Bài giảng nguyên hàm luyện thi THPT quốc gia

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN I.. Khóa học Luyện thi THPT

Trang 1

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy=df x( )= y dx' = f '( )x dx

Ví dụ:

d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx

d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx

Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và

được viết là∫f x dx( ) Từ đó ta có : ∫f x dx( ) =F x( )

Nhận xét:

F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho

Ví dụ:

Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x

Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx

III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:

a) Tính chất 1: ( ∫f x dx( ) )′ = f x( )

01 MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Trang 2

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,

mà không phụ thuộc vào biến

IV CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

Trang 3

Trang 4

Trang 5

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a)

x d

Trang 6

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

x

F x

x x

Trang 7

Trang 8

x x

Bài 5: [ĐVH].Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

a) ( ) ( 1)sin 2sin 2 3sin3 , ,

∫

Bài 12: [ĐVH].Tính các nguyên hàm sau:

Trang 9

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 38) 38

Trang 10

CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG

2

11

Trang 11

x x

x dx

Trang 12

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 c) Sử dụng các công thức vi phân ( )

Ví dụ 5: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) I13=∫3sin cosx x dx b) 14 sin5

a) I16=∫tanxdx b) I17 =∫ sin 4 cos 4x x dx c) 18 sin

1 3cos

x dx I

x

=+

∫

Lời giải:

a) Sử dụng các công thức

sin x (cos )ln

Trang 13

2

dx

x u

tancos

1

1 tancos

dx

x

x x

2

dx

x u

Trang 14

1

.2

Trang 15

1 Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn

x

−

∫

Trang 16

7 2 cos 2

xdx I

−

∫

Trang 17

x

=+

Trang 18

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

DẠNG 1 ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ ĐƠN GIẢN

x dx I

03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn

Trang 19

b) Đặt

3

3 3

3ln

2

22

t x

dx tdt x

dx I

2

11

2

1

x x

Trang 20

x

=+ +

=

+

Trang 21

DẠNG 2 ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC

03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2

Trang 22

2

29

2(2 tan ) 2(1 tan )

Trang 23

dx I

1

11

x

t t

sin 1 cos (1 cos )(1 cos )sin 3 cot

Trang 24

x

=

−

∫

Trang 25

Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )

Trang 26

II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI

Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x2

Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số

Đồng nhất hệ số ở hai vế ta được A, B Từ đó, quy về bài toán nguyên hàm có mẫu số là hàm bậc nhất đã xét ở trên

Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để

Trang 27

Rõ ràng, chúng ta thấy ngay ưu điểm của cách 2 là không phải đồng nhất, và cũng không cần dùng đến giấy nháp ta

có thể giải quyết nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực hiện được!

Trang 28

∫

Trang 29

Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số

II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo)

Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x2

C u u

=+ +

dx I

Trang 30

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a)

Trang 31

Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm

đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách

thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học

Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

=+ +

dx I

Trang 32

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 c)

III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA

Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x 1; x2; x3

Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt Ta có cách giải truyền thống là phân tích và đồng nhất hệ số Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào biểu thức của tử số là bậc mấy)

( )( ) ax

Trang 33

∫

Bài 2: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:

Trang 34

dx I

Trang 35

Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số

III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA

Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x 1; x2; x3

TH2: Q(x) = 0 có 2 nghiệm: một nghiệm đơn, một nghiệm kép

Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C Bài toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến

Trang 36

Ta có

125

Để đồng nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc:

1 1

Trang 37

- Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải

Trang 38

2

(3 2 )(4 3)

2

4( 1)

x

=+

Trang 39

I KĨ THUẬT PHÂN TÍCH TỬ CÓ CHỮA NGHIỆM CỦA MẪU SỐ

−

=+

+

=+

∫ x dx

I x

05 MỘT SỐ KĨ THUẬT TÌM NGUYÊN HÀM HỮU TỈ - P1

Trang 40

Trang 41

III KĨ THUẬT XỬ LÍ NGUYÊN HÀM CÓ MẪU BẬC 6

=

∫

05 MỘT SỐ KĨ THUẬT TÌM NGUYÊN HÀM HỮU TỈ - P2

Trang 42

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG

Các hằng đẳng thức lượng giác:

2 2

1

1 tancos

1

1 cotsin

tan cot 1

x x

2

1 cos 2sin

2

x x

21sin cos sin( ) sin( )

Trang 43

Công thức biến đổi tổng thành tích:

sin sin 2sin cos

2

2sin

t x t

Trang 44

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy

a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được 1( )

sin 3 cos sin 4 sin 2

9

2 2

Trang 45

a) I1=∫sin cos 2x x dx b) I2=∫sin 3 cosx x dx

c) I3=∫(2sin2x−sin cosx x−cos2x dx )

Trang 46

Dạng 2 Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sinx, cosx

3

2 2

Trang 47

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 d)

Thay t = sinx vào ta được 4 1 1 1 ln sin 1

x

=+

x dx I

4sin 4sin sin

4 1 cos sin 4sin 2sin 2

Trang 48

∫

BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:

x dx I

Trang 49

∫

Bài 5: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:

∫

5 cos 2

xdx I

Trang 50

Dạng 3 Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx

Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx: 2 2

sin sin cos cos

A x+B x x+C x thì ta chia cả tử và mẫu cho cos2x hoặc sin2x

07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moonv.vn

Trang 51

Tuy nhiên, với bài toán trên có một đặc điểm riêng mà ta có thể trình bày cách giải ngắn gọn hơn như sau:

x x

3

tantan

x x

có chứa sinx và cosx với tổng lũy thừa là một số chắn Phương pháp giải trên là cách giải tổng quát cho dạng nguyên hàm này Tuy nhiên, nếu tổng lũy thừa quá lớn thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều!

2sin 5sin cos 3cos

dx I

=

∫

Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx Trong chuyên đề về phương trình lượng giác ta

cũng biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm cũng tương tự Chia cả tử và mẫu số

tan

Trang 52

Bình luận:

Mẫu số trong nguyên hàm trên có dạng là một biểu thức lượng giác khá đặc biệt, thế nên ta cũng có thể tìm ra một

Bằng phép biến đổi lượng giác cho cách giải trên, hoặc khai triển công thức lượng giác cho cách giải dưới ta sẽ thu

được cùng một kết quả Nếu các em không tự tin với khẳng định đó thì thầy sẽ chứng minh điều này

x

1 sin 2

dx I

x

=+

1 2

Cách giải:

Trang 53

Các nguyên hàm dạng này thường sử dụng một số công thức lượng giác ( )2

x

=+

Trang 54

Ngoài cách giải như trên, chúng ta có thể mạnh dạn vận dụng kiến thức lượng giác để biến đổi mẫu số gọn gàng hơn

x dx I

−

++

Trang 55

44

(sin 2 cos )

dx I

Trang 56

21

1

α2sin

2

dx x

I

dx x

2 2 2

1 tan

22

1cos1

Thay vào ta tính được I1 là nguyên hàm theo ẩn t

Trang 57

Với dạng nguyên hàm này ta sẽ sử dụng phương pháp đồng nhất như với nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ đã xét

Trang 58

2 2 2

1 tan

22

1cos1

2 2 2

1 tan

22

1cos1

Trang 59

Trang 60

CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP:

Công thức nguyên hàm từng phần I =∫P x Q x dx( ) ( ) =∫udv=uv−∫vdu

Độ ưu tiên khi lựa chọn đặt u:

Hàm logarith, lnx → hàm đa thức → hàm lượng giác = hàm mũ

Nếu I có chứa lnn[g x thì đặt ( )] u=lnn[g x( )]→du=(lnn[g x( ) '] )

Nếu I có chứa hàm đa thức (không chứa hàm loga) thì đặt u = P(x)

Nếu I có chứa cả hàm lượng giác và hàm mũ thì ta có thể đặt tùy ý, tuy nhiên qua trình tính sẽ gồm các vòng lặp

Để việc tính toán đúng thì trong mỗi vòng lặp, các thao tác đặt u phải cùng dạng hàm với nhau

Chú ý:

Với các bài toán tìm nguyên hàm từng phần, chúng ta có thể sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, tìm v) hoặc cách

dùng được khi học sinh phải rất thành thạo vi phân

Định dạng
Số trang	65
Dung lượng	1,62 MB