Bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert
Toán tử chiếu
Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]) Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H.
(a) Ánh xạ V : C → H được gọi là ánh xạL-liên tục Lipschitz trênC nếu tồn tại hằng số L ≥ 0 sao cho kV(x)−V(y)k ≤ Lkx−yk ∀x, y ∈ C (1.1)
(b) Trong (1.1), nếu L ∈ [0,1) thì V được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1 thì V được gọi là ánh xạ không giãn.
Phép chiếu mêtric là một khái niệm quan trọng trong không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.1.2 chỉ ra rằng, với tập con lồi đóng C khác rỗng trong không gian H, ánh xạ P C từ H đến C được gọi là toán tử chiếu nếu nó thỏa mãn điều kiện kx−P C (x)k= min z∈C kx−zk Thêm vào đó, theo định lý 1.1.3, với mỗi x thuộc H, tồn tại duy nhất phần tử y = P C (x) trong C sao cho kx−yk = min u∈C kx−uk.
Bổ đề 1.1.4 (xem [2]) Cho x ∈ H và y ∈ C, khi đó kP C (x)−P C (y)k 2 ≤ hP C (x)−P C (y), x−yi ∀x, y ∈ H.
Từ kết quả của bổ đề này ta nhận thấy ánh xạ P C (x) là ánh xạ không giãn, kP C (x)−P C (y)k ≤ kx−yk ∀x, y ∈ H.
Ví dụ 1.1.5 Giả sử a, b ∈ R N , a 6= 0 Xét nửa không gian C ⊂ R N và mặt phẳng Q⊂ R N cho bởi
Khi đó toán tử chiếu lên C và Q lần lượt cho bởi
x, nếu ha, x−bi ≤ 0 x− ha, x −bia kak 2 , nếu ha, x−bi > 0.
x, nếu ha, x−bi = 0 x− ha, x −bia kak 2 , nếu ha, x−bi 6= 0.
Toán tử tuyến tính bị chặn
Cho X và Y là hai không gian tuyến tính trên trường số thực R. Định nghĩa 1.1.6 (xem [1]) Ánh xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu A thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: (i) A(x+ y) =Ax+Ay với mọi x, y ∈ X;
(ii) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X và mọi α ∈ R. Định nghĩa 1.1.7 (xem [1]).
(a) Toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số M > 0 sao cho kAxk ≤ Mkxk ∀x ∈ C (1.3)
(b) Hằng số M > 0 nhỏ nhất thỏa mãn (1.3) được gọi là chuẩn của toán tử A ký hiệu là kAk.
Ví dụ 1.1.8 Cho A : R 2 →R 2 là một toán tử tuyến tính xác định bởi
A(x, y) = (x 0 , y 0 ), trong đó x 0 = x cosγ +y sinγ, y 0 = −x sinγ +y cosγ, và k(x, y)k= px 2 +y 2 , (x, y) T ∈ R 2
Dễ thấy A là một toán tử tuyến tính Ngoài ra, kA(x, y)k 2 = k(x 0 , y 0 )k 2 = (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 = x 2 +y 2 = k(x, y)k 2
Vì vậy, kA(x, y)k = k(x, y)k ≤ Mk(x, y)k với mọi M ≥ 1, cho thấy A là một toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.1.9 (xem [1]) chỉ ra rằng, với A : X → Y là một toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử liên hợp A ∗ : Y → X được định nghĩa bởi hAx, yi = hx, A ∗ yi.
Ví dụ 1.1.10 Trong l2 là không gian các dãy số thực thỏa mãn
(x n ) 2 và tích vô hướng xác định bởi hx, yi = x1y1 +x2y2 + , ∀x = (xn), y = (yn) ∈ l2. Toán tử liên hợp của toán tử A : l 2 → l 2 được cho bởi
Ax = αx 1 ,0, α 1 2 x 2 ,0, α 1 3 x 3 , , x = (x 1 , x 2 , x 3 , ) ∈ l 2 là A ∗ : l 2 → l 2 xác định bởi
A ∗ y = αy 1 , α 1 2 y 3 , α 1 3 y 5 , , y = (y 1 , y 2 , y 3 , ) ∈ l 2 , trong đó α là số thực cho trước.
Thật vậy, với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 , ), y = (y 1 , y 2 , y 3 , ) ∈ l 2 hAx, yi D αx 1 ,0, α 1 2 x 2 ,0, α 1 3 x 3 ,
Bài toán điểm bất động tách
Bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert thực vô hạn chiều H được định nghĩa như sau: Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H và ánh xạ T: C → C Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu thỏa mãn điều kiện T(x) = x.
Ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T), nghĩa là
Fix(T) := x ∈ C : T(x) = x Định nghĩa 1.1.12 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H, ánh xạ T : C → C được gọi là
(i) Ánh xạ tựa không giãn trên C nếu Fix(T) 6= ∅ và kT(x)−x ∗ k ≤ kx−x ∗ k ∀x ∈ C, ∀x ∗ ∈ Fix(T);
(ii) Ánh xạ thỏa mãn nguyên lý đóng nếu với mọi dãy {x k } ⊂ C hội tụ yếu đến x và k(T(x k )−x k k → 0 thì x ∈ Fix(T).
Tính chất lồi đóng của tập điểm bất động được nêu trong bổ đề dưới đây.
Bổ đề 1.1.13 khẳng định rằng, với tập con lồi đóng và khác rỗng C trong không gian Hilbert thực H, nếu ánh xạ không giãn T : C → C có điểm bất động, thì tập Fix(T) sẽ là một tập lồi đóng.
Bài toán điểm bất động tách được phát biểu như sau:
Tìm phần tử x ∗ thuộc Fix(U) sao cho Ax ∗ thuộc Fix(V), trong đó U và V là các toán tử xác định trên các không gian Hilbert thực H 1 và H 2, và A là một toán tử tuyến tính bị chặn từ H 1 đến H 2.
Một phương pháp lặp giải bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert hữu hạn chiều
Toán tử chỉ hướng trong không gian R N
Lớp các toán tử chỉ hướng I được giới thiệu và nghiên cứu bởi Bauschke vàCombettes (xem [8]).
Cho không gian Euclide N chiều R N với h., i và k.k tương ứng là ký hiệu tích vô hướng và chuẩn Euclide Với x, y ∈ R N , ta định nghĩa
H(x, y) := {u ∈ R N | hu−y, x−yi ≤ 0} (1.5) Định nghĩa 1.2.1 (xem [8]) Một toán tử V : R N →R N được gọi là một toán tử chỉ hướng nếu
Fix(V) ⊆ H(x, V (x)) ∀x ∈ R N (1.6) Định nghĩa này tương đương với:
Nếu q ∈ Fix(V) thì hV (x)−x, V (x)−qi ≤ 0 ∀x ∈ R N (1.7) Lớp các toán tử chỉ hướng được ký hiệu là I, nghĩa là
Ta có các tính chất sau đây liên quan đến toán tử chỉ hướng.
(i) Tập tất cả điểm bất động Fix(V) của toán tử chỉ hướng V khác rỗng là tập lồi đóng.
Tính chất này thỏa mãn bởi vì
I +λ(V −I) ∈ I ∀λ ∈ [0,1], (1.10) trong đó I là toán tử đơn vị trong H.
Lớp các toán tử này rất quan trọng bởi vì rất nhiều loại toán tử thông thường phát sinh trong bài toán tối ưu lồi đều thuộc lớp này.
Toán tử Ω : R N → R N được gọi là toán tử không giãn vững nếu k Ω (x)−Ω (y)k 2 ≤ hΩ (x)−Ω (y), x−yi ∀x, y ∈ R N (1.11), cho thấy rằng đây là một toán tử chỉ hướng Định nghĩa về một toán tử đóng, được đưa ra bởi Browder, nói rằng một toán tử V : R N → R N được coi là đóng tại điểm y ∈ R N nếu với mọi x ∈ R N và mọi dãy x k ∞ k=0 trong R N sao cho lim k→∞ x k = x và lim k→∞ V x k = y, thì V x = y.
Nhận xét 1.2.5 Nếu V : R N → R N là toán tử không giãn thì V −I là toán tử đóng trên R N
Bài toán và phương pháp lặp
Bây giờ cho R N là một không gian Euclid với tích vô hướng và chuẩn được ký hiệu tương ứng là h., i và k.k Cho {x k } là một dãy trong không gian R N
Ta ký hiệu x k → x nghĩa là dãy {x k } hội tụ đến x.
Cho U: R^N → R^N và V: R^M → R^M là hai toán tử xác định trên các không gian R^N và R^M tương ứng, với A là một ma trận kích thước M × N Bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert hữu hạn chiều được định nghĩa như một bài toán quan trọng trong lĩnh vực toán học.
Tìm x ∗ ∈ Fix(U) sao cho Ax ∗ ∈ Fix(V) (1.12)
Ký hiệu tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách (1.12) như sau Γ ≡ Γ (U, V) := {y ∈ C|Ay ∈ Q}, C := Fix(U), Q:= Fix(V) (1.13) Thuật toán sau đây được xây dựng để giải bài toán (1.12).
Thuật toán 1.2.6 (xem [12]) Cho x 0 ∈ R N bất kỳ Với k ≥0 tính x k+1 = U x k +γA T (V −I)Ax k , (1.14) trong đó γ ∈ 0, L 2 , L là giá trị riêng lớn nhất của ma trận A T A và I là ma trận đơn vị cấp M.
Chúng ta sẽ áp dụng định nghĩa về dãy đơn điệu Fejér để phân tích sự hội tụ của thuật toán này Theo định nghĩa 1.2.7 (xem [12]), một dãy \( x_k \) với \( k = 0, 1, 2, \ldots \) được gọi là đơn điệu Fejér trên một tập khác rỗng \( S \subseteq \mathbb{R}^N \) nếu với mọi \( x \in S \), điều kiện \( \| x_{k+1} - x_k \| \leq \| x_k - x \| \) được thỏa mãn cho mọi \( k \geq 0 \).
Phương pháp lặp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán điểm bất động tách 16
Phương pháp lặp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất
2.1.1 Bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán điểm bất động tách
Cho C và Q là các tập con lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 Giả sử T : C → C và S : Q → Q là các ánh xạ không giãn Bài toán điểm bất động tách (SFPP) trong không gian Hilbert thực là một vấn đề quan trọng trong lĩnh vực toán học.
Tìm phần tử x ∗ ∈ Fix(T) sao cho A(x ∗ ) ∈ Fix(S), (2.1) ở đây Fix(T) và Fix(S) lần lượt là tập điểm bất động của các ánh xạ T và S.
Ký hiệu Ω đại diện cho tập nghiệm của bài toán (2.1) Xét toán tử tuyến tính bị chặn A: H 1 → H 2, chúng ta sẽ tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất cho bài toán điểm bất động tách (2.1).
Tìm phần tử x ∗ ∈ Ω sao cho kx ∗ k ≤ kxk với mọi x ∈ Ω (2.2)
Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm cho bài toán (2.2) được mô tả trong thuật toán dưới đây.
Thuật toán 2.1.1 (xem [3]) đề cập đến hai tập lồi đóng khác rỗng C và Q trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A* Giả sử T : C → C và S : Q → Q là các ánh xạ không giãn Bắt đầu từ một điểm x0 ∈ C, dãy lặp {xk} được xác định dựa trên các ánh xạ này.
Trong bài viết này, ta sẽ trình bày các công thức liên quan đến dãy lặp {x k} trong Thuật toán 2.1.1 Đầu tiên, các biến u k, y k, z k được định nghĩa dựa trên các tham số P, Q, A, C, và δ, trong đó δ là tham số dương Các tham số {λ k} và {α k} cần thỏa mãn một số điều kiện nhất định Để chứng minh sự hội tụ của dãy lặp {x k}, chúng ta sẽ cần đến một số bổ đề hỗ trợ.
Bổ đề 2.1.2 (xem [7]) Cho {a k } là một dãy các số thực không âm thỏa mãn a k+1 ≤ (1−α k )a k +α k ξ k ∀n≥ 0, trong đó {α k }, {ξ k } là hai dãy số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện
Bổ đề 2.1.3 (xem [2]) Cho F : C → H là ánh xạ β-đơn điệu mạnh trên C và
L-liờn tục Lipschitz trờn C, λ ∈ (0,1) và à ∈ 0,2β
Khi đó kx−λàF(x)−[y −λàF(y)]k ≤ (1−λτ)kx−yk ∀x, y ∈ C, trong đó τ = 1− q
Bổ đề 2.1.4 (xem [13]) Cho {x k }, {y k } là hai dãy bị chặn trong không gian Hilbert thực H, {α k } là một dãy số nằm trong đoạn [0,1] thỏa mãn
0 < lim inf k→∞ α k ≤lim sup k→∞ α k < 1 và lim sup k→∞ y k+1 −y k − x k+1 −x k
Bổ đề 2.1.5 (Opial) Cho dãy {x k } ⊂ H thỏa mãn x k * x, khi đó ta có bất đẳng thức lim inf k→∞ x k −x < lim inf k→∞ x k −y với mọi y ∈ H, y 6= x.
Sự hội tụ của dãy lặp {x k} được xác định trong Thuật toán 2.1.1 được trình bày trong Định lý 2.1.6 Theo định lý này, với C và Q là các tập lồi đóng không rỗng trong các không gian Hilbert thực H 1 và H 2, và A: H 1 → H 2 là toán tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A ∗, nếu T: C → C và S: Q → Q là các ánh xạ không giãn, thì với x 0 ∈ C bất kỳ, các dãy x k, u k, y k và z k được xác định trong Thuật toán 2.1.1 sẽ hội tụ với δ ∈ (0, 1).
, 0 < à < 2, {λ k } và {α k } là hai dãy số nằm trong khoảng (0,1) và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
Giả sử tập nghiệm Ω của bài toán điểm bất động tách (2.1) khác rỗng Khi đó dãy x k hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán (2.2).
Chúng ta sẽ chứng minh rằng bài toán (2.2) có nghiệm duy nhất Đầu tiên, vì Ω khác rỗng, nên Fix(T) và Fix(S) đều không rỗng Theo Bổ đề 1.1.13, Fix(T) và Fix(S) là các tập lồi đóng.
Tập Ω = {x ∗ ∈ Fix(T) : Ax ∗ ∈ Fix(S)} là một tập lồi đóng, do đó bài toán (2.2) có nghiệm duy nhất x ∗ Tập nghiệm của bài toán (2.2) được ký hiệu là Ω + Phép chứng minh định lý được thực hiện qua các bước cụ thể.
Bước 1: Với mọi k ∈ N, ta có ky k −x ∗ k 2 ≤ kx k −x ∗ k 2 −δ(1−δkAk 2 )kSu k −Ax k k 2 −δku k −Ax k k 2
Vì x ∗ ∈ Ω + nên x ∗ ∈ Ω, tức là T(x ∗ ) = x ∗ và S(Ax ∗ ) = Ax ∗ Theo Bổ đề 1.1.4, ta có: ku k −Ax ∗ k 2 = kP Q (Ax k )−PQ(Ax ∗ )k 2
≤ PQ(Ax k )−PQ(Ax ∗ ), Ax k −Ax ∗
= 1 2 ku k −Ax ∗ k 2 + kAx k −Ax ∗ k 2 − ku k −Ax k k 2 hay ku k −Ax ∗ k 2 ≤ kAx k −Ax ∗ k 2 − ku k −Ax k k 2 (2.4)
Vì S là ánh xạ không giãn và S(Ax ∗ ) = Ax ∗ nên từ (2.4), ta nhận được kSu k −Ax ∗ k 2 = kSu k −S(Ax ∗ )k 2
Do đó kSu k −Ax ∗ k 2 − kAx k −Ax ∗ k 2 ≤ −ku k −Ax k k 2 (2.5)
= A(x k −x ∗ ) +Su k −Ax k −(Su k −Ax k ), Su k −Ax k
= Su k −Ax ∗ , Su k −Ax k − kSu k −Ax k k 2
2 kSu k −Ax ∗ k 2 +kSu k −Ax k k 2 − kAx k −Ax ∗ k 2 − kSu k −Ax k k 2
2 kSu k −Ax ∗ k 2 − kAx k −Ax ∗ k 2 − kSu k −Ax k k 2
Vì δ > 0 nên từ (2.6), ta nhận được
2δ A(x k −x ∗ ), Su k −Ax k ≤ −δku k −Ax k k 2 −δkSu k −Ax k k 2 (2.7)
Sử dụng tính chất không giãn của phép chiếu PC, ta có thể áp dụng công thức (2.7) và nhận thấy rằng toán tử liên hợp A ∗ thỏa mãn điều kiện kAk ∗ = kAk Do đó, ta có biểu thức ky k −x ∗ k 2 = kP C x k + δA ∗ (Su k − Ax k ) − PC(x ∗ )k 2.
= kx k −x ∗ k 2 +kδA ∗ (Su k −Ax k )k 2 + 2δ (x k −x ∗ ), A ∗ (Su k −Ax k )
≤ kx k −x ∗ k 2 + δ 2 kA ∗ k 2 kSu k −Ax k k 2 + 2δ A(x k −x ∗ ), Su k −Ax k
≤ kx k −x ∗ k 2 + δ 2 kA ∗ k 2 kSu k −Ax k k 2 −δku k −Ax k k 2
= kx k −x ∗ k 2 −δ(1−δkAk 2 )kSu k −Ax k k 2 −δku k −Ax k k 2
Bước 2: Chứng minh các dãy x k , y k bị chặn Thật vậy từ (2.3) và chú ý rằng δ ∈ 0, 1 kAk 2 + 1
Kết hợp tính chất không giãn của phép chiếu P C với Bổ đề 2.1.3 trong trường hợp F(x) =x với mọi x ∈ C, ta có kz k −x k k = kP C (y k −λ k ày k )−P C (x ∗ )k
Vì T(x ∗ ) =x ∗ và T là ánh xạ không giãn nên từ (2.8) và (2.9) ta nhận được kx k+1 −x ∗ k= kα k (x k −x ∗ ) + (1−α k )(T(z k )−x ∗ )k
Do đó kx k+1 −x ∗ k ≤ max kx k −x ∗ k,àkx ∗ k τ
Bằng quy nạp ta suy ra kx k+1 −x ∗ k ≤ max kx 0 −x ∗ k,àkx ∗ k τ
Vậy dãy x k bị chặn Kết hợp với (2.8), ta suy ra dãy y k cũng bị chặn. Bước 3: Với mọi k ∈ N ta có ky k+1 −y k k ≤ kx k+1 −x k k −δ(1−δkAk 2 )kSu k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 k 2
Sử dụng tính chất không giãn của phép chiếu P C , ta được ky k+1 −y k k 2
= kP C (x k+1 +δA ∗ (Su k+1 −Ax k+1 ))−PC(x k + δA ∗ (Su k+1 −Ax k ))k 2
= kx k+1 −x k k 2 +δ 2 kA ∗ (Su k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 )k 2
Vì A ∗ là toán tử tuyến tính bị chặn nên kA ∗ (Su k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 )k 2
≤ kA ∗ k 2 k(Su k+1 −Su k + Ax k −Ax k+1 )k 2
= kAk 2 k(Su k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 )k 2 (2.12) Đặt Θk := 2δ x k+1 −x k , A ∗ (Su k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 ) và sử dụng tính không giãn của S và P Q , ta được Θk = 2δ A(x k+1 −x k ), A ∗ (Su k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 )
= 2δ Ax k+1 −Ax k , Su k+1 −Su k −2δkAx k+1 −Ax k k 2
= δhkSu k+1 −Su k k 2 − kAx k+1 −Ax k −(Su k+1 −Su k )k 2
≤ δhku k+1 −u k k 2 − kAx k+1 −Ax k −(Su k+1 −Su k )k 2
= δ kP Q (Ax k+1 )−P Q (Ax k )k 2 − kAx k+1 −Ax k −(Su k+1 −Su k )k 2
≤ −δkAx k+1 −Ax k −(Su k+1 −Su k )k 2 (2.13) Kết hợp (2.12), (2.13) với (2.11), ta được ky k+1 −y k k 2 ≤ kx k+1 −x k k 2 −δ(1−δkAk 2 )kSu k+1 −Su k +Ax k −Ax k+1 k 2 Bước 4: Chứng minh k→∞lim kx k+1 −x k k= 0, lim k→∞kx k −T(y k )k= 0 (2.14)
Thật vậy, từ (2.10) và 0 < δ < 1 kAk 2 + 1, ta được ky k+1 −y k k ≤ kx k+1 −x k k ∀k ∈ N (2.15) Đặt t k = T(z k ) Từ tính chất không giãn của T, P C , (2.15) và Bổ đề 2.1.3, ta nhận được kt k+1 −t k k = kT(z k+1 )−T(z k )k
Hay kt k+1 −t k k − kx k+1 −x k k ≤ −λ k τkx k+1 −x k k+à|λ k −λ k+1 |ky k+1 k.
Vì các dãy x k , y k bị chặn và lim k→∞λ k = 0 nên lim sup k→∞
Do đó, theo Bổ đề 2.1.4 k→∞lim kt k −x k k = 0.
Vì kx k+1 −x k k = (1−α k )kt k −x k k ≤ kt k −x k k và kx k −T(y k )k ≤ kx k −t k k+kt k −T(y k )k
= kx k −t k k+λ k àky k k nên từ lim k→∞kt k −x k k = 0, lim k→∞λ k = 0 và tính bị chặn của dãy y k , ta suy ra k→∞lim kx k+1 −x k k = 0, lim k→∞kx k −T(y k )k = 0.
Bước 5: Chứng minh k→∞lim ky k −T(y k )k = 0, lim k→∞ku k −Su k k = 0 (2.16) Thật vậy, kết hợp tính không giãn của ánh xạ T với T(x ∗ ) =x ∗ , ta có kx k+1 −x ∗ k 2 = kα k (x k −x ∗ ) + (1−α k )(T(z k )−x ∗ )k 2
Từ các bất đẳng thức (2.3) và (2.9) suy ra kz k −x ∗ k 2
≤(1−λkτ) 2 kx k −x ∗ k 2 −δ(1−δkAk 2 )kSu k −Ax k k 2 −δku k −Ax k k 2 + λkàkx ∗ k 2(1−λkτ)ky k −x ∗ k+λkàkx ∗ k
≤ kx k −x ∗ k 2 −δ(1−λkτ) 2 (1−δkAk 2 )kSu k −Ax k k 2 +ku k −Ax k k 2 + λkàkx ∗ k 2(1−λkτ)ky k −x ∗ k+λkàkx ∗ k (2.18) Thay (2.18) vào (2.17), ta được kx k+1 −x ∗ k 2 ≤ kx k −x ∗ k 2 −δ(1−α k )(1−λ k τ) 2 × × (1−δkAk 2 )kSu k −Ax k k 2 +ku k −Ax k k 2 + (1−α k )λ k àkx ∗ k 2(1−λ k τ)ky k −x ∗ k+λ k àkx ∗ k (2.19) Đặt ν k := δ(1−α k )(1−λ k τ) 2 Ψk := (1−αk)λkàkx ∗ k 2(1−λkτ)ky k −x ∗ k+λkàkx ∗ k
Từ (2.19), ta có ν k (1−δkAk 2 )kSu k −Ax k k 2 +ku k −Ax k k 2
Vì lim k→∞ kx k+1 − x k k = 0, lim k→∞ λ k = 0 và lim k→∞ α k = α ∈ (0,1), các dãy x k, y k bị chặn nên vế phải của (2.20) tiến tới 0 khi k → ∞ Chú ý rằng vì δ ∈ (0, 1) và kAk 2 + 1, nên 1−δkAk 2 > 0 và lim k→∞ ν k = δ(1−α) > 0 Do đó, ta có lim k→∞ kSu k − Ax k k = 0 và lim k→∞ ku k − Ax k k = 0.
Sử dụng tính không giãn của P C và x k ⊂ C, ta được ky k −x k k = kP C (x k +δA ∗ (Su k −Ax k )) −P C (x k )k
Kết hợp với (2.21), ta suy ra rằng khi k tiến đến vô cực, giới hạn của ky k −x k k sẽ bằng 0 Theo bất đẳng thức tam giác, ta có ky k −T(y k )k ≤ kx k −y k k + kx k −T(y k )k ku k −Su k k ≤ ku k −Ax k k + kSu k −Ax k )k Từ đó, theo (2.22), (2.14) và (2.21), ta suy ra rằng khi k tiến đến vô cực, giới hạn của ky k −T(y k )k cũng bằng 0 và giới hạn của ku k −Su k )k cũng bằng 0 Cuối cùng, bước 6 chứng minh rằng lim sup k→∞ x ∗ , x ∗ −y k + λ k ày k ≤ 0.
Thật vậy, lấy dãy con y k i của dãy y k sao cho lim sup k→∞ x ∗ , x ∗ −y k = lim sup i→∞ x ∗ , x ∗ −y k i
Vì dãy y k i này bị chặn nên ta có thể giả sử y k i * y Do đó lim sup k→∞ x ∗ , x ∗ −y k = lim i→∞ x ∗ , x ∗ −y k i = hx ∗ , x ∗ −yi.
Vì C là tập lồi đóng nên đóng yếu Do đó từ y k i ⊂ C và y k i * y, ta suy ra y ∈ C.
Bây giờ ta chứng minh y ∈ Fix(T) Giả sử trái lại y /∈ Fix(T) tức y 6= T(y).
Vì y k i * y và T là ánh xạ không giãn nên từ (2.16) và Bổ đề 2.1.5, ta được lim inf i→∞ ky k i −yk < lim inf i→∞ ky k i −T(y)k
≤ lim inf i→∞ ky k i −yk. Điều này là vô lý Vì vậy y ∈ Fix(T) Vì y k i * y và lim k→∞ky k − x k k = 0, ta được x k i * y Do đó Ax k i * Ay Kết hợp với (2.21), ta có u k i * Ay (2.24)
Vì u k i ⊂ Q và Q đóng yếu nên từ (2.24) ta có Ay ∈ Q.
Tiếp theo ta chứng minh Ay ∈ Fix(S) Giả sử trái lại S(Ay) 6= Ay, khi đó từ Bổ đề 2.1.5 và (2.23), ta có lim inf i→∞ ku k i −Ayk < lim inf i→∞ ku k i −S(Ay)k
= lim inf i→∞ ku k i −Su k i +Su k i −S(Ay)k
≤lim inf i→∞ (ku k i −Su k i k+|Su k i −S(Ay)k)
≤lim inf i→∞ ku k i −Ayk. Điều này là vô lý Vì vậy Ay ∈ Fix(S) Từ y ∈ Fix(T) và Ay ∈ Fix(S), ta có y ∈ Ω Do đó, vì x ∗ ∈ Ω + nên hx ∗ , y−x ∗ i ≥ 0.
Kết hợp hx ∗ , y −x ∗ i ≥ 0, lim k→∞λ k = 0 và tính bị chặn của y k , ta có lim sup k→∞ x ∗ , x ∗ −y k +λ k ày k = lim sup k→∞ x ∗ , x ∗ −y k +λ k à x ∗ , y k
Bước 7: Chứng minh rằng dãy \( x_k \) hội tụ mạnh đến \( x^* \) Cụ thể, nhờ vào tính không giãn của phép chiếu \( P_C \) và bất đẳng thức \( \|x - y\|^2 \leq \|x\|^2 - 2h\langle y, x - y\rangle \) với mọi \( x, y \in H_1 \), kết hợp với Bổ đề 2.1.3 và (2.8), ta có được \( \|z_k - x^*\|^2 = \|P_C(y_k - \lambda_k a y_k) - P_C(x^*)\|^2 \).
≤ (1−λ k τ)kx k −x ∗ k 2 −2λ k à x ∗ , y k −λ k ày k −x ∗ Thế bất đẳng thức trên vào (2.17), ta có kx k+1 −x ∗ k 2 ≤ α k kx k −x ∗ k 2 + (1−α k )kz k −x ∗ k 2
Vì lim sup k→∞ x ∗ , x ∗ −y k + λkày k ≤0, nên k→∞lim θ k ≤0.
X k=0 λk(1 −αk)τ = ∞ nên áp dụng Bổ đề 2.1.2 vào (2.25), ta được x k → x ∗ Định lý được chứng minh.
Ví dụ minh họa
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một ví dụ minh họa cho Định lý 2.1.6 Chương trình thực nghiệm được phát triển bằng ngôn ngữ MATLAB 2017b và đã được chạy thử nghiệm trên máy tính với cấu hình 2.30 GHz và RAM 4 GB.
Cho H 1 = R 3 với chuẩn kxk = (x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 ) 1 2 với x = (x1, x2, x3) T ∈ R 3 và
H 2 = R 2 với chuẩn kyk = (y 1 2 +y 2 2 ) 1 2 với y = (y 1 , y 2 ) T ∈ R 2 Xét A : R 3 → R 2 cho bởi
A(x) = (2x 1 +x 2 , x 1 + x 3 ) T với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) T ∈ R 3 Khi đó, A là toán tử tuyến tính bị chặn từ R 3 vào R 2 với chuẩn kAk = √
6 Toán tử liên hợp của Alà A ∗ :R 2 →R 3 xác định bởi
A ∗ (y) = (2y1 +y2, y1, y2) T với mọi y = (y 1 , y 2 ) ∈ R 2 Khi đó A ∗ là toán tử toán tính bị chặn từ R 2 vào R 3 với kA ∗ k = 1 Cho
C = (x 1 , x 2 , x 3 ) T ∈ R 3 : x 1 +x 2 +x 3 ≥3 và xét ánh xạ T :C → C cho bởi công thức:
Ta thấy T(x) =PC 1 (x) với x ∈ C trong đó C1 là mặt phẳng cho bởi
Vì toán tử chiếu là ánh xạ không giãn nên T là ánh xạ không giãn Ngoài ra, dễ thấy tập điểm bất động của T cho bởi
Cho Q = (y 1 , y 2 ) T ∈ R 2 : y 1 −2y 2 ≥ 3 và xét ánh xạ S : Q → Q cho bởi công thức:
Ta thấy S(y) =PQ 1 (y) với y ∈ Q trong đó Q1 là mặt phẳng cho bởi
Vì toán tử chiếu là ánh xạ không giãn nên S là ánh xạ không giãn Ngoài ra, dễ thấy tập điểm bất động của S cho bởi
Fix(S) = (y 1 , y 2 ) T ∈ R 2 : y 1 −2y 2 = 3 Tập nghiệm Ω của bài toán điểm bất động tách (2.1) là
Giả sử x = (−3t,3 + 2t, t) T ∈ Ω, khi đó kxk q (−3t) 2 + (3 + 2t) 2 +t 2 r
7 Do đó nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán điểm bất động tách là x ∗ 9
∈ Ω + Dưới đây là kết quả tính toán cho các xấp xỉ ban đầu và các dãy tham số được chọn khác nhau.
2(k+ 3). Khi đó {λ k } và {α k } là hai dãy số trong khoảng (0,1) thỏa mãn đồng thời các điều kiện k→∞lim λ k = 0,
Ta có kết quả tính toán ở Bảng 2.1.
Bảng 2.1: Kết quả tính toán với x 0 = (1, 2, 1) T ∈ C, λ k = 1 k + 2 , δ = 0, 1, à = 1, α k = k + 1
Từ Bảng 2.1 ta thấy nghiệm xấp xỉ tìm được sau 6910 bước lặp là x (6910) = (1.2800,2.1446,−0.4246) T là một xấp xỉ khá tốt cho nghiệm có chuẩn nhỏ nhất x ∗ = 9
2(k+ 3). Khi đó {λ k } và {α k } là hai dãy số trong khoảng (0,1) thỏa mãn đồng thời các điều kiện k→∞lim λk = 0,
Ta có kết quả tính toán ở Bảng 2.2.
Bảng 2.2: Kết qur tính toán với x 0 = (10, 5, 2) T ∈ C, λ k = 1 k + 2 , δ = 0, 1, à = 1, α k = k + 1
5(k+ 3). Khi đó {λ k } và {α k } là hai dãy số trong khoảng (0,1) thỏa mãn đồng thời các điều kiện lim k→∞λ k = 0,
5 ∈ (0,1) Ta có kết quả tính toán ở Bảng 2.3.
Bảng 2.3: Kết quả tính toán với x 0 = (1, 2, 1) T ∈ C, λ k = 1
Kết quả từ việc thử nghiệm cho thấy rằng cách chọn giá trị x0 và các tham số λk, αk có ảnh hưởng đáng kể đến sự hội tụ đến nghiệm đúng của bài toán.
Luận văn đã đạt được mục tiêu đề ra
"Nghiên cứu phương pháp lặp giải một lớp bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert thực H; đưa ra và tính toán ví dụ minh họa".
Kết quả của luận văn
Luận văn giới thiệu một phương pháp lặp để tìm nghiệm với chuẩn nhỏ nhất cho bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert thực vô hạn chiều, kèm theo ví dụ minh họa cụ thể.
1 Giới thiệu bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert thực, trình bày một phương lặp giải bài toán này với toán tử chỉ hướng trong không gian Hilbert hữu hạn chiều.
2 Trình bày một phương pháp lặp hiện giải bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert thực vô hạn chiều, chứng minh sự hội tụ của phương pháp.
3 Đưa ra một ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của phương pháp, chương trình thực nghiệm được viết bằng ngôn ngữ MATLAB.
[1] Hoàng Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003.
[2] R.P Agarwal, D O’Regan, D.R Sahu (2009), Fixed point theory for lipschitzian-type mappings with applications, Springer.
[3] T.V Anh, L.D Muu (2016), "A projection-fixed point method for a class of bilevel variational inequalities with split fixed point constraints", Opti- mization, 65(6), pp 1229–1243.
[4] C Byrne (2002), "Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem", Inverse Problems, 18, pp 441–453.
[5] C Byrne (2004), "A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction", Inverse Problems, 18, pp 103–120.
[6] F.E Browder (1967), "Convergence theorems for sequences of nonlinear operators in Banach spaces",Mathematische Zeitschrift, 100, pp 201–225.
[7] H.K Xu (2010), "Iterative methods for the split feasibility problem in infinite dimensional Hilbert spaces" Inverse Problems, 26, 105018.
[8] H.H Bauschke, P.L Combettes (2001), "A weak-to-strong convergence principle for Fejér-monotone methods in Hilbert spaces", Mathematics ofOperations Research, 26, pp 248–264.