BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM

Khái niệm nguyên hàm và tính chất 1... Tính sinx cosx dxCâu 51... Chỉ II và III D... TÍNH NGUYÊN HÀM ẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 13.. Nghĩ u có có thì ch n

Khái niệm nguyên hàm và tính chất

1 Khái niệm nguyên hàm

— h h ( ) h K H F x( ) g i nguyên hàm h

( ) trên K F x( ) f x( ), x K

— N F x( ) g h ( ) trên K h h nguyên hàm h ( )trên K

tan( )cos (ax b)dx a ax b C

Tìm nguyên hàm c a các hàm s gi ử i iệ h

P ươ p áp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận dụng các tính chất

nguyên hàm

Bài 1

o) f x( ) 2 sin 3 cos2 x x ĐS: 1

( ) cos 5 cos

5

………

p) f x( ) e e x.( x 1) ĐS: 1 2 ( ) 2 x x F x e e C ………

q) ( ) 2 2 cos x x e f x e x ĐS: ( ) 2 tan . x F x e x C ………

r) I ( x 3x dx) ĐS: 2 3 3 2 I x C ………

s) 2 3 2 1 2 I x dx x ĐS: 3 3 2 3 3 I x x C ………

t) 1 33 55 2 I dx x x x ĐS: 3 2 5 4 9 25 ( ) 2 4 F x x x x C ………

u) I 4 sin2x dx ĐS: I 2x sin2x C ………

v) 1 cos 4 2 x I dx ĐS: sin 4 2 8 x x I C ………

w) I (3 cosx 3 )x 1 dx ĐS: 1 3 3 sin ln 3 x I x C ………

x) I (tanx 2 cot ) x dx2 ĐS: I tanx 4 cotx 9x C ………

y) I 3u u.( 4) .du ĐS: 3 3 7 3 4 3 7 I u u C ………

………

………

………

a) F x( ) 5x3 4x2 7x 120và f x( ) 15x2 8x 7.

b) F x( ) ln(x x2 3)và 2 1 ( ) 3 f x x

c) F x( ) (4x 5) e x và f x( ) (4x 1) e x

d) F x( ) tan4x 3x 5 và f x( ) 4 tan5x 4 tan3x 3

e) 2 2 4 ( ) ln 3 x F x x và 2 2 2 ( ) ( 4) ( 3) x f x x x

f)

2 2 2 1 ( ) ln 2 1 x x F x x x và 2 4 2 2( 1) ( ) 1 x f x x

Chứng minh là m t nguyên hàm c a hàm s g ờng h p sau:

Bài 2

c)

2

3 5( ) x , ( ) 1

Tìm nguyên hàm c a các hàm s thỏ ã i u kiệ h ớ g ờng h p

sau:

Rồi sau đó thế để tìm hằng số

Bài 3

,( 1)

2 2

2 cos 1

,cos

x

b) 2 2 ( ) ln 5 2 3 ( ) 3 5 F x x mx x f x x x ĐS: m 3

c) 2 ( ) ( ) ( ) ( 3) x x F x ax bx c e f x x e ĐS: a 0, b 1, c 4.

d) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (2 8 7) x x F x ax bx c e f x x x e ĐS: a 1, b 3, c 2.

e) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 3 2) x x F x ax bx c e f x x x e ĐS: a 1, b 1, c 1.

f) ( ) ( 1)sin sin 2 sin 3 2 3 ( ) cos b c F x a x x x f x x ĐS: 0 a b c

g)

2 2

20 30 7 ( )

2 3

f x

x

ĐS: a 4, b 2, c 1

h) ( ) 32 , ( 3) ( ) ( ) 3 f x x x x F x ax bx c x ĐS: 2 2 12 ; ; 5 5 5 a b c

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHÓM 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1 Ng h h f x x3 3x 2 h g h ?

A 4 2 3 2 4 2 x x F x x C B 4 2 3 2 3 x F x x x C C 4 2 2 4 2 x x F x x C D F x 3x2 3x C Câu 2 H F x 5x3 4x2 7x 120 C h g h h ?

A f x 15x2 8x 7 B f x 5x2 4x 7

C

Câu 3 H g h h 2 1

3

A

3

2 3

ln

3 2

x

3

2 3

ln

3 2

x

C

3

2 3

ln

3 2

x

2 3

Câu 4 T g h h f x x 1 x 2

A

3

2 3

2

3 2

x

3

2 2

2

3 3

x

3

2 2

2

3 3

x

B 4 x 3 3 C

5

35

x

D

3

33

A

3

ln 23

6

x

F x

1( )

x 2x 1 2x 13

Câu 32 T g h h f x( ) 5 3x

x 5 3x 5 3x9

x 5 3x 5 3x3

x 5 3x 5 3x9

x 1 3x 1 3x4

2 3

F Khi ó F x h ?

1 3x 33

1 3x 33

1 3x 13

4 1 3x3

F x

x C x

( )3

x

C

2 3

Câu 50 Tính sinx cosx dx

Câu 51 M g h h 22

( )cos

A 3x tanx C B 3x tanx C C 3x cotx C D 3x cotx C

Câu 53 Cho f x( ) sinx cosx M g h F x( ) ( ) hỏ 0

A x2 cosx 2 sinx 2 B x2 cosx 2 sinx 2

C 2 cosx 2sinx D x2 cosx 2 sinx 2

Câu 55 M g h h f x( ) tan2x là:

A

3tan3

x x

Câu 56 M g h h f x( ) cos4x sin4x là:

cos 22

cos 22

Câu 59 H g h h f x 2 sin 2x?

A F x sin2x B F x 2 cos2x

cos 22

cot 3 – 13

f x

x (III)

2( ) tan 1

Hàm s nào có m t nguyên hàm là hàm s g(x) = tanx

A (I), (II), (III) B Chỉ (II), (III) C Chỉ (III) D Chỉ (II)

Câu 74 Ng h h f x 2 sin 3 cos2x x

A 1

cos 5 cos

1cos 5 cos

C 5cos 5x cosx C D K t qu khác

( ) sin sin 3 (sin 2 - sin 4 )

1( ) tan tan

A Chỉ (I) và (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II) và (III) D Chỉ (II)

Câu 78 Tìm (sinx 1) cos3 xdx là:

A

4(cos 1)4

x

4sin4

x

4(sin 1)4

(III) F x( ) tanx là m t nguyên hàm c a f x( ) - ln cosx

Mệ h nào sai ?

A (I) và (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II) D Chỉ (I) và (III) Câu 80 Tìm 3

sin2

( ) sin

4

C 1 4

( ) cos4

Câu 84 Ng h h y f x sinx cosx 1 là:

A. F x sinx cosx C B F x sinx cosx x C

C. F x cosx sinx x C D. F x sinx cosx x C

Câu 85 K i g ?

A. sin cosx xdx cos sinx x C B. 1

sin cos cos 2

x x là:

A F x cos – sinx x C B F x cosx sinx C

C F x cot – tanx x C D F x cot – tanx x C

Câu 88 Tìm nguyên hàm 2 sin 3 cos2 x x dx ?

x2

x

1( ) x

Câu 104 G i F x( ) ậ h g h h f x( ) 3x 1 thì F x( )là:

A F x( ) 3x 1 C B F x( ) 3 ln 3.3x C

C F x( ) 3 ln 3.3x 1 C D

13( )

( )

ln 2 ln 2

x x

x

3 1 1( ) 3 x

x

x

Câu 113 Tìm 52

3

x

x e

Dạng toán 2 TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

ài toán tổng quát T h g h với v hứ

i)

( 1)

dx I

4

dx I

6 9

dx I

1

.3

x

l) 2

6 5

dx I

dx I

dx I

t)

2

2 7 12

x dx I

u)

2 2

11

v)

22

x)

2 4 2

32

y)

2 2( 2)

z)

2

2 2

.(1 )

x dx I

d)

2 3

( 1)

dx I

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

2

x y

Câu 3 h h

2 2

2 1( )

x

221

x x

2

11

21

x

2

11

x

2 2 3

3 11

f x

x i

1(1)2

3 ln3

Dạng toán 3 TÍNH NGUYÊN HÀM ẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI IẾN SỐ

PP n

m n

n

PP n

1( ln )

2( ) n

dx I

( )( )

dx I

PP

Đặ

0 khi

00 khi

4 2

( 1)

.8

x

2 10 2 9(2 3 ) (2 3 )

e) 2

2

xdx I

2

1

ln 2 2

h)

3 21

i)

3 2

1 11

( 1)

xdx I

(2 1)

xdx I

n)

31

x dx I

2 3

(2 )

.3

x

c)

2 3

24

xdx I

3

3( 4) 2

d)

21

x dx I

22(3 4 8) 1

.15

4

2 315

8

f) I x5 (1 2 ) 3 x2 2dx ĐS:

3(20 4 3) (1 2 )

.320

h)

3

2 4

i)

2 4

dx I

2 2

l)

1 x

dx I

e

e

m)

2

ln 1 3 ln

dx I

2 2

n)

2 1

xdx I

.3

x

.2

x

x

e)

2 3

ln 2x ln xdx I

2 4 3

3(2 ln ) 8

f)

3 2 2

(1 3 ln )1

1 3 ln 3

9 ln 2

x

1

x x

e

e

b)

2

x

dx I

e

e

c)

dx I

e

e

x

e)

4

dx I

e

e

f)

3(1 x)

g)

2 2

h)

2

1

x x

i)

dx I

j)

1

x

dx I

x x

e

e

BT 7 T h g h

1 sin

xdx I

c) 3 cos 2

(1 sin )

xdx I

d) 2 cos

3 2 sin

xdx I

g)

3 2

cossin

x

1sin sin

x

i) I esinx.cos x dx ĐS: I esinx C

6 5 sin sin

xdx I

11 7 sin cos

xdx I

BT 8 T h g h

1 cos

xdx I

tan sin (1 sin )

4 2cos

x

h)

3 4

sincos

3 cos

x x

.2

x

b)

4 6

sincos

x

5tan

.5

x

c)

4tancos 2

5 cos 8 sin cos 3 sin

dx I

e) (1 sin 2 )3 4

2 sin cos cos

x dx I

2tan 3 tan 1

cos sin

dx I

g)

cos cos

4

dx I

ĐS: I 2 ln 1 tanx C

h)

tan

4cos 2

BT 10 T h g h

a)

2 4

cossin

b)

2 8

cossin

c)

4 2

sin cot

dx I

4 3

4cot 3

cos sin

dx I

e)

sin sin

6

dx I

ĐS: I 2 ln cotx C

(sin cos )

x dx I

1

.2(1 cot )

x

sin cos 2

xdx I

(sin cos 2)

x dx I

.sin cos 2(sin cos 2)

d) I sin 2 (1x sin ) 2x dx3 ĐS:

2 4(1 sin )

.4

x

BT 12 T h g h

a)

21

dx I

b)

9

dx I

29

.9

x

x

c)

( 1)

dx I

d)

25

dx I

225

.25

x

x

e)

3 21

f)

2 4

(1 )

.3

x

x

g)

2 4

dx I

Câu 120 M g h h f x cos x esinx là

A F x e sin x B F x e cosx C F x e sin x D F x sin x esinx

Câu 121 h h f x x x2 12016 Khi ó

A

2017 2

14034

x

2016 2

14032

x

f x dx

C

2016 2

12016

x

2017 2

12017

1( )sin

C F x( ) ln cosx C D F x( ) ln cosx C

Câu 124 K cosx s inx 1dx g

A

32

( ) s in 13

32

( ) s in 13

Câu 125 K

3

x x

e dx

( ) ln2

Câu 131 M g h h

3 2

2

x y

1( ) 12

3 2

1( ) 13

1( ) 13

( ) ln sin cos2

( ) ln sin cos2

( ) ln sin cos2

Câu 140 Tìm nguyên hàm F x i f x( ) xsin x K

A F x( ) 2 cosx x 4 xsin x 4 cos x C

B F x( ) 2 cosx x 4 xsin x 4 cos x C

C F x( ) 2 cosx x 4 x sin x 4 cos x C

D F x( ) 2 cosx x 4 xsin x 4 cos x C

Câu 141 Tính nguyên hàm xe x2 1dx

( )2

x

( )2

Câu 143 H ới g h

2

1( )

f x

cosx 3 sin( )

e

f x

e hỏ F 0 ln 3 là

x x

3 13

ln 121

x x

ln 3 24

4

x

2ln( )

C

sin cossin

x a

a x a +C B

1ln2

a x

a a x +C B

1ln2

Dạng toán 4 TÍNH NGUYÊN HÀM ẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 13 T h g h

a) I x sinx dx ĐS: I sinx cosx C

b) I (1 2 )x e dx x ĐS: I (3 2 )x e x C

2

x

e

Đ nh N h i h v ó ạ h v i ụ h

hay

Vận ụng giải toán:

— Nhận ạng T h 2 h h ại h h hẳ g hạ ũ h g gi

— Thứ tự ưu tiên ch n u: l – – lượ – ũ v p ầ ò lạ Nghĩ u có

có thì ch n hức và còn lại N hô g ó g hứ h

g gi …

— Lưu g ậ hứ v ậ g ứ g với ầ g h

Dạng mũ nhân ượng giác ạ g g h ừ g hầ hồi.

Phương Pháp

d) I (2x 1) lnx dx ĐS: 2 2 ( )ln 2 x I x x x x C

e) I x e 3x dx ĐS: 3 3 3 9 x x xe e I C

f) I x2 ln 2x dx ĐS: 3ln 2 3 3 9 x x x I C

g) I lnx dx ĐS: I xlnx x C

h) I (x 1) sin 2x dx ĐS: 1 1 cos 2 sin 2 2 4 x I x x C

i) I x e x dx ĐS: I (1 x e) x C

j) I e x sinx dx ĐS: (sin cos ) 2 x e x x I C

k) I x cosx dx ĐS: I xsinx cosx C

l) sin 2 x I x dx ĐS: 2 cos 4 sin 2 2 x x I x C

m) I x e dx x ĐS: I xe x e x C

n) I x ln(1 x dx) ĐS: 2 2 ln(1 ) (1 ) ln(1 ) 2 2 4 x x x I x C

o) I x sin2x dx ĐS: 2 sin 2 cos2 4 4 8 x x x x I C

p) I ln(x 1 x2) dx ĐS: I xln(x 1 x2) 1 x2 C

q) 1 ln 1 x I x dx x ĐS: 2 1 1 ln 2 1 x x I x C x

r) ln x3 I dx x ĐS: 2 2 ln 1 2 4 x I C x x

s) I x sinx cosx dx ĐS: 1 1 cos 2 sin 2 4 8 I x x x C

t) I e 2x cos 3x dx ĐS: 1 2 (3 sin 3 2 cos 3 ) 13 x I e x x C

u) 1 cos 2 x dx I x ĐS: 1 1 tan ln cos 2 2 I x x x C

v) I x (2 cos2x 1) dx ĐS: 1 sin 2 cos2 2 4 x I x x C

w) I x3 lnx dx ĐS: 4ln 4 4 16 x x x I C

x) 2 sin x I dx x ĐS: I xcotx ln sinx C.

y) ( 2) 2x I x e dx ĐS: 1 2 1 2 ( 2) 2 4 x x I x e e C

z) I x ln(x2 1) dx ĐS: I (x2 1)ln(x2 1) x2 1 C

BT 14 T h g h

a) 2 2 1 ln x I x dx x ĐS: 1 1 ln I x x x C x x

b) I cos x dx ĐS: I 2 xsin x 2cos x C

c) I sin x dx ĐS: I 2 xcos x 2sin x C

d) I (8x3 2 )x e x2 dx ĐS: I (4x2 1) e x2 4e x2 C

e) I x e3 x2 dx ĐS: 1 2 2 1 2 2 2 x x I x e e C

f) I x e5 x3 dx ĐS: 1 3 3 1 3 3 3 x x I x e e C

g) I esinx sin 2x dx ĐS: I 2sin x esinx 2esinx C

h) I x e x dx ĐS: I 2xe x 4 xe x 4e x C

i) I x ln(x2 1) dx ĐS: 1 2 2 1 2 ( 1)ln( 1) 2 2 I x x x C

j) 1 ln(2x 1) I dx x ĐS: 1 1 ln 1 ln 1 x I x C x x x

k) I e x ln(e x 1) dx ĐS: I (e x 1)ln(e x 1) e x C

l) 2 3 ln(4 8 3) ( 1) x x I dx x ĐS: 2 2 2 4 8 3 ln 4 8 3 4 ln 1 2( 1) x x x x x C x

m) 1 1 ln( 1) 2 I x x dx x ĐS: I (x x 1)lnx x 1 x x C.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 166 M g h h f x( ) xe x là:

A e x C B e x x 1 C C e x x 1 C D

22

Câu 169 Cho f x( ) xsinx Ng h ( ) là:

C sinx xcosx C D xcosx sinx C

Câu 170 Ng h h f x( ) xe x2 h

A F x( ) 2e x2 B 1 2

( )2

A F x xsinx cosx C B F x xsinx cosx C

C F x xsinx cosx C D F x xsinx cosx C

2

C xcosxdx xsinx cosx C D cos 2 1

2 2

x

f x

D Hàm s F x( ) sin x là nguyên hàm c a hàm s f x( ) cos x

Câu 195 ệ h ệ h SAI?

x Để

h F x g h f x h gi a b c, , là