Một số định lý hội tụ mạnh giải bài toán điểm bất động chung tách trong không gian hilbert

Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khæng gian Hilbert.. nh x⁄ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert.. To¡n tß ìn i»u trong khæng gian Hilbert.. Ta chia chøng minh cıa ành lþ n y th nh c¡c b÷îc nhä nh÷ sa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Trương Minh Tuyên

2 TS Phạm Hồng Trường

THÁI NGUYÊN - 2020

iiLíi c£m ìn

T¡c gi£ xin gßi líi c£m ìn s¥u s›c tîi TS Tr÷ìng Minh Tuy¶n ng÷íi thƒy ¢luæn t“n t…nh h÷îng d¤n, ch¿ b£o v gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr…nh håc t“p v

ho n thi»n lu“n v«n

çng thíi, t¡c gi£ công xin gßi líi c£m ìn ‚n c¡c thƒy, cæ trong khoa To¡nTin, tr÷íng ⁄i håc Khoa håc, ⁄i håc Th¡i Nguy¶n ¢ gióp ï, t⁄o i•u ki»n cho t¡c gi£trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cøu t⁄i Tr÷íng

CuŁi còng t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn tîi ng÷íi th¥n trong gia …nh, b⁄n b–

v çng nghi»p ¢ luæn ºng vi¶n t⁄o i•u ki»n gióp ï tæi v• måi m°t trong suŁtqu¡ tr…nh håc t“p v vi‚t lu“n v«n n y

Möc löc

1.1 Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khæng gian Hilbert 3

1.2 nh x⁄ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert 11

1.2.1 nh x⁄ khæng gi¢n 11

1.2.2 Ph÷ìng ph¡p chi‚u lai gh†p 15

1.2.3 Ph÷ìng ph¡p chi‚u thu hµp 15

1.3 To¡n tß ìn i»u trong khæng gian Hilbert 16

Ch÷ìng 2 Hai ph÷ìng ph¡p chi‚u gi£i b i to¡n i”m b§t ºng chung t¡ch 21 2.1 Ph¡t bi”u b i to¡n 21

2.2 Ph÷ìng ph¡p chi‚u lai gh†p 23

2.3 Ph÷ìng ph¡p chi‚u thu hµp 27

2.4 Ùng döng 31

2.4.1 B i to¡n (MSCFPP) 31

2.4.2 B i to¡n (MSCNPP) 32

ivMºt sŁ kþ hi»u v vi‚t t›t

ç thà cıa to¡n tß Ami•n x¡c ành cıa to¡n tß Ami•n £nh cıa to¡n tß Ato¡n tß ng÷æc cıa to¡n tß A

t“p rØngvîi måi xd¢y fxng hºi tö m⁄nh v• x0

d¢y fxng hºi tö y‚u v• x0

Mð ƒu

nh“n t¡ch (SFP-Split Feasibility Problem) câ d⁄ng nh÷ sau:

B i to¡n ch§p nh“n t¡ch (0.1) l mºt tr÷íng hæp °c bi»t cıa b i to¡n i”m b§t ºngchung t¡ch D⁄ng tŒng qu¡t cıa b i to¡n i”m b§t ºng chung t¡ch

Thíi gian gƒn ¥y, lîp c¡c B i to¡n (0.3) ¢ thu hót sü quan t¥m nghi¶n cøu cıanhi•u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc N«m 2019, c¡c t¡c gi£ Reich S v

Tuyen T.M ¢ ÷a ra mºt ph÷ìng ph¡p l°p mîi düa tr¶n ph÷ìng ph¡p chi‚u laigh†p (Hybrid projection method) ” gi£i B i to¡n (0.3) (xem [8, ành lþ 4.2]).Möc ‰ch cıa lu“n v«n n y l tr…nh b y chøng minh chi ti‚t cho ành lþ 4.2trong [8] v tr…nh b y l⁄i mºt k‚t qu£ cıa t¡c gi£ Ha M.T.N v• ph÷ìng ph¡p chi‚u

co hµp [6] ” x§p x¿ mºt nghi»m cıa B i to¡n (0.3) cho tr÷íng hæp M = N = 1

Ch÷ìng 1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà

Trong ch÷ìng n y, lu“n v«n • c“p ‚n mºt sŁ °c tr÷ng cì b£n cıa khæng gianHilbert, ph†p chi‚u m¶tric, ¡nh x⁄ khæng gi¢n còng c¡c ph÷ìng ph¡p chi‚u laigh†p hay chi‚u co hµp ” t…m i”m b§t ºng cho lîp ¡nh x⁄ n y Möc cuŁi còng cıach÷ìng n y • c“p ‚n kh¡i ni»m to¡n tß ìn i»u v mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n

Ch÷ìng 2 Hai ph÷ìng ph¡p chi‚u gi£i b i to¡n i”m b§t ºng chung t¡ch

v tr…nh b y l⁄i k‚t qu£ cıa t¡c gi£ Ha M.T.H trong [6] Ngo i ra, b‹ng c¡ch sßdöng t‰nh ch§t i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ trung b…nh hay t‰nh ch§t cıa to¡n tßgi£i Łi vîi to¡n tß ìn i»u, t¡c gi£ công ÷a ra mºt sŁ ph÷ìng ph¡p gi£i B i to¡n (0.3)

v b i to¡n khæng i”m chung t¡ch

Ch֓ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà

Ch÷ìng n y bao gçm ba möc ch‰nh Möc 1.1 • c“p ‚n mºt sŁ °c tr÷ng cìb£n cıa khæng gian Hilbert thüc, Möc 1.2 giîi thi»u sì l÷æc mºt sŁ k‚t qu£ v•

¡nh x⁄ khæng gi¢n, còng vîi c¡c ph÷ìng ph¡p chi‚u lai gh†p v chi‚u thu hµp t…mi”m b§t ºng cho lîp ¡nh x⁄ n y Möc 1.3 tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v t‰nh ch§t

cì b£n v• to¡n tß ìn i»u trong khæng gian Hilbert Nºi dung cıa ch÷ìng n y phƒnlîn ÷æc tham kh£o tł c¡c t i li»u [1] v [2]

1.1 Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khæng gian Hilbert

Ta luæn gi£ thi‚t H l khæng gian Hilbert thüc vîi t‰ch væ h÷îng ÷æc k‰hi»u l h:; :i v chu'n ÷æc k‰ hi»u l k:k

Hilbert thüc Khi â, vîi måi x; y 2 H v måi 2 [0; 1], ta câ

M»nh • 1.3 Cho H l mºt khæng gian Hilbert thüc Khi â, n‚u vîi x; y 2 Hthäa m¢n i•u ki»n

Nh›c l⁄i r‹ng, d¢y fxng trong khæng gian Hilbert H ÷æc gåi l hºi tö y‚u v•phƒn tß x 2 H, n‚u

lim hx n ; yi = hx; yi;

n!1

t‰nh ch§t n y ÷æc th” hi»n trong m»nh • d÷îi ¥y:

M»nh • 1.5 Måi khæng gian Hilbert thüc H •u câ t‰nh ch§t Kadec-Klee, tøc l

th… xn ! x, khi n ! 1

Chøng minh Ta câ

kxn xk2 = kxnk2 2hxn; xi + kxk2

! 0; n ! 1:

M»nh • 1.6 Cho C l mºt t“p con lçi v âng cıa khæng gian Hilbert thüc H Khi â,tçn t⁄i duy nh§t phƒn tß x 2 C sao cho

Ti‚p theo ta ch¿ ra t‰nh duy nh§t Gi£ sß tçn t⁄i y 2 C sao cho ky k = d Tacâ

2k

2(d2 + d2) 4d2

= 0:

M»nh • 1.7 Cho C l mºt t“p con lçi v âng cıa khæng gian Hilbert thüc H Khi â,

Chøng minh V… C l t“p lçi, âng v kh¡c rØng n¶n x C công l t“p lçi, âng v kh¡c

x¡c ành nh÷ tr¶n ÷æc gåi l ph†p chi‚u m¶tric tł H l¶n C

V‰ dö 1.1 Cho C = fx 2 H : hx; ui = yg, vîi u 6= 0 Khi â

PC x = x + y h x; ui u:

kuk2

tr÷îc v R l mºt sŁ d÷ìng Khi â, ta câ:

mºt ph†p chi‚u m¶tric.

M»nh • 1.8 Cho C l t“p con lçi, âng v kh¡c rØng cıa khæng gian Hilbert H.

a) PC l ph†p chi‚u m¶tric tł H l¶n C;

chi‚u m¶tric tł H l¶n C Khi â, ta câ c¡c khflng ành sau:

Tł â, ta câ

= kxkx

vîi måi y 2 C Suy ra

tçn t⁄i y 2 H v " > 0 (chflng h⁄n l§y y = v v " = kvk2=2 trong chøng minh cıaM»nh • 1.9) sao cho

Chó þ 1.2 N‚u C l t“p âng y‚u trong H th… hi”n nhi¶n C l t“p âng

M»nh • 1.11 Måi t“p con bà ch°n cıa H •u l t“p compact t÷ìng Łi y‚u

Chøng minh Gi£ sß Fix(T ) 6= ;.

Tr÷îc h‚t, ta ch¿ ra Fix(T ) l t“p âng Th“t v“y, v… T l ¡nh x⁄ khæng gi¢n n¶n

kT xn xnk = 0;

Ti‚p theo, ta ch¿ ra t‰nh lçi cıa Fix(T ) Gi£ sß x; y 2 Fix(T ), tøc l T x = x

v T y = y Vîi måi 2 [0; 1], ta ch¿ ra z = x + (1 )y 2 Fix(T ) Th“t v“y, n‚u x = y, th… z = x = y 2 Fix(T ) Gi£ sß x 6= y, khi â ta câ

Chó þ 1.3 Ta câ th” chøng minh t‰nh lçi cıa t“p Fix(T ) b‹ng c¡ch kh¡c nh÷

sau: Gi£ sß Fix(T ) 6= ; v x; y 2 Fix(T ) Vîi 2 [0; 1], °t z = x + (1 )y Khi â, tł M»nh • 1.2 v t‰nh khæng gi¢n cıa T ta câ

= kT z T xk2 + (1 )k(T z T y)k2 (1 )kx yk2 kz xk2 + (1 )k(z y)k2 (1 )kx yk2

= k (z x) + (1 )(z y)k2 = 0:

M»nh • d÷îi ¥y cho ta bi‚t v• t‰nh nßa âng cıa ¡nh x⁄ khæng gi¢n T

M»nh • 1.14 Cho C l mºt t“p con lçi, âng v bà ch°n cıa khæng gian Hilbert H Cho T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ khæng gi¢n Khi â Fix(T ) 6= ;

tr¶n C nh÷ sau:

Vîi måi x; y 2 C, ta câ

Suy ra, Tn l ¡nh x⁄ co vîi h» sŁ co 1 n Theo nguy¶n lþ ¡nh x⁄ co Banach1 tçn t⁄i duy nh§t xn 2 C sao cho Tn(xn) = xn, tøc l ,

xn = nx0 + (1 n )T (xn):

Tł â suy ra

kxn T (xn)k = nkx0 T (xn)k ndiam(C) ! 0:

M»nh • 1.13, ta nh“n ÷æc x 2 Fix(T )

Chøng minh D„ th§y \i2I Fix(Ti) Fix( i2I iTi) B¥y gií ta s‡ ch¿ ra bao h m thøc

xk = 0 hay x = Tix vîi måi i 2 I,

V“y Fix( i2I iTi) = \i2I Fix(Ti)

1.2.2 Ph÷ìng ph¡p chi‚u lai gh†p

chøng minh ành lþ d÷îi ¥y:

rØng cıa H Cho T l mºt ¡nh x⁄ khæng gi¢n tł C v o ch‰nh nâ vîi Fix(T ) 6= ;

Trong ti”u möc n y, chóng tæi giîi thi»u mºt sŁ k‚t qu£ cıa Takahashi W.,Takeuchi Y v Kubota R trong t i li»u [10] v• ph÷ìng ph¡p chi‚u thu hµp cho b ito¡n t…m i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ khæng gi¢n.

v x0 2 H Vîi C1 = C v u1 = PC1 x0, x¡c ành d¢y fung nh÷ sau:

= PFix(T )x0

1.3 To¡n tß ìn i»u trong khæng gian Hilbert

i»u n‚u

vîi måi x; y 2 H v måi u 2 A(x); v 2 A(y)

khæng chøa thüc sü trong ç thà cıa b§t k… to¡n tß ìn i»u n o kh¡c tr¶n H

V‰ dö 1.3 To¡n tß A(x) = x3 vîi x 2 R l ìn i»u cüc ⁄i tr¶n R.

Th“t v“y, hi”n nhi¶n A l mºt to¡n tß ìn i»u tr¶n R Ta s‡ ch¿ ra ç thà cıa Akhæng l t“p con thüc sü cıa b§t ký mºt to¡n tß ìn i»u n o kh¡c tr¶n R Gi£ sßtçn t⁄i mºt to¡n tß ìn i»u B tr¶n R sao cho ç thà cıa B chøa thüc sü ç thà cıa A

A(x0) < m

Tr÷íng hæp 1: A(x0) > m

x0 Theo ành lþ gi¡ trà trung b…nh, tçn t⁄i x2 2 (x1; x0) sao cho

n = A(x2) 2 (m; A(x0)) Tł (x0; m) 2 G(B) v (x2; A(x2)) 2 G(A) G(B), suy ra

(x0 x2)(m A(x2))0:

V… x0 > x2, n¶n A(x2) m, i•u n y m¥u thu¤n vîi A(x2) 2 (m; A(x0)) Nh÷ v“y,

x0 Theo ành lþ gi¡ trà trung b…nh, tçn t⁄i x2 2 (x0; x1) sao cho

n = A(x2) 2 (A(x0); m) Tł (x0; m) 2 G(B) v (x2; A(x2)) 2 G(A) G(B), suy

Th“t v“y, rª r ng A l mºt to¡n tß ìn i»u, nh÷ng ç thà cıa A l t“p con thüc sü cıa

ç thà cıa to¡n tß ìn i»u B(x) = x3 vîi måi x 2 R

måi > 0, ð ¥y R(I + A) l mi•n £nh cıa I + A

Tł chó þ tr¶n ta câ mºt v‰ dö kh¡c d÷îi ¥y v• to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i:V‰ dö 1.5 Cho T : H ! H l mºt ¡nh x⁄ khæng gi¢n, tøc l kT x T yk kx yk vîi måix; y 2 H Khi â A = I T l mºt to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i, ð ¥y I l ¡nh x⁄ çng nh§t tr¶n H.Th“t v“y, vîi måi x; y 2 H, ta câ

suy ra A l mºt to¡n tß ìn i»u

1 +

1 +theo nguy¶n lþ ¡nh x⁄ co Banach, ph÷ìng tr…nh (1.9) câ duy nh§t nghi»m Suy

ra, ph÷ìng tr…nh (1.8) câ duy nh§t nghi»m V“y A l mºt to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i

JrA = (I + rA) 1, r > 0 ÷æc gåi l

mºt to¡n tßìn i»u cüc ⁄i Khi â, gi£i cıaA

Chó þ 1.5 i) Gi£i JrA cıa to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i A l mºt ¡nh x⁄ ìn trà, khæng gi¢n v A(x) 3 0 khi v ch¿ khi JrA(x) = x;

Th“t v“y, gi£ sß tçn t⁄i x 2 H sao cho JrA(x) nh“n ‰t nh§t hai gi¡ trà y v z Tł ành ngh¾a cıa to¡n tß gi£i, suy ra

x y 2 rA(y); x z 2 rA(z):

Tł t‰nh ìn i»u cıa A, suy ra

Suy ra, ky zk2 0 Do â, y = z V“y JrA l mºt ¡nh x⁄ ìn trà.

Ti‚p theo, ta ch¿ ra JrA l mºt ¡nh x⁄ khæng gi¢n Vîi måi x; y 2 H, °t z1 = JrA(x)

Gi£ sß, x = JrA(x) i•u n y t÷ìng ÷ìng vîi x 2 x + rA(x) hay A(x) 3 0

ii) Vîi måi sŁ d÷ìng v , ta luæn câ flng thøc sau

Tł t‰nh ìn i»u cıa A, suy ra

iii) To¡n tß gi£i JA l mºt ¡nh x⁄ khæng gi¢n

x u 2 A(u) v y v 2 A(v) Do â, tł t‰nh ìn i»u cıa A, ta câ

tß ìn i»u cüc ⁄i A công l

mºt t“p lçi v âng

2.1 Ph¡t bi”u b i to¡n

v H2, t÷ìng øng Cho T : H1 ! H2 l mºt to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n v T : H2 ! H1 lto¡n tß li¶n hæp cıa T B i to¡n ch§p nh“n t¡ch (SFP) câ d⁄ng nh÷ sau:

(Q) =D⁄ng tŒng qu¡t cıa B i to¡n (SFP) l

bi”u nh÷ sau: Cho Ci, i = 1; 2; :::; N v

Mæ h…nh b i to¡n (SFP) lƒn ƒu ti¶n ÷æc giîi thi»u v nghi¶n cøu bði Y Censor v

T Elfving [5] cho mæ h…nh c¡c b i to¡n ng÷æc B i to¡n n y âng vai trÆ quan

trång trong khæi phöc h…nh £nh trong Y håc, khæi phöc t‰n hi»u (xem [3],[4]) hay câ th” ¡p döng cho vi»c gi£i c¡c b i to¡n c¥n b‹ng trong kinh t‚, lþ thuy‚ttrÆ chìi (xem [9])

Khi Ci v Qj l t“p i”m b§t ºng cıa c¡c ¡nh x⁄ khæng gi¢n Ti v Sj, t÷ìng øng th…

b i to¡n (MSFP) trð th nh b i to¡n i”m b§t ºng t¡ch Łi vîi ¡nh x⁄ khæng gi¢n D⁄ng

H1 ! H1, i = 1; 2; :::; N v Sj : H2 ! H2, j = 1; 2; :::; M l c¡c ¡nh x⁄ khæng gi¢n tr¶n

H1 v H2, t÷ìng øng

T…m phƒn tß x 2 3 := \Ni=1 Fix(Ti) \ T 1 \Mj=1 Fix(Sj) 6= ;: (MSCFPP)

Khi Ci v Qj l t“p khæng i”m cıa c¡c to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i Ai v Bj, t÷ìng øng,th… b i to¡n (MSFP) trð th nh b i to¡n khæng i”m chung t¡ch D⁄ng tŒng qu¡tcıa b i to¡n n y ÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau: Cho Ai : H1 ! 2H1 , i = 1; 2; :::; N v Bj : H2

! 2H2 , j = 1; 2; :::; M l c¡c to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i trong H1 v H2, t÷ìng øng

T…m phƒn tß x 2 4 := \Ni=1Ai 1(0) \ T 1 \Mj=1 Bj 1(0) 6= ;: (MSCNPP)

Trong lu“n v«n n y, tr÷îc h‚t chóng tæi • c“p ‚n hai ph÷ìng ph¡p chi‚u gi£i mºttr÷íng hæp ri¶ng cıa b i to¡n (MSCFPP) khi N = M = 1, tøc l b i to¡n sau: Cho

H1 v H2 l c¡c khæng gian Hilbert thüc Cho S1 : H1 ! H1 v S2 : H2 ! H2, l c¡c ¡nh x⁄

cho

Ti‚p â, b‹ng c¡ch sß döng c¡c M»nh • 1.15 v c¡c Chó þ 1.5, 1.6, chóng tæi

Chøng minh Tr÷îc h‚t, ta ch¿ ra r‹ng Cn, Dn v Wn l c¡c t“p con lçi, âng cıa

D„ th§y r‹ng Cn, Dn v Wn l c¡c t“p con lçi v âng cıa H1 vîi måi n 0

Ti‚p theo, ta chøng minh

5 Cn \ Dn \ Wn vîi måi n 0 Th“t v“y, l§yb§t ký p 2 5, ta câ S1(p) = p v S2(T p) = T p Tł t‰nh khæng gi¢n cıa S1 v S2suy ra

kyn pk = kS1(xn) S1(p)k kxn pk;

5 W0 Gi£ sß 5 Wn vîi n 0 n o â Tł xn+1 = PC n \D n \W n (x0) v °ctr÷ng cıa ph†p chi‚u m¶tric (xem M»nh • 1.8), ta nh“n ÷æc

hz xn+1; x0 xn+1i 0vîi måi z 2 Cn \ Dn \ Wn V… 5 Cn \ Dn \ Wn v p 2 5, n¶n ta câ

hp xn+1; x0 xn+1i 0:

Do v“y 5 Cn \ Dn \ Wn vîi måi n 0 v v… v“y Cn \ Dn \ Wn l t“p con lçi, âng,

\ Wn trong Thu“t to¡n 2.1.

Khi â L l mºt khæng gian con tuy‚n t‰nh âng cıa H1 Do â, theo ành lþ

x = u + h, trong â uain ; h = 0 vîi måi i = 1; 2; 3. L v h L? V… u L, u = 3 an v h L?, n¶n

ng buºc b§t flng thøc Ta bi‚t r‹ng câ nhi•u ph÷ìng ph¡p kh¡c nhau ” gi£i b i to¡n

n y ho°c ta công câ th” sß döng gâi Quadratic Programming Algorithms

ành lþ 2.1 D¢y fxng x¡c ành bði Thu“t to¡n 2.1 hºi tö m⁄nh v• P 5 (x0)

Chøng minh Ta chia chøng minh cıa ành lþ n y th nh c¡c b÷îc nhä nh÷ sau

°t xy = P 5 (x0) Tr÷îc h‚t, ta câ xy 2 S Wn vîi måi n 0 Ti‚p theo, tł ành

Do â, tł ành ngh¾a cıa ph†p chi‚u m¶tric ta câ

vîi måi n 0 i•u n y suy ra d¢y fxng bà ch°n

V… xn+1 2 Wn v xn = PW n (x0), n¶n tł M»nh • 1.1 ta nh“n ÷æc

1 Cho H l mºt khæng gian Hilbert v L l mºt khæng gian con tuy‚n t‰nh âng cıa H Khi â mØi

x 2 H ÷æc bi”u di„n duy nh§t d÷îi d⁄ng x = y + z vîi y 2 L v z 2 L?

limn!1 kxn x0k tçn t⁄i v hœu h⁄n Tł (2.4) suy ra r‹ng

ta nh“n ÷æc

khflng ành thø hai ÷ìc chøng minh

B֔c 3 xn ! P 5 (x0) khi n ! 1

V… d¢y fxng bà ch°n, n¶n tçn t⁄i mºt d¢y con fxn k g cıa fxng sao cho xn k * x

kxn k x0k ! kxy x0k v tł M»nh • 1.5 ta thu ÷æc xn k ! xy khi k ! 1 Mºt lƒn nœa sßdöng t‰nh duy nh§t cıa xy, ta suy ra xn ! xy khi n ! 1

ành lþ 2.2 D¢y fxng x¡c ành bði Thu“t to¡n 2.2 hºi tö m⁄nh v• P 5 x0.

Chøng minh Ta chia chøng minh cıa ành lþ n y th nh bŁn b÷îc

kyn

kzn

pk = kS1(xn) S1(p)k kxn pk T pk =

Do â, tł ành ngh¾a cıa c¡c t“p Cn+1, Dn+1 v gi£ thi‚t quy n⁄p S Cn \Dn suy ra 5

kxn x0k2 kxn+1 x0k2 k xn+1 xnk2 kxn+1 x0k2:

ta câ Cm \ Dm Cn \ Dn Do â, xm 2 Cn \ Dn Tł M»nh • 1.1, ta

kxm xnk2 kxm x0k2 k xn x0k2 ! 0khi m; n ! 1 Suy ra fxng l d¢y Cauchy V… th‚ tçn t⁄i giîi h⁄n limn!1 xn = q Do â,

2.4 Ùng döng

2.4.1 B i to¡n (MSCFPP)

B‹ng c¡ch sß döng M»nh • 1.15 v c¡c ành lþ 2.1, ành lþ 2.2, ta nh“n ÷æc ành lþ d÷îi ¥y cho b i to¡n (MSCFPP)

Khi â d¢y fxng hºi tö m⁄nh v• P 3 x0

32H» qu£ 2.1 Cho ai, i = 1; 2; : : : ; N v bj, j = 1; 2; : : : ; M l

ành lþ 2.4 Cho ri, i = 1; 2; : : : ; N v sj, j = 1; 2; : : : ; M l c¡c sŁ thüc d÷ìng

34K‚t lu“n

Lu“n v«n ¢ tr…nh b y l⁄i mºt c¡ch kh¡ chi ti‚t v h» thŁng v• c¡c v§n • sau:

Mºt sŁ t‰nh ch§t °c tr÷ng cıa khæng gian Hilbert, ¡nh x⁄ khæng gi¢n vnßa nhâm ¡nh x⁄ khæng gi¢n v to¡n tß ìn i»u trong khæng gian Hilbert;C¡c k‚t qu£ cıa Reich S v Tuyen T.M trong t i li»u [8] v• mºt ph÷ìng ph¡p chi‚u lai gh†p, v cıa t¡c gi£ Ha M.T.N trong t i li»u [6] v• mºt ph÷ìng ph¡p chi‚u thu hµp cho b i to¡n i”m b§t ºng chung t¡ch trong khæng gian

Hilbert;

X¥y düng mºt sŁ øng döng cıa c¡c k‚t qu£ ¢ bi‚t cho mºt sŁ b i to¡n tŒng qu¡t hìn, â l c¡c b i to¡n (MSCFPP) v (MSCNPP)

T i li»u tham kh£o

[1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer

[2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Op-erator Theory in Hilbert spaces, Springer

[3] C Byrne, Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem, Inverse Problems, 18(2), pp 441-453 (2002)

[4] C Byrne, A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction, Inverse Problems, 18, pp 103-120 (2004)

[5] Y Censor and T Elfving, A multi projection algorithm using Bregman jections in a product space, Numer Algorithms, 8(2-4), pp 221-239, (1994)

pro-[6] Ha M.T.N (2019), A Shrinking projection method for solving the split mon fixed point problem in Hilbert spaces , Thai Nguyen University,Journal of Science and Technology, 203(10), pp 31 35

com-[7] Nakajo K., Takahashi W (2003), "Strong convergence theorems fornonex-pansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal.Appl., 279, pp 372-379

[8] Reich S., Tuyen T M (2020), A new algorithm for solving the split commonnull point problem in Hilbert spaces , Numerical Algorithms, 83, pp 789 805.[9] Shehu Y., Agbebaku D F (2018), On split inclusion problem and fixed pointproblem for multi-valued mappings , Comp Appl Math., 37, pp 1807 1824