Bài toán quy hoạch toàn phương lồi trên không gian hilbert

Danh sách ký hiệuQP Bài toán quy hoạch toàn phương CQP Bài toán quy hoạch toàn phương lồi R Tập số thực Rn Không gian vectơ n chiều X Không gian Hilbert thực LX, Y Tập hợp các toán tử t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THẮM

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG LỒI

TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THẮM

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG LỒI

TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội - Năm 2017

Mục lục

1.1 Không gian Hilbert 6

1.2 Tập lồi, Hàm lồi 8

1.3 Dạng toàn phương 12

1.4 Dạng Legendre 15

1.5 Bài toán quy hoạch toàn phương 16

Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương lồi 19 2.1 Phát biểu bài toán 19

2.2 Sự tồn tại nghiệm 22

2.2.1 Trường hợp dạng toàn phương là dạng Legendre 25

2.2.2 Trường hợp các toán tử có hạng hữu hạn 34

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS TS.Nguyễn Năng Tâm Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quantâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy

Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũngnhư các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2015 - 2017, đã có công laodạy dỗ em trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường

-Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quantâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên em để em hoàn thành tốt nhiệm vụ củamình

Hà Nội, ngày 23 tháng 11 năm 2017

Học viên

Nguyễn Thị Thắm

Danh sách ký hiệu

(QP) Bài toán quy hoạch toàn phương

(CQP) Bài toán quy hoạch toàn phương lồi

R Tập số thực

Rn Không gian vectơ n chiều

X Không gian Hilbert thực

L(X, Y ) Tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

L2[a, b] Không gian Hilbert các hàm bình phương khả tích

`2 Không gian Hilbert các dãy số thực bình phương khả tổng

A Toán tử tự liên hợp tuyến tính liên tục

T (·) Dạng toàn phương

dom f Miền hữu hiệu của hàm f

epi f Trên đồ thị của hàm f

D Tập ràng buộc của bài toán quy hoạch

h·, ·i Tích vô hướng

kxk Chuẩn của vectơ x

0+X Nón lùi xa của tập lồi đóng khác rỗng X

xn* x x hội tụ yếu tới x

v.đ.k với điều kiện

Lời nói đầu

Bài toán quy hoạch toàn phương (viết tắt là bài toán (QP)) là bài toán tìmnghiệm tối ưu của một hàm toàn phương trên một tập hợp xác định bởi một

số hữu hạn các hàm toàn phương Quy hoạch toàn phương nghiên cứu nhữngkhía cạnh định tính, định lượng, thuật toán và các ứng dụng khác nhau củacác bài toán quy hoạch toàn phương Quy hoạch toàn phương lồi là một bộphận quan trọng của quy hoạch toán học

Sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương (QP) lồi là một câuhỏi thú vị trong lý thuyết tối ưu Câu hỏi này trong các điều kiện hữu hạnchiều và vô hạn chiều được nghiên cứu rộng rãi bởi một số tác giả

Có một số điều kiện đã biết để đảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài toán(QP) lồi Ví dụ, nếu tập ràng buộc của bài toán (QP) khác rỗng và bị chặn,hàm mục tiêu là nửa liên tục dưới yếu và bị chặn dưới trong tập ràng buộc,thì sự tồn tại nghiệm được suy ra từ tính compact Sự ràng buộc của hàm mụctiêu cũng là một trong các giả thiết được dùng nhiều nhất để đảm bảo sự tồntại nghiệm của bài toán (QP) Tuy nhiên, ta muốn xác định xem nghiệm củabài toán (QP) lồi có tồn tại trong các trường hợp tổng quát hơn không

Ý tưởng sử dụng tích chất Legendre của dạng toàn phương của hàm mụctiêu để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phươngvới ràng buộc tuyến tính trong không gian Hilbert là của Bonnans và Shapiro.Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng khái niệm của dạng Legendre, mà có nguồngốc từ giải tích biến phân, là rất quan trọng đối với định lý tồn tại nghiệm.Trong Chương 2, chúng tôi xây dựng một ví dụ để chỉ ra rằng kết luận củađịnh lý sai nếu bỏ qua giả thiết về tính Legendre của dạng toàn phương.Bằng cách sử dụng tích chất Legendre của dạng toàn phương hoặc tính chất

hạng hữu hạn của các toán tử tương ứng với các dạng toàn phương, ta có thểchỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán quy hoạch toàn phương lồi với ràngbuộc toàn phương trong không gian Hilbert mà không cần đòi hỏi hạn chế vàohàm mục tiêu hoặc tính compact của tập ràng buộc.

Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Bài toán quy hoạch toànphương lồi trên không gian Hilbert” để làm luận văn cao học Mục tiêucủa luận văn này là trình bày lại các kết quả trong bài báo [5] về sự tồn tạinghiệm của bài toán (QP) lồi trong không gian Hilbert Các kết quả trong [5]

là mở rộng kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán (QP) lồi từ không gianEuclide sang không gian Hilbert

Trong luận văn này, ngoài phần Lời nói đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo,luận văn bao gồm hai chương

Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản và tính chất của không gianHilbert, tập lồi, hàm lồi, dạng toàn phương, hàm toàn phương, dạng Legendre

và bài toán quy hoạch toàn phương

Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phươnglồi (CQP) Định lý 2.2.4 khẳng định sự tồn tại nghiệm của bài toán khi dạngtoàn phương hx, Axi là dạng Legendre và hàm mục tiêu f bị chặn dưới trêntập ràng buộc khác rỗng Định lý 2.2.11 khẳng định khi các toán tử tương ứngvới các dạng toàn phương có hạng hữu hạn, nửa xác định dương, hàm mục tiêu

f bị chặn dưới trên tập ràng buộc khác rỗng thì bài toán có nghiệm

Hà Nội, ngày 23 tháng 11 năm 2017

Học viên

Nguyễn Thị Thắm

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và tính chấtcủa không gian Hilbert, tập lồi, hàm lồi, dạng toàn phương, hàm toàn phương,dạng Legendre và phát biểu bài toán quy hoạch toàn phương

Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Cho X là một không gian vectơ trên trường R, mộtánh xạ ϕ : X × X → R được gọi là một dạng song tuyến tính đối xứng dươngnếu, với mọi x, y, z ∈ X và λ ∈ R, các tính chất sau thỏa mãn:

a) ϕ(x, x) ≥ 0,

b) ϕ(x, y) = ϕ(y, x),

c) ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z),

d) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y)

Lúc đó, người ta thường ký hiệu vắn tắt hx, yi := ϕ(x, y)

Mệnh đề 1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Với mọi x, y ∈ X, ta có

hx, yi2 ≤ hx, xihy, yi

Chứng minh Với y = 0 bất đẳng thức đúng Giả sử y 6= 0, với mọi λ ∈ R ta có

hx + λy, x + λyi ≥ 0suy ra

hx, xi + λhy, xi + λhx, yi + λ2hy, yi ≥ 0,

q(λ) = hy, yiλ2+ 2hx, yiλ + hx, xi ≥ 0

Do đó q(λ) là đa thức bậc hai theo biến thực λ và q(λ) ≥ 0 với mọi λ Điềunày xảy ra khi và chỉ khi hy, yi > 0 và ∆ = 4hx, yi2− 4hy, yihx, xi ≤ 0 Suy ra

hx, yi2 ≤ hx, xihy, yi

Nếu dạng song tuyến tính đối xứng dương h·, ·i trên X còn thỏa mãn thêmđiều kiện

hx, xi > 0, với mọi x 6= 0,thì nó sẽ được gọi là một tích vô hướng trên X và (X, h·, ·i) được gọi là mộtkhông gian tiền Hilbert Lúc đó, dễ thấy

kxk = phx, xixác định một chuẩn trên X Vậy, không gian tiền Hilbert cũng là một khônggian định chuẩn, và mọi khái niệm, kết quả thiết lập được trên không gian địnhchuẩn cũng được áp dụng cho không gian tiền Hilbert

Các kết quả dưới đây được chứng minh trong lý thuyết không gian metric.Định nghĩa 1.1.3 ([2]) Dãy (xn) ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu kxm −

xkk −→

m,k→∞ 0 Tức là

∀ε > 0, ∃n0, ∀m, k > n0 : kxm − xkk < ε

Mệnh đề 1.1.4 ([2]) Nếu (xn) là dãy hội tụ, thì nó là dãy Cauchy

Mệnh đề 1.1.5 ([2]) Nếu (xn) là dãy Cauchy, thì nó bị chặn Tức là tồn tại

số dương M sao cho

kxnk ≤ M, ∀n

Định nghĩa 1.1.6 ([2]) Không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọidãy Cauchy trong X hội tụ trong X

Định nghĩa 1.1.7 ([2]) Một không gian tiền Hilbert (với tư cách là một khônggian định chuẩn) đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.

Trong luận văn này, khi không xác định rõ, các không gian Hilbert sẽ được

Ví dụ 1.1.9 Ký hiệu L2(R) là không gian các hàm bình phương khả tích trên

R Khi đó L2(R) là một không gian Hilbert với tích vô hướng xác định bởi

Định nghĩa 1.2.1 ([8]) Tập con C của X được gọi là lồi nếu

(1 − λ)x + λy ∈ C với mọi x, y ∈ C và 0 < λ < 1

Ví dụ 1.2.2 Các nửa không gian là các ví dụ quan trọng về tập lồi Với bất

kỳ b ∈ Rn và bất kỳ β ∈ R, các tập

{x | hx, bi ≤ β}, {x | hx, bi ≥ β},

được gọi là các nửa không gian đóng Các tập

{x | hx, bi < β}, {x | hx, bi > β},được gọi là các nửa không gian mở

Quy ước: Tập ∅ được coi là tập lồi

Ví dụ 1.2.3 Đoạn thẳng [a, b] = {λa + (1 − λ)b | λ ∈ [0, 1]} là một tập lồi

Từ định nghĩa ta suy ra tập C ⊂ Rn là tập lồi khi và chỉ khi đoạn thẳng nốihai điểm bất kỳ a, b ∈ C phải nằm trong C

Tính chất 1.2.4 ([8]) (i) Giao của một họ tùy ý các tập lồi là một tập lồi.(ii) Nếu C là một tập lồi thì tất cả tịnh tiến của nó C + a = {x + a | x ∈ C}cũng là tập lồi

(iii) Nếu C là một tập lồi thì tất cả bội hằng số của nó λC = {λx | x ∈ C}cũng là tập lồi

(iv) Nếu C và D là hai tập lồi thì tổng C + D của chúng cũng là tập lồi, trongđó

λ ∈ [0, 1], do đó C + D là lồi Tính lồi của a + C và λC được chứng minh tươngtự

Định nghĩa 1.2.5 ([8]) Một tập lồi được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giaocủa một họ hữu hạn các nửa mặt phẳng đóng

Nói cách khác, một tập lồi đa diện là nghiệm tập nghiệm của hệ hữu hạncác bất phương trình tuyến tính có dạng

hai, xi ≤ bi, i = 1, , m,

hoặc dưới dạng ma trận

Ax ≤ b,trong đó A là ma trận m × n gồm các hàng ai và b ∈ Rm

Cho hàm f : C → [−∞, +∞] trên tập C ⊂ X , các tập

dom f = {x ∈ C | f (x) < +∞}

epi f = {(x, α) ∈ C × R | f (x) ≤ α}

lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f (x) Nếu dom f 6= ∅ và

f (x) > −∞ với x ∈ C thì ta nói rằng hàm f là chính thường

Định nghĩa 1.2.6 ([8]) Hàm f : C → [−∞, +∞] được là lồi nếu trên đồ thịcủa nó là tập lồi trong X × R

Một hàm lồi f : C → R được gọi là lồi ngặt nếu bất đẳng thức (1.1) là bấtđẳng thức chặt với mọi x, y ∈ C, x 6= y, ∀λ ∈ [0, 1] Hàm f được gọi lõm trên

C nếu −f là hàm lồi trên C Hàm vừa lồi, vừa lõm được gọi là hàm affine.Hàm lồi có tính chất quan trọng sau

Định lý 1.2.7 ([8]) Cho f : C → (−∞, +∞], trong đó C là một tập lồi Khi

đó f lồi khi và chỉ khi

f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y), 0 < λ < 1, (1.1)với mọi x, y ∈ C

Chứng minh Theo định nghĩa, f lồi khi và chỉ khi với mọi (x, µ) và (y, ν) thuộcepi f và 0 ≤ λ ≤ 1 thì

(1 − λ)(x, µ) + λ(y, ν) = ((1 − λ)x + λy, (1 − λ)µ + λν)

cũng thuộc epi f Từ đó, ta phải có (1 − λ)x + λy ∈ C và

f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)µ + λν với mọi µ ≥ f (x), ν ≥ f (y)

Do đó, ta có

f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y)

Định lý 1.2.8 (Bất đẳng thức Jensen) Cho f là hàm từ X vào (−∞, +∞].Khi đó, f lồi khi và chỉ khi

f (λ1x1+ + λmxm) ≤ λ1f (x1) + + λmf (xm)với λ1 ≥ 0, , λm ≥ 0, λ1+ · + λm = 1

Định lý 1.2.9 ([9]) Hàm thực f (x) trên khoảng mở (a, b) ⊂ R là lồi khi và chỉkhi nó liên tục và có đạo hàm hàm trái và đạo hàm phải tại mọi điểm x ∈ (a, b)

t↓0

f (x + t) − f (x)

tthỏa mãn f+0(x) không giảm và

3 f (x) = xp nếu x ≥ 0, f (x) = ∞ nếu x < 0, trong đó 1 ≤ p < ∞;

4 f (x) = −xp nếu x ≥ 0, f (x) = ∞ nếu x < 0, trong đó 0 ≤ p ≤ 1

Ví dụ 1.2.12 Trong trường hợp nhiều chiều, từ Định lý 1.2.7, ta suy ra mọihàm có dạng

f (x) = hx, ci + α, c ∈ Rn, α ∈ R

là hàm lồi trên Rn Thật ra, nó là hàm affine và mọi hàm affine trên Rn códạng này

1.3 Dạng toàn phương

Định nghĩa 1.3.1 ([1]) Cho ϕ : X × X → R là một dạng song tuyến tính đốixứng dương Khi đó ánh xạ f : X → R xác định bởi

f (x) = ϕ(x, x)được gọi là một dạng toàn phương trên X ứng với dạng song tuyến tính đốixứng dương ϕ

Ví dụ 1.3.2 (a) Cho ϕ(x, y) = xy là một dạng song tuyến tính đối xứng trênkhông gian vectơ X = R Dạng toàn phương ứng với ϕ là

f (x) = x2.(b) Mỗi tích vô hướng trên X là một dạng song tuyến tính đối xứng dương.Dạng toàn phương ứng với nó chính là

f (α) = |α|2.Theo kết quả trong đại số tuyến tính, hàm f (x1, x2, , xn) là một dạngtoàn phương khi và chỉ khi nó có thể được viết dưới dạng

f (x) = hx, Axi = xTAx, trong đó x =

Cho X và Y là các không gian định chuẩn Ký hiệu L(X, Y ) là tập hợp tất

cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Nhắc lại rằng toán tử liên hợp

A∗ của A là một toán tử tuyến tính liên tục từ Y = Y∗ vào X = X∗ xác địnhbởi

A∗y = y ◦ A; y ∈ Y

Nói cách khác, ta có

hx, A∗yi = hAx, yi; ∀x ∈ X, y ∈ Y

Định nghĩa 1.3.3 ([2]) Toán tử A ∈ L(X, Y ) được gọi là tự liên hợp nếu

A∗ = A Lúc đó,

hAx, yi = hx, Ayi, ∀x, y ∈ X

Ví dụ 1.3.4 Chẳng hạn, nếu X = Y = Rn thì một toán tử T ∈ L(X) là tựliên hợp khi và chỉ khi ma trận A là đối xứng Còn nếu X = Y = L2[a, b] và

A ∈ L(X) là toán tử tích phân có hạch là K(t, s), thì A là tự liên hợp khi vàchỉ khi

K(t, s) = K(s, t) hầu khắp nơi trên [a, b] × [a, b]

Cho X là một không gian Hilbert, theo định lý Riesz, hàm T : X → R làmột dạng toàn phương khi và chỉ khi tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục

tự liên hợp A : X → X sao cho

T (x) = hx, Axi

Do đó, trong luận văn chúng ta chỉ xét dạng toàn phương liên tục có dạng

T (x) = hx, Axi, trong đó là A toán tử tự liên hợp tuyến tính liên tục

Định nghĩa 1.3.5 Dạng toàn phương T (x) được gọi là

(i) không âm nếu T (x) ≥ 0 với mọi x ∈ X ;

(ii) dương nếu T (x) > 0 với mọi x ∈ X \{0}

Tương tự như trường hợp hữu hạn chiều, toán tử A : X → X được gọi lànửa xác định dương (xác định dương) nếu dạng toàn phương T (x) = hx, Axikhông âm (tương ứng, dương)

Định nghĩa 1.3.6 Chúng ta nói rằng dạng toàn phương T : X → R có hạnghữu hạn n nếu tồn tại một dạng toàn phương T1 : Rn → R và một toán tửtuyến tính liên tục A : X → Rn sao cho T (x) = T1(Ax) với mọi x ∈ X

Cho X là không gian Hilbert thực với tích vô hướng h·, ·i

Định nghĩa 1.3.7 Dãy {xn} trong không gian X hội tụ yếu đến x ∈ X , kýhiệu xn * x, nếu

lim

n→∞hxn, yi = hx, yi, ∀y ∈ X

Định nghĩa 1.3.8 Cho X là không gian metric, x0 là một điểm trong X và

f : X → R ∪ {∞} là hàm giá trị thực mở rộng Ta nói rằng f là hàm nửa liêntục dưới tại x0 nếu

Các tính chất sau của dạng toàn phương được dùng trong Chương 2.Mệnh đề 1.3.10 ([4]) Dạng toàn phương T (·) trên không gian Hilbert X làlồi khi và chỉ khi nó không âm

Mệnh đề 1.3.11 ([4]) Dạng toàn phương liên tục không âm trong không gianHilbert là nửa liên tục dưới yếu

Định nghĩa 1.3.12 Chúng ta nói rằng f : X → R là một hàm toàn phươngnếu tồn tại toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp A : X → X , một vectơ

1.4 Dạng Legendre

Định nghĩa 1.4.1 ([7]) Dạng toàn phương T : X → R được gọi là dạngLegendre nếu nó nửa liên tục dưới yếu, và nếu xk * x và T (xk) → T (x) kéotheo xk → x

Ví dụ 1.4.2 Dạng toàn phương T : X → R xác định bởi T (x) = kxk2 là mộtdạng Legendre Thật vậy, vì T (x) là một dạng toàn phương liên tục không âmnên nó là nửa liên tục dưới yếu Giả sử xk * x khi k → ∞, khi đó

(i) Bất kỳ dạng toàn phương elliptic là một dạng Legendre

(ii) Cho T1 là một dạng Legendre và T2 là liên tục yếu Khi đó T = T1+ T2

(ii) Hạn chế của T lên không gian con đóng bất kỳ của X là dạng Legendre.(iii) Hạn chế của T lên một không gian con của X đối chiều hữu hạn là mộtdạng toàn phương elliptic.

(iv) Dạng toàn phương T là tổng của một dạng toàn phương elliptic và mộtdạng toàn phương hạng hữu hạn

Định lý 1.4.6 ([7]) Dạng toàn phương Legendre xác định dương là một dạngelliptic

Ví dụ 1.4.7 Ký hiệu `2 là không gian Hilbert gồm tất cả các dãy số thực bìnhphương khả tổng Định nghĩa A : `2 → `2 xác định bởi

Ax = (0, x2, x3, , xn, ),trong đó x = (x1, x2, x3, , xn, ) ∈ `2 Do hx, Axi ≥ 0, hx, Axi là lồi Rõràng hx, Axi = kxk2− x2

1 ≥ 0 với mọi x ∈ `2 nên hx, Axi là tổng của một dạngelliptic và một dạng toàn phương có hạng hữu hạn Do đó, theo Mệnh đề 1.4.5,

Định nghĩa 1.5.1 ([9]) Bài toán quy hoạch toán học là bài toán dạng







min f (x)v.đ.k x ∈ D,

(P)

trong đó f : X → R := R ∪ {−∞, +∞} là một hàm cho trước và D ⊂ X làmột tập cho trước Hàm f được gọi là hàm mục tiêu và D được gọi là tập ràngbuộc (hoặc miền chấp nhận được) của bài toán (P) Các phần tử của D đượcgọi là các vectơ chấp nhận được của (P) Nếu D = X thì bài toán (P) được gọi

là bài toán không ràng buộc Nếu D 6= X thì bài toán (P) được gọi là bài toán

Nếu D = ∅ thì ta quy ước v(P) = +∞

Nhận xét 1.5.4 Dễ dàng nhận thấy rằng Sol(P) ⊂ loc(P) Hiển nhiên là

Sol(P) = {x ∈ D : f (x) 6= +∞, f (x) = v(P)}

Định nghĩa 1.5.5 Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch lồi nếu D làmột tập lồi và f là một hàm lồi

Nhận xét 1.5.6 Trong trường hợp hàm mục tiêu f là hàm toàn phương, khi

đó f có dạng (1.2) Nếu xóa hằng số α trong (1.2) của hàm mục tiêu f thì

chúng ta không làm thay đổi tập nghiệm của bài toán min{f (x) : x ∈ D}.

Do đó trong (1.2) chúng ta có thể sử dụng dạng đơn giản của hàm mục tiêu

2hx, Aixi + hci, xi + αi ≤ 0, ∀i ∈ I

(QP)

trong đó X là một không gian Hilbert, A : X → X là toán tử tuyến tính liêntục tự liên hợp, Ai là các toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp nửa xác địnhdương trên X , c, ci ∈ X , αi ∈ R, và I = {1, 2, , m}

Nếu Ti là các toán tử không, i = 1, , m, thì chúng ta nói rằng bài toán(QP) là bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính và được kýhiểu bởi (QPL) Nếu T là toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp không âm,thì f là hàm lồi, chúng ta nói rằng (QP) là bài toán quy hoạch toàn phươnglồi và ký hiệu bởi (CQP)

Nếu dim X < ∞ thì bài toán (QP) được gọi là bài toán quy hoạch toànphương hữu hạn chiều

Cho X là không gian Hilbert, trong Chương 2 chúng tôi khảo sát sự tồn tạinghiệm của bài toán (QP) lồi có dạng:

Bài toán 2.1.1 ([5]) Bài toán quy hoạch toàn phương lồi trong không gianHilbert là bài toán

2hx, Aixi + hci, xi + αi ≤ 0, ∀i ∈ I

(CQP)

trong đó A, Ai : X → X là nửa xác định dương, liên tục và tự liên hợp tuyếntính, và c, ci ∈ X , αi ∈ R, I = {1, 2, , m}