Phương pháp giải phương trình lượng giác

Phương pháp giải phương trình lượng giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN NHẬT DUẬT

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Họ và tên: Hồ Hải Hà Chức vụ: Giáo viên

Tổ chuyên môn: Toán – Tin Đơn vị: THPT Trần Nhật Duật

NĂM HỌC 2012 - 2013

A MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

B DẠNG BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG ĐẠI HỌC 21

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

31

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 34

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán THPT, lượng giác là một chủ đề trọng tâm và được giảng dạy trong lượng thời gian tương đối lớn Trong các kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng thì đây là một chủ đề luôn luôn được đề cập tới, chiếm 1 điểm trong

10 điểm của bài thi, và đây cũng là một đề tài tương đối quen thuộc trong nhiều sách tham khảo bộ môn toán bậc trung học phổ thông để ôn và luyện thi Với

mong muốn mang kiến thức một cách có hệ thống và sâu sắc về bài toán " Giải

phương trình lượng giác" đến với học sinh và qua đó giúp các em học sinh có một

cái nhìn khái quát, đầy đủ và chắc chắn, giúp học sinh tự tin bước vào các kì thi tuyển sinh đạt thành tích cao tôi lựa chọn trình bày đề tài:

" MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC "

2 Mục đích nghiên cứu

 Nghiên cứu một số kiến thức cơ bản liên quan đến nội dung của đề tài

 Nghiên cứu một số phương trình lượng giác cơ bản, phương trình lượng giác thường gặp

 Nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình lượng giác sử dụng trong chương trình ở cấp độ cơ bản, nâng cao và ở một số kì thi tuyển sinh đại học khối A; B; D

 Thông qua việc nghiên cứu nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán này một cách rõ ràng và chắc chắn về kiến thức Đồng thời nhằm nâng cao chất lượng hiệu quả của quá trình giảng dạy và học tập của học sinh lớp

11, 12 mở rộng kiến thức cho học sinh nhằm phát huy tinh thần tự giác học tập cũng như khả năng sáng tạo trong học tập của học sinh để các em tự tin đạt thành tích cao trong các kì thi tuyển sinh

3 Đối tượng nghiên cứu:

 Bài toán Giải phương trình lượng giác

 Học sinh khối 11, 12, học sinh ôn thi đại học

 Nội dung chương trình toán THPT

4 Giới hạn phạm vi và nội dung nghiên cứu

 Các bài báo và các tài liệu liên quan đến bài toán Giải phương trình lượng

giác Sách giáo khoa môn Toán bậc PTTH và bậc THPT Chương 5 Đại số

và Giải tích - Lớp 10; Chương 1 Giải tích lớp 11 Sách Đại số cơ bản và nâng cao lớp 10 Sách giải tích nâng cao và cơ bản lớp 11 Tài liệu ôn thi

ĐH, CĐ môn toán Sách tham khảo bộ môn Toán lớp 10;11

 Nội dung nghiên cứu: Tập trung nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn, đúc rút kinh nghiệm phương pháp giảng dạy và trình bày bài toán Giải phương

trình lượng giác Thông qua đó giúp các em học sinh nắm vững các khái niệm, các định lí, các phương trình lượng giác cơ bản, các phương trình lượng giác thường gặp từ đó biết phân tích và sử dụng chúng trong từng trường hợp cụ thể một cách linh hoạt sáng tạo Giúp các em nâng cao nhận thức và rèn tính độc lập sáng tạo, kiên trì trong học tập nói chung và môn

toán nói riêng cũng như các vấn đề khác trong đời sống sinh hoạt

 Áp dụng đề tài: Khối 11, học sinh ôn thi tuyển sinh cao đẳng và đại học -

Trường THPT Trần Nhật Duật

5 Nhiệm vụ nghiên cứu:

 Trình bày một số phương pháp giải phương trình lượng giác

 Trình bày một số dạng toán phương trình lượng giác có mặt trong kì thi tuyển sinh cao đẳng , đại học khối A; B; D

 Trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan đến nội dung của đề tài giúp tra cứu và ôn tâ ̣p thuâ ̣n lợi hơn

6 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

 Phương pháp phân tích, tổng hợp

7 Thời gian nghiên cứu và kế hoạch thực hiện

 Thời gian nghiên cứu đề tài: Trong quá trình được phân công giảng dạy ban KHTN và lớp cơ bản A bậc THPT từ năm 2008 cho đến nay

 Kế hoạch thực hiện đề tài:

1) Thu thập, tích lũy, và học hỏi kinh nghiệm từ tài liệu và từ đồng nghiệp 2) Hè 2011 và năm học 2011- 2012, trình bày lý thuyết tổng quan về bài

toán giải phương trình lượng giác

3) Trình bày một số bài toán giải phương trình lượng giác vận dụng trong

chương trình ở cấp độ nâng cao và ở một số kì thi tuyển sinh đại học khối A; B; D Phân tích và đánh giá và rút kinh nghiệm đề tài sau quá trình vận dụng Áp dụng trong những năm học tiếp theo

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1 Cơ sở pháp lý

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thể chế hóa trong luật giáo dục năm 2005, và được cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa với mục tiêu đến năm 2020 Việt nam từ một đất nước nông nghiệp về cơ bản trở thành một đất nước công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế Nhân tố quyết định thắng lợi của công cuộc công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước là hội nhập con người, là nguồn lực con người được phát triển về số lượng và chất lượng toàn diện Đáp ứng nhu cầu ấy mỗi giáo viên phải xây dựng và hình thành một nền tảng kiến thức kĩ năng chuẩn và trên chuẩn

Năm học này là năm học mà thủ tướng chính phủ tiếp tục phát động công cuộc vận động " Mỗi thầy giáo, cô giáo là một tấm gương đạo đức tự học và sáng tạo", " Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực", để hưởng ứng và thực hiện cuộc vận động đó tổ Toán-Tin trường THPT Trần Nhật Duật cũng như bản thân tôi đã cố gắng vận dụng và áp dụng công nghệ thông tin, cũng như sáng tạo trong việc xây dựng và thực hiện kế hoạch làm dụng cụ học tập và hướng dẫn học sinh cùng tham gia làm dụng cụ học tập, làm tiểu luận Giúp học sinh gần gũi với môn Toán, tạo sự tự tin chiếm lĩnh kiến thức bộ môn

2 Cơ sở thực tiễn

Trong thực tế, đề thi tuyển sinh các kì thi cao đẳng và đại học luôn có bài toán giải phương trình lượng giác và nó chiếm 1 điểm trong 10 điểm của bài thi Mặc dù kiến thức để giải bài toán này được trang bị ở chương 1 của môn Đại số

và Giải tích lớp 11 rất rõ ràng Nhưng với học sinh thì đây không phải là bài toán

dễ, và đề bài thì thườ ng không phải là những phương trình cho ở dạng trực tiếp thường gặp trong sách giáo khoa , mà ta cần phải sử dụng một vài bước biến đổi mới nhâ ̣n được da ̣ng toán mô ̣t cách rõ ràng Do vâ ̣y ho ̣c sinh hay bỏ qua hoă ̣c lời giải chưa được chính xác Nguyên nhân có thể do các em chưa thực sự có cái nhìn tổng quan và bản chất của việc giải bài toán này, hơn nữa thời gian để trình bày lý thuyết và thời gian vận dụng giải quyết bài toán này theo phân phối chương trình không nhiều Mà đây cũng là dạng toán điển hình và phương pháp giải quyết nó cần nhiều kĩ năng Qua thực tế khảo sát kết quả thi, và qua quá trình dạy học tôi thấy học sinh còn khó khăn trong việc xác định, phân loại và qui phương trình đã cho về những phương trình đã có cách giải Căn cứ vào mục tiêu và nhiệm vụ giáo dục, nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy và học, rèn luyện kiến thức, kĩ năng để học sinh đạt được kết quả cao nhất trong các kì thi nên tôi đã lựa chọn để trình bày

đề tài này

CHƯƠNG 2: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Đã có nhiều tài liệu trình bày nội dung đề tài này trong các sách tham khảo

bộ môn Toán, và tài liệu ôn luyện thi môn toán cùng với các nội dung khác Nhưng đối với các em học sinh lớp 11, 12 đặc biệt học sinh không phải lớp chọn của nhà trường thì việc tìm tài liệu và xây dựng cho mình kiến thức về nội dung chuyên đề đưa ra là tương đối khó khăn về cả thời gian cũng như các điều kiện khác Ngay từ những năm học trước cũng như từ đầu năm của năm học này, tôi đã thu thập và trang bị tài liệu cho mình và một bộ phận học sinh có niềm say mê có sự đầu tư cho việc học môn Toán để hướng dẫn các em tổng hợp và trình bày tiểu luận về chuyên đề này Trên cơ sở đó, tôi khảo sát và nắm bắt những vấn đề khó khăn mà các em gặp phải, cùng với những vấn đề mà các em học sinh vướng mắc khi học

để từ đó xây dựng chuyên đề này Lúc mới đầu tôi chưa hướng dẫn thì có ít em học sinh giải quyết triệt để bài toán này, đặc biệt khi đề bài cho phương trình không đúng dạng phương trình có trong chương trình thì các em thường có tâm lí ngại làm và nghĩ rằng không làm được nên bỏ qua Sau khi hướng dẫn thì những học sinh có lực học bộ môn Toán từ Trung bình trở lên đã phân loại và giải quyết được bài toán trong các đề thi một cách nhanh chóng và dễ dàng hơn, và với số học sinh còn lại thì các em cũng đã biết phân loại và có lời giải tương đối tốt

Cụ thể: Khi khảo sát chất lượng ho ̣c sinh về chủ đề "giải phương trình lượng giác" sau khi ho ̣c sinh hoàn thành chương trình sách giáo khoa với thời lượng khảo sát là 45 phút và trước khi da ̣y chuyên đề này trong các năm học 2010-2011; 2011-

CHƯƠNG 3: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Xuất phát từ thực tế, học sinh thường quên kiến thức, lười suy nghĩ và hay

bỏ qua bài toán khi gặp các bài toán lạ hoặc những bài toán nhìn nhìn đã nga ̣i mà không chịu suy nghĩ để đưa bài toán lạ thành bài toán quen thuộc đã biết cách làm Đặc biệt khi gặp bài toán liên quan đến lượng giác các em thường ngại làm và luôn nghĩ rằng đó là bài toán khó nên đã tạo cho mình sự khó khăn khi giải toán lượng giác.Tôi thấy cần phải hướng dẫn và định hướng, giúp các em làm chủ kiến thức từ

đó tự tin vào khả năng học tập của mình Từ đó các em sẽ tìm tòi trong suy nghĩ, giải quyết các yêu cầu và hoàn thành mục tiêu học tập của bản thân

Để thực hiện đề tài tôi đã thực hiện theo các bước:

- Thực hiện nội dung nghiên cứu

- Trang bị một số kiến thức chuẩn bị cho nội dung của đề tài mà học sinh đã được học từ trước đó mà có thể các em đã quên(Phụ lục 1)

- Trang bị một số phương trình lượng giác cơ bản , phương trình lượng giác đơn giản, phương trình lượng giác đã biết các giải (Phụ lục 2)

- Trình bày một số phương pháp giải phương trình lượng giác đã được học trong chương trình mô ̣t cách có hê ̣ thống(nô ̣i dung chính của chuyên đề)

- Vận dụng các phương trình lượng giác cơ bản và các phương trình lượng giác thường gặp trong thực hành giải toán

Bước 3:

- Khảo sát kết quả vận dụng của học sinh

- Rút kinh nghiệm cho những năm sau

A MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Để giải một phương trình lượng giác thông thường ta làm như sau

 Đặt điều kiện để phương trình xác định

 Quy phương trình đã cho về một trong các dạng phương trình lượng giác đã

có các giải, và tiến hành giải phương trình theo dạng phương trình đã biết

 So sánh các nghiệm tìm được với điều kiện xác định để loại bỏ đi các

nghiệm ngoại lai

Cũng giống như giải các phương trình khác viê ̣c đặt điều kiê ̣n của phương trình lượng giác rất quan trọng.Ngoaig những điều kiê ̣n thông thường đối với mẫu số và các biểu thức trong căn bậc chẵn có mặt trong phương trình Đối với phương trình lượng giác chúng ta cần lưu ý đến các điều kiê ̣n sau

- Để tan x co ́ nghĩa thì điều kiê ̣n là: ;

2

  

- Để cot x co ́ nghĩa thì điều kiê ̣n là: xk;k

Ngoài một số dạng phương trình lượng giác đu ́ ng dạng phương trình đã có cách giải học trong chương trình , chúng ta không có phương pháp tổng quát để giải tất cả các dạng phương trình lượng giác vì chúng rất phong phú Đường lối chung là sử dụng các phép biến đổi toa ́ n học để đưa việc giải phương trình đã cho

về việc giải một hay một số phương trình lượng giác cơ bản hoặc dạng quen thuộc.Với mỗi phương trình lượng giác cụ thể ta phải tìm và sử dụng những cách biến đổi thích hợp Do đó việc nhớ các công thức lượng giác và khả năng biến đổi thành thạo các công thức toa ́ n học nói chung và lượng giác nói riêng đóng một vai trò quan trọng trong khi giải phương trình lượng giác Ngoài ra chúng ta còn

sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp đánh giá để giải phương trình lượng giác Sau đây là một số phương pháp thường dùng để giải phương trình lượng giác và một số ví dụ minh họa

1 Phương pháp dùng các phép biến đổi

Trong phương pháp này chúng ta sử dụng các công thức toán học để thu gọn phương trình hay biến đổi phương trình thành tích

Ví dụ 1 Giải phương trình sau: cos3xsin 2xsin 4x (3.1)

Giải

cos3xsin 2xsin 4x

2

62

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng chúng ta có

sin 5 cos3 sin 6 cos 2 0 1(sin8 sin 2 ) 1(sin8 sin 4 ) 0

Tương tự như giải các phương trình đại số đối với mỗi phương trình chúng

ta có thể có nhiều cách biến đổi để hoàn thành mục tiêu là giải phương trình, cách biến đổi tùy vào cách sử dụng công thức của mỗi người làm toán và với mỗ i phương trình được cho Chúng ta xem một cách biến đổi của phương trình sau:

Ví dụ 3 Giải phương trình :1 sin xcos3xcosxsin 2xcos 2x (3.3)

Giải:

Chúng ta có: 1 sin xcos3xcosxsin 2xcos 2x

1 sinx cos3x cosx sin 2x cos 2x 0

sin 0 2

61

61

Ví dụ 4 Giải phương trình sau: 2 2 2

cos 2xcos xcos 3x1 (3.4)

Ví dụ 5 Giải phương trình sau: 3 3

cos3 cosx xsin3 sinx x0 (3.5)

(3.3) cos3 (cos3 3cos ) sin 3 (3sin sin 3 ) 0

3(cos3 cos sin 3 sin ) cos 6 0

3cos 2 cos 6 0 4cos 2 0

Qua việc giải các Ví dụ 4, Ví dụ 5, Ví dụ 6 chúng ta đã sử dụng công thức

hạ bậc để giải phương trình lượng giác Trong Ví dụ 4 chúng ta đã hạ bậc từng

nhân tử(mô ̣t số sách tham khảo gọi cách hạ bậc này là "hạ bậc đơn"), Ví dụ 5

cos3 cos sin 3 sin

Áp dụng với các phương trình hỗn hợp chứa sinn x;cosn x (Ví dụ 6) chúng

ta đã sử dụng kiểu hạ bậc còn được một số tác giả gọi là "hạ bậc toàn cục"

Ví dụ 7 Với giá trị của a , phương trình sau có duy nhất một nghiệm nằm trong

 +) Với a 2 phương trình (2) vô nghiệm nên giá trị a 2thỏa mãn đề bài

+) Với a 2 chúng ta có (2) sin 2 2

2

a x

22

2

a

a a

a   thỏa mãn bài toán

Vậy các giá trị cần tìm của a là 0; 2

và hệ phương trình đại số Chúng ta xem xét Ví dụ 6 và bài toán:

Bài toán 1 Tìm tất cả các giá tri ̣ của a để hê ̣ sau có nghiê ̣m:

Chúng ta xem xét kĩ hơn điều này qua lời giải của bài bài toán sau:

Bài toán 2 Giải phương trình, hê ̣ phương trình sau

để giúp chúng ta tư duy trong quá trình biến đổi, thu gọn phương trình lượng giác Trong các phần sau ca ́ ch biến đổi này sẽ còn được minh hoạ thêm qua một số ví

dụ nữa

3.2 Phương pháp đổi biến

Bằng cách đưa ra một ẩn t  f x( ) thích hợp nào đó chúng ta có thể đưa việc giải một phương trình lượng giác về giải một phương trình đại số ẩn t (gọi là

Chúng ta thường dùng các ẩn phụ như sau: t sinax t; cosax;

t  t x t sinx+cos ;x t sinx+cosx ;…

Chú ý rằng: khi đặt tsinax t; cosax;ta có điều kiện t 1 và khi đặt

sin cos

t  x x hay tsinxcosx ta có điều kiện t  2

Sau khi tìm được các nghiệm của phương trình trung gian (*), việc giải

phương trình lượng giác đã cho sẽ quy về việc giải các phương trình cơ bản hoặc phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx dạng hay sin xcosxt (Xem thêm ở

mục 2.3 và 2.5 Phụ lục 2) Sau đây là mô ̣t số ví dụ minh họa cho phương pháp này:

Ví dụ 9: Giải phương trình sau: 2

sin x(tanx 1) 3sin (cosx xsin ) 3x  (3.9)

Giải:

Điều kiện xác định của phương trình : cosx0,

Với điều kiê ̣n trên chúng ta có:

 ( Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình (3.9) có các nghiệm là :

x  k x  k x   k k

Chú ý: Trong phương trình (3.9), sau khi biến đổi thành phương trình chỉ

chứa một hàm lượng giác(hàm tan x) chúng ta có thể đặt t = tan x,để chuyển thành phương trình f(t) = 0, chúng ta cũng có thể coi đây là phương trình ẩn là tan x mà không cần phải đặt t như đã trình bày ở trên

Ví dụ 10: Giải phương trình sau: 2

2cos (2 sin ) sin 0

2

x

   (3.10) Giải:

Chúng ta có :2cos2 (2 sin ) sin 0

Điều kiê ̣n: sin cosx x0 mà cosx 1 sin cosx x sinx0

nên cosx0, sinx0 Đặt u cos ;x v sin ( ;x u v0) ta có hê ̣ phương trình:

v u





 

 (thoả mãn điều kiện)

Vâ ̣y phương trình có nghiê ̣m: sin 0 2 ,

Ví dụ 13: Giải phương trình: 8cos3 cos3

Ví dụ 15: Giải phương trình: cos2 cos4

3

x

x (3.15) Giải

Chúng ta có: cos2 1(1 cos 2 ) 1 1 cos 3.2

Vậy phương trình (3.15) có nghiệm: 3 ; 3 ;

52

Trong phương pháp này chú ng ta sẽ sử dụng các bất đ ẳng thức đại số hay lượng giác, hoặc tính chất c ủa hàm số để so sánh , đánh giá hai vế của phương

trình và đi đến kết luận phương trình chỉ đúng khi và chỉ khi dấu đẳng thứccủa các bất đẳng thức xảy ra

Phương pháp này được áp dụng khi giải một số phương trình lượng giác thuộc loại "không mẫu mực" Chúng ta đánh giá phương trình dựa trên các dạng:

 Tính chất của các hàm số và biểu thức

 Phương trình lượng giác dạng Pitago

 Sử dụng bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân

 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

sinx 1 sin sin

x x

+) Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân chúng ta có:

4

x

x

+) Vì sinx sinxvà 2

sin 3x sin 3x nên (*)  2 sin 32 2

Vì : sin 3 cos 2 (sin 3 cos )sin 3 2

26