BÀI GIẢNG NGUYÊN hàm và PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm file word

Nguyên hàm của một tích thương của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằngtích thương của các nguyên hàm của những hàm thành phần.. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau gia

NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

˜ ⓣ ⓗ ⓑ ⓣ ⓝ ™

Khái niệm nguyên hàm và tính chất

1 Khái niệm nguyên hàm

— Cho hàm số f x ( ) xác định trên K . Hàm số F x ( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x ( ) trên K nếu: F x ¢ = ( ) f x ( ), " Î x K

— Nếu F x ( ) là một nguyên hàm của f x ( ) trên K thì họ nguyên hàm của hàm số f x ( ) trên K là:

+ ò

2 Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng

tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm thành phần.

3 Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên

hàm).

Dạng toán 1 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM

˜ ⓣ ⓗ ⓑ ⓣ ⓝ ™

A – PH ƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NG PHÁP GI I TOÁN ẢI TOÁN

1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa ¾¾ ¾PP ® khai triển.

2 Tích các hàm mũ ¾¾ ¾PP ® khai triển theo công thức mũ.

3 Chứa căn ¾¾ ¾PP ® chuyển về lũy thừa.

4 Tích lượng giác bậc một của sin và cosin ¾¾ ¾PP ® khai triển theo công thức tích

BT 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định):

Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận dụng các tính chất

……….d) f x ( ) = ( x2- 3 ) ( x × + × x 1) ĐS:

13

x) I = ò (tan x - 2cot ) x dx2 ĐS: I = tan x - 4cot x - 9 x C +

………

y) I = ò3u u ( - 4) du ĐS: 33 7 33 4 . 7 I = u - u + C ………

BT 2 Chứng minh F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) trong các trường hợp sau: Phương pháp: Để F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ), ta cần chứng minh: ( ) ( ) F x ¢ = f x a) F x ( ) = 5 x3+ 4 x2- 7 x + 120 và f x ( ) = 15 x2+ 8 x - 7.

b) F x ( ) = ln( x + x2+ 3) và ( ) 21 . 3 f x x = +

c) ( ) (4 F x = x - 5) × ex và f x ( ) = (4 x - 1) × ex.

d) F x ( ) = tan4x + 3 x - 5 và f x ( ) = 4tan5x + 4tan3x + 3.

e) 2 2 4 ( ) ln 3 x F x x æ + ÷ ö ç ÷ = ç ç ÷ ÷ ç + è ø và 2 2 2 ( ) ( 4) ( 3) x f x x x -= + × +

f)

2

2

2 1 ( ) ln

2 1

F x

=

+ + và

2

4

2 2( 1)

1

x

f x

x

-=

+

BT 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trong các trường hợp

c)

2

3 5 ( ) x , ( ) 1.

2

3 x 2 x 5 ,

x

= ò × biết F (1) = 2 ĐS: F x ( ) x3 x2 5 7.

x

= - - +

h) 3 2 2 3 3 7 , ( 1) x x x I dx x + + -= × + ò biết F (0) = 8 ĐS: 2 8 ( ) 2 1 x F x x x = + + × +

i) sin2 , 2 x I = ò × dx biết F 2 4 p p æ ö ÷ ç ÷= × ç ÷ ç ÷ çè ø ĐS: ( ) 2 sin 2 1 2 x x F x = + - ×

j) I x x 1 dx , x æ ö ÷ ç ÷ = × + ç ç ÷ ÷ × çè ø ò biết (1) 7 2 F = × ĐS: 2 1 ( ) 3 3ln 1 2 x F x x x x - + + + +

k) 2 2 2cos 1 , cos x I dx x -= ò × biết F 4 2 p p æ ö ÷ ç ÷= × ç ÷ ç ÷ çè ø ĐS: F x ( ) = 2 x - tan x + 1.

BT 4 Tìm điều kiện của tham số m hoặc a, b, c để F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) : Phương pháp: Để F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x Û F x ¢ ( ) = f x ( ) Từ đó, ta sử dụng đồng nhất thức để tìm ra tham số cần tìm. a) 3 2 2 ( ) (3 2) 4 3 ( ) 3 10 4 F x mx m x x f x x x ìï = + + - + ïï × íï = + -ïïî ĐS: m = 1.

b)

2

2

( )

x

f x

ïî

ĐS: m = - 3.

c) 2 ( ) ( ) ( ) ( 3) x x F x ax bx c e f x x e ìï = + + × ïï × íï = - × ïïî ĐS: a = 0, b = 1, c = - 4.

d) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (2 8 7) x x F x ax bx c e f x x x e -ìï = + + × ïï × íï = - - + ×

ïïî ĐS: a = 1, b = - 3, c = 2.

e) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 3 2) x x F x ax bx c e f x x x e -ìï = + + × ïï × íï = - + × ïïî ĐS: a = - 1, b = 1, c = - 1.

f) ( ) ( 1)sin sin2 sin3 2 3 ( ) cos b c F x a x x x f x x ìïï = + + + ïï × íï ï = ïïî ĐS: a = = = b c 0.

g) 2 2 ( ) ( ) 2 3 20 30 7 ( ) 2 3 F x ax bx c x x x f x x ìï = + + × -ïï ï × í - + ï = ïï -ïî ĐS: a = 4, b = - 2, c = 1.

h) ( ) 32 , ( 3)

C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHÓM 1 : DÙNG B NG NGUYÊN HÀM ẢI TOÁN Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f x ( ) = x3+ 3 x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau? A ( ) 4 3 2 2 4 2 x x F x = + + x C + B ( ) 4 3 2 2 3 x F x = + x + x C + C ( ) 4 2 2 4 2 x x F x = + + x C + D F x ( ) = 3 x2+ 3 x C + . Câu 2. Hàm số F x ( ) = 5 x3+ 4 x2- 7 x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A f x ( ) = 15 x2+ 8 x - 7 . B f x ( ) = 5 x2+ 4 x + 7 . C f x = ( ) 5 x 42+ 4 x 33- 7 2 x2 D f x ( ) = 5 x2+ 4 x - 7 . Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: y x2 3 x 1 x = - + là A ( ) 3 3 2 ln 3 2 x F x = - x + x + C B ( ) 3 3 2 ln 3 2 x F x = - x + x C + C ( ) 3 3 2 ln 3 2 x F x = + x + x C + D F x ( ) 2 x 3 12 C x = - - +

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f x ( ) ( = x + 1 ) ( x + 2 ) A ( ) 3 3 2 2 3 2 x F x = + x + x C + B ( ) 3 2 2 2 3 3 x F x = + x + x C + C F x ( ) = 2 x + + 3 C . D ( ) 3 2 2 2 3 3 x F x = - x + x C + Câu 5. Nguyên hàm F x ( ) của hàm số ( ) 2 2 2 3 5 2 f x x x x = + + - là hàm số nào? A F x ( ) ln 5 2 x 2ln x 3 C x = - - + - + B F x ( ) ln 5 2 x 2ln x 3 C x = - - + + +

C F x ( ) ln 5 2 x 2ln x 3 C x = - + - + D F x ( ) ln 5 2 x 2ln x 3 C x = - - - + +

Câu 6. Một nguyên hàm của hàm số f x ( ) = x3- 3 x2+ là 5

4

x

- + + x4- x3+ 5 x C +

Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số g x ( ) = - 5 x4+ 4 x2- 6 là:

6 3

x

4 x - 3 C ( )5

3 5

x

3 3

x

4 x - 3 C ( )5

3 5

x

3 3

Câu 15. Kết quả của ò x x ( 2+ 1 ) dx bằng:

2 1 ( )

3

x

2 1 ( )

3

x

F x = + x + C D Kết quả khác.

Câu 21. Họ nguyên hàm của f x ( ) = x2- 2 x + là: 1

(2 x + 1) + C (2 x + 1)4+ C 2(2 x + 1)4+ C

Câu 23. Nguyên hàm của hàm số f x ( ) = - (1 2 ) x5 là:

+ + C x2+ 3ln x2+ C D Kết quả khác

Câu 25. Tìm hàm số f x ( ) biết rằng f x ’ ( ) = 2 x + 1 và f ( ) 1 = 5

A x2+ + x 3 B x2+ - x 3 C x2+ x D Kết quả khác

Câu 26. Tìm hàm số y = f x ( ) biết f x ¢ = ( ) ( x2- x x )( + và (0) 1) f = 3

Câu 27. Cho f x ( ) = 3 x2+ 2 x - 3 có một nguyên hàm triệt tiêu khi x = Nguyên hàm đó là 1

kết quả nào sau đây?

Câu 28. Tìm hàm số f x ( ) biết rằng

2'( ) b , '(1) 0, (1) 4, ( 1) 2

x x

x x

+ - D Kết quả khác

Câu 29. Một nguyên hàm của hàm số f x ( ) x2 3 2 x

5

x

3 ( )

NHÓM 2: HÀM S VÔ T ( CH A CĂN) Ố VÔ TỶ ( CHỨA CĂN) Ỷ ( CHỨA CĂN) ỨA CĂN)

Câu 32. Nguyên hàm của hàm số 1

Câu 43. Gọi ( ) F x là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 1

Câu 45. Tìm nguyên hàm 3x2 4 dx

A Chỉ (I) B Chỉ (III) C Chỉ (II) D Chỉ (III) và (IV)

Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số

( ) 3

NHÓM 3: HÀM S L Ố VÔ TỶ ( CHỨA CĂN) ƯỢNG GIÁC NG GIÁC

Câu 50. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) f x = cos 3 æ ç ç ç x + 6 ö ÷ ÷ ÷ ÷

Câu 51. Tìm nguyên hàm của hàm số ) 1 a 2

Câu 53. Tính ò ( sin x - cos x dx )

Câu 54. Một nguyên hàm của hàm số ( ) 22

cos

f x

x

= là:

A 2tanx C + B 2cotx C + C 2sinx C + D 2cosx C +

Câu 55. Một nguyên hàm của hàm số ( ) 3 12

sin

f x

x

= - là:

Câu 56. Cho ( ) f x = sin x - cos x Một nguyên hàm ( ) F x của ( ) f x thỏa 0

C 2 cos + x + 2sin x D x2+ cos x + 2sin x - 2

Câu 58. Một nguyên hàm của hàm số f x ( ) = tan2x là:

x x

Câu 59. Một nguyên hàm của hàm số f x ( ) = cos4x - sin4x là:

Câu 71. Kết quả nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) = cos x biết nguyên

hàm này triệt tiêu khi

Câu 76. Trong các hàm số sau:

(I) f x ( ) = tan2x + 2 (II) ( ) 22

cos

f x

x

= (III) f x ( ) = tan2x + 1

Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x) = tanx

A (I), (II), (III) B Chỉ (II), (III) C Chỉ (III) D Chỉ (II)

Câu 77. Nguyên hàm của hàm số f x ( ) =  2sin3 cos2 x x

C 5cos5 x + cos x C + D Kết quả khác

Câu 78. Lựa chọn phương án đúng:

A ò cot xdx = ln sin x + C B ò sin xdx = cos x C +

A Chỉ (I) và (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II) và (III) D Chỉ (II)

Câu 81. Tìm ò (sin x + 1) cos3 xdx là:

Câu 82. Xét các mệnh đề

(I) ( ) F x = + x cos x là một nguyên hàm của

2( ) sin - cos

(III) ( ) F x = tan x là một nguyên hàm của f x ( ) = -ln cos x

Mệnh đề nào sai ?

A (I) và (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II) D Chỉ (I) và (III)

Câu 83. Tìm sin 3

2

x dx

Câu 87. Nguyên hàm của hàm số y = f x ( ) = sin x + cos x - 1 là:

A. F x ( ) = sin x - cos x C + B F x ( ) = sin x - cos x x C - +

C. F x ( ) = cos x + sin x x C - + D. F x ( ) = sin x + cos x x C - +

Câu 88. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A. sin cos x xdx = - cos sin x x C +

Câu 89. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A. cos3 cos 1 1 sin4 1 sin2

A F x ( ) =-   cos – sin x x C +    B F x ( ) =  cos x + sin x C +   

C F x ( ) =  cot – tan x x C +    D F x ( ) =-   cot – tan x x C +   

Câu 91. Tìm nguyên hàm 2sin3 cos2 ò x xdx ?

A 2tan2x C + B 2 cot2x C + C 4 cot2x C + D 2 cot2x C +

Câu 94. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

Câu 95. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A. ò cot2xdx = - cot x x C - + B. ò tan2xdx = tan x x C - +

NHÓM 4: HÀM S MŨ, LOGARIT Ố VÔ TỶ ( CHỨA CĂN)

Câu 98. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) f x = ex- e-x.

e - e + C B 2 e2x- ex + C C e ex( x - x ) + C D Kết quả khác

Câu 111. Nguyên hàm của hàm số ( ) 2 12

x

e + x C + D Kết quả khác

Câu 112. Tính ò (3cos x - 3 )xdx , kết quả là:

Câu 113. Hàm số F x ( ) = ex + tan x C + là nguyên hàm của hàm số ( ) f x nào?

= + D Kết quả khác

Câu 114. Nếu ò f x dx ( ) = ex + sin2 x C + thì ( ) f x bằng

A ex + cos2 x B ex - cos2 x C ex + 2cos2 x D 1 cos2

( ) ln2 ln2

x x

Câu 120. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A – PH ƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NG PHÁP GI I TOÁN ẢI TOÁN

Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm ( ) ,

— Nếu bậc của tử số P x ³ ( ) bậc của mẫu số Q x ( ) ¾¾ ¾PP ® Chia đa thức.

— Nếu bậc của tử số P x < ( ) bậc của mẫu số Q x ( ) ¾¾ ¾PP ® Xem xét mẫu số và khi đó: + Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số.

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:

( 1)

dx I

j) 2

4

dx I

dx I

dx I

dx I

dx I

x dx I

2

2

1 1

2

3 2

2

2( 2)

2

2 2

(1 )

x dx I

BT 6 Tính các nguyên hàm sau:

( 1)

dx I

C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 122. Một nguyên hàm của hàm số 3 5

2

x y x

+

= + là:

Câu 123. Một nguyên hàm của hàm số ( )

2 1

x x

x x

-Câu 126. Cho hàm số ( ) ( )2

F = Vậy ( )

= - + = - + - + - Û íï ï =

= ïïî

+ + D Kết quả khác

Câu 132. Tính nguyên hàm 1

3ln 3

x

- + D Kết quả khác

Câu 134. Kết quả của 2

1

x dx x

Câu 137. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f x ( ) 2 1 5

x

= + là

Câu 141. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

Câu 142. Nguyên hàm của hàm số:

-= ò

A

3

2

1 2ln

Dạng toán 3 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

˜ ⓣ ⓗ ⓑ ⓣ ⓝ ™

A – PH ƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NG PHÁP GI I TOÁN ẢI TOÁN

Định lý: Cho ò f u du ( ) = F u ( ) + C và u = u x ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

m n

n

PP n

1 ( ln )

· I = ò f e ( )x × × e dxx ¾¾ ¾PP ® Đặt t = ex.

· I = ò f (cos ) sin x × xdx ¾¾ ¾PP ® Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx

· I = ò f (sin ) cos x × xdx ¾¾ ¾PP ® Đặt t = sin x Þ dt = cos xdx

·

2

1 (tan )

· I = ò f (sin x ± cos ) (sin x × x m cos ) x dx × ¾¾ ¾PP ® Đặt t = sin x ± cos x

2 Đổi biến số dạng 2: đặt x = j ( ) t

· I = ò f a ( 2- x2) × x dx2n ¾¾ ¾PP ® Đặt x = a sin t Þ dx = a cos t dt

dx I

0 0 khi

4 2

2

xdx I

2 ( 1)

3

21

( 1)

xdx I

k) (2 1)3

xdx I

+ +

l)

m)

3

1

x dx I

BT 8 Tính các nguyên hàm sau:

2 3(2 )

3

x

c) 322

4

xdx I

2

1

x dx I

15

e) I = ò 5 1 x3 - x dx2 ĐS:

4

2 3

15 (1 ) . 8

f) I = ò x5 (1 2 ) 3 - x2 2dx ĐS:

3(20 4 3) (1 2 )

320

3

2 4

i) 2

4

dx I

21

l)

1 x

dx I

ln 1 3ln

dx I

1

xdx I

2(1 ln )

2

x

x

e)

2 3

ln 2 ln x xdx I

f)

3 2 2

(1 3ln )

3 9ln 2

BT 10 Tính các nguyên hàm sau:

1

x

dx I

b)

2

x

dx I

c)

dx I

e)

4.

dx I

3(1 x)

1

x x

j)

1

x

dx I

BT 11 Tính các nguyên hàm sau:

1 sin

xdx I

c) 3cos 2

(1 sin )

xdx I

3 2sin

xdx I

3

2

cos sin

j) I = ò (cos3x - 1).cos 2xdx ĐS: sin5 2sin3 2 sin2

6 5sin sin

xdx I

11 7sin cos

xdx I

-BT 12 Tính các nguyên hàm sau:

1 cos

xdx I

34sin

d) sin2 cos

g)

3

tan sin (1 sin )

4 2 cos

3

4

sin cos

x x

BT 13 Tính các nguyên hàm sau:

4

6

sin cos

4tan cos2

5cos 8sin cos 3sin

dx I

-2sin cos cos

x dx I

cos sin

dx I

4

dx I

h) tan

4 cos2

BT 14 Tính các nguyên hàm sau:

a)

2

4

cos sin

2

8

cos sin

sin cot

dx I

cos sin

dx I

6

dx I

f) sin 3

(sin cos )

xdx I

x

+

BT 15 Tính các nguyên hàm sau:

sin cos 2

xdx I

c)

3

cos2 (sin cos 2)

x dx I

2 4(1 sin ) . 4

x

BT 16 Tính các nguyên hàm sau:

1

dx I

9

dx I

9

( 1)

dx I

25

dx I

25

3

21

4

dx I

Câu 148. Một nguyên hàm của hàm số f x ( ) = cos xesinx là

A F x ( ) = esinx B F x ( ) = ecosx C F x ( ) = e-sinx D F x ( ) = sin xesinx

Câu 149. Cho hàm số ( ) ( )2016

f x = x x + Khi đó :

2 1 4034

x

2 1 4032

x

1 2017

x

( ) sin

Câu 153. Kết quả của

3

x x

C sin3x sin5x + C D Đápán khác.

Câu 159. Một nguyên hàm của hàm số:

3

22

x y

-Câu 160. Hàm số nào dướiđây là một nguyên hàm của hàm số: 1 2

4

y

x

= +

2

21

Câu 167. Tìm nguyên hàm F x ( ) biết f x ( ) = cos cos2 sin4 x x x Kết quả là:

Câu 168. Tìm nguyên hàm F x ( ) biết f x ( ) = x sin x Kết quả là:

A F x ( ) = - 2 cos x x + 4 x sin x + 4cos x + C

B F x ( ) = - 2 cos x x - 4 x sin x + 4cos x + C

C F x ( ) = - 2 cos x x + 4 x sin x - 4cos x + C

D F x ( ) = 2 cos x x + 4 x sin x + 4cos x + C

Câu 169. Tính nguyên hàm xe dxx2+1

f x

e

= + thỏa F ( ) 0 = - ln3 là

Câu 178. Nguyên hàm của hàm số ( ) 32

x x

-Câu 185. Tìm nguyên hàm của hàm số f x ( ) = e3cosx.sin x

A

sin cos cos

Câu 190. Nguyên hàm của hàm số:

2( ) x

x a

+ +C B

-1 ln 2

-1 ln 2

A – PH ƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NG PHÁP GI I TOÁN ẢI TOÁN

Định lý: Nếu hai hàm số u = u x ( ) và v = v x ( ) có đạo hàm và liên tục trên K thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

I = ò u x v x dx × ¢ × = u x v x × - ò u x v x dx ¢ × × hay I = ò udv = uv - ò vdu ×

Vận dụng giải toán:

— Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác

Suy ra: I = ò udv = uv - ò vdu

— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv = phần còn lại Nghĩa là nếu có

ln hay logax thì chọn u = ln hay 1

u = lượng giác,….

—

Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.

— Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.

B - BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 17 Tính các nguyên hàm sau:

a) I = ò x × sin x dx × × ĐS: I = sin x - cos x C +

b) I = ò (1 2 ) - x e dx × × ×x ĐS: I = (3 2 ) - x e × +x C

c) I = ò ex× cos x dx × × ĐS: (sin cos ) 2 x e I = x + x + C

d) I = ò (2 x - 1) ln × x dx × × ĐS: 2 2 ( )ln 2 x I = x - x x - + + x C

e) I = ò x e × × ×3x dx ĐS: 3 3 3 9 x x xe e I = - + C