hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A.KIẾN THỨC CÃN NẮM... 1.Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt2.Phương trình sinx = sin Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau

PHẦN I: ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A.KIẾN THỨC CÃN NẮM

1.Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

2.Phương trình sinx = sin

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau Góc hơn kém Góc hơn kém

cot( ) cot cot tan

4.Phương trình tanx = tan

5.Phương trình cotx = cot

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k (k Z)

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Ptrình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

72

262

k x

k x

k x

127

Ví dụ1: Giải các phương trình sau:

a) 2sin²x + 5sinx - 3 = 0 b) sin2x + sinx – 2 = 0 c) 3tan2 2x -1 = 0

giải

a) Cách 1: Đặt t = sinx (1t1) pt có dạng 2t2 + 5 t - 3 = 0

12

26

k x

k x

tan3

32

x

212



x 

Ví dụ2: Giải các phương trình sau:

a) cos2x + sinx + 1 = 0 b) – 2tan3x + cot3x = 1

giải a) pt 1 – sin2x + sinx + 1 = 0 – sin2

* Phương pháp giải :Biến đổi vế trái thành dạng a2b2.sin(x) hoặc a2b2 cos(x) để đưa

về phương trình lượng giác cơ bản.cụ thể như sau:

- Kiểm tra đk có nghiệm

- Chia 2 vế cho a2b2 , đặt

2 2 2

2 ;sin

cos

b a

b b

Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx dạng mở rộng

Dạng 1: asinx + bcosx = a2b2 sin kx;

Dạng 2: asinkx + bcoskx = bsinqx + acosqx

 Phương pháp giải : Chia 2 vế cho 2 2

a b

Ví dụ 3: Giải các phương trình

a) 3 sinxcosx2 cos 3x b) sin( 2x + 5 )

 cos2x - sin2x = 2 cos( 2x-

2sin x  sin cos x x  3cos x  0

   có phải là nghiệm của (1) không?

*Chia hai vế của pt (1) cho cos x2 ta được pt: atan2x b tanx c 0

Xem Ví dụ : Giải phương trình: 2sin2

x y

x





Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a.y3cosx2 ; b.y 3 2 | sin |x ; c.y 3 4sin cosx x ;

x ; b.4 cos 22 x 3 0 ; c.cos 32 xsin 22 x1;

d.sinxcosx1 ; e.sin4xcos4x1 ; f.sin4xcos4x1

Bài 6 Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho :

a.2sin 2x 1 0 với 0 x  ; b.cot 3

Bài 7 Giải các phương trình sau :

a.cos2 x 3 sin cosx x0 ; b 3 cosxsin 2x0 ;

c.8sin cos cos 2 cos8

Bài 8 Giải phương trình :

a.cos 7 cosx xcos5 cos3x x ; b.cos 4xsin 3 cosx xsin cos3x x ;

c.1 cos xcos 2xcos3x0 ; d.sin2xsin 22 xsin 32 xsin 42 x2

Bài 9 Giải phương trình :





 ; c.sin 3 cotx x0 ; d.tan 3xtanx

Bài 10 Giải phương trình :

a.2cos2x3cosx 1 0 ; b.cos2xsinx 1 0 ; c.2sin2 x5sinx 3 0 ;

d 2

cot 3xcot 3x 2 0 ; e.2 cos2x 2 cosx 2 0; f.cos 2xcosx 1 0 ;

g.cos 2x5sinx 3 0 ; h 5 tanx2cotx 3 0 i.sin2 2 cos 2 0

x   ; k cos 4x sin 2x 1 0 ; l cos 6x3cos3x 1 0

Bài 11 Giải các phương trình :

Bài 12 Giải phương trình :

a 3 sinxcosx1 ; b 3 cos 3xsin 3x2 ; c.3cosx4sinx 5 ;

d.sinx7 cosx7 ; e 2 sin 2x2 cos 2x 2; f.sin 2x 3 3 cos 2x

Bài 13 Giải phương trình :

a.2sin2x 3 sin 2x3 ; b.2 cos2 x 3 sin 2x 2 ;

4sin x3 3 sin 2x2 cos x4

Bài 14 Giải phương trình :

a.3sin2xsin cosx x2cos2 x3 ; b.sin2 sin 2 2 cos2 1

2

x x x ;

c.2sin2x3 3 sin cosx xcos2x4 ; d.cos 22 xsin 4x3sin 22 x0

e.2sin2x 3 sin cosx xcos2 x2 ; f cos2x3sin 2x3

Bài 15 Giải các phương trình sau

a 3(sinx cos )x 2 sin cosx x 3 0 ; b sin2x cos2x 7 sin 4x 1 ;

c 2sinx sin2x 2cosx 2 0 ; d 3cos2x sin 4x 6sin cosx x 3

Bài 16 Tính giá trị lượng giác

a Tính cosa, sin2a, cota, 3 2

Bài 17 Giải và biện luận phương trình theo tham số m :

a Cho phương trình : m 3 os3c xsin 3xm.Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm

b Cho pt:m2cos2x2 sin cosm x x3m2.Giải và biện luận phương trình theo tham số m

c Tìm m để phương trình có nghiệm :   2

m x x m xm BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1 (ĐH 2010B) (sin 2x cos 2 ) cosx x 2 cos 2x sinx 0 Đ/S:

Bài 7 (ĐH 2012B) 2(cosx 3 sin )cosx x cosx 3 sinx 1 Đ/s:x 23 k2 ;x k23

Bài 8 (ĐH2012D)sin 3x cos 3x sinx cosx 2 cos 2x Đ/s: ; 7 2 ; 2

Bài 16 3 tan 2 2sin 2 3 2(cos sin ) 1

Câu 1 Trong các hàm số sau đ y, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A.y = sinx - 1 B.y = cosx -x C.y = sinx +2x D.y = tanx -x

  và nghịch biến trên mỗi khoảng  k2 ; 2 k 

B. Đồng biến trên mỗi khoảng 3 2 ;5 2

D. Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

Câu 3 Trong các hàm số sau đ y, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

21

x y x





Câu 4 Trong các hàm số sau đ y, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

Câu 11 Chu kỳ của hàm số y  sin2x c os 22 x là:

Câu 24 Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:

Câu 47 Xét các phương trình lượng giác:

(I ) sinx + cosx = 3 , (II ) 2.sinx + 3.cosx = 12 , (III ) cos2x + cos22x = 2

Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm?

Câu 48 Nghiệm của pt sinx = –1

Câu 51 Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1)

Pt nào sau đ y tương đương với pt (1)

Câu 52 Nghiệm của pt cosx – sinx = 0 là:

Câu 76 Khẳng định nào sau đ y là đúng

A.Hàm số ysinx đồng biến trên khoảng  0;

B.Hàm số y  cos x đồng biến trên khoảng  0;

C.Hàm số ytanx đồng biến trên khoảng ;

Câu 78 Khẳng định nào sau đ y SAI?

A. ysinxlà hàm số lẻ trên B. ycosxlà hàm số lẻ trên

Câu 84 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào dưới đ y là sai?

A.Hàm số ysinx đồng biến trên khoảng  0; .

B.Hàm số ysinx và ycosx đều có tính tuần hoàn.

x y

x y

Câu 90 Hàm số nào dưới đ y là hàm số chẵn

Câu 91 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y2sin 3x1

A. miny 2, maxy3 B. miny 1, maxy4

C. miny 1, maxy3 D. miny 3, maxy3

Câu 92 Tập xác định D của hàm số tan 2

x



 Hãy chọn mệnh đề sai?

A.Tập xác định của hàm số là D \  k , k 

B.Hàm số là m t hàm tuần hoàn chu kì là 2

C.Hàm số tăng trên tập xác định của nó

D.Là m t hàm số lẻ

Câu 97 Cho hàm số 1 cos

1 cos

x y

Câu 98 Cho hàm số 1 tan

1 tan

x y

D.Hàm số luôn giảm trên tập xác định

Câu 99 Cho hàm số tan 2

  B.Hàm số tuần hoàn, chu kì là 

C.Hàm số có tập giá trị là D.Hàm số không chẵn, không lẻ

Câu 100 Cho hàm số lượng giác nào sau đ y có đồ thị đối xứng nhau qua Oy ?

Câu 101 Đồ thị của hàm số nào sau đ y nhận gốc tọa đ O làm t m đối xứng ?

A. y sin cosx x B. y x sinx C. yx.cosx D. yx.sinx

Câu 102 Hàm số y 5 3sinx luôn nhận giá trị trên tập nào sau đ y?

A. maxy 2 3 ; miny 2 3 B. maxy3; miny 1

C. maxy 2 3 ; miny 1 D. maxy3 ; miny 2 3

Câu 105 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 4

Câu 107 Phát biểu nào sau đ y sai:

A. ysin cos3x x là hàm số lẻ B. 1 sin

cos

x y

x





 là :

Câu 114 Đường cong trong hình dưới đ y là đồ thị hàm số nào

A. ysinx B. ysin 2x C. y sinx D. y sin 2x

Câu 115 Đường cong trong hình dưới đ y là đồ thị hàm số nào

Câu 116 Đường cong trong hình dưới đ y là đồ thị hàm số nào

A. y2sinx B. y2cosx C. y2sin 2x D. y2cos 2x

Câu 117 Đường cong trong hình dưới đ y là đồ thị hàm số nào

Câu 118 Đường cong trong hình dưới đ y là đồ thị hàm số nào

Câu 119 Nghiệm của phương trình 33 tanx0 là:

m m