặt Jk = {4 ⊂Rk|4 =I1×I2 × · · · ×Ik; Ij ∈ J, j=1, k}.

Ví dụ 1.1.7. TrongR2 ta xétJ2= {I1×I2, I1, I2 ∈ J}

Chúng ta đặtC = {A⊂Rksao cho: A biểu diễn được dưới dạng hợp hữu hạncác tập 4j ∈ Jk 4j∩ 4i = ∅}.Chúng ta kí hiệu C =C(Jk) là đại số sinh bởicác gian trongRk Mệnh đề sau cho ta thấyC là một đại số trênRk

Mệnh đề 1.1.8. C là một đại số trong Rk Hơn nữaC = C(Jk)đại số nhỏ nhất sinh bởi Jk.

Chứng minh. Xem tài liệu [1]

1.1.3 σ − đại số tập hợp

Trong mục trước chúng ta nói tới khái niệm đại số tập hợp Có thể nói đại

số tập hợp đóng kín đối với hữu hạn các phép toán về tập hợp Trong mục

này chúng ta sẽ nghiên cứu một lớp hẹp hơn đối với đại số tập hợp đó là σ−

đại số tập hợp, ở đó chúng đóng kín đối với vô hạn (đếm được) các phép toán

về tập hợp

Định nghĩa 1.1.9. Cho X là một tập tùy ý khác rỗng,F là họ các tập con của

X được gọi là một σ - đại số trên X nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

a) X∈ F

b) Nếu A∈ F thì CA∈ F

Tương tự như trường hợp đại số tập hợp, để chỉ raF là σ - đại số ta có mệnh

Nhận xét 1.1.11. a) F là một σ - đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu F

đóng kín đối với vô hạn đếm được các phép toán về tập hợp

b) Một σ- đại số các tập con của X cũng là một đại số Tuy nhiên ngược lại

không đúng

Ví dụ 1.1.12. Cho X6= ∅,F =P(X)- họ mọi tập con của X hoặcF = {X,∅}.Khi đóF là σ đại số trên X.

1.2 Độ đo trên đại số các tập hợp

Vậy nếu µ cộng tính thì µ là hữu hạn cộng tính và ngược lại.

iv) Nếu µ là σ cộng tính, µ(∅) =0 thì µ là hữu hạn cộng tính Tuy nhiên điều ngược lại là không đúng.

1.2.2 Độ đo trên đại số tập hợp

Định nghĩa 1.2.3. Cho hàm tập hợp µ xác định trên đại số C các tập con của

X và được gọi là một độ đo trong X nếu µ thỏa mãn các điều kiện sau:

a) µ(A) ≥0,∀A∈ C

b) µ(∅) =0

c) µ có tính chất σ cộng tính.

Chú ý 1.2.4. a) Nếu µ(X) < +∞ thì µ được gọi là độ đo hữu hạn.

b)Nếu tồn tại {Xn}n≥1 ⊂ C sao cho S∞

n = 1

Xn = X; µ(Xn) < +∞,∀n thì µ được gọi là σ - hữu hạn.

Chúng ta đi đến một ví dụ đơn giản về độ đo như sau

Ví dụ 1.2.5. Độ đo đếm

Cho X là một tập vô hạn, và P (X)là σ - đại số tất cả các tập con của X Khi

đó hàm µ xác định như sau là một đô đo trênP (X), gọi là độ đo đếm:

X6= ∅,C là đại số bất kì trên X, xét hàm tập hợp µ :C −→R cho bởi

Khi đó µ là một độ đo và được gọi là độ đo Dirac.

1.2.3 Một số tính chất cơ bản của độ đo

Trong mục này chúng tôi dành cho việc trình bày một số tính chất cơ bảncủa độ đo

Định lý 1.2.7 Cho µ là độ đo trên đại sốC các tập con của X Khi đó ta có:

Ta có thể chứng minh tính chất i), ii)như sau:

Chứng minh i)Vì A⊂Bnên B= (B\A) ∪A Do A và B\Alà các tập rời nhau,

µ(B\A) ≥0 và µ là cộng tính nên

µ(B) =µ(B\A) +µ(A) ≥µ(A)

ii)Ta có µ(A) = µ(A\B) +µ(B) Do µ(B) < +∞ nên chuyển vế ta được

µ(A\B) =µ(A) −µ(B)

Mệnh đề 1.2.8 Giả sử µ là độ đo trên đại sốC Khi đó:

Chứng minh. Xem tài liệu [1]

Mệnh đề 1.2.9 Chúng ta có các khẳng định sau còn gọi là tính liên tục của độ đo

mà chúng ta cần dùng tới nhiều lần sau này.

Cho µ là độ đo trên đại sốC Khi đó:

Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng một độ đo bất kì từ một đại số lên

trên một σ đại số chứa nó Trước hết, chúng ta sẽ mở rộng độ đo từ một đại

số lên thành độ đo ngoài trên họ tất cả các tập con của X Từ đó dùng các kếtquả của Caratheodory ta sẽ thu được kết quả như yêu cầu Đầu tiên là kháiniệm độ đo ngoài được định nghĩa như sau

1.3.1 Độ đo ngoài

Định nghĩa 1.3.1. Hàm tập hợp µ∗xác định trên σ - đại sốP (X )tất cả các tập

con của X được gọi là một độ đo ngoài nếu µ∗thỏa mãn các điều kiện:

Rõ ràng, nếu µ∗là độ đo ngoài thì với A⊂Bta suy ra µ∗(A) ≤µ∗(B)

Kết quả sau đây cho thấy mỗi một độ đo ngoài đều cảm sinh một độ đo trên

ii) µ=µ∗|L là một độ đo, µ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗, A∈ L

được gọi là µ∗đo được.

Chứng minh. Xem tài liệu [1]

Khi đó ta có:

i) µ∗ là độ đo ngoài trên X và µ∗(A) = m(A)với mọi A∈ C.

ii) σ- đại sốF (C)sinh bởiC đều µ∗- đo được.

Chứng minh ii) σ- đại sốF (c)sinh bởiC đều µ∗ đo được

Để cho µ∗ đo được ta chỉ cần chứng minh µ∗có tính chất σ - cộng tính dưới.

về độ đo đủ như sau.

Định nghĩa 1.3.4. Độ đo µ được gọi là đủ nếu mọi tập con của một tập có độ

đo không đều đo được

Tới đây điều chúng ta quan tâm đó là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài đã xâydựng ở trên có là độ đo đủ hay không Chúng ta có định lý sau cho câu trả lờikhẳng định

Định lý 1.3.5 Ta có µ=µ∗|L là độ đo đủ Hơn nữa

∀A⊂X nếu µ∗(A) =0 thì A∈ L.

Chứng minh. Thật vậy ∀E∈ P (X), ta có:

Ta chứng minh µ∗ là độ đo đủ.

Thật vậy,∀B⊂ A, ta có: µ∗(B) ≤µ∗(A) =0

⇒µ∗(B) =0⇒ B∈ L

Từ những kết quả trên đây ta được kết quả sau về mở rộng độ đo

Định lý 1.3.6 Cho m là độ đo trên đại sốC Khi đó tồn tại độ đo µ trên σ - đại sốL

sao choL ⊃ F (C) ⊃ C và thỏa mãn: i) m=µ∗|C =µ.

ii) Nếu độ đo m là hữu hạn thì µ là hữu hạn.

Nếu m là σ - hữu hạn thì µ là σ - hữu hạn.

1.4.1 Độ đo Lebesgue trong R

Chúng ta sẽ xây dựng một độ đo m trên đại số C(J) các gian trong R Ở

đó độ đo m trên các đoạn và khoảng trongR chính là độ dài của chúng thông

+∞ nếu a hoặc b vô hạn

Tiếp theo, mỗi4 ⊂ C(J),4 = Sn

Định nghĩa 1.4.1. Áp dụng định lý mở rộng độ đo của Caratheodory tháctriển độ đo m trên đại sốC(J)được độ đo ngoài µ∗trênP ⊂R,µ=µ∗|Lđượcgọi là độ đo Lebesgue trênR.

Chú ý 1.4.2. Từ định nghĩa của độ đo Lebesgue chúng ta thấy σ đại số Borel

A∈ Lđược gọi là tập đo được Lebesgue.

iii) Tập A⊂Rkđo được Lebesgue khi và chỉ khi với mỗi ε>0 tồn tại tập mở G ⊃A

sao cho µ∗(G\A) <ε

iv) Tập A⊂Rkđo được Lebesgue khi và chỉ khi với mỗi ε>0 tồn tại tập đóng F⊂A

sao cho µ∗(A\F) <ε.

v) Tập A⊂Rkđo được Lebesgue khi và chỉ khi tồn tại tập Borel B và tập N có độ đo không sao cho A=B∪ N Ta nói một tập là đo được Lebesgue khi và chỉ khi tập đó

sai khác tập Borel nào đó một tập có độ đo không.

1.5 Hàm đo được

1.5.1 Định nghĩa và điều kiện tương đương

Định nghĩa 1.5.1. Cho(X,F, µ)là không gian đo

Hàm f : A−→R=R∪ (−∞;+∞) được gọi là đo được trên tập A ∈ F đối

với σ - đại sốF hay là µ đo được nếu:

(∀a∈R),{x∈ A : f(x) <a} ∈ F

Chú ý 1.5.2. a) Xét X=Rk,F = L, µ là độ đo Lebesgue, khi đó ta nói f là hàm

đo được Lebesgue Trường hợpF = B(x)khi đóF được gọi là hàm Borel.b) Mọi hàm liên tục đều đo được(L)F = L

Định lý sau cho ta các điều kiện tương đương để kiểm tra một hàm đo được

Định lý 1.5.3 f : A−→R là hàm đo được trên A khi và chỉ khi thỏa mãn một trong

các khẳng định sau:

i)∀a∈R,{x∈ A|f(x) <a} ∈ F.

ii)∀a∈R,{x∈ A|f(x) ≤a} ∈ F.

iii)∀a∈R,{x∈ A|f(x) > a} ∈ F.

Nhận xét 1.5.4. i) Nếu f đo được trên A thì f đo được trên mọi tập con B đođược của A.

ii) Nếu f đo được trên A thì∀a∈R,{x∈ A : f(x) =a} ⊂ F

iii)∀f =c, c=const thì f đo được

iv) Nếu∀f đo được,∀k=const, thì k f đo được

1.5.2 Các phép toán đối với hàm đo được

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các phép toán quan trọng đối vớihàm đo được Một trong những tính chất quan trọng đó là tính đóng kín đốivới phép toán lấy giới hạn của dãy hàm đo được Đây là tính chất mà lớp hàmliên tục không có

Định lý 1.5.5 Chúng ta có các khẳng định sau

i) Nếu f đo được thì mọi α>0, thì hàm|f|α đo được.

ii) Nếu f , g đo được thì f ±g; f g; f

g(g6=0)cũng đo được.

Chứng minh. Xem tài liệu [1]

Định lý 1.5.6 Cho{fn}n≥1 đo được và hữu hạn trên A Khi đó các hàm

1.5.3 Cấu trúc của hàm đo được

Định lý sau đây còn gọi là định lý cấu trúc của hàm đo được Đây là kếtquả quan trọng cho việc xây dựng tích phân Lebesgue sau này T.rước hếtchúng ta có khái niệm hàm đặc trưng và hàm đơn giản như sau

Định nghĩa 1.5.7. Cho không gian độ đo(X,F, µ)và A⊂X Hàm số

được gọi là hàm đặc trưng của A

Nhận xét 1.5.8. Hàm đặc trưngXAđo được trên X khi và chỉ khi A đo được,nghĩa là A∈ F

Định nghĩa 1.5.9. Hàm f xác định trên A gọi là hàm đơn giản nếu f đo được

và chỉ nhận hữu hạn giá trị hữu hạn trên A

Ta có:

f = X[0;1] do[0; 1]đo được⇒ X[0;1] = f đo được

f nhận 2 giá trị 0;1 hữu hạn ⇒ f là hàm đơn giản

Nhận xét 1.5.11. Hàm f là đơn giản trên A thì f biểu diễn được thông qua

Định lý 1.5.12 Mọi hàm đo được đều là giới hạn ( điểm) của dãy hàm đơn giản

{fn}n≥1 Hơn nữa nếu f ≥0 thì có thể chọn{fn}n≥1 tăng Nếu f bị chặn thì có thể

Định nghĩa 1.6.1. Cho (X,A, µ) là không gian đo và φ : X → [0;∞) là hàm

đơn giản trên X Tích phân Lebesgue trên X của φ ứng với độ đo µ, kí hiệu là

Ở đó φ=∑kckXEk, Ek= [φ =ck]và cklà các giá trị đôi một khác nhau của φ.

Rõ ràng, từ định nghĩa ta có

Z

XEdµ=µ(E), E∈ A.và

06

Z

Trường hợp hàm f đo được không âm tùy ý f : X→ [0;∞) ta xét tập Sf các

hàm đơn giản không âm φ thỏa mãn: 0≤φ ≤ f và định nghĩa

Tiếp theo giả sử φ, ψ là hàm đơn giản và ck, dj là giá trị khác nhau trên Ek và

Fj tương ứng của hai hàm φ và ψ Kí hiệu

Từ định nghĩa, ta nhận thấy nếu f là hàm đơn giản thì φdµ≤ f dµvới tất

cả φ∈Sf Và vì thế cận trên đúng ở (2) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng tích phân củahàm đơn giản f Nhưng do f ∈Sf, nên ta có bất đẳng thức ngược lại Vì vậy

mà hai định nghĩa của tích phân f trong trường hợp f là hàm đơn giản trùngnhau

Mặt khác ta lại có Sc f =cSf :=ncφ; φ∈Sfovới 0≤c<∞, nên ta có:

Nếu µ(E) =0 thì với mọi φ∈SSXE giả sử có giá trị ckkhác 0 trên Ek∩E, có độ

đo là 0 và vì thếR φdµ =0,∀φnên ta được

Z

E

f dµ=0

Nếu f =0 trên E(E∈ A) thì fXElà hàm hằng bằng 0, vì thế có tích phân bằng

0 (từ định nghĩa tích phân hàm đơn giản), nghĩa là:R

E

f dµ=0 khi f =0 trênE

với một hàm đơn giản cố định φ≥0 Trường hợp đặc biệt ν(∅) =0 Bây giờ

ta viết φ=∑ CkXEk∩A và lấy các tập rời nhau Aj∈ A, j=1, 2,· · · có hợp bằng

Như vậy ν là độ đo.

Tiếp tục lấy ψ, χ là những hàm đơn giản như trên (các giá trị khác nhau của

ψ , χ là a1,· · ·, ap và b1,· · ·, bq, tương ứng với trên các tập đo được F1,· · ·, Fp và

G1,· · ·, Gq) Khi đó rõ ràng hàm φ :=ψ+χ là đơn giản Giả sử ai+bj có giátrị không đổi trên Fi∩ Gj, và do đó xác định được một độ đo ν như trên Ta

có:

ν(Fi ∩Gj) = (ai+bj)µ(Fi∩Gj) (6)Nhưng ai và bj là những giá trị không đổi của ψ và χ trên Fi∩Gj(tương ứng),

vì vậy vế phải của (6) đồng nhất với ν0(Fi ∩Gj) +ν”(Fi∩Gj), ở đó ν0 và ν” là những hàm đo được xác định như ν nhưng ứng với các hàm ψ và χ.

Lấy tổng theo i, j và vì X là tập rời nhau của Fi∩Gj, cùng với tính chất cộng

tính của ν, ν0 và ν” suy ra ν(X) =ν0(X) +ν”(X), ta được

được không âm.

Tiếp theo, chúng ta nghiên cứu một số định lý cơ bản của tích phân Lebesgueđược định nghĩa nêu trên Định lý sau đây còn được gọi là định lý hội tụ đơnđiệu Lebesgue

Định lý 1.6.2 Cho(X, A, µ) là một không gian đo được dương Giả sử f1 ≤ f2 ≤

f3 ≤ · · ·: X→ [0;∞)là hàm đo được, sao cho f = lim

Và do đó giới hạn ở (8) tồn tại, ta đặt giới hạn đó là c∈ [0;∞) và ta được VT

≤ VP Ta còn phải chỉ ra bất đẳng thức ngược lại ở trong (8) Thật vậy, cho

0<t <1 và φ∈Sf, ta kí hiệu

An= [tφ≤ fn] = [fn−tφ≥0], (n=1, 2,· · · ).Khi đó An ∈ A và A1 ⊂A2⊂ · · · (vì f1 ≤ f2 ≤ · · ·)

Nếu x∈ Xđể φ(x) =0 thì x∈ An, (∀n≥1)

Nếu x ∈ X để φ(x) > 0 thì f(x) ≥ φ(x) > tφ(x), và do đó tồn tại n sao cho

fn(x) ≥tφ(x), tức là x ∈ An, (∀n≥1) Điều này cho thấyS

nAn =X Xét độ