Một số dạng bài và phương pháp giải trong chủ đề phương trình lượng giác một ẩn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN ⋯⋞⋯⋟⋯ RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3 Đề tài: MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỘT ẨN Giảng vi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN

⋯⋞⋯⋟⋯

RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM

THƯỜNG XUYÊN 3

Đề tài: MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG CHỦ ĐỀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỘT ẨN

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc

Sinh viên thực hiện: Lê Lam Anh

Lớp: Toán 3B

Huế, tháng 11 năm 2013

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 3

MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 4

I Phương trình cơ bản: 4

II Phương trình dạng a sinx b cosxc (1) với a b c, , R 7

III Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: 10

IV Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx: 15

V Phương trình bậc cao: 18

VI Phương trình chứa căn: 20

VII Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: 23

VIII Phương trình lượng giác không mẫu mực: 26

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

LỜI MỞ ĐẦU

Phương trình lượng giác là một chủ đề thường gặp trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng Tuy không phải là một chủ đề quá khó đối với học sinh, phương trình lượng giác là một trong những chủ đề có khối lượng lớn, nhiều dạng bài, gây khó khăn cho học sinh trong việc ôn tập một cách đầy đủ và có hệ thống Đề tài này trình bày một số dạng bài phương trình lượng giác thường gặp

và phương pháp giải cơ bản Qua đó, giáo viên có thể giúp học sinh ôn tập một cách có hệ thống phần phương trình lượng giác để chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng

Để giải một phương trình lượng giác, ta biến đổi phương trình cần giải về một hay một tập hợp các phương trình cơ bản Trước hết ta cần nhận dạng được phương trình:

1) Nếu phương trình ở dạng chuẩn mực (cơ bản, bậc 1,2 đối với một hám lượng giác, cổ điển, đối xứng, đẳng cấp …), ta chọn cách giải tương ứng với mỗi phương trình đó

2) Nếu phương trình không ở dạng chuẩn mực, ta dùng các phép biến đổi lượng giác đưa về phương trình tương đương dễ giải hơn

Sau đây là một số dạng bài và phương pháp giải cơ bản

MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I Phương trình cơ bản:

 Giả sử u,v là những biểu thức theo Ta có:

2sin sin

, cot u cot v u v k ( , k k )

d) a cot u b   0 ( a  0) cot

b u

1 cos 2 sin cos 1 cos 1 cos

1 cos 2 sin cos 1 cos 0

5

26

2

265

26

x x x

1 tan 2  x   1 tan 2 tan 3 x x  0 (mâu thuẫn)

Vậy ta có: tan 2 tan 3 x x   1 0 , suy ra:

 

 

tan 2 tan 3tan 5

1 tan 2 tan 3tan 5 tan

5

6

,6

k

II Phương trình dạng a sin x b  cos x  c (1) với a b c, , R

1 Điều kiện có nghiệm: a2 b2 c2 (2)

23

Đây là bài toán dạng asinx b cosxc với a0,b0,c0 Tuy nhiên

ta nhận thấy nếu dùng cách1 ta sẽ được một biểu thức khá phức tạp, do đó ta dùng cách2

 

1cos

III Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

1 Phương pháp chung:

Có nhiều dạng bài có thể áp dụng phương pháp này, sau đây là một số dạng bài và cách đặt ẩn phụ:

 Phương trình chứa cosxsinx (hay cosxsinx ) và sin cosx x :

 Phương trình chứa cosxsinx (hay cosxsinx ) và sin cosx x :

Đặt t cosxsin ,x t  2 (hay t  cosxsinx, 0 t 2 ), khi đó

21sin cos

2

t

x x 

, ta chuyển về giải phương trình theo biến t  R

 Phương trình chứa cos x  sin x (hay cosxsinx ) vàsin cos x x : Đặt t  cos x  sin , x t  2 (hay t  cosxsinx , 0 t 2 ), khi đó

2

1sin cos

2

t

x x  

, ta chuyển về giải phương trình theo biến tR

 Phương trình một ẩn đối với một hàm lượng giác duy nhất:

Đặt t bằng hàm lượng giác đó, tìm tập giá trị của t, chuyển bài toán về giải phương trình theo biến t với tập xác định chính là tập giá trị của t

 Phương trình chứa sin , cos , tanx x x :

Chú ý: với dạng bài này,trước hết ta cần kiểm tra x  k2 , k có phải

là nghiệm không, đưa ra kết luận cho trường hợp này, sau đó mới tiến hành đặt

Chú ý: với dạng bài này ta cần tìm điều kiện xác định của phương trình, đó là

t t

t

t

t t

4 cos 3cos 2 cos 1 cos 1 0

4 cos 2 cos 4 cos 2 0

2 cos cos 2 cos 1 0

   2 

1

1 2 1

01

01

t t

     (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm ,

Điều kiện xác định: cos 0

x x

2cos sin

sin cos 2 sin cos

sin 2 1

2

,4

2 2

1

tansin cos

3cos sin

2sin 2

IV Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx:

1 Dạng: asin2 x b sin cosx x c cos2 xd (1)

2 Phương pháp chung:

 Cách 1: Đưa về phương trình bậc 2 theo tan x :

 Kiểm tra xem ,

2

1 cos 2cos

21sin cos sin 2

2

x x

x x

không là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho tương đương với:

k k

x  k k

V Phương trình bậc cao:

1 Phương pháp chung:

Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Tùy vào từng bài toán mà ta đưa ra những cách làm khác nhau Nhưng nhìn chung,với các bài toán loại này, ta thường dùng các công thức lượng giác để hạ bậc, đưa bài toán

về giải quyết các bài toán đơn giản hơn Ta thường sử dụng các công thức sau:

2 1 3sin cos sin cos 0

VI Phương trình chứa căn:

2 3sin 2 sin 1 0

1 sin

2 sin 1

1 sin

Ví dụ 2: giải phương trình: cos 2x 1 sin 2 x 2 sinxcosx

Giải:

Điều kiện xác định: sin cos 0 sin cos 0

cos 2 2 cos

cos 2 4 4 cos cos

2 cos 1 4 4 cos cos

   (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm: 3

41

cos

2

2 ,3

VII Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

cos cos 3 2 sin 2 1 cos 2 2 sin

2 sin 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 sin

sin 2 sin 1 sin sin 1

sin 2 sin 1 sin sin 1 0

sin 1 sin 2 sin 0

sin 2 sin

2sin 2 sin

2sin 0

3sin

2

2 ( , , )3

2

23

2 2

2

cot 0

(1)1cot tan

sincot 0

(2)1cot tan

sincot 0

x x

2cot 0

1cos

2cot 0

2

23cot 0

 (loại do điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 2 2 ,

3

VIII Phương trình lượng giác không mẫu mực:

Trong rất nhiều trường hợp, ta không thể đưa phương trình cần giải về các dạng

đã nói ở trên, đó chính là những bài toán không chuẩn mực Sau đây là một số dạng bài toán như vậy

cos 2 1 2 sin 3 4 3sin 4 sin 4 0

cos 2 2 sin 3 4 sin 3 3 0

1 cos 2 2 sin 3 2 sin 3 1 0

k l l

Điều kiện xác định: cos x  0

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:

21tan

3

26

( , )6

     (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 2 ,

cos 3 2 cos 3 2 2 1 sin 2

cos 3 2 cos 3 2 1 sin 2

5

cos 1

4sin 1

24

22

24

22

x x

Hệ trên vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

11

( )sin 2 1

22( )

x

II x

22( )

2

22

( , )4

Hệ trên vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

x x x

sin 3 cos 2 sin 2 cos 3 1

0sin 2 sin 3 sin sin 2 sin 3

0sin 2 sin 3 sin sin 2 sin 3

sin 1

( )sin 5 1

x

I x

x

II x

22( )

2

22

( , )2

2

22

( , )2

Hệ trên vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

0 cos 11

1 0

0 cos 3 1cos

1

1 0cos 3

x x

x x x

cos cos cos 3 cos 3 1

cos 1 cos cos 3 1 cos 3 1( )

cos 3 1 cos 3 1cos 3 1 cos 3

2( )

1cos 3 1 cos 3

2cos 1 cos

cos 3 1 cos 3

1cos

21cos 3

21cos

Hệ trên vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 2: giải phương trình: sinx 2 sin 2xsinx 2 sin 2 x3

Suy ra:sin x  2 sin  2 x  sin x 2 sin  2 x    2 1 3

Do đó phương trình đã cho tương đương với:

2

2 2 2

KẾT LUẬN

Phương trình lượng giác là loại toán hay, đa dạng cả về thể loại và cả về cách giải Nhìn chung, khi giải bài toán phương trình lượng giác, học sinh thường gặp một số khó khăn sau:

1) Thiếu điều kiện xác định, không biết cách loại nghiệm

2) Nhầm lẫn giữa các công thức biến đổi lượng giác

3) Không biết nên sử dụng công thức biến đổi lượng giác nào

4) Không nhận dạng được bài toán

Nhận biết những khó khăn của học sinh, giáo viên cần có biện pháp giúp học sinh khắc phục Việc hệ thống lại các dạng toán là một biện pháp giúp học sinh

ôn tập tốt hơn chủ đề này

Đề tài còn nhiều thiếu sot nhưng cũng phần giúp ích cho giáo viên và học sinh học phần phương trình lượng giác được đầy đủ và có hệ thống hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Đoàn Quỳnh, Đại số và giải tích 11 Nâng cao, 2007, nxb Giáo dục

2) Trần Văn Hạo, Đại số và giải tích 11,2007, nxb Giáo dục

3) Trần Thành Minh, Trần Quang Nghĩa, Lâm Văn Triệu, Dương Quốc Tuấn, Giải toán lượng giác, 1999, nxb Giáo dục

4) Nguyễn Ngọc Thu, Tuyển tập chuyên đề lượng giác, 2001, nxb Trẻ

5) dethi.violet.vn/present/show?entry_id=8153478