Phương pháp giải phương trình lượng giác

trình bày các kiến thức lượng giác cơ bản, quan trong trong noi dung phuonng trinh lượng giác

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ………

TRƯỜNG THPT ………

   CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG GIÁO VIÊN:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

NĂM HỌC 2012 - 2013

GIÁO VIÊN: HOÀNG THỊ BIÊN

TỔ BỘ MÔN: TOÁN - TIN

MỤC LỤC

1 Tính cấp thiết của đề tài……… ……….3 

2 Tình hình nghiên cứu……… 3 

3 Mục đích nghiên cứu……….3 

4 Nhiệm vụ nghiên cứu……… …….4 

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……… ………….4 

6 Phương pháp nghiên cứu……… ………….4 

PHẦN II. PHẦN NỘI DUNG  I Công thức……… ………….5 

II Phương trình lượng giác……….7 

II.1. Phương trình lượng giác cơ bản: ………7 

II.2. Một số phương trình lượng giác thường gặp: ……… ….8 

III Các phương pháp giải phương trình lượng giác. ………13 

III.1. Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản……….…13 

III.2.Phương pháp đặt ẩn phụ ……… ……….…14 

III.3.Phương pháp phân tích thành tích……… ….…….…16 

III.4.  Phương  pháp  tìm  nghiệm  của  phương  trình  lượng  giác  chứa  điều  kiện. ……….………….…17 

IV Bài tập rèn luyện: ……….…18 

V Đề thị đại học phần Phương trình lượng giác qua các năm……….19 

PHẦN III.  KẾT THÚC VẤN ĐỀ ……….……….….…21 

PHẦN IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO……….……… 21 

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG GIÁO VIỆN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong    quá trình dạy  học,  phương  pháp dạy  của thầy,  việc  tiếp thu  kiến  thức của học trò là vấn đề chúng ta đặc biệt quan tâm. Chuyên đề này tôi đặc biệt dành tặng các em học sinh có lực học trung bình nhưng lại có khát vọng vươn lên trong cuộc sống, quyết tâm thay đổi số phận của mình trên con đường học tập, bước chân vào ngưỡng của Đại học.  

Trong  nhiều  năm  gần đây,  phương trình lượng  giác luôn  cố  định  trong  đề thi Đại học, Cao đẳng. Chuyên đề này sẽ giúp các em rèn luyện  kĩ năng  giải phương trình lượng giác trong các bài thi. 

2 Tình hình nghiên cứu

Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện vọng  tha  thiết  của  đội  ngũ  giáo  viên.  Trong  quá  trình  thực  tiễn  giảng  dạy,  bồi dưỡng  chuyên  môn  tôi  đã sưu tầm  tài liệu, soạn  giảng và rút ra  kinh  nghiệm  qua các giờ dạy. Hệ thống lại kiến thức và phương pháp, có ví dụ minh họa và bài tập rèn luyện. 

3 Mục đích nghiên cứu

Thực  hiện  đề  tài  này  tôi  muốn lấy  đây  làm  phần tài  liệu phục  vụ  trực tiếp  cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp. Trong đề tài này tôi đề cập đến một số phương pháp giải phương trình lượng giác, qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán.Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn. 

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tham khảo, tìm hiểu tài liệu, nghiên cứu một phương pháp giải phương trình lượng giác, hệ thống kiến thức,phân loại theo dạng và phương pháp, đưa ra các ví 

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các phương pháp, kĩ năng giải phương trình lượng giác. 

Áp dụng cho học sinh khối 11, 12. Đặc biệt là học sinh lớp 12 tham gia thi đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp. 

6 Phương pháp nghiên cứu

  Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thực nghiệm. 

PHẦN II PHẦN NỘI DUNG

I CÔNG THỨC

  Để giải được phương trình lượng giác trước hết học sinh cần nắm vưỡng các công thức lượng giác. Hệ thống lại công thức lượng giác giúp học sinh củng cố kiến thức,vận dụng linh hoạt trong các phép biến đổi lượng giác, biến các biểu thức phức tạp về đơn giản, những phương trình lạ về dạng phương trình cơ bản và thường gặp.   

Với  một  số  công  thức  khó  thuộc,  giáo  viên  có  thể  nhấn  mạnh  lại  cách  nhớ 

bằng các thuật ngữ,chẳng hạn “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan và cot” khi 

ôn lại “Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt”  

I 1 Công thức lượng giác cơ bản

I 2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

       a Cung đối:  à   

      cos cos ;  tan   tan ;  sin   sin ;  cot   cot  

b Cung bù:  à      

      sin    sin ;  tan     tan ;  cos    cos ;  cot     cot  

       sin     sin ;  tan    tan ;  cos    cos ;  cot    cot  

Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan và cot

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

os cos cos sin sin

os cos cos sin sin

1 tan tan tan tan tan

sin 2 2sin cos

os2 os sin 2 cos 1 1 2 sin

2 tan tan 2

1 tan

a a

I 8 Công thức biến đổi tổng thành tích       

3

3 2

2 2

1

1 2

a 180





  

I 11 Đường tròn lượng giác: 

    Giáo  viên  cần  giúp  học  sinh  hiểu 

được  đường  tròn  lượng  giác,  cách  ghi 

nhớ  và  tra  bảng  giá  trị  lượng  giác  đặc 

biệt  bằng  đường  tròn  lượng  giác  ngoài 

ra  đường  tròn  lượng  giác  còn  là  công 

cụ  hứu  ích  cho  việc  đối  chiếu.  nghiệm 

thỏa  mãn  điều  kiện  trong  việc  giải 

4 5

6

7

6 5

4 3





- 3

3

cosin cotang

11

6

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Một phương trình lượng giác dù đơn giản hay phức tạp, để tìm được nghiệm bao  giờ  cũng  được  biến  đổi  đưa  được  về  dạng  phương  trình  cơ  bản  hoặc  phương trình  thường.  Do  vậy  học  sinh  cũng  cần  nắm  vững  các  dạng  phương  trình  lượng giác cơ bản và công thức nghiệm của nó cũng như các phương pháp giải các dạng phương trình lượng giác thường gặp. 

II 1 Phương trình lượng giác cơ bản:

II.1.1 Phương trình sin xa

II.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp:

II.2.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

3cot 3x 2 3 cot 3x  3 0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x. 

II.2.3 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :  

*Định nghĩa:  Phương  trình  bậc  nhất  đối  với  sin  x  và  cos  x    là  phương  trình  có 

dạng asinx b cosxc trong đó a b c  ¡, ,  và  2 2

0

a b    

*Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho  a b  ta được: 

Cách 2: Cách này ta xét hai trường hợp 

Trường hợp 1:   có là nghiệm của phương trình không? 

Trường hợp 2:   Chia hai vế của phương trình cho  , khi đó phương trình trở thành:  

   Phương trình trên là phương trình bậc hai theo  , ta có thể giải được

sin cos

sin 2 1

Ví dụ  Giải phương trình sinx cosxsin 2x 12 (cosx sinx)  12 cos 2x 0      (1) 

 sinx cosxsin 2x 12 (sinx cosx)  12 0 

      (2)  t t x x

t

t t

13

1 0

13 12

2 sin

x x

sin 2 1

2

x x x

x x

x x

2

2 0

4 8

k x

9

5 arcsin 2

9

5 arcsin 2 1 9

5

III.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Từ  các  dạng  phương  trình  lượng  giác  cơ  bản  và  phương  trình  lượng  giác thường giặp, giáo viên có thể hệ thống theo phương pháp giải phương trình lượng giác  giúp  học  sinh  bao  quát,  phân  dạng,  định  hướng  giải  quyết  trước  khi  làm  bài theo sơ đồ sau đây. 

Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác trong ôn thi đại học. 

PTLG cho trước

Áp dụng a.sinx+b.cosx

PTLG còn một cung  PTLG còn hai cung 

PT cơ bản sinf(x)=sing(x) hoặc cosf(x)=cosg(x)

a.sinx+b.cosx với:

a b    

III.1 Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản

Đây  là  phương  pháp  cơ  bản  nhất  trong  việc  giải  phương  trình  lượng  giác. Trong  phương  pháp  này,  chúng  ta  biến  đổi  phương  trình  đã  cho  thành  trở  thành 

III.2.1. Phương trình đưa về phương trình với một hàm lượng giác

Đối  với  dạng  này,  ta  thường  biến  đổi  phương  trình  về  chỉ  còn  một  hàm  số lượng giác, sử dụng công thức hạ bậc (tăng cung),   

  Lời giải

11

Điều kiện   

Ta có  

Khi  giải  các  phương  trình  lượng  giác  có  chứa  điều  kiện,  sau  khi  tìm  được  họ nghiệm của phương trình, học sinh thường không biết đối chiếu với điều kiện ban đầu, dẫn đến kết luận họ nghiệm  không chính xác. Bài này tôi  giới thiệu phương pháp đối chiếu điều kiện để kết luận nghiệm của phương trình lượng giác có chứa điều kiện thông qua các ví dụ cụ thể. 

Ví dụ 7 Giải phương trình:  sin sin 2 sin 3 3

cos cos 2 cos 3

k x

x

* tan cot 2 cot 1

cos

3 2

2 4

IV Bài tập rèn luyện:

Giải các phương trình sau:

13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3       14/ 2sin3x- 1

sin x=2cos3x+ 1

cos x      15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0            16/cos2x-2cos3x+sinx=0     



             20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 1

sin 2x       21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0            22/ 1+tanx=sinx+cosx      

1)  cos 3 cos 2x x cos 2x 0 (Khối A - 2005)

2) 1    sinx cosx sin 2x c os2x 0 (Khối B - 2005)

11)sin 3x 3 cos 3x sinxcos 2x 3 sin 2xc xos (Khối B – 2008)

12)2 sinx1 cos2x sin 2x  1 2 cosx (Khối D – 2008)

14)sinx cos sin 2x x 3 cos 3x 2 cos 4 x sin 3x (Khối B – 2009)

15) 3 cos 5x 2 sin 3 cos 2x x sinx 0 (Khối D – 2009)

16)

1 sin os2 sin

1 4

cos

x x

17) sin 2x cos 2xcosx 2 cos 2x sinx 0 (Khối B – 2010)

18) sin 2x c os2x 3sinx cosx  1 0 (Khối D – 2010)

19)1 sin 2 2 os2 2 sin sin 2

20) sin 2 cosx x sin cosx xcos2x sinx cosx (Khối B - 2011)

21)sin 2 2 cos sin 1 0

PHẦN III KẾT THÚC VẤN ĐỀ

I. Ý nghĩa của đề tài

Mục đích quan trọng nhất của đề tài này là tôi muốn  lấy đây làm  một cuấn tài liệu phục vụ trong quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời cũng là cuấn tài liệu để các đồng nghiệp tham khảo trong giảng dạy. 

Giúp học sinh định hướng giải quyết bài toán thông qua sơ đồ phương pháp, đồng  thời  qua  các  phương  pháp  giải  phương  trình  lượng  giác.  Nhằm  phát  triển  tư duy linh hoạt cho học sinh. Từ đó mang lại sự say mê và hứng thú trong học Toán

II Kết quả nghiên cứu

Đề  tài  này  tôi  bắt  đầu  thực  hiện  từ  năm  học  2012  –  2013  trực  tiếp  trên  lớp 11A2,11A5,11A6  đến  hết  học  kì I.  Kết  quả  đa  số học sinh  nắm  được các  phương pháp giải phương trình lượng giác,định hướng được cách giải. Góp phần nâng cao kết quả học tập bộ môn Toán nói riêng, kết quả học tập của các em trong nhà trường nói chung.  

Kết quả thi học kì I, của 3 lớp trên với 109 em, đa số các em đều làm được phần phương trình lượng giác. Cụ thể như sau: 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đại số và giải tích 11 ban cơ bản, NXBGD, 2010. 

Trần  Văn  Hạo(  Tổng  chủ  biên)-Vũ  Tuấn(chủ  biên)-  Đào  Ngọc  Nam-  Lê  Văn Tiến-Vũ Viết Yên,  

2 Phương pháp giải toán Đại số và giải tích 11 theo chủ đề. NXBGD, 2010. 

 Phan Doãn Thoại,Nguyễn Xuân, Bình, Trần Hữu Nam. 

3 Phương pháp giải Toán Lượng Giác NXB Hà Nội 2008 

 Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc – Lê Hữu Trí 

Nhận xét đánh giá của tổ chuyên môn:

……… ……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… ……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… ……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… ……… 

……… 

……… 

Nhận xét đánh giá của nhà trường:

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… ……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… ……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… 

……… ……… 

……… 

………