Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Phương pháp: Ta thường dùng các biến đổi cơ bản sau

sin cos 2 sin 2 cos

sin 3 cos 2 sin 2 cos

3 sin cos 2 sin 2 cos

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

sin 3 cos x x  3 s inx os3  c x2 3 s inx  1

Giải

1 sin 3 cos x x c  os3 sin x x  3 1 2sin  x 0 sin 2 x  3 os2 c x0

k



Vậy nghiệm của phương trình là :

6 2

k

   , k  

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

4 4

4 sin os 3 sin 2 4

Giải

Phương trình  2 4 1 2 sin 2 os 2 3 sin 2 4 4 1 1sin 2 3 sin 2 4

3 1



7

6 2

6 6

x k

























Vậy nghiệm của phương trình là : 2

3

x k















, k  

Ví dụ 3: Giải phương trình sau

2 2



Giải

Phương trình  3 1 os 4

2

3 os4 c x 4 cos x  1 sin 4 x  3 os4 c x 4 cos x2

sin 4 os4 os2 os 4 os2

6















   



12

36 3

k x









 

  



Vậy nghiệm của phương trình là : 12 ,

36 3

k k x













  





Ví dụ 4: Giải phương trình sau

2

2 3 os 2 sin 3 cos sin 4 3

1

3 s inx cos

x



Giải

Điều kiện: 3 s inx cos 0 sin 0

6

Khi đó phương trình  4  2 3 os c x 2sin 3 cos x x sin 4 x  3  3 s inx cos x

3 2 cos x 1 sin 4 x sin 2 x sin 4 x  3 s inx cos x

3 os2 sin 2 3 s inx cos sin 2 sin





   



    



2 6

2

6 3

k x







  



 

  



, k   , kết hợp điều kiện ta có 2

k

  với k  1 3n, n  

Vậy nghiệm của phương trình là : 2

k

  với k  1 3n, n  , k  

Bài tập: Giải các phương trình sau

1 sin 3 sin 5 x x  3 sin 2 x  1 c os3 cos 5x x

Đáp số: x k ;

3



   , k  

2 2 2 cos (s inx cos ) x  x c os2 x3

Đáp số: Phương trình vô nghiệm

3 3 cos 5 x 2sin 3 cos 2 x x sin x0

4 2sin15 3 os5 os 3 5

2

1 2sin cos

3

1 2sin 1 sin





Đáp số: 2

k

   , k  

HD: sin 3 x  3 os3 c x2 Đáp số: 2

k

  , k  

7 2 3 sin( ) os( ) 2 cos ( 2 ) 3 4 sin 2 os( ) sin( )

HD: os 2 7 3

12 2

c  x  

5 24



8



  , k  

8 2 os( ) 6 sin( ) 2 sin( 2 ) 2 sin( 3 )

4



12



3



   , k  

Dạng 2: Đưa về phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác

Phương pháp: Dùng các phép biến đổi cơ bản đưa phương trình dạng phức tạp về phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

cos 2sin 3 2  2 cos 2 1

1

1 sin 2

x



Giải

Điều kiện: sin 2 x   1

cos 2 sin x x 3 2 2 cos x 1 sin 2 x 1

      2cos 2x 3 2 cos x 2 0

cos 2

2 cos

2

x

x



 





2



4



   , k  

Vậy nghiệm của phương trình là: 2

4



  , k  

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

2 c os2 x  3 sin 2 x 3 s inx   3 cosx  1

Giải

Phương trình  1 2 2 1 os2 3 sin 2 6 1 sin 3 os

2

6

cos

6 2

x

x











Với : cos 0

6

x

2

Với : cos 3

   vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là: 2

3



  , k  

Ví dụ 3: Giải phương trình sau

tan 5sin 2 1



Giải

Điều kiện: os 0

4

c  x

  Khi đó phương trình  3

2

2

1 tan 6 tan 1

1 tan 1 tan

1 tan  x 1 tan  x  1 tan  x 1 6 tan x  2 

tanx 7 tan x 5 tan x 2 0 tan x 0

x k

  , k   (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: x k , k  

Bài tập: Giải các phương trình sau

1 3 sin 2  x s inx c os2 x cos x2

    Đáp số: x  k2 ,

6



3



  , k  

2 2 2sin  1  4 s inx 1   os 2 sin 2

HD: Đưa phương trình về dạng: 2  

sin x  2 1 s inx   2 0 Đáp số: 2

2



  , k  

3 sin 2 17 16 3 sin 2 20 sin2

x

HD:Đưa phương trình về dạng: 2 cos 2 5 cos 2 0





5

2 6



   , k  

4 c os2 x  3 sin 2 x  3 s inx cos  x4 0

HD:Đưa phương trình về dạng: sin 2 sin 3 0





k  

2 sin os sin x cos

0

2 2 sin

x





HD:Đưa phương trình về dạng: 3sin 2 2 x sin 2 x 4 0 Đáp số: 5 2

4



  , k  

5sin x  2 3 1 s inx tan x

HD:Đưa phương trình về dạng: 2sin 2 x 3sin x 2 0 Đáp số: 2

6



5

2 6



  , k  

7 cos cos  2 sin  3sin s inx  2

1 sin 2 1

x





HD:Đưa phương trình về dạng: 2sin 2x 3 2 sin x   Đáp số: 2 0 2

4



   , k  

HD:Đưa phương trình về dạng: 2 os c 2x c x os  1 0 Đáp số: 2

3



   , x k2

k  

Dạng 3: Đưa về phương trình tích

Phương pháp: Đưa phương trình về dạng tích điều quan trong nhất là làm sao phát hiện được nhân tử chung một cách nhanh nhất Ngoài phương pháp sử dụng công thức biến đổi lượng giác: biến tích thành tổng, tổng thành tích, công thức hạ bậc Ta thường dùng các biến đổi cơ bản sau đây:

2

sin a  1 cos  a 1 cos a ; 2   

os 1 s ina 1 s ina

1 sin 2  a  sin a cosa ; 1 sin 2  a sin a cosa2

os2 cos sin cos sin

; 1 c os2 a sin 2 a 2 cos sin a  a cosa

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

1 s inx  c os3 x cos x sin 2 x c  os2x 1

Giải

Phương trình  1 1 c os2 x   c os3 x cos x s inx sin 2  x0

2

2 sin x 2 sin 2 sin x x s inx 2sin cos x x 0

     s inx 2sin  x 2 sin 2 x  1 2 cos x0

   

s inx 2sin 1 2 cos  x x 1 2 cos x  0

      s inx 1 2 cos   x 2 sin x1 0

s inx 0

1 cos

2 1

s

inx=-2

x















2 3

2 6

7

2 6

x k





















   







  











, k   Vậy nghiệm của phương trình là:

2 3

2 6 7 2 6

x k





















   





  











, k  

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

os2 3sin 2 5 2 sin 9 3

4

Giải

Phương trình  2 c os2 x 3 1 sin 2   x 5 sin  x cos x0

s inx cos x cos x s inx  3 s inx cos  x 2 5 s inx cos  x 0

s inx cos 4 sin 2 cos 5  0 s inx cos 0

4sin 2 cos 5 0

x





s inx cos  x0 ,

4



       k   Vì 4 2 2 2 52nên 4sin x 2 cos x 5 0 vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là:

4



   , k  

Ví dụ 3: Giải phương trình sau

c os2 x 3sin 2 x 6 cos x 9 sin x 8 0  3

Giải

Phương trình  3 2

1 2 sin x 6 sin cos x x 6 cos x 9 sin x 8 0

      

2sin x 9 sin x 7 6 cos 1 s inx x 0 1 s inx 2 sin x 7 6 cos 1 s inx x 0

1 s inx 6 cos   x 2 sin x7 0 1 s inx 0 s inx 1 2

6 cos x 2 sin x 7 0 x 2 k









, k  

vì 6 2 2 2 72 nên 6 cos x 2sin x 7 0 vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là: 2

2



  , k  

Bài tập: Giải các phương trình sau

1 2sin 1 x  c os2 x sin 2 x 2 cos x1

HD: Đưa phương trình về dạng:2 cos x 1 2 sin cos  x x1 0 Đáp số: 2

2 3

x    k  ,

4



  , k  

x c



HD: Đưa phương trình về dạng: cos x 1 sin  x cos x0 Đáp số: x  k2 ,

4



   , k  

HD: Đưa phương trình về dạng: sin 2 cos 1  0

4

Đáp số:

4

x  k  ,

2 3



   , k  

4 sin 3 x c  os 3x sin 2 x s inx cos x

HD: Đưa phương trình về dạng:sin x cos x 2 s inx cos   x0 Đáp số:

2

k

x  k  

5 c os 3 x c  os 2x 2 sin x 2 0

HD: Đưa phương trình về dạng: 1 s inx s inx cos    x sin x cos x1 0 Đáp số:

2

2



  , k  

s inx 3 sin s inx 3 sin 1 0

HD: Đưa phương trình về dạng:1 s inx s inx 2    2 0 Đáp số: 2

2



  , k  

7 2 cos 3x c  os2 x sin x0

HD: Đưa phương trình về dạng: 1 s inx s inx 2 s inx cos      x2 0 Đáp số:

2

2



4



   , k  

8 c os 4 x c  os2 x 2 sin 6x0

HD: Đưa phương trình về dạng: 4  2 

sin x 2sin x 1 0 Đáp số: x k , k  

1 sin s inx os sin 2 cos

HD: Đưa phương trình về dạng:s inx sin 1 2sin 2 2sin 1

10 2sin 2 x c  os2 x 7 sin x 2 cos x4

HD: Đưa phương trình về dạng:2 sin x 1 2 cos  xs inx 3  0.Đáp số: 5 2

6



2 ,

6



Dạng 4: Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp: Đặt ẩn phụ là phương pháp thường dùng trong giải phương trình lượng giác Trong chuyên đề này ta xét hai loại đó là đặt ẩn phụ chuyển phương trình về dạng đại

số và đặt ẩn phụ để chuyển phương trình lượng giác thành phương trình lượng giác ẩn mới

đơn giản hơn Trong phương pháp này ta cần chú ý đến điều kiện của ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

11

3 3 3

1 sin os sin 2

2

Giải

1 (sin os ) 3sin cos s inx cos sin 2

2

Đặt t s inx cos x , với t  2 

2 1 sin x cos

2

t

x  , thay vào phương trình ta có

2

2 2

t

 t  1

2

2

4 4

5

4

2 2

4 4















 



, k  

Vậy nghiệm của phương trình là:

2 2 2













, k  

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

8 os ( 3 ) os3

3

c x  c x  2

Giải



           , khi đó phương trình  2

8 cos t c os3 t 8 cos t 3cos t 4 os c t 12 cos t 3cos t 0 3cos 4 cos t t 1 0

2

6

2 2

2

3

3

x k

































, k  

Vậy nghiệm của phương trình là:

6



3



   , x k , k  

12

Ví dụ 3: Giải phương trình sau

tan x tan 2 x tan 3 x cot x cot 2 x cot 3x6 3

Giải

Điều kiện sin x cos x 0 sin 2 x 0

Khi đó phương trình  3 (tan 3 x cot ) (tan 3 x  2 x cot ) (tan 2x  x cot ) 6x 

tanx+cotx 3 3 tan cot x x tanx+cotx  tanx+cotx 2 2 tan cot x x (tan x cot ) 6x

tan x cot x 3 tan x cot x 2 2 tan  x cot x 8 0

        Đặt t tanx+cotx  t 2 Khi đó

t t  t    t  t  t    t  x  x   x (Thỏa

mãn)

4



   , k  

Vậy nghiệm của phương trình là:

4



  , k  

Bài tập: Giải các phương trình sau

1 sin 3 x c  os 3x c  os2x

HD: Đưa phương trình về dạng sin x cos x s inx cos  x sin x cos x1 0 ,Đặt

sin cos

t  x  x Đáp số:

4

x   k  , x 2k , 3 2

2



  , k  

2 tanx+2sin2x=3

HD: Đặt tan sin 2 2 2 3 3 2 5 3 0

1

t

t





  , k  

3 c os 3 x c  os 2x 2 sin x 2 0

HD: Đưa phương trình về dạng 1 s inx s inx+ cos   x sin x cos x1 0 ,Đặt

sin cos

2

x  k  , x 2k , k  

4 sin 3 sin 2 sin

13

4

4

x  k  ,

4

x   k  , k  

3cot x 2 2 sin x  2 3 2 cos x

HD: Chia 2 vế phương trình cho 2

2

cos

3 2 3 2 2 2 0 sin

x

x

4



3



   , k  

10 2

x

2 5

x   k  , 14 2

5



5



k  

7 2 s inx cos   xtanx+cotx

HD: Đưa phương trình về dạng: 2 s inx cos  2

sin 2

x

x

4

x  k  , k  

8 3 tan 2 x 4 tan x 4 cot x cot 2x2 0

HD: Đưa phương trình về dạng:tanx+cotx 24 tanx+cotx   4 0 Đáp số:

4

x   k  ,

k  

Dạng 5: Tuyển tập các bài phương trình lượng giác trong các đề thi ĐH từ năm 2002 đến nay

Dưới đây là các câu phương trình lượng giác trong đề thi ĐH (kèm đáp số) các khối A, B, D từ năm 2002 đến nay

Giải các phương trình sau

1 (TSĐH khối A_2002) s inx os3 sin 3 os2 3

1 2 sin 2

x





Đáp số:

3

3

2 (TSĐH khối B_2002) sin 3 2 x c  os 4 2 x sin 5 2 x c  os 62 x

14

Đáp số: x k ,

9

k

 , k  

3 (TSĐH khối D_2002) c os3 x 4 cos 2 x 3cos x 4 0 với x 0;14

Đáp số:

2

2

2

2

4 (TSĐH khối A_2003) cot 1 os2 sin 2 1sin 2



Đáp số:

4



  , k  

5 (TSĐH khối B_2003) cot t anx 4 sin 2 2

sin 2

x

Đáp số:

3



   , k  

6 (TSĐH khối D_2003) sin 2 tan 2 os 2 0

x c



Đáp số: x  k2 ,

4



   , k 

5sin x  2 3 1 s inx tan x

6



6



8 (TSĐH khối D_2004) 2 cos x 1 2 sin  x cos x sin 2 xs inx

Đáp số:

4



3



9 (TSĐH khối A_2005) c os 3 cos 2 2 x x c  os 2x0

Đáp số:

2

k

 , k  

10 (TSĐH khối B_2005) 1 s inx cos   x sin 2 x c  os2 x0

Đáp số:

4



3



Đáp số:

4



  , k  

12 (TSĐH khối A_2006)  6 6 

2 sin os sin x cos

0

2 2 sin

x





4



  , k  

15

13 (TSĐH khối B_2006) cot s inx 1 tan x tan 4

2

x

Đáp số:

12



12



14 (TSĐH khối D_2006) c os3 x c  os2 x cos x 1 0

Đáp số: x k , 2 2

3



   , k  

1 sin  x cos x  1 c os x s inx 1 sin 2  x

Đáp số: x k 2 ,

4



2



16 (TSĐH khối B_2007) 2sin 2 2 x sin 7 x 1 s inx

Đáp số:

8 4

k

k

k

17 (TSĐH khối D_2007)

2

2



6



   , k  

3

sin

2

x

x

x







Đáp số:

4



8



8



sin x  3 cos x sin cos x x  3 sin x cosx Đáp số: 2

3



4 2

k

  , k  

20 (TSĐH khối D_2008) 2sin 1 cos 2 x   x sin 2 x  1 2 cosx

3



4



  , k  

1 2sin cos

3

1 2sin 1 sin





k

   , k  

sin x cos sin 2 x x  3 cos 3 x 2 cos 4 x sin x

6



k

  , k  

23 (TSĐH khối D_2009) 3 cos 5 x 2sin 3 cos 2 x x sin x0

16

Đáp số:

18 3

k

6 2

k

   , k  

24 (TSĐH khối A_2010)

1 sin cos 2 sin 

1 4

cos

x x





6



6



  , k  

25 (TSĐH khối B_2010) sin 2 x cos 2 cos x  x 2 cos 2 x sin x0

Đáp số:

4 2

k

  , k  

26 (TSĐH khối D_2010) sin 2 cos 2 3sin x  x  x cos x 1 0

6



6



  , k  

1 sin 2 os2

2 sin x sin 2

1 cot

x x





2



4



  , k  

28 (TSĐH khối B_2011) sin 2 cos x x sin x cos x c  os2 x s inx cos x

3



3

k

 , k  

29 (TSĐH khối D_2011) sin 2 2 cos s inx 1 0

t anx 3





3



  , k  

30 (TSĐH khối A,A1_2012) 3 sin 2 x c  os2 x 2 cos x1

Đáp số: x k 2 ,

2



3



  , k  

31 (TSĐH khối B_2012) 2 cos  x  3 s inx cos  x cos x 3 s inx 1

3



3

k

 , k  

32 (TSĐH khối D_2012) sin 3 x c  os3 x s inx cos  x  2 os2c x

12



12



4 2

k

  , k  