Một số định lý hội tụ mạnh giải bài toán không điểm chung tách tổng quát trong không gian hilbert

Ph⁄m Hçng Tr÷íng... Tr÷ìng Minh Tuy¶n, TS... Möc löc1.1 Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khæng gian Hilbert... Tr÷îc h‚t, ta nh›c l⁄i mºt °c tr÷ng h…nh håc quan trång cıa khæng gianHilbert... Tr÷îc h

TR×˝NG I H¯C KHOA H¯C

NG˘ THÀ GIANG

M¸TS¨ ÀNHLÞH¸ITÖM NHGI IB ITO N KH˘NG I M CHUNG

T CH T˚NG QU T TRONG KH˘NG GIAN HILBERT

LU NV NTH CS TO NH¯C

Chuy¶n ng nh: To¡n øng döng M¢ sŁ: 8 46 01 12

1 TS Tr÷ìng Minh Tuy¶n

2 TS Ph⁄m Hçng Tr÷íng

Líi c£m ìn

T¡c gi£ xin gßi líi c£m ìn s¥u s›c tîi TS Tr÷ìng Minh Tuy¶n, TS Ph⁄mHçng Tr÷íng ¢ luæn t“n t…nh h÷îng d¤n, ch¿ b£o v gióp ï t¡c gi£ trong suŁtqu¡ tr…nh håc t“p nghi¶n cøu ” ho n th nh lu“n v«n

T¡c gi£ công xin gßi líi c£m ìn ch¥n th nh v s¥u s›c tîi c¡c thƒy, cæ trongkhoa To¡n Tin, tr÷íng ⁄i håc Khoa håc, ⁄i håc Th¡i Nguy¶n ¢ gi£ng d⁄y v gióp ït¡c gi£ trong thíi gian håc t“p v nghi¶n cøu t⁄i tr÷íng

Qua ¥y t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn tîi ng÷íi th¥n trong gia …nh, b⁄n b–

v çng nghi»p ¢ luæn ºng vi¶n t⁄o i•u ki»n gióp ï tæi v• måi m°t trong suŁtqu¡ tr…nh håc t“p v thüc hi»n lu“n v«n n y

Möc löc

1.1 Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khæng gian Hilbert 3

1.2 nh x⁄ khæng gi¢n v to¡n tß ìn i»u trong khæng gian Hilbert 9 1.2.1 nh x⁄ khæng gi¢n 9

1.2.2 To¡n tß ìn i»u 10

1.3 Ph÷ìng ph¡p l°p Halpern v ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m t…m i”m b§t ºng chung cıa mºt hå ¡nh x⁄ khæng gi¢n 14

1.3.1 Ph÷ìng ph¡p l°p Halpern 14

1.3.2 Ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m 14

1.4 Ph÷ìng ph¡p CQ gi£i b i to¡n ch§p nh“n t¡ch 15

1.5 Mºt sŁ bŒ • bŒ træ 17

Ch÷ìng 2 Mºt sŁ ành lþ hºi tö m⁄nh cho b i to¡n khæng i”m chung t¡ch tŒng qu¡t 22 2.1 B i to¡n khæng i”m chung t¡ch tŒng qu¡t 22

2.2 Ph÷ìng ph¡p l°p ki”u Halpern k‚t hæp vîi ph÷ìng ph¡p CQ 23

2.3 Ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m k‚t hæp vîi ph÷ìng ph¡p CQ 28

2.4 Mºt sŁ øng döng 31

2.4.1 B i to¡n khæng i”m chung t¡ch 31

2.4.2 B i to¡n i”m cüc ti”u t¡ch tŒng qu¡t 32

2.4.3 B i to¡n ch§p nh“n t¡ch tŒng qu¡t 34

2.4.4 B i to¡n c¥n b‹ng t¡ch tŒng qu¡t 36

2.4.5 B§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch tŒng qu¡t 382.5 V‰ dö sŁ minh håa 40

Mºt sŁ kþ hi»u v vi‚t t›t

Hh:; :ik:k[

\

R+G(A)D(A)R(A)

A 1I

;8x9x

xn ! x0

xn * x0F(T)

khæng gian Hilbertt‰ch væ h÷îng tr¶n Hchu'n tr¶n H

ph†p hæpph†p giaot“p c¡c sŁ thüc khæng ¥m

ç thà cıa to¡n tß Ami•n x¡c ành cıa to¡n tß Ami•n £nh cıa to¡n tß Ato¡n tß ng÷æc cıa to¡n tß Ato¡n tß çng nh§t

t“p rØngvîi måi xtçn t⁄i xd¢y fxng hºi tö m⁄nh v• x0d¢y fxng hºi tö y‚u v• x0t“p i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ T

Mð ƒu

Trong thüc t‚ mºt sü v“t, hi»n t÷æng ÷æc chuy”n Œi tł tr⁄ng th¡i x (thængtin ƒu v o, nguy¶n li»u) sang tr⁄ng th¡i b (k‚t qu£ ƒu ra, s£n ph'm) câ th” ph£ichuy”n qua mºt hay nhi•u qu¡ tr…nh bi‚n Œi li¶n ti‚p Ng÷íi ta mong muŁnt…m nhœng nguçn hay tr⁄ng th¡i ban ƒu x d¤n ‚n tr⁄ng th¡i b cıa sü v“t hi»nt÷æng sau qu¡ tr…nh bi‚n Œi f n o â Chflng h⁄n, vi»c t…m nghi»m cıa h»ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh Ax = b Ho°c ng÷íi ta công muŁn t…m nguçn haytr⁄ng th¡i ban ƒu x sao cho c¡c qu¡ tr…nh bi‚n Œi li¶n ti‚p l tŁi ÷u nh§t

theo mºt ngh¾a n o â ¥y l mæ h…nh cıa c¡c lo⁄i b i to¡n t¡ch

Ta bi‚t r‹ng b i to¡n ch§p nh“n t¡ch (Split Feasibility Problem), vi‚t t›t l(SFP), lƒn ƒu ti¶n ÷æc • xu§t v nghi¶n cøu bði Censor and Elfving [3] vîimöc ‰ch mæ h…nh hâa mºt sŁ b i to¡n ng÷æc B i to¡n n y ÷æc ph¡t bi”unh÷ sau:

trong â, C v Q lƒn l÷æt l c¡c t“p con lçi, âng v kh¡c rØng trong c¡c khænggian Hilbert thüc H1 v H2, T : H1 !H2 l mºt to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n Ta câth” th§y r‹ng c¡c b i to¡n (0.1), công nh÷ mºt sŁ b i to¡n li¶n quan,

l tr÷íng hæp °c bi»t cıa b i to¡n t¡ch tŒng qu¡t sau ¥y Cho X v Y l haikhæng gian Hilbert hay Banach, v cho T : X ! Y l mºt ¡nh x⁄ tł X v o Y Gi£

sß (P1) v (P2) l hai b i to¡n cho tr÷îc trong X v Y , t÷ìng øng X†t b i to¡n t…mmºt phƒn tß x thuºc X sao cho x l mºt nghi»m cıa (P1) v T (x ) l mºt nghi»mcıa (P2) Ta kþ hi»u b i to¡n n y l (P )

N«m 2019 Reich v Tuyen [14] ¢ lƒn ƒu ti¶n • xu§t v nghi¶n cøu d⁄ngtŒng qu¡t cıa B i to¡n (P ) nh÷ sau: Cho X1; X2; : : : ; XN l c¡c khæng gianHilbert hay Banach v cho Ti : Xi ! Xi+1, i = 1; 2; : : : ; N 1, l c¡c ¡nh x⁄ tł Xi v o

Xi+1 Gi£ sß (Pi), i = 1; 2; : : : ; N, l N b i to¡n cho tr÷îc tr¶n Xi, t÷ìng øng Khi

â d⁄ng tŒng qu¡t cıa B i to¡n (P ) l t…m mºt phƒn tß

x trong X1 sao cho x l mºt nghi»m cıa b i to¡n (P1), T1(x ) l mºt nghi»m cıa b

i to¡n (P2), , v TN 1(TN 2(:::T2(T1(x )))) l mºt nghi»m cıa B i to¡n (PN ), hå kþhi»u b i to¡n n y l (GP )

Cö th” hìn trong [14] Reich v Tuyen ¢ x†t b i to¡n (GP ) vîi c¡c ¡nh x⁄chuy”n Ti l tuy‚n t‰nh, bà ch°n v (Pi) l b i to¡n t…m khæng i”m cıa to¡n tß ìni»u cüc ⁄i Ai B i to¡n n y ÷æc gåi l b i to¡n khæng i”m chung t¡ch tŒng qu¡t(Generalized Split Common Null Point Problem, vi‚t t›t l GSCNPP)

Möc ‰ch cıa lu“n v«n n y l tr…nh b y l⁄i c¡c k‚t qu£ cıa Reich v Tuyentrong [14] v• mºt c£i ti‚n cıa ph÷ìng ph¡p CQ, k‚t hæp vîi ph÷ìng ph¡p i”m gƒnk• gi£i b i to¡n GSCNPP Nºi dung cıa lu“n v«n ÷æc chia l m hai ch÷ìng ch

Ch÷ìng 2 Mºt sŁ ành lþ hºi tö m⁄nh cho b i to¡n khæng i”m chung t¡ch tŒngqu¡t

Nºi dung cıa ch÷ìng n y • c“p ‚n c¡c k‚t qu£ trong [14] v• hai ành lþ hºi töm⁄nh gi£i b i to¡n GSCNPP Mºt sŁ øng döng cıa c¡c ph÷ìng ph¡p l°p cho c¡c

b i to¡n li¶n quan kh¡c (b i to¡n khæng i”m chung t¡ch, b i to¡n i”m cüc ti”ut¡ch tŒng qu¡t, b i to¡n ch§p nh“n t¡ch tŒng qu¡t, b i to¡n c¥n b‹ng t¡chtŒng qu¡t v b§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch tŒng qu¡t) công ÷æc giîi thi»u ðch÷ìng n y

Ch֓ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà

Ch÷ìng n y bao gçm 5 möc ch‰nh Möc 1.1 • c“p ‚n mºt sŁ °c tr÷ng cìb£n cıa khæng gian Hilbert thüc, Möc 1.2 giîi thi»u sì l÷æc mºt sŁ k‚t qu£ v•

¡nh x⁄ khæng gi¢n v to¡n tß ìn i»u Möc 1.3 tr…nh b y v• ph÷ìng ph¡p l°pHalpern v ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m cho b i to¡n t…m i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄khæng gi¢n Möc 1.4 • c“p ‚n b i to¡n ch§p nh“n t¡ch v ph÷ìng ph¡p CQ ” x§px¿ nghi»m cıa b i to¡n n y trong khæng gian Hilbert Möc 1.5 giîi thi»u mºt

sŁ bŒ • bŒ træ cƒn sß döng trong vi»c tr…nh b y nºi dung cıa Ch÷ìng 2.Nºi dung cıa ch÷ìng n y phƒn lîn ÷æc tham kh£o tł c¡c t i li»u [1,2,8,12]

1.1 Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khæng gian Hilbert

Ta luæn gi£ thi‚t H l khæng gian Hilbert thüc vîi t‰ch væ h÷îng ÷æc k‰hi»u l h:; :i v chu'n ÷æc k‰ hi»u l k:k

Tr÷îc h‚t, ta nh›c l⁄i mºt °c tr÷ng h…nh håc quan trång cıa khæng gianHilbert

M»nh • 1.1.1 Trong khæng gian Hilbert thüc H ta luæn câ flng thøc sau

kx yk2 + kx zk2 = ky zk2 + 2hx y; x zi;

vîi måi x; y; z 2 H

Chøng minh Th“t v“y, ta câ

Ta ÷æc i•u ph£i chøng minh

M»nh • 1.1.3 Cho H l mºt khæng gian Hilbert thüc Khi â, n‚u vîi x; y 2

H thäa m¢n i•u ki»n

yij < kxk:kyk;

i•u n y m¥u thu¤n vîi gi£ thi‚t V“y x v y l phö thuºc tuy‚n t‰nh

M»nh • ÷æc chøng minh.

Nh›c l⁄i r‹ng, d¢y fxng trong khæng gian Hilbert H ÷æc gåi l hºi tö y‚u v• phƒn tß x 2 H, n‚u

lim hxn; yi = hx; yi;

n!1vîi måi y 2 H Tł t‰nh li¶n töc cıa t‰ch væ h÷îng, suy ra n‚u xn ! x, th… xn *

x Tuy nhi¶n, i•u ng÷æc l⁄i khæng óng Chflng h⁄n, x†t khæng gian

n=1Suy ra limn!1hen; yi = 0, tøc l en * 0 Tuy nhi¶n, feng khæng hºi tö v• 0, v…

kenk = 1 vîi måi n 1

Ta bi‚t r‹ng måi khæng gian Hilbert H •u thäa m¢n i•u ki»n cıa Opial, t

‰nh ch§t n y ÷æc th” hi»n trong m»nh • d÷îi ¥y:

M»nh • 1.1.4 Cho H l mºt khæng gian Hilbert thüc v fxng H l mºt d¢y b§t kýthäa m¢n i•u ki»n xn * x, khi n ! 1 Khi â, vîi måi y 2 H v y 6= x, ta câ

M»nh • 1.1.5 Måi khæng gian Hilbert thüc H •u câ t‰nh ch§t Kadec-Klee, tøc l n‚u fxng H l mºt d¢y b§t ký trong H thäa m¢n c¡c i•u ki»n xn * x

v kxnk ! kxk, th… xn ! x, khi n ! 1

Chøng minh Ta câ

kxn xk2 = kxnk2 2hxn; xi + kxk2

! 0; n ! 1:

Suy ra xn ! x, khi n ! 1 M»nh • ÷æc chøng minh.

M»nh • 1.1.6 Cho C l mºt t“p con lçi v âng cıa khæng gian Hilbert thüc H Khi â, vîi mØi x 2 H, tçn t⁄i duy nh§t phƒn tß PC x 2 C sao cho

khi n; m ! 1 : Do â fung l d¢y Cauchy trong H Suy ra tçn t⁄i u =

nlim

!1u

sao cho kx vk = d Ta câ

20:

Suy ra u = v V“y tçn t⁄i duy nh§t mºt phƒn tß PC x 2 C sao cho kx PC xk =infu2C kx uk:

ành ngh¾a 1.1.7 Ph†p cho t÷ìng øng mØi phƒn tß x 2 H mºt phƒn tß PC x

2 C x¡c ành nh÷ tr¶n ÷æc gåi l ph†p chi‚u m¶tric tł H l¶n C.

V‰ dö 1.1.8 Cho C = fx 2 H : hx; ui = yg, vîi u 6= 0 Khi â

PC x = x + y h x; ui u:

kuk2V‰ dö 1.1.9 Cho C = fx 2 H : kx ak Rg, trong â a 2 H l mºt phƒn

tß cho tr÷îc v R l mºt sŁ d÷ìng Khi â, ta câ:

ph†p chi‚u m¶tric Khiâ vîi måi x 2 H; y 2 C v t)PC

x 2 C Do â, tł ành ngh¾a cıa ph†p chi‚u

kx PC xk2 kx ty (1 t)PC xk2;vîi måi t 2 (0; 1)

, ta nh“n ÷æc

hx PC x; PC x yi 0:

= kxkx

PC x; x y + y PC xi

PC x; y PC xi + hx PC x; x yi

yk2 + hy PC x; x PC x + PC x yi

yk2 + hyPC x; x PC xi k y PC xk2 yk2:

Suy ra PC l ph†p chi‚u m¶tric tł H l¶n C

Tł m»nh • tr¶n, ta câ h» qu£ d÷îi ¥y:

H» qu£ 1.1.11 Cho C l mºt t“p con lçi âng cıa khæng gian Hilbert H v PC l ph†p chi‚u m¶tric tł H l¶n C Khi â, vîi måi x; y 2 H, ta câ

kPC x PC yk2 hx y; PC x PC yi:

Chøng minh Vîi måi x; y 2 H, tł M»nh • 1.1.10, ta câ

hx PC x; PC y PC xi 0;

hy PC y; PC x PC yi 0:

Cºng hai b§t flng thøc tr¶n ta nh“n ÷æc i•u ph£i chøng minh

M»nh • 1.1.12 N‚u C l mºt t“p con lçi v âng cıa khæng gian Hilbert H, th… C

l t“p âng y‚u

Chøng minh Gi£ sß C khæng l t“p âng y‚u Khi â, tçn t⁄i d¢y fxng trong Cthäa m¢n xn * x, nh÷ng x 2= C V… C l t“p lçi v âng, n¶n theo ành lþ t¡ch c¡ct“p lçi, tçn t⁄i y 2 H v " > 0 sao cho

hy; zi < hy; xi ";

vîi måi z 2 C °c bi»t

hy; xni < hy; xi ";

vîi måi n Cho n ! 1, ta nh“n ÷æc

hy; xi hy; xi ";

i•u n y l væ lþ Do â, C l t“p âng y‚u

Chó þ 1.1.13 N‚u C l t“p âng y‚u trong H th… hi”n nhi¶n C l t“p âng

Tł ành lþ Banach-Alaoglu, ta câ m»nh • d÷îi ¥y:

M»nh • 1.1.14 Måi t“p con bà ch°n cıa H •u l t“p compact t÷ìng Łi y‚u

1.2 nh x⁄ khæng gi¢n v to¡n tß ìn i»u trong khæng

M»nh • d÷îi ¥y cho ta mæ t£ v• t‰nh ch§t cıa t“p i”m b§t ºng F (T )

M»nh • 1.2.2 Cho C l mºt t“p con lçi, âng v kh¡c rØng cıa khæng gianHilbert thüc H v T : C ! H l mºt ¡nh x⁄ khæng gi¢n Khi â, F (T ) l mºt t“p lçi vâng trong H

Chøng minh Gi£ sß F (T ) 6= ;

Tr÷îc h‚t, ta ch¿ ra F (T ) l t“p âng Th“t v“y, v… T l ¡nh x⁄ khæng gi¢n n¶n

T li¶n töc tr¶n C Gi£ sß fxng l mºt d¢y b§t ký trong F (T ) thäa m¢n xn ! x,khi n ! 1 V… fxng F (T ), n¶n

kT xn xnk = 0;

vîi måi n 1 Tł t‰nh li¶n töc cıa chu'n, cho n ! 1, ta nh“n ÷æc kT x xk =

0, tøc l x 2 F (T ) Do â, F (T ) l t“p âng

Ti‚p theo, ta ch¿ ra t‰nh lçi cıa F (T ) Gi£ sß x; y 2 F (T ), tøc l T x = x v

T y = y Vîi 2 [0; 1], °t z = x + (1 )y Khi â, tł M»nh • 1.1.2 v t‰nhkhæng gi¢n cıa T ta câ

vîi måi x; y 2 H v måi u 2 A(x); v 2 A(y)

To¡n tß ìn i»u A ÷æc gåi l ìn i»u cüc ⁄i n‚u ç thà

G(A) = f(x; u) 2 H H : u 2 A(x)gkhæng chøa thüc sü trong ç thà cıa b§t k… to¡n tß ìn i»u n o kh¡c tr¶n H.V‰ dö 1.2.4 To¡n tß A(x) = x3 + 1 vîi x 2 R l ìn i»u cüc ⁄i tr¶n R Th“t v“y,hi”n nhi¶n A l mºt to¡n tß ìn i»u tr¶n R Ta s‡ ch¿ ra ç thà

cıa A khæng l t“p con thüc sü cıa b§t ký mºt to¡n tß ìn i»u n o kh¡c tr¶n R.Gi£ sß tçn t⁄i mºt to¡n tß ìn i»u B tr¶n R sao cho ç thà cıa B chøa thüc sü çthà cıa A Khi â, tçn t⁄i phƒn tß x0 2 R sao cho (x0; m) 2 G(B), nh÷ng (x0; m)2= G(A) Nh÷ v“y s‡ x£y ra hai tr÷íng hæp ho°c A(x0) > m ho°c A(x0) < m

Tr÷íng hæp 1: A(x0) > m

Gi£ sß x1 l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh A(x) = m, tøc l A(x1) = m Khi â, x1

< x0 Theo ành lþ gi¡ trà trung b…nh, tçn t⁄i x2 2 (x1; x0) sao cho n = A(x2) 2(m; A(x0)) Tł (x0; m) 2 G(B) v (x2; A(x2)) 2 G(A) G(B), suy ra

(x0x2)(m A(x2))0:

V… x0 > x2, n¶n A(x2) m, i•u n y m¥u thu¤n vîi A(x2) 2 (m; A(x0)) Nh÷ v“y, khæng th” x£y ra tr÷íng hæp A(x0) > m Tr÷íng hæp 2: A(x0) < m

Gi£ sß x1 l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh A(x) = m, tøc l A(x1) = m Khi â, x1

> x0 Theo ành lþ gi¡ trà trung b…nh, tçn t⁄i x2 2 (x0; x1) sao cho

n = A(x2) 2 (A(x0); m) Tł (x0; m) 2 G(B) v (x2; A(x2)) 2 G(A) G(B), suy ra

(x0x2)(m A(x2))0:

V… x0 < x2, n¶n A(x2) m, i•u n y m¥u thu¤n vîi A(x2) 2 (A(x0); m) Nh÷ v“y,khæng th” x£y ra tr÷íng hæp A(x0) < m

V“y khæng tçn t⁄i to¡n tß ìn i»u B tr¶n R sao cho ç thà cıa B chøa thüc sü

ç thà cıa A Do â, A l mºt to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i tr¶n R

vîi måi x 2 R l ìn i»u nh÷ng khæng ìn i»u cüc ⁄i tr¶n R

Th“t v“y, rª r ng A l mºt to¡n tß ìn i»u, nh÷ng ç thà cıa A l t“p con thüc sücıa ç thà cıa to¡n tß ìn i»u B(x) = x3 vîi måi x 2 R

Chó þ 1.2.6 To¡n tß ìn i»u A : H ! 2H l ìn i»u cüc ⁄i khi v ch¿ khi R(I + A) = Hvîi måi > 0, ð ¥y R(I + A) l mi•n £nh cıa I + A

Tł chó þ tr¶n ta câ mºt v‰ dö kh¡c d÷îi ¥y v• to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i:V‰ dö 1.2.7 Cho T : H ! H l mºt ¡nh x⁄ khæng gi¢n, tøc l kT x T yk kx yk vîimåi x; y 2 H Khi â A = I T l mºt to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i, ð ¥y I l ¡nh x⁄ çng nh§ttr¶n H

Th“t v“y, vîi måi x; y 2 H, ta câ

hA(x) A(y); x yi = kx yk2 k T x T yk2 0;

suy ra A l mºt to¡n tß ìn i»u

Ti‚p theo, ta ch¿ ra t‰nh cüc ⁄i cıa A Vîi mØi > 0 v mØi y 2 H, x†tph÷ìng tr…nh

1 +theo nguy¶n lþ ¡nh x⁄ co Banach, ph÷ìng tr…nh (1.6) câ duy nh§t nghi»m Suy ra, ph÷ìng tr…nh (1.5) câ duy nh§t nghi»m V“y A l mºt to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i

ành ngh¾a 1.2.8 Cho A : H ! 2H l mºt to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i Khi â, ¡nh x⁄ JrA

= (I + rA) 1, r > 0 ÷æc gåi l gi£i cıa A

Chó þ 1.2.9 i) Gi£i JrA cıa to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i A l mºt ¡nh x⁄ ìn trà, khæng gi

¢n v A(x) 3 0 khi v ch¿ khi JrA(x) = x;

Th“t v“y, gi£ sß tçn t⁄i x 2 H sao cho JrA(x) nh“n ‰t nh§t hai gi¡ trà y v z

Tł ành ngh¾a cıa to¡n tß gi£i, suy ra

x y 2 rA(y); x z 2 rA(z):

Tł t‰nh ìn i»u cıa A, suy ra

Suy ra, ky zk2 0 Do â, y = z V“y JrA l mºt ¡nh x⁄ ìn trà

Ti‚p theo, ta ch¿ ra JrA l mºt ¡nh x⁄ khæng gi¢n Vîi måi x; y 2 H, °t z1 =

JrA(x) v z2 = JrA(y), tøc l

x z1 2 rA(z1); y z2 2 rA(z2):

Tł t‰nh ìn i»u cıa A, ta câ

hx z 1 y + z2; z1 z2i 0:

Suy ra

kz1 z2k2 hx y; z1 z2i kx yk:kz1 z2k:

Do â, kz1 z2k kx yk, hay JrA l mºt ¡nh x⁄ khæng gi¢n

Gi£ sß, x = JrA(x) i•u n y t÷ìng ÷ìng vîi x 2 x + rA(x) hay A(x) 3 0.ii) Vîi måi sŁ d÷ìng v , ta luæn câ flng thøc sau

to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i vîi A 10 6= ; v cho JrA l to¡n tß gi£i cıa A vîi

r > 0 Khi â, vîi måi r; > 0, ta câ

kJrAx JAJrAxk r kx JrAxk;

vîi måi x 2 D(A)

Chøng minh Theo Chó þ 1.2.9, ta câ

1.3.2 Ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m

N«m 2000, Moudafi [7] ¢ • xu§t ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m, ” t…m i”m b§tºng cıa ¡nh x⁄ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert v ¢ chøng minh ÷æc c¡ck‚t qu£ sau:

(1) D¢y fxng C x¡c ành bði:

1 " n

x0 2 C; xn = 1 + "n T xn +1 + "n f(xn); 8n 0; (1.9)hºi tö m⁄nh v• nghi»m duy nh§t cıa b§t flng thøc bi‚n ph¥n:

2 F (T ) sao cho h(I f)( ); xi 0; 8x 2 F (T );

trong â f"ng l mºt d¢y sŁ d÷ìng hºi tö v• 0

(2) Vîi mØi phƒn tß ban ƒu z0 2 C, x¡c ành d¢y fzng C bði:

Chó þ 1.3.1 Khi f(x) = u vîi måi x 2 C, th… ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m cıaMoudafi trð v• ph÷ìng ph¡p l°p cıa Halpern.

1.4 Ph÷ìng ph¡p CQ gi£i b i to¡n ch§p nh“n t¡ch

Cho C v Q l c¡c t“p con lçi, âng v kh¡c rØng cıa c¡c khæng gian Banach

H1 v H2, t÷ìng øng Cho A : H1 ! H2 l mºt to¡n tß tuy‚n bà ch°n A : H2 ! H1 lto¡n tß li¶n hæp cıa A B i to¡n ch§p nh“n t¡ch (SFP) trong khæng gianBanach ÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau:

6 ;D⁄ng tŒng qu¡t cıa B i to¡n (SFP) l b i to¡n (MSSFP), b i to¡n n y ÷æcph¡t bi”u nh÷ sau: Cho Ci, i = 1; 2; :::; N v Qj, j = 1; 2; :::; M l c¡c t“p conlçi v âng cıa H1 v H2, t÷ìng øng

Mºt trong nhœng ph÷ìng ph¡p cì b£n ” gi£i b i to¡n (SFP) l ph÷ìng ph¡p

CQ Vîi ph÷ìng ph¡p CQ, B i to¡n (SFP) ÷æc ÷a v• b i to¡n t…m mºt i”m b§tºng cıa ¡nh x⁄ PC I T (I PQ)T , trong â > 0, PC v PQ lƒn l÷æt l c¡c ph†p chi‚um¶tric tł E l¶n C v tł F l¶n Q, t÷ìng øng.

2

Ta bi‚t r‹ng n‚u 2 0; T 2 , th… P C I T (I P Q T l mºt ¡nh x⁄khæng gi¢n Do â, ng÷íi tak

câ k

th” v“n döng c¡c ph÷ìng ph¡pt…m i”m b§tºng cıa ¡nh x⁄ khæng gi¢n (ph÷ìng ph¡p l°p Mann, ph÷ìng ph¡p l°p Halpern,ph÷ìng ph¡p x§p x¿ g›n k‚t) ” t…m nghi»m cıa B i to¡n (SFP)

Xu [17] ¢ ÷a ra v chøng minh c¡c k‚t qu£ d÷îi ¥y Tr÷îc h‚t æng ch¿ ra sü hºi tö y‚u cıa ph÷ìng ph¡p CQ v• mºt nghi»m cıa B i to¡n (SFP).

ành lþ 1.4.1 [17] N‚u 2 0; 2 th… d¢y fxng x¡c ành bði x1 2 E v

Sü hºi tö cıa ph÷ìng ph¡p l°p Mann v ph÷ìng ph¡p l°p ÷æc cho bði ành lþ d÷îi ¥y:

ành lþ 1.4.2 [17] Cho d¢y f ng [0; 4=(2 + kT k2)] thäa m¢n i•u ki»n

1

n 2 +4T 2n = 1:

n=1X

k kN‚u 2 0; 2 th… d¢y fxng x¡c ành bði x1 2 E v

k k

xn+1 = (1 n)xn + nPC I T (I PQ)T xn;

hºi tö y‚u v• mºt nghi»m cıa b i to¡n (SFP)

N«m 2006, Xu [15] ¢ ÷a ra c¡c thu“t to¡n mð rºng cıa ph÷ìng ph¡p CQ d÷îi

¥y cho B i to¡n (MSSFP) Tr÷îc h‚t æng chøng minh sü hºi tö cıa

ph÷ìng ph¡p l°p Picard cho B i to¡n (MSSFP)

ành lþ 1.4.3 [15] N‚u 2 0; L vîi j > 0 vîi måi j = 1; 2; : : : ; M v

hºi tö y‚u v• mºt nghi»m cıa B i to¡n (MSSFP)

Xu công ¢ x¥y düng v chøng minh sü hºi tö cıa ph÷ìng ph¡p l°p song

song v ph÷ìng ph¡p l°p xoay vÆng cho B i to¡n (MSSFP) ð d⁄ng d÷îi ¥y:

ành lþ 1.4.4 [15] N‚u 2 0; L vîi j > 0 vîi måi j = 1; 2; : : : ; M,

iPC i (I jT (I PQ j )T )xn

hºi tö y‚u v• mºt nghi»m cıa B i to¡n (MSSFP)

xn+1 =P

C[n+1](I

jT (I PQ j )T )xn

=1hºi tö y‚u v• mºt nghi»m cıa B i to¡n (MSSFP)

ii) Vîi måi r > 0 v måi x; y 2 R(IH + rA), ta câ

hx y; JrAx JrAyi kJrAx J rAyk2:

iii) Vîi måi r > 0 v måi x; y 2 R(IH + rA), ta câ

h(IH JrA)x (IH JrA)y; x yi k(IH JrA)x (IH JrA)yk2:iv) N‚u S = A 1(0) =, th… vîi måi x 2 S v x 2R(IH + rA), ta câ

ii)°t u = JrAx v v = JrAy Khi â, ta câ x 2 u + rA(u) v y 2 v + rA(v) Do â, tł t

‰nh ìn i»u cıa A, ta thu ÷æc

= k(IH JrA)x (IH JrA)yk2+ h(IH JrA)x (IH JrA)y; JrAx JrAyi

= k(IH JrA)x (IH JrA)yk2+ hx y; JrAx JrAyi k JrAx JrAyk2:

Tł ii) suy ra

h(IH JrA)x (IH JrA)y; x yi k(IH JrA)x (IH JrA)yk2:

iv) V… x 2 A 1(0), n¶n x 2 F (JrA) Do â, tł iii) ta câ

kx x k2 + kx JrAxk2 2kx JrAxk2

= kx

x k2 k x JrAxk2:

BŒ • ÷æc chøng minh.

BŒ • ti‚p theo (BŒ • 1.5.2) ÷æc sß döng ” chøng minh ành lþ 2.3.1.

BŒ • 1.5.2 Cho Hi, i = 1; 2; :::; N, l c¡c khæng gian Hilbert thüc Cho

Ti : Hi ! Hi+1, i = 1; 2; :::; N 1, l c¡c to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n v cho

A : H1 ! 2H1 l mºt to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i tr¶n H1 Khi â, vîi måi r > 0

BŒ • 1.5.3 (xem [4]) Gi£ sß T l mºt ¡nh x⁄ khæng gi¢n tł t“p con lçi, âng

v kh¡c rØng C cıa khæng gian Hilbert thüc H v o ch‰nh nâ N‚u T câ i”mb§t ºng, th… IH T l nßa âng, tøc l n‚u fxng l mºt d¢y trong C hºi töy‚u v• phƒn tß x 2 C v d¢y f(IH

T )xng hºi tö m⁄nh v• phƒn tß y, th… ta câ(IH T )x = y

Chøng minh Gi£ sß x T x 6= y V… xn * x, n¶n xn y * x y Do x y 6= T x,n¶n tł M»nh • 1.1.4, ta câ