phương pháp giải phương trình lượng giác

Chia 2 vế cho cos2x ta thu được phương trình bậc 2 theo tanx..  Chú ý: Nếu là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx, cosx thì ta xét cosx = 0 và xét cosx  0 chia 2 vế của phương tr

Trang 1

 Chuyên đề 2 : LƯỢNG GIÁC

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Phương trình lượng giác cơ bản

cotx = cot x =  + k (với k  )

2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

asin2x + bsinx + c = 0 Đặt t = sinx,  t 1

acos2x + bcosx + c = 0 Đặt t = cosx,  t 1

atan2x + btanx + c = 0 Đặt t = tanx

acot2x + bcotx + c = 0 Đặt t = cotx

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx

asinx + bcosx = c (*) Điều kiện có nghiệm: a2 + b2 c2

 Cách 1: Chia hai vế cho a2b2 0

(*)  sinxcos + sincosx =

a= tan Khi đó: (*)  sinx +

sincos



cosx =

ca

Trang 2

 sinx cos + sin cosx =c

acos  sin(x + ) =

c

acos

 Cách 3: Đặt ẩn số phụ

 Xét x = (2k + 1) với (k  ) có là nghiệm 0

 Xét x  (2k + 1) với (k  )

Đặt t = tanx

2 Khi đó: (*)  a 2t2

1 t + b

2 2

4 Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0

Đặt t = sinx + cosx = 2cos x

Thay vào phương trình ta được phương trình đại số theo t

 Chú ý: a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c = 0

Đặt t = sinx – cosx (với t  2)

5 Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cosx

asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0

 Xét cosx = 0  x =

2



+ k (k  ) có là nghiệm không?

 Xét cosx  0 Chia 2 vế cho cos2x ta thu được phương trình bậc 2 theo tanx

 Chú ý: Nếu là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx, cosx thì ta xét cosx = 0

và xét cosx  0 chia 2 vế của phương trình cho coskx và ta thu được một phương trình bậc k theo tanx

B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Giải phương trình: 1 sin2x cos2x2 2 sinx.sin2x

Trang 3

 sin x 1 sin2x cos2x2    2 2 sin x.cosx2

1 sin2x cos2x 2 2 cosx   (vì sinx  0)

 2cos x 2sinxcosx 2 2 cosx 02   

 cosx 0 cosx sinx    2

2 4 (k  Z) (Thỏa điều kiện sinx  0)

Vậy nghiệm của (1) là x      k x  k2

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Giải phương trình: sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx   

Giải

sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx   

 2sinx.cos2x + sinx.cosx = 2cos2x – 1 + sinx + cosx

 sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – 1

 cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx – 1

 sinx – 1 = 0 hoặc cosx (2cosx + 1) = 1

 sinx = 1 hoặc 2cos2x + cosx – 1 = 0

 sinx = 1 hoặc cosx = –1 hoặc cosx = 1

2  x k2

tanx 3 Điều kiện: tanx   3 và cosx  0

 sin2x 2cosx sinx 1 0     2sinxcosx 2cosx sinx 1 0   

Trang 4

 2cosx sinx 1   sinx 1 0   sinx 1 2cosx 1    0

Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Giải phương trình: cos4x + 12sin2x – 1 = 0

Giải

cos4x + 12sin2x – 1 = 0  2cos22x – 1 + 6(1 – cos2x) – 1 = 0

 cos22x – 3cos2x + 2 = 0  cos2x = 1 hay cos2x = 2 (loại)

Điều kiện: cosx 0 và tanx ≠ – 1

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

(1 sinx cos2x).(sinx cosx)

27

Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0

Giải

Phương trình đã cho tương đương:

(2sinxcosx + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0

 cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos2x – 1) = 0

 cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x = 0

Trang 5

 cos2x (cosx + sinx + 2) = 0

Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

Giải phương trình sin2x cos2x 3sinx cosx 1 0    

Giải

2 2

2sin x cosx 1 2sin x 3sin x cosx 1 0

cosx(2sin x 1) 2sin x 3sin x 2 0

cosx(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0

(2sin x 1)(cosx sin x 2) 0

Giải phương trình 4cos5xcos3x 2(8sinx 1)cosx 5

Giải

2(cos4x cosx) 16sinxcosx 2cosx 5   

 2cos4x 8sin2x 5   2 4sin 2x 8sin2x 5 2  

Trang 6

Giải

Điều kiện: sinx  1 và sinx  1

2

 (*) Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

(1 – 2sinx)cosx = 3 1 2sinx 1 sinx    

cosx 3sinx sin2x  3 cos2x

Giải phương trình: sinx + cosxsin2x + 3 cos3x 2 cos4x sin x   3 

(1 – 2sin2x)sinx + cosxsin2x + 3 cos3x 2cos4x

 sinxcos2x + cosxsin2x + 3 cos3x 2cos4x

 sin3x + 3 cos3x 2cos4x cos 3x cos4x

Giải phương trình: 3 cos5x 2sin3xcos2x sinx 0  

3 cos5xsin5x sinx sinx 0

 3cos5x 1sin5x sinx

Trang 7

Giải phương trình (1 + 2sinx)2cosx = 1 + sinx + cosx

Giải

(1 + 4sinx + 4sin2x)cosx = 1 + sinx + cosx

 cosx + 4sinxcosx + 4sin2xcosx = 1 + sinx + cosx

 1 + sinx = 0 hay 4sinxcosx = 1

 sinx = 1 hay sin2x = 1

Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008

 cosx sinx  2 2 sinx cosx sinxcosx  

 cosx sinx 1    2 sin2x0

4tan x 1

Giải phương trình: sin x3  3 cos x sinxcos x3  2  3sin xcosx2

Giải

sin x3  3 cos x sinx.cos x3  2  3sin x.cosx2 (1)

Trang 8

Cách 1: Phương trình đã cho tương đương:

sinx(cos x sin x)2  2  3 cosx(cos x sin x) 02  2 

 cos x sin x sinx2  2    3 cosx0

kx

Cách 2:  cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1)

 Chia hai vế của phương trình (1) cho cos3x ta được:

Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

Giải

Phương trình đã cho tương đương:

4sinx.cos2x + sin2x – 1 – 2cosx = 0

Giải phương trình: sin3x 3 cos3x 2sin2x

Giải

Phương trình đã cho tương đương:

1sin3x 3cos3x sin2x cos sin3x sin cos3x sin2x

Trang 9

Giải phương trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x

Giải

(sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2

 (sinx + cosx)(1  sinx)(1  cosx) = 0

Giải phương trình: 2sin22x + sin7x – 1 = sinx

Giải

Phương trình đã cho tương đương với:

sin7x  sinx + 2sin22x  1 = 0  cos4x(2sin3x  1) = 0

Giải phương trình: sinx cosx 2 3 cosx 2

1 sinx 3 cosx 2 cos x 1

Bài 20: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI A NĂM 2007

Giải phương trình: 3tan x2 2 1 sinx

Điều kiện: sinx  0

Trang 10

Bài 21: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI B NĂM 2007

Giải phương trình: 1 + sinx + cosx + tanx = 0

Giải

1 + sinx + cosx + sin x 0

cosx (điều kiện: cosx  0) sinx cosx 1 1 0

Bài 22: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ 2 NĂM 2007

Giải phương trình: cos4x – sin4x + cos4x = 0

Giải

Phương trình đã cho tương đương với:

cos2x – sin2x + 2cos22x – 1 = 0

 2cos22x + cos2x – 1 = 0 

cos2x 1

1cos2x

Bài 23: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007

Giải phương trình: 2sin3x + 4cos3x = 3sinx

Giải

2sin3x + 4cos3x – 3sinx(sin2x + cos2x) = 0

 sin3x + 3sinxcos2x – 4cos3x = 0 (1)

Dễ thấy cosx = 0 không phải là nghiệm của (1)

Do đó cosx  0, ta chia hai vế của (1) cho cos3x, ta được:

(1)  tan3x + 3tanx – 4 = 0  (tanx – 1)(tan2x + tanx + 4) = 0

 tanx = 1 (do tan2x + tanx + 4 > 0 với x)

 x k

4



   (k  )

Trang 11

Giải phương trình: 2 cos x sin x 6 6  sinxcosx

 2(cos6x + sin6x) – sinxcosx = 0

Giải phương trình: cot x sinx 1 tanxtanx 4

Điều kiện: sinx  0, cosx  0, (1)

sinx cosx  sinxcosx  2

 x   k hay x5 k

12 12 (k  ), thỏa mãn (1)

Giải phương trình: cos3x + cos2x  cosx  1 = 0

sinx hay sin2x sinx 0

sinx 0 hay 2cosx 1 0   

Trang 12

 x = k hay x 2k2

3 (k  )

Bài 27: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Giải phương trình: cos3x.cox3x – sin3x.sin3x = 2 3 2

Từ đó phương trình đã cho tương đương với phương trình

cos3x 3cosx cos3x sin3x 3sinx sin3x 2 3 2

Bài 28: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006

Giải phương trình: (2sin2x  1)tan22x + 3(2cos2x  1) = 0

Giải

Điều kiện cos2x  0

cos2xtan22x + 3cos2x = 0  cos2x(tan22x – 3) = 0

Bài 29: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006

Giải phương trình: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1

Giải

(sinx + cosx)(1  cosxsinx)  cos2x = 0

 (sinx + cosx)(1  sinx cosx  (cosx  sinx)) = 0

 (sinx + cosx)(1  cosx)(1 + sinx) = 0

Trang 13

Tìm nghiệm trên khoảng (0; ) của phương trình:

 2(1 cosx) 3 cos2x 1 1 cos 2x 3

 2 – 2cosx  3 cos2x = 2 – sin2x

 3cos2x – sin2x = 2cosx

 3cos2x 1sin2x cosx

Điều kiện: cosx  0  sinx  1

Trang 14

Giải

Điều kiện: cosx  0 và sinx  0

cot x 3tan x2 2sin x22

Điều kiện cosx  0  sinx  1

5sinx 2 3 1 sinx   sin x22 3 1 sinx  sin x22



 (5sinx  2) (1 + sinx) = 3sin2x

 5sinx + 5sin2x  2  2sinx = 3sin2x

 2sin2x + 3sinx  2 = 0

1sin x (thỏa mãnđk)

2sinx = 2 (loại)

(2cosx  1) (2sinx + cosx) = 2sinxcosx  sinx

 (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sinx (2cosx  1)

 (2cosx  1) (sinx + cosx) = 0

Trang 15

4tan3x + 4 = 1 + tan2x + 3tanx(1 + tan2x)

 tan3x – tan2x – 3tanx + 3 = 0  (tanx – 1)(tan2x – 3) = 0

 tanx 1haytan x 3 2  tanx 1 haytanx   3

sinx cosx 2 2 cos x cosxsinx

cos x sin x cosx





Trang 16

 cosx sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx  

sinx

 cosx sinx 0hay 1 sinxcosx sin x     2

 tanx = 1 hay1 tan x tanx tan x  2   2

Bài 38:

Giải phương trình: cotx  tanx + 4sin2x = 2

sin2x

Giải

Điều kiện sin2x  0

 2cos2x 4sin2x 2 2cos2x 4sin 2x 22

 2cos22x  cos2x  1 = 0

 cos2x 1 loại 

1cos2x

1 cos x 2 tan x2 1 cosx 0

1 sinxcos x

 1 cosx 0hay1 cosx 1 sinx    

Trang 17

Bài 40: ĐỀ DỰ BỊ 1

Giải phương trình: 3  tanx (tanx + 2sinx) + 6cosx = 0

Giải

Điều kiện: cosx  0

3 sinx sinx 2sinx 6cosx 0

cosx cosx

 3cos2x – sinx(sinx + 2sinx.cosx) + 6cos3x = 0

 3cos2x(1 + 2cosx) – sin2x(1 + 2cosx) = 0

 1 + 2cosx = 0 hay 3cos2x – sin2x = 0

 cos2x 1 hay tan x 32      x  k k  haytanx 3

3(1 + cos4x) – 2cos2x(4cos4x – 1) = 0

 6cos22x – 2cos2x(2cos2x – 1)(2cos2x + 1) = 0

 6cos22x – 2cos2x(cos2x)(2cos2x + 1) = 0

 2cos2x = 0 hay 3cos2x – cos2x(2cos2x + 1) = 0

Trang 18

(2 3)cosx 1 cos x 2cosx 1 3 cosx sinx 0

Điều kiện sin2x  0  cos2x 1

cosx sinx 2cos4x

sinx cosx 2sinx.cosx   cos

2x = sin2x + cos4x

 cos2x – sin2x – (2cos22x – 1) = 0  2cos22x – cos2x – 1 = 0

 cos2x 1 loại haycos2x     1 cos2

1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x

 cos8x + cos6x = cos12x + cos10x

 cos7xcosx = cos11xcosx  cosx = 0 hay cos11x = cos7x

Điều kiện sin2x  0

Trang 19

cos x



Giải

Điều kiện cosx  0

sin4x + cos4x = (2 – sin22x).sin3x

 1 – 2sin2x.cos2x = (2 – sin22x).sin3x

 (2 – sin22x) = 2(2 – sin22x).sin3x

 2 – sin22x =0( loại) hay 1 = 2sin3x

Bài 47: CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I

Giải phương trình: sin x2 sin x2 2 3 sinx

sin x2 sin2 x 3 sinx

Trang 20



sin x 0

1sin x

Bài 48: CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP TP HCM

Giải phương trình: cos3x.tan5x = sin7x

Giải

Điều kiện: cos5x  0

sin5x cos3x = sin7x cos5x

 1sin2x sin8x 1sin2x sin12x

 sin12x = sin8x 

kx

Bài 49: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM

Giải phương trình: 1 1 2 sin x

Điều kiện: cosx  0; sinx  0

2(sinx + cosx) = sin2x(cosx + sinx)

 sinx + cosx = 0 hay 2 = sin2x ( vô nghiệm)

2sinxcosx + 1 – 2sin2x + 3sinx – cosx – 2 = 0

 cosx(2sinx – 1) – (2sin2x  3sinx + 1) = 0

 cosx(2sinx – 1) – (sinx -1)(2sinx  1) = 0

 2sinx – 1 = 0 hay cosx – sinx +1 = 0

Trang 21

Bài 51: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI

Giải phương trình: sin6x + cos6x = 2sin x2

Bài 52: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP HCM

Giải phương trình: sin2xsinx + cos5xcos2x =1 cos8x

2



Giải

1cosx cos3x 1cos7x cos3x 1 cos8x

Bài 53: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN

Giải phương trình: cosx.cos2x.sin3x = 1

4sin2x

Giải

Phương trình đã cho tương đương với: 2cosxcos2xsin3x = sinxcosx

 cosx 0 hay2cos2xsin3x sinx  

Trang 22

Điều kiện 1 + 2sin2x  0 (1)

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:

5(sinx + 2sin2xsinx + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

 5(sinx + cosx  cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

 5(2sin2xcosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

 5cosx(1 + 2sin2x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

 5cosx = cos2x + 3 (Vì 1 + 2sin2x  0)

 5cosx = 2cos2x + 2  cosx = 1

2(thỏa điều kiện (1))

Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:

cos3x  4cos2x + 3cosx  4 = 0

Giải

4cos3x  3cosx  4 (2cos2x 1) + 3cosx 4 = 0

ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Phương trình Asinx + Bcosx = C có nghiệm A2B2C2

 Sử dụng các phương pháp thường gặp như trong đại số

Trang 23

2(1 – 2sin2x.cos2x) + 1 – 2sin22x + 2sin2x – m = 0

  (1) (a là tham số)

a/ Giải phương trình (1) khi a = 1

3

b/ Tìm a để phương trình (1) có nghiệm

Trang 24

Giải

Tập xác định của phương trình (1): D = Do đó:

(1) 2sinx + cosx + 1 = a(sinx – 2cosx + 3)

 (2 – a)sinx + (2a + 1).cosx = 3a – 1

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Sử dụng công thức trong tam giác tương ứng

 Nhận dạng tam giác bằng cách rút gọn hệ thức đã cho hay chứng tỏ hệ thức đó

là điều kiện dấu bằng của bất đẳng thức

Hệ thức trong tam giác cần chú ý

a Định lí hàm số sin: a b c 2R

sinA sinB sinC  

b Định lí hàm số cosin: a2 = b2 + c2 – 2bccosA; b2 = a2 + c2 – 2accosB

2

b c

e Diện tích tam giác:

S = 1

2a.ha = 12absinC = abc4R = pr = (p – a).ra = p(p a)(p b)(p c)  

f Bán kính đường tròn nội tiếp: r = (p – a)tan A

2 = (p – b)tan B2 = (p – c)tan C2

g Bán kính đường tròn bàng tiếp: ra = p.tan A

2

B.ĐỀ THI

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	621,86 KB