BÀI GIẢNG NGUYÊN hàm và PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm file word image marked

Cần nắm vững bảng nguyên hàm.. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau giả sử điều kiện được xác định: Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận dụng các tính chất...

NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

ⓣⓗ ⓑ ⓣ ⓝ

Khái niệm nguyên hàm và tính chất

1 Khái niệm nguyên hàm

— Cho hàm số ( ) xác định trên K Hàm số F x ( ) được gọi là nguyên hàm của hàm

ò

♦ Nhận xét Khi thay x bằng ( ax + b ) thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1

a ×

Một số lưu ý

1 Cần nắm vững bảng nguyên hàm

2 Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng

tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm thành phần

3 Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một

tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên

hàm)

Dạng toán 1 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM

ⓣⓗ ⓑ ⓣ ⓝ

A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa ¾ ¾ ¾®PP khai triển

2 Tích các hàm mũ ¾ ¾ ¾®PP khai triển theo công thức mũ

3 Chứa căn ¾ ¾ ¾®PP chuyển về lũy thừa

4 Tích lượng giác bậc một của sin và cosin ¾ ¾ ¾®PP khai triển theo công thức tích

BT 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định):

Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận dụng các tính chất

q) ( ) 2 2

cos

x

x

= × + ç ç ÷ ÷ ×

x

F x = e + x + C

………

r) 3 ( ) I = ò x + x × dx ĐS: 2 3 3 2 I = × x + C ………

s) 2 3 2 1 2 I x dx x æ ö÷ ç ÷ ç = ç + ÷ × × ÷ çè ø ò ĐS: 2 3 3 3 3 I = x + x + C I 2 x 2 C x = - + ………

t) 3 5 1 3 5 2 I dx x x x = ò + + × × ĐS: 9 3 2 255 4 ( ) 2 4 F x = x + x + x + C ………

u) 2 4 sin I = ò x dx × ĐS: I = 2 x - sin 2 x + C ………

v) 1 cos 4 2 x I = ò + × dx ĐS: sin 4 2 8 x x I = + + C ………

w) 1 (3 cos 3x ) I = ò x - - × × dx ĐS: 1 3 3 sin ln 3 x I x C -= - + ………

x) 2 (t an 2 cot ) I = ò x - x dx ĐS: I = tan x - 4 cot x - 9 x + C ………

y) 3 .( 4) I = ò u u - du ĐS: 3 3 7 3 4 3 7 I = u - u + C ………

BT 2 Chứng minh F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) trong các trường hợp sau: Phương pháp: Để F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ), ta cần chứng minh: ( ) ( ) F x ¢ = f x a) 3 2 ( ) 5 4 7 120 F x = x + x - x + và 2 ( ) 15 8 7 f x = x + x

b) 2

( ) ln( 3) F x = x + x + và 2 1 ( ) 3 f x x = +

c) F x ( ) = (4 x - 5) × ex và f x ( ) = (4 x - 1) × ex.

e)

2

2

4 ( ) ln

f)

2

2

2 1 ( ) ln

BT 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trong các trường hợp sau:

Phương pháp: Tìm nguyên hàm của hàm số f x ( ), tức đi tính

b) f x ( ) = 3 - 5 cos , ( ) x F p = 2 ĐS: F x ( ) = 3 x - 5 sin x + 2 - 3 p

c)

2

3 5 ( ) x , ( ) 1.

BT 4 Tìm điều kiện của tham số m hoặc a, b, c để F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) : Phương pháp: Để F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x Û F x ¢ ( ) = f x ( ) Từ đó, ta sử dụng đồng nhất thức để tìm ra tham số cần tìm a) 3 2 2 ( ) (3 2) 4 3 ( ) 3 10 4 F x mx m x x f x x x ìï = + + - + ïï × íï = + -ïïî ĐS: 1 m =

b) 2 2 ( ) ln 5 2 3 ( ) 3 5 F x x mx x f x x x ìï = - + ïïï × í + ï = ïï + + ïî ĐS: m = - 3.

c) 2 ( ) ( ) ( ) ( 3) x x F x ax bx c e f x x e ìï = + + × ïï × íï = - × ïïî ĐS: a = 0, b = 1, c = - 4.

d) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (2 8 7) x x F x ax bx c e f x x x e -ìï = + + × ïï × íï = - - + ×

ïïî ĐS: a = 1, b = - 3, c = 2.

e) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 3 2) x x F x ax bx c e f x x x e -ìï = + + × ïï × íï = - + × ïïî ĐS: a = - 1, b = 1, c = - 1.

f) ( ) ( 1) sin 2 sin 2 3 sin 3

( ) cos

íï

ïïî

ĐS: a = b = c = 0.

g) 2 2 ( ) ( ) 2 3 20 30 7 ( ) 2 3 F x ax bx c x x x f x x ìï = + + × -ïï ï × í - + ï = ïï -ïî ĐS: a = 4, b = - 2, c = 1.

h) 2 ( ) 3 , ( 3) ( ) ( ) 3 f x x x x F x ax bx c x ìï = - £ ïï × íï = + + × -ïïî ĐS: 2 2 12 ; ; 5 5 5 a = b = - c = - ×

C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHÓM 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1 Nguyên hàm của hàm số ( ) 3 3 2 f x = x + x + là hàm số nào trong các hàm số sau? A ( ) 4 2 3 2 4 2 x x F x = + + x + C B ( ) 4 2 3 2 3 x F x = + x + x + C C ( ) 4 2 2 4 2 x x F x = + + x + C D ( ) 2 3 3 F x = x + x + C Câu 2 Hàm số ( ) 3 2 5 4 7 120 F x = x + x - x + + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A ( ) 2 15 8 7 f x = x + x - B ( ) 2 5 4 7 f x = x + x + C ( ) 2 3 2 5 4 7 4 3 2 x x x f x = + - D ( ) 2 5 4 7 f x = x + x - Câu 3 Họ nguyên hàm của hàm số: 2 1 3 y x x x = - + là A ( ) 3 2 3 ln 3 2 x F x = - x + x + C B ( ) 3 2 3 ln 3 2 x F x = - x + x + C C ( ) 3 2 3 ln 3 2 x F x = + x + x + C D ( ) 2 1 2 3 F x x C x = - - +

Câu 4 Tìm nguyên hàm của hàm số f x ( ) ( = x + 1 )( x + 2 )

5 4

5 4

Câu 20 Tìm nguyên hàm F x ( ) của hàm số f x ( ) = x x ( + 2 )2, ta được kết quả là:

+ - D Kết quả khác

Câu 29 Một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3

x

F x = - + x - x +

NHÓM 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN)

Khi đó giá trị của

Câu 43 Gọi F x ( ) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 1

k

2

1 ( )

A Chỉ (I) B Chỉ (III) C Chỉ (II) D Chỉ (III) và (IV)

Câu 48 Một nguyên hàm của hàm số

( ) 3

A

2017 2

Câu 53 Tính ò ( sin x - cos x dx )

A - cos x - sin x + C B - cos x + sin x + C

C cos x - sin x + C D cos x + sin x + C

Câu 54 Một nguyên hàm của hàm số ( ) 22

cos

f x

x

= là:

A 2 tan x + C B 2 cot x + C C 2 sin x + C D 2 cos x + C

Câu 55 Một nguyên hàm của hàm số ( ) 3 12

C cos x - sin x + 2 D cos sin 2

cos 2 2

Câu 66 Gọi F x là nguyên của hàm số 1( ) 2

f x = x thỏa mãn F1(0) = 0 và F x là nguyên 2( ) của hàm số 2

Câu 71 Kết quả nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) = cos x biết nguyên hàm này

triệt tiêu khi

Câu 74 Tính sin(3 ò x - 1) dx , kết quả là:

Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x) = tanx

A (I), (II), (III) B Chỉ (II), (III) C Chỉ (III) D Chỉ (II)

Câu 77 Nguyên hàm của hàm số f x ( ) = 2 sin 3 cos 2 x x

A 1 cos 5 cos

C 5 cos 5 x + cos x + C D Kết quả khác

Câu 78 Lựa chọn phương án đúng:

A ò cot xdx = ln sin x + C B ò sin xdx = cos x + C

( ) sin sin 3 (sin 2 - sin 4 )

1 ( ) t an t an

A Chỉ (I) và (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II) và (III) D Chỉ (II)

(sin x + 1) cos xdx

x C

Câu 87 Nguyên hàm của hàm số y = f x ( ) = sin x + cos x - 1 là:

A F x ( ) = sin x - cos x + C B F x ( ) = sin x - cos x - x + C

C F x ( ) = cos x + sin x - x + C D F x ( ) = sin x + cos x - x + C

Câu 88 Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A. ò sin cos x xdx = - cos sin x x + C B. sin cos 1 cos 2

Câu 89 Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A. cos 3 cos 1 1 sin 4 1 sin 2

A 2 tan 2x + C B 2 cot 2x C + C 4 cot 2x C + D 2cot 2x C +

Câu 94 Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

Câu 96 Tìm hàm số f x ( ) biết f ' ( ) x = sin x - cos x và 0

f x d = e - + C

x 2

f x d = e - + C

Câu 112 Tính ò (3 cos x - 3 )x dx , kết quả là:

Câu 114 Nếu ò f x dx ( ) = ex + sin 2 x + C thì ( ) bằng

A ex + cos 2 x B ex - cos 2 x C ex + 2 cos 2 x D 1 cos 2

A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm ( ) ,

Phương pháp giải:

— Nếu bậc của tử số P x ³ ( ) bậc của mẫu số Q x ( ) ¾ ¾ ¾®PP Chia đa thức

— Nếu bậc của tử số P x < ( ) bậc của mẫu số Q x ( ) ¾ ¾ ¾®PP Xem xét mẫu số và khi đó:

+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa

về dạng tổng của các phân số

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:

f)

2

1 2

i)

( 1)

dx I

j) 2

4

dx I

u)

2

2

1 1

x)

2

3 2

z)

2

2 2

(1 )

x dx I

BT 6 Tính các nguyên hàm sau:

= + là:

A ln x + 1 B x + ln x + 1 C x - ln x + 1 D 2 ln x + 1

+ C x - 2 ln ( x + 1 )2 D 2 2

1

x x

?

A

2

1 1

x

+ +

C x

+ -

-C

2

1 1

C x

+ -

Câu 141 Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

Câu 142 Nguyên hàm của hàm số:

Câu 144 Nguyên hàm của hàm số ( 2 )2

3

1

x

dx x

A ( )

2

1 1

m n

n

PP n

1 ( ln )

· I = ò f e ( )x × × ex dx ¾ ¾ ¾®PP Đặt t = ex.

· I = ò f (cos ) sin x × xdx ¾ ¾ ¾®PP Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx

· I = ò f (sin ) cos x × xdx ¾ ¾ ¾®PP Đặt t = sin x Þ dt = cos xdx

· I = ò f (sin x ± cos ) (sin x × x m cos ) x × dx ¾ ¾ ¾®PP Đặt t = sin x ± cos x

2 Đổi biến số dạng 2: đặt x = j ( ) t

·

2

( ) n

dx I

0 0 khi

( 1)

8

( 1)

xdx I

(2 1)

xdx I

+ +

2 4

xdx I

d)

2

1

x dx I

3(20 4 3) (1 2 )

320

3

2

4

i)

2

4

dx I

2 3

ln 2 x ln xdx I

3 2 2

(1 3 ln ) 1

BT 10 Tính các nguyên hàm sau:

a)

1

x

dx I

b)

2

x

dx I

h)

2

1

x x

i)

x x

dx I

j)

1

x

dx I

BT 11 Tính các nguyên hàm sau:

1 sin

xdx I

(1 sin )

xdx I

-d) 2 cos

3 2 sin

xdx I

6 5 sin sin

xdx I

11 7 sin cos

xdx I

-BT 12 Tính các nguyên hàm sau:

1 cos

xdx I

c)

4

t an cos 2

5 cos 8 sin cos 3 sin

dx I

cos sin

dx I

cos cos

4

dx I

h)

t an

4 cos 2

BT 14 Tính các nguyên hàm sau:

a)

2

4

cos sin

sin cot

dx I

xdx I

(sin cos 2)

x dx I

x

BT 16 Tính các nguyên hàm sau:

a)

2

1

dx I

-b)

9

dx I

c)

( 1)

dx I

(1 )

3

1 4032

e dx

thỏa mãn F (2) = 0 Khi đó phương trình F x ( ) = x có nghiệm là:

x

= - là:

y

x

= +

Câu 162 Một nguyên hàm của hàm số: 2

Câu 167 Tìm nguyên hàm F x ( ) biết f x ( ) = cos cos 2 sin 4 x x x Kết quả là:

A ( ) 1 cos 7 1 cos 5 1 cos 3 1 cos

C ( ) 1 cos 7 1 cos 5 1 cos 3 1 cos

Câu 168 Tìm nguyên hàm F x ( ) biết f x ( ) = x sin x Kết quả là:

A F x ( ) = - 2 cos x x + 4 x sin x + 4 cos x + C

B F x ( ) = - 2 cos x x - 4 x sin x + 4 cos x + C

C F x ( ) = - 2 cos x x + 4 x sin x - 4 cos x + C

D F x ( ) = 2 cos x x + 4 x sin x + 4 cos x + C

x

( ) 2

1

f x

x

= +

Câu 174 Hàm số F x ( ) = ln sin x - 3 cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

e

f x

e

= + thỏa F ( ) 0 = - ln 3 là

3

1 3

x x

Câu 180 Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

-Câu 185 Tìm nguyên hàm của hàm số 3 cos

Câu 187 Nguyên hàm của hàm số: 3

A

sin cos cos

C 1 2 ( )52 2 ( )32

Dạng toán 4 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP

NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

ⓣⓗ ⓑ ⓣ ⓝ

A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Định lý: Nếu hai hàm số u = u x ( ) và v = v x ( ) có đạo hàm và liên tục trên K thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

I = ò u x × v x ¢ × dx = u x × v x - ò u x ¢ × v x × dx hay I = ò udv = uv - ò vdu ×

Vận dụng giải toán:

— Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác

sin ,

x e x dx ò — Đặt: V i phân Nguyên ha m u du dx dv dx v ìï = ××××××××××× ¾ ¾ ¾ ¾® = ×××××××××× ïï × íï = ×××××× ¾ ¾ ¾ ¾ ¾® = ××××××××××× ïïî # Suy ra: I = ò udv = uv - ò vdu — Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv = phần còn lại Nghĩa là nếu có ln hay loga x thì chọn u = ln hay log 1 ln ln a u x x a = = và dv = còn lại Nếu không có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,… — Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm — Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi B - BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 17 Tính các nguyên hàm sau: a) I = ò x × sin x dx × × ĐS: I = sin x - cos x + C

b) I = ò (1 - 2 ) x × × × ex dx ĐS: I = (3 - 2 ) x × + ex C

c) I = ò ex × cos x dx × × ĐS: (sin cos )

2

x

e

d) I = ò (2 x - 1) ln × x dx × × ĐS: 2 2 ( ) ln 2 x I = x - x x - + x + C

e) 3x I = ò x e × × × dx ĐS: 3 3 3 9 x x xe e I = - + C

f) 2 ln 2 I = ò x × x dx × × ĐS: 3 3 ln 2 3 9 x x x I = - + C

g) I = ò ln x dx × × ĐS: I = x ln x - x + C

h) I = ò ( x + 1) sin 2 × x dx × × ĐS: 1 cos 2 1 sin 2 2 4 x I = - + x + x + C

i) I = ò x e × -x × × dx ĐS: I = - (1 + x ) × e-x + C

j) I = ò ex × sin x dx × × ĐS: (sin cos ) 2 x e x x I × - C = +

k) I = ò x × cos x dx × × ĐS: I = x sin x + cos x + C

l) sin 2 x I = ò x × × × dx ĐS: 2 cos 4 sin 2 2 x x I = - x + + C

m) I = ò x e × × ×x dx ĐS: I = xex - ex + C

n) I = ò x × ln(1 - x ) × × dx ĐS: 2 2 ln(1 ) (1 ) ln(1 ) 2 2 4 x x x I = - x - - - + + C

o) 2 sin I = ò x × x dx × × ĐS: 2 sin 2 cos 2 4 4 8 x x x x I = - - + C

p) I = ò ln( x + 1 + x2) × × dx ĐS: 2 2 ln( 1 ) 1 I = x x + + x - + x + C

q) ln 1 1 x I x dx x + = × × × -ò ĐS: 2 1 1 ln 2 1 x x I x C x - + = + +

r) I ln x3 dx x = ò × × ĐS: ln 2 12 2 4 x I C x x = - - +

s) I = ò x × sin x × cos x dx × × ĐS: 1 cos 2 1 sin 2 4 8 I = - x x + x + C

t) I = ò e-2x × cos 3 x dx × × ĐS: 1 2 (3 sin 3 2 cos 3 ) 13 x I = e- x - x + C

u) 1 cos 2 x dx I x × = × + ò ĐS: 1 t an 1 ln cos 2 2 I = x x + x + C

v) 2 (2 cos 1) I = ò x × x - × × dx ĐS: sin 2 1 cos 2 2 4 x I = × x + x + C

ln

ln

.

x) 2 sin x I dx x = ò × × ĐS: I = - x cot x + ln sin x + C

y) 2 ( 2) x I = ò x - × e × × dx ĐS: 1 2 1 2 ( 2) 2 4 x x I = x - e - e + C

z) 2 ln( 1) I = ò x × x + × × dx ĐS: 2 2 2 ( 1) ln( 1) 1 I = x + x + - x - + C

BT 18 Tính các nguyên hàm sau: a) 2 2 1 ln x I x dx x -= ò × × × ĐS: I x 1 ln x x 1 C x x æ ö÷ ç ÷ = ç ç + ÷ ÷ × - + + çè ø

b) I = ò cos x dx × × ĐS: I = 2 x sin x - 2 cos x + C

c) I = ò sin x dx × × ĐS: I = - 2 x cos x + 2 sin x + C

d) 3 2

(8 2 ) x

I = x - × e - e + C

e) 3 2 . x I = ò x e × × dx ĐS: 1 2 2 1 2 2 2 x x I = x e - e + C

f) 5 x3 I = ò x × e × × dx ĐS: 1 3 3 1 3 3 3 x x I = x e - e + C

g) sin sin 2 x I = ò e × x dx × × ĐS: sin sin 2 sin x 2 x I = x e - e + C

h) x I = ò x e × × × dx ĐS: I = 2 xe x - 4 xe x + 4 e x + C

i) I = ò x × ln( x2 + 1) × × dx ĐS: 1 2 2 2 ( 1) ln( 1) 2 I = x + x + - x - x + C

j) I 1 ln(2x 1) dx x + + = ò × × ĐS: 1 1 ln 1 ln 1 x I x C x x x = - - + + +

+