Bài giảng Nguyên hàm, tích phân

Bài giảng Nguyên hàm, tích trình bày lý thuyết đạo hàm cơ bản; định nghĩa, các phép toán nguyên hàm; phương pháp tính nguyên hàm, tích phân...

 Lưu ý:  f x dx( ) : đgl nguyên hàm của f(x) theo biến x

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM lưu k ý ỹ thuật đổi biến Phần lớn sử dụng vi phân

Biến x Biến F x( )

2.2 Các phép toán nguyên hàm

  f x( )g x dx( )  f x dx( ) g x dx( )

 k f x dx ( ) k. f x dx  (với k là hằng số)

B PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Có hai phương pháp tính nguyên hàm – tích phân:

 Phương pháp đổi biến

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

2 3

1 7

2 x ;+x ln ;-7x -7 +2 2x

12

x x dấu  là nguyên hàm tương ứng

Bg

6(x1) xdx x1  x 1 1d x(  1)  x1  x 1 d x1

Bài toán tổng quát 1 P x( )dx

ax b

 với P x( ) là đa thức Phương pháp giải: Dùng kỹ thuật chia đa thức lấy tử số chia cho mẫu

e

e dx e





Bài toán tổng quát 2 2P x( ) dx

3

         2

Bài 2 (Dạng toán xuất hiện x

e ) Dùng vi phân: x x

e dxde Tìm nguyên hàm

Bài 3 (Dạng toán xuất hiện lượng giác)

Dùng vi phân cosdxdsinx ; sinxdxdcosx dcosx

Tìm nguyên hàm

2 cosx1 sinxdx

x x

NHẬN XÉT: Dấu hiệu tích phân từng phần là ta thấy biểu thức dưới dấu nguyên hàm xuất

hiện tích hai họ hàm khác nhau:

DẠNG TOÁN NGUYÊN HÀM THƯỜNG XUẤT HIỆN

Dạng 1 Xuất hiện tích của hai họ hàm khác nhau {trong đó có hàm x

e , hoặc hàm lượng giác} Đây là dấu hiệu dùng phương pháp từng phần Các hàm dễ tìm nguyên hàm như

1 ln

x

Bài 1 Tính các tích phân sau

 Hình phẳng (H) giới hạn bởi

( )0

; , ( )

y f x y

Lưu ý: Nếu đề toán hình phẳng (H) cho khuyết a hoặc b thì ta giải phương trình f x( )0 khi

đó pt sẽ có nghiệm a hoặc b ( y0 chính là trục hoành Ox )

 THỂ TÍCH

 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi

( )0

; , ( )

y f x y

y x y

1

y x

PHÂN TÍCH ĐỊNH HƯỚNG CON ĐƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

 DIỆN TÍCH

 Hình phẳng (H) giới hạn bởi

( )0

; , ( )

y f x y

Lưu ý: Nếu đề toán hình phẳng (H) cho khuyết a hoặc b thì ta giải phương trình f x( )0 khi đó pt

sẽ có nghiệm a hoặc b ( y0 chính là trục hoành Ox )

 THỂ TÍCH

 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi

( )0

; , ( )

y f x y

Xoay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được

khối tròn xoay (T) Khi đó thể tích khối tròn xoay (T) là

2 ( )T b ( )

+ Chọn x trên đoạn  a b; nằm trên trục hoành

+ Tính độ dài giá trị f x  Tổng tất cả các giá trị f x khi biến x chạy từ a đến b chính là diện tích hình cần tìm

 Tính thể tích khối tròn xoay (T) (hay khối đa diện):

Bài toán 1 [Nguyễn Việt Hải – CQT] Một ruột xe như hình vẽ đường kính ruột xe d 10cm Khi đặt ruột xe nằm trên mặt phẳng thì đường kính đường tròn trong R10,5m Tính thể tích ruột xe

Phân tích:

- Đầu tiên học sinh cần nhận ra được hình vẽ của bài toán là một hình tròn xoay

- Việc tiếp theo cực kỳ quan trọng: xác định được đường sinh của hình tròn xoay đó và trục của nó (theo các khái niệm trong sách Hình học 12 – chương trình chuẩn, trang 31) Cụ thể trong bài, khi đặt vòng xuyến nằm trên một mặt phẳng  P thì trục là đường thẳng qua tâm của vòng tròn và vuông góc với  P , đường sinh là một đường tròn nằm trong mặt phẳng chứa trục (theo sách Hình học 12 Nâng cao, trang 47 – 48) Cụ thể sẽ xuất hiện trong bài giải

- Dựng mô hình thực tế: một học sinh cầm trên tay một vòng tròn, lòng bàn tay đặt vuông góc với mặt đất Dùng cơ thể làm trục, xoay đúng 1 vòng, vết của đường tròn sẽ tạo nên một hình, hình đó chính

là vòng xuyến.Ta bắt gặp rất nhiều hình ảnh của vòng xuyến trong đời sống như: ruột xe (xăm xe), kiềng đeo cổ, các vòng đá đeo tay,…

Giải quyết bài toán

Giải tích hóa bài toán một cách đơn giản bằng hình

ảnh cụ thể như sau:

- Chọn trục là trục hoành

- Đường sinh là đường tròn  C có tâm I nằm trên

trục tung như hình vẽ Khi đó:  C có tâm

I Rr và bán kính r

- Vậy hình xuyến trong bài toán chính là hình tạo thành

khi xoay  C quanh trục Ox

y

R

m

O I

- 1/2 đường tròn phía trên m:   2 2

Nhận xét:Ta có thể giải quyết một cách khác bằng cách dùng công thức tổng diện tích với thiết diện

của vòng xuyến cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox là một hình vành khăn có bán kính đường tròn nhỏ là Rvà bán kính đường tròn lớn là R  2 r Tuy nhiên, xét về mặt kỹ thuật tính toán, giải theo cách này thực sự không hiệu quả hơn phương pháp đã giải Chi tiết xin dành cho đọc giả

Đặt vấn đề: Khi chúng ta thay đổi đường sinh từ đường tròn sang một đường khác ta cũng được một

số kết quả khá thú vị Ở đây tôi sẽ dùng đường sinh là một tam giác vuông, ta có bài toán sau đây:

Người ta dự định xây một bể chứa nước như

hình vẽ, phần hình trụ dùng để chứa nước, xung

quanh là khối bê tông Hình trụ có bán kính đáy

là R, chiều cao a, bề dày phần bê tông xung

quanh đáy bể là b Tính thể tích V khối bê

tông

Phân tích: Cũng với ý tưởng như các bài toán trên, ta chỉ thay đổi đường sinh thành tam giác

vuông Bài toán được giải tích hóa bằng hình ảnh đơn giản như hình bên

x

y

R a

b C

O

Xét thiết diện là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy của khối trụ hay bổ dọc hình nêm

Ta đi chứng minh bài toán tổng quát : Một vật thể có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng R cắt

khối trụ bởi một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy một góc

 Ta được phần cắt ra là hình nêm loại 1có thể tích 2 3

tan3

Nên hình nêm có đáy là nửa đường tròn có phương trình y R2 x2 ,x  R R; 

Một mặt phẳng cắt và vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x x,   R R;  , cắt hình Nêm theo thiết diện là tam giácPMN vuông tại điểm Nvà có góc MPN 

Gọi S x  là diện tích thiết diện do mặt phẳng có phương vuông góc với trục Ox Mặt phẳng này cắt trục Ox tại điểmE

Khi đó S x S hinh quatS HMN ( Hình quạt bán kính R10 và góc ở tâm2 )

Mở rộng kết quả bài toán khi cắt khối trụ bởi một mặt không đi qua tâm mặt đáy

Bài toán 4 Một vật thể có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng R cắt khối trụ bởi một mặt phẳng

tạo với đáy một góc  và có giao tuyến với đáy là một dây cung AB2a ( với aR ) Tính thể tích phần cắt ra

Thật vậy

Chọn hệ trục như trên , khi đó thiết diện vuông góc với trục Ox cắt dây AB tại H

Tương tự như trên :  2 2 2 2 2 2 2

Bài toán 5 [Nguyễn Việt Hải – CQT] Một cốc nước hình trụ bán kính R = 6cm Người ta đổ nước

vào và nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang góc 45 độ (Nhưhìnhvẽ) Tính thể tích nước trong cốc

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: gốcOlà tâm đường tròn đáy

Phân tích

Tính thể tích hình bị giới hạn thì ta có thể dùng ứng dụng của tích phân

Vì các trục của hai khối trụ vuông góc với nhau nên ta gắn tọa độ vào đó để tính

Khi lấy một mặt phẳng vuông góc với trục hoành cắt (H) thì thiết diện có được là một hình vuông có cạnh x (0 x a)

Tính diện tích thiết diện và dùng công thức tích phân để tính: ( )

0( )

a H

V S x dx

Hướng dẫn giải

Dựng đứng hình lên và chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Khi cắt (H) bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x a), ta được thiết diện là một hình vuông cạnh bằng 2 2

0

2 1 3 2( )

33

Bài toán 7 Một nhà toán học muốn điêu khắc một bức tượng đặc biệt có dạng “xoắn” được cắt gọt

từ một khối đá hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có tất cả các cạnh bằng 1 Biết rằng bức tương đó có hai đáy là các tam giác ABC và A B C' ' ' đồng thời thiết diện của bức tượng khi cắt bởi một mặt phẳng bất kỳ song song và nằm giữa hai đáy là một tam giác có ba đỉnh lần lượt nằm trên

các đường chéo AC CB BA', ', ' Tính thể tích V của bức tượng đá mà nhà toán học dự định điêu

khắc

Phân tích

- Mô hình bức tượng là một hình có dạng xoắn, nó không thuộc về mô hình khối đa diện thông thường nên không lựa chọn công cụ tính thể tích theo các khối đa diện để giải quyết cho bài toán, khi đó phản xạ có điều kiện là còn sử dụng công cụ tích phân trong ứng dụng tính thể tích

- Khi định hướng sử dụng công cụ tích phân, ta thấy rằng mô hình bức tượng không phải là tròn xoay, do vậy ta chọn ngay việc ứng dụng trong tính thể tích của một vật thể từ định nghĩa

- Đến đây xuất hiện 2 yêu cầu cơ bản: một là sự lựa chọn hệ trục tọa độ, hai là ứng với hệ trục tọa

độ đó phải xây dựng được công thức diện tích của thiết diện

Việc lựa chọn trục, nếu vận dụng đúng ( )

b

a

V S x dx thì cần hình dung được trục Ox vuông góc với mặt thiết diện; đối với bài này ta có sẵn mặt thiết diện song song với hai đáy nên có được việc định hướng trục Ox có phương chiều cao của lăng trụ, chọn gốc tọa độ được định hướng dựa trên một số điểm đặc biệt nào đó

Ta có một số cách xây dựng hệ tọa độ và xây dựng hàm diện tích thiết diện tương ứng

Hướng dẫn giải

+ Thiết diện sẽ di chuyển từ mặt đáy ABC đến mặt đáy A’B’C’ với khoảng cách bằng 1 để tạo thành khối vật thể, như vậy có sự lựa chọn

1 0( )

S x dx

 Từ đó ta có định hướng chọn hệ trục Oxy như hình

vẽ

+ Tính trực tiếp S MNP sẽ cảm thấy có sự vướng trong tư duy và

trong cả kỹ năng tính toán, lại thấy rằng (MNP) || (ABC)

nên nếu chiếu vuông góc MNP xuống đáy ABC

thì được M N P' ' ' MNP

và khi đó việc tạo ra S x( )SM N P' ' ' sẽ thuận lợi.

23( ) (3 3 1)

(3 3 1)

V  x  x dx

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài toán 1.1 Cho một vòng xuyến có đường kính d 2r, đường

kính vòng tròn nhỏ D  2 R Tính thể tích của vòng xuyến

NHẬN XÉT: Ruột xe cũng là một vòng xuyến trong Bài toán tổng quát

Bài toán 1.2 Người ta dùng 18289mm3 vàng để làm một chiếc vòng đeo cổ (chiếc kiềng) hình xuyến với đường kính mặt trong là 2dm Tính gần đúng (đến số nguyên) độ dày d (đường kính) của chiếc vòng

Bài toán 1.3

Bạn A có một cốc thuỷ tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm , chiều cao trong lòng

cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng

cốc thì đáy nước trùng với đường kính đáy Tính thể tích lượng nước trong cốc

Bài toán 1.4

Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường

lực cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 10m và rộng 16m (như hình vẽ)

Bài toán 1.5

Một khối gỗ bán kính mặt đáy R = 1,5m chiều cao h = 5m (như hình vẽ) Người ta cưa khối gỗ tại điểm M theo mặt phẳng song song với trục hình trụ biết OM = 0,5m Tính tỉ số thể tích hai khối gỗ cắt ra V1: V2