04 bài giảng số 4 biến ngẫu nhiên, hàm các biến ngẫu nhiên và các định lý giới hạn

Khái niệm về biến ngẫu nhiên hai chiều Ta kí hiệu biến ngẫu nhiên hai chiều X,Y, trong đó X,Y được gọi là các thành phần của biến ngẫu nhiên hai chiều, mỗi thành phần là một biến ngẫu nh

Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều-Hàm các biến ngẫu nhiên

Đ1 Khái niệm về biến ngẫu nhiên hai chiều

Ta kí hiệu biến ngẫu nhiên hai chiều (X,Y), trong đó X,Y được gọi là các thành phần của biến ngẫu nhiên hai chiều, mỗi thành phần là một biến ngẫu nhiên một chiều Các biến ngẫu nhiên X,Y được xét một cách đồng thời

Tương tự, biến ngẫu nhiên n chiều có thể xem xét như hệ n biến ngẫu nhiên một chiều

Ví dụ: Một máy sản xuất ra một sản phẩm, nếu kích cỡ của nó được đo bằng chiều dài

X, chiều rộng Y, ta có biến ngẫu nhiên hai chiều (X,Y), nếu thêm cả bề dày Z ta có biến ngẫu nhiên 3 chiều (X,Y,Z)

Biến ngẫu nhiên nhiều chiều gọi là rời rạc nếu các thành phần của nó là biến ngẫu nhiên rời rạc, gọi là liên tục nếu các thành phần của nó liên tục

Đ2 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc liệt kê tất các các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng

y1 P (x1, y1) P (x2, y1) P (xi, y1) P (xn, y1)

y2 P (x1, y2) P (x2, y2) P (xi, y2) P (xn, y2)

yj P (x1, yj) P (x2, yj) P (xi, yj) P (xn, yj)

ym P (x1, ym) P (x2, ym) P (xi, ym) P (xn, ym)

Trong đó P (xi, yj) = P (X = xi, Y = yj), i = 1, n, j = 1, m

Các P (xi, yj)phải thỏa mãn điều kiện







0 ≤ P (xi, yj) ≤ 1

Pn i=1

Pm j=1P (xi, yj) = 1

*Bảng phân phối xác suất biên của thành phần X

X x1 x2 xi xn

P P (x1) P (x2) P (xi) P (xn)

P (xi) =Pm

j=1P (xi, yj)

*Bảng phân phối xác suất biên của thành phần Y

P P (y1) P (y2) P (yj) P (ym)

P (xj) = Pn

i=1P (xi, yj)

Đ3.Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều

1.Định nghĩa

Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều (X,Y), kí hiệu F(x,y) xác định bởi

F (x, y) = P (X < x, Y < y)

Về mặt hình học: giá trị của hàm phân bố xác suất tại mỗi điểm (x,y) là các xác suất để biến ngẫu nhiên (X,Y) nhận giá trị tại một góc phẳng có đỉnh (x,y) (hình vẽ)

2.Tính chất

+Tính chất 1:

0 ≤ F (x, y) ≤ 1 +Tính chất 2:

F(x,y) không giảm theo từng đối số

Chứng minh: Giả sử x1 < x2

Ta có: P (X < x2, Y < y) = P (X < x1, Y < y) + P (x1 ≤ X < x2, Y < y)

⇒ P (X < x2, Y < y) − P (X < x1, Y < y) = P (x1 ≤ X < x2, Y < y) ≥ 0

⇒ F (x2, y) − F (x1, y) ≥ 0

⇒ F (x2, y) ≥ F (x1, y)

+Tính chất 3

F (−∞, y) = 0,F (x, +∞) = 0

F (−∞, +∞) = 0, F (+∞, +∞) = 1

+Tính chất 4.

F (x, +∞) = F1(x)-hàm phân bố xác suất biên của riêng thành phần X

F (+∞, y) = F2(y)-hàm phân bố xác suất biên của riêng thành phần Y

+Hệ quả:

P (x1 < X < x2, Y < y) = F (x2, y) − F (x1, y)

P (X < x2, y1 < Y < y2) = F (x, y2) − F (x, y1)

P (x1 < X < x2, y1 < Y < y2) = F (x2, y2) − F (x1, y2) − F (x2, y1) + F (x1, y1)

Đ4 Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều

Giả sử (X,Y) là biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục

1.Định nghĩa

Kí hiệu f(x,y) cho bởi công thức

f (x, y) = ∂

2F (x, y)

∂x∂y 2.Tính chất

+Tính chất 1: f(x, y) ≥ 0

+Tính chất 2: Xác suất để (X,Y) nhận giá trị trong một miền D

P ((x, Y ) ∈ D) =

Z Z

D

f (x, y)dxdy +Tính chất 3:

F (x, y) =

Z x

−∞

Z y

−∞

f (x, y)dxdy +Tính chất 4:

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

f (x, y)dxdy = 1 +Ghi chú:

Gọi f1(x)là hàm mật độ xác suất biên của thành phần X, ta có

f1(x) =

Z +∞

−∞

f (x, y)dy Thật vậy:

f1(x) = dF1(x)

dF (x, +∞)

d dx

Z x

−∞

Z +∞

−∞

f (x, y)dxdy =

Z +∞

−∞

f (x, y)dy

Tương tự: f2(y)là hàm mật độ xác suất biên của thành phần Y

f2(y) =

Z +∞

−∞

f (x, y)dx

Đ5.Quy luật phân phối xác suất có điều kiện của các thành phần của hệ hai biến ngẫu nhiên

1 Xét biến ngẫu nhiên rời rạc (X,Y)

Gọi P (xi/yj)là các xác suất có điều kiện để thành phần X nhận giá trị xi với điều kiện thành phần Y nhận giá trị yj

Ta có bảng phân phối xác suất có điều kiện của thành phần X với điều kiện Y = yj có dạng:

P P (x1/yj) P (x2/yj) P (xi/yj) P (xn/yj)

Trong đó:

P (xi/yj) = P (xi, yj)

P (yj) Chú ý:

n

X

i=1

P (xi/yj) = 1,

m

X

j=1

P (yj/xi) = 1

Ví dụ 1:

Từ kết quả phân tích số liệu thống kê trong tháng về doanh số bán hàng X và chi phí quảng cáo Y (đơn vị triệu đồng) của một công ty thu được bảng phân phối xác suất đồng thời:

Y \ X 100 200 300

1 0,15 0,1 0,04 1,5 0,05 0,2 0,15

2 0,01 0,05 0,25

a Lập bảng phân phối xác suất của doanh số bán hàng

b Lập bảng phân phối xác suất của doanh số bán hàng khi chi phí quảng cáo là 1,5 triệu

a Bảng phân phối của doanh số bán hàng:

X 100 200 300

P 0,21 0,35 0,44

b

P (X = 100/Y = 1, 5) = P (X = 100, Y = 1, 5)

P (Y = 1, 5) =

0, 05

0, 4 = 0, 125 Tương tự ta có bảng phân phối sau

X/Y=1,5 100 200 300

P 0,125 0,5 0,375

2 Xét biến ngẫu nhiên liên tục (X,Y)

Hàm mật độ xác suất có điều kiện của thành phần X với Y=y, kí hiệu f(x/y)

f (x/y) = f (x, y)

f2(y) =

f (x, y)

R+∞

−∞ f (x, y)dx Tương tự, hàm mật độ có điều kiện của thành phần Y với điều kiện X=x:

f (y/x) = f (x, y)

f1(x) =

f (x, y)

R+∞

−∞ f (x, y)dy Chú ý:

Nếu X,Y là độc lập thì phân phối xác suất có điều kiện bằng phân phối xác suất không

có điều kiện, do đó:

Nếu X, Y rời rạc:

P (xi, yj) = P (xi).P (yj/xi) = P (yj).P (xi/yj) = P (xi).P (yj) (1)

Nếu X,Y liên tục:

f (x, y) = f1(x).f2(y) (2) (1),(2) chính là điều kiện cần và đủ để hai biến ngẫu nhiên X,Y độc lập

Đ6 Các tham số đặc trưng của hệ hai biến ngẫu nhiên

1.Kỳ vọng:

Nếu X,Y rời rạc

E(X) =

n

X

i=1

xiP (xi) =

n

X

i=1

m

X

j=1

xiP (xi, yj)

E(Y ) =

m

X

j=1

yjP (yj) =

m

X

j=1

n

X

i=1

yjP (xi, yj) Nếu X,Y liên tục

E(X) =

Z +∞

−∞

xf1(x)dx =

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

xf (x, y)dxdy E(Y ) =

Z +∞

−∞

yf2(y)dy =

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

yf (x, y)dxdy

2.Phương sai:

Nếu X,Y rời rạc

V (X) =

n

X

i=1

[xi− E(X)]2p(xi) =

n

X

i=1

m

X

j=1

x2iP (xi, yj) − E2(X) Nếu X,Y liên tục

V (X) =

Z +∞

−∞

[x − E(X)]2f1(x)dx =

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

x2f (x, y)dxdy − E(X) Tương tự ta có công thức tính V(Y)

Ví dụ 2:

Từ bảng phân phối xác suất VD1, tính giá trị trung bình và phương sai của chi phí quảng cáo?

Ta có bảng phân phối xác suất của chi phí quảng cáo

P 0,29 0,4 0,31

E(Y ) = 1.0, 29 + 1, 5.0, 4 + 2.0, 31 = 1, 51

E(Y2) = 12.0, 29 + 1, 52.0, 4 + 22.0, 31 = 2, 43

V (Y ) = E(Y2) − E2(Y ) = 0, 1499

3.Hiệp phương sai:

Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X,Y là kỳ vọng toán của tích các sai lệch của các biến ngẫu nhiên đó với kỳ vọng toán của chúng, kí hiệu Cov(X,Y)

Cov(X, Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}

Biến đổi ta có công thức:

Cov(X, Y ) =

m

X

j=1

n

X

i=1

xiyjP (xi, yj) − E(X).E(Y ),nếu X,Y rời rạc

Cov(X, Y ) =

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

x(x, y)dxdy − E(X).E(Y ),nếu X,Y liên tục

Từ định nghĩa ta thấy đơn vị của hiệp phương sai bằng tích đơn vị của X và Y, để khắc phục, người ta đưa ra khái niệm hệ số tương quan

4 Hệ số tương quan

ρxy = Cov(X, Y )

σXσY

Ví dụ 3:

Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) trong VD1 Tính Cov(X,Y), ρ(X, Y )

Giải:

Ta có E(X)=223, V(X)=5971

E(Y)=1,51, V(Y)=0,1499

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=17,27

ρxy = 0, 577

*Một số tính chất:

1 ρxy = ρyx

2.−1 ≤ ρxy ≤ 1

3.Nếu X,Y độc lập thì ρxy = 0

4 Đặc biệt nếu ρxy = ±1thì X,Y phụ thuộc tuyến tính (Y=aX+b)

Hiệp phương sai và hệ số tương quan đặc trưng cho mức độ chặt chẽ của mối liên hệ phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên X và Y

Nếu ρxy = 0, ta nói X,Y không có mối quan hệ tương quan

Chú ý:

Nếu ρxy = 0thì chưa chắc X,Y độc lập

Định nghĩa:Hai biến ngẫu nhiên gọi là tương quan với nhau nếu hiệp phương sai (hệ số tương quan) khác không, gọi là không tương quan nếu chúng bằng không

Như vậy 2 biến ngẫu nhiên không tương quan thì có thể độc lập hoặc phụ thuộc

5.Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc thì:

V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X, Y )

V (X − Y ) = V (X) + V (Y ) − 2Cov(X, Y )

Tổng quát: V (aX ± bY ) = a2V (X) + b2V (Y ) ± 2abCov(X, Y )

Ví dụ 4:

Có 2 loại cổ phiếu A,B được bán có lãi suất tương ứng là 2 biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất

4 0,05 0,1 0,25 0,15

a.Nếu đầu tư toàn bộ vào cổ phiếu B thì lãi suất kỳ vọng và mức độ rủi ro là bao nhiêu b.Đầu tư theo tỷ lệ nào thì rủi ro về lãi suất thấp nhất

Giải:

a Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y

P 0,2 0,55 0,25

Ta có E(Y)=0.0,2+4.0,55+6.0,0,25=3,7

E(Y2) = 17, 8

V (Y ) = 4, 11

b Gọi p là tỷ lệ đầu tư vào A, 1-p là tỷ lệ đầu tư vào B

Lãi suất thu được: pX + (1 − p)Y

Do X,Y không độc lập, ta có:

V (pX + (1 − p)Y ) = p2V (X) + (1 − p)2V (Y ) + 2p(1 − p)Cov(X, Y )

E(X) = 4, 2, V (X) = 17, 96

Cov(X, Y ) =P xiyjPij − E(X).E(Y ) = −3, 14

Rủi ro về lãi suất thấp nhất khi p=0,255

Đầu tư 25,5% vào cổ phiếu A

Đ7 Kỳ vọng toán có điều kiện -Hàm hồi quy

1.Kỳ vọng toán có điều kiện

Kỳ vọng toán có điều kiện của biến ngẫu nhiên Y với X=x cho bởi công thức

E(Y /X = x) =

m

X

j=1

yjP (yj/x),nếu (X,Y) là biến ngẫu nhiên rời rạc

E(Y /X = x) =

Z +∞

−∞

yf (y/x)dy,nếu (X,Y) là biến ngẫu nhiên liên tục Tương tự, ta cũng có định nghĩa kỳ vọng toán có điều kiện của X khi Y=y: E(X/Y = y) 2.Hàm hồi quy

Ta nhận thấy E(Y/X = x) là hàm phụ thuộc vào giá trị x

Nếu đặt E(Y/X = x) = f(x)-được gọi là hàm hồi quy của Y đối với X

E(X/Y = y) = g(y)-được gọi là hàm hồi quy của X đối với Y

Nhận xét:Hàm hồi quy cho biết sự phụ thuộc của trung bình của biến ngẫu nhiên này vào biến ngẫu nhiên kia

Ví dụ: Thống kê dân số một nước ở độ tuổi trưởng thành theo trình độ học vấn X và lứa tuổi Y, thu được bảng sau

Tìm học vấn trung bình theo lứa tuổi?

Y X Thất học 0 Tiểu học 1 Trung học 2 Đại học 3

Giải

Tìm E(X/Y )

Với Y=30

⇒ E(X/Y = 30) = 2, 069

X/Y=30 0 1 2 3

P 0,01/0,29 0,03/0,29 0,18/0,29 0,07/0,29

Tương tự: E(X/Y = 45) = 1, 946, E(X/Y = 70) = 1, 529

(Đồ thị đường hồi quy)

Đ8 Quy luật phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

1.Quy luật phân phối xác suất của hàm một biến ngẫu nhiên

Giả sử Y là hàm của biến ngẫu nhiên X: Y = ϕ(X)

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì ứng với các giá trị khác nhau của X, ta có các giá trị khác nhau của Y và các xác suất tương ứng với các giá trị đó bằng nhau

Ví dụ1:

Giả sử X có bảng phân phối xác suất

P 0,6 0,4

Y = X2

Y nhận các giá trị : y1 = 22 = 4, y2 = 32 = 9

và ta có bảng phân phối xác suất của Y:

P 0,6 0,4

Ví dụ 2:

Cũng là hàm Y = X2 nhưng nếu X có bảng phân phối xác suất:

P 0,4 0,5 0,1

Khi đó: P (y1) = P (Y = 4) = P (X = 2) + P (X = −2) = 0, 9

P (y2) = P (Y = 9) = P (X = 3) = 0, 1

Do đó bảng phân phối xác suất của Y:

Y 4 9

P 0,9 0,1

* Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x), người ta chứng minh

được rằng nếu Y = ϕ(X) là khả vi, đơn điệu thì hàm mật độ g(y) của biến ngẫu nhiên

Y cho bởi

g(y) = f (ψ(y))|ψ0(y)|

(trong đó X = ψ(Y ) là hàm ngược của Y = ϕ(X))

Ví dụ 3:

Cho biến ngẫu nhiên X ∼ N(à, σ2), Y = aX + b, Tìm phân phối xác suất của Y Giải:

Ta có: ψ(y) = x = y−b

x ⇒ |ψ0(y)| = |1a|

g(y) = 1

σ√ 2πe

−(

y−b

a −à)2 2σ2 1

|a| =

1 σ|a|√ 2πe

−(y−(aà+b)2

2(aσ)2

KL: Như vậy nếu biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn thì một hàm tuyến tính bất kì của

nó cũng phân phối theo quy luật chuẩn

2.Quy luật phân phối xác suất của hàm hai biến ngẫu nhiên

Cho hàm hai biến ngẫu nhiên Z = ϕ(X, Y )

Ta xét trường hợp đặc biệt: Z = X + Y

Ví dụ:

Cho bảng phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên X,Y:

P 0,4 0,6

P 0,2 0,8

Lập bảng phân phối xác suất của Z = X + Y

Ta phải tìm tất cả các giá trị có thể có của Z và các xác suất tương ứng

z1 = 1 + 3 = 4,z2 = 1 + 4 = 5,z3 = 2 + 3 + 5,z4 = 2 + 4 = 6

P (Z = 4) = P (X = 1).P (Y = 3) = 0, 4.0, 2 = 0, 08

P (Z = 5) = P (X = 1).P (Y = 4) + P (X = 2).P (Y = 3) = 0, 44

P (Z = 6) = P (X = 2).P (Y = 4) = 0, 48

P 0,08 0,44 0,48

3.Các tham số đặc trưng của hàm các biến ngẫu nhiên

*Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc, P (X = xi) = pi, i = 1, n

Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y = ϕ(X) được xác định bởi công thức:

E(Y ) = E(ϕ(X)) =

n

X

i=1

ϕ(xi)pi

V (Y ) = V (ϕ(X)) =

n

X

i=1

{ϕ(xi) − E[ϕ(X)]}2pi

=

n

X

i=1

ϕ2(xi)pi− {E[ϕ(X)]}2

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x)

E(Y ) = E(ϕ(X)) =

Z +∞

−∞

ϕ(x)f (x)dx

V (Y ) = V (ϕ(X)) =

Z +∞

−∞

{ϕ(x) − E[ϕ(X)]}2f (x)dx

=

Z +∞

−∞

ϕ2(x)f (x)dx − {E[ϕ(X)]}2

Ví dụ:

Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất

Tìm kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y = ϕ(X) = X2+ 1

Giải:

Ta có ϕ(1) = 2, ϕ(3) = 10, ϕ(5) = 26

X 1 3 5

P 0,2 0,5 0,3

Do đó:

E(Y ) = 2.0, 2 + 10.0, 5 + 26.0, 3 = 13, 2

V (Y ) = 22.0, 2 + 102.0, 5 + 262.0, 3 − (13, 2)2 = 79, 36

Chương 5: Các định lý giới hạn

Đ1 Bất đẳng thức Trêbưsep

Nếu X là biến ngẫu nhiên có E(X) < +∞, V (X) < +∞ thì với mọi  > 0 tùy ý, ta có:

P (|X − E(X)| < ) ≥ 1 − V (X)

2

Chứng minh:

Ta sẽ chứng minh cho trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc, P (X = xi) = pi

Giả sử có k giá trị x1, x2, xkthỏa mãn |xi− E(X)| < ; n-k giá trị xi còn lại thỏa mãn:

|xi− E(X)| ≥ 

Ta có:

P (|X − E(X)| < ) = 1 − P (|X − E(X)| ≥ )

V (X) =

n

X

i=1

(xi − E(X))2pi ≥

n

X

i=k+1

(xi− E(X))2pi ≥

n

X

k+1

2pi = 2

n

X

i=k+1

pi Hơn nữa: pk+1+ pk+2+ + pn là xác suất để X nhận một trong các giá trị xk+1, xn

⇒ pk+1+ pk+2+ + pn= P (|X − E(X)| ≥ )

⇒ V (X) ≥ 2P (|X − E(X)| ≥ )

⇒ P (|X − E(X)| ≥ ) ≤ V (X)2

hay P (|X − E(X)| < ) ≥ 1 − V (X)

 2

*Nhận xét:

+ Bất đẳng thức cho phép đánh giá cận trên hoặc cận dưới xác suất để biến ngẫu nhiên

X nhận giá trị sai lệch so với kỳ vọng toán của nó lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1 số 

+Bất đẳng thức được áp dụng mà không cần biết quy luật phân phối xác suất của X

Ví dụ:

Thu nhập trung bình hàng năm của dân cư một vùng là 700 USD, độ lệch chuẩn 120USD Xác định khoảng thu nhập hàng năm xung quanh giá trị trung bình của ít nhất 95% dân cư vùng đó

Giải:

Gọi X là thu nhập hàng năm của dân cư vùng đó

P (|X − E(X)| < ) ≥ 0, 95

P (|X − 700| < ) ≥ 1 − 120

2

2 = 0, 95

⇒  = 536, 656 ⇒ X ∈ (700 − 536, 656; 700 + 536, 656) = (163, 344; 1236, 656) Vậy ít nhất 95% dân cư vùng đó có thu nhập trong khoảng (163, 344; 1236, 656)

Đ2.Định lý Trêbưsep

Nếu các biến ngẫu nhiên X1, X2, Xn độc lập từng đôi, các kỳ vọng hữu hạn, các phương sai V (Xi) ≤ C, ∀ > 0bé tùy ý, ta có:

lim

n→∞P (|X1+ X2+ + Xn

n −E(X1) + E(X2) + + E(Xn)

Chứng minh:

Xét X = X 1 +X 2 + +X n

n

Ta có: E(X) = 1

n

Pn i=1E(Xi) E(X) = n12

Pn

i=1V (Xi)

áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep đối với X

P (|X − E(X)| < ) ≥ 1 − V (X)

2 = 1 − P V (Xi)

n22

⇒

P (|X − E(X)| < ) ≥ 1 − nC

n22 = 1 − C

n2

⇒

lim

n→∞P (|X − E(X)| < ) ≥ 1 hay

lim

n→∞P (|X − E(X)| < ) = 1

*Đặc biệt, khi các Xi cùng kỳ vọng E(Xi) = m, ta có:

lim

n→∞P (|X1+ X2+ + Xn

n − m)| < ) = 1 Kết luận trên được gọi là Định lý Luật số lớn của Trêbưsep

Bản chất của định lý Trêbưsep là chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kỳ vọng toán

Đ3 Định lý Bernoulli

Định lý:(Định lý luật số lớn của Bernoulli) Gọi f là tần suất xuất hiện biến cố A trong

n phép thử độc lập và p là xác suất xuất hiện biến cố đó trong mỗi phép thử, với ∀ > 0, có:

lim

n→∞P (|f − p| < ) = 1 Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho biến ngẫu nhiên f = X

n, E(f ) = 1nE(X), V (f ) = n12V (X)

Do X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử nên X ∼ B(n, p) và E(X) = np,

V (X) = np(1 − p), thay vào bất đẳng thức Trêbưsep ta có đpcm

*Nhận xét: Định lý Bernoulli chứng minh sự hội tụ theo xác suất của tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử độc lập về xác suất xuất hiện biến cố đó trong mỗi phép thử khi

số phép thử tăng lên vô hạn; chứng tỏ sự ổn định của tần suất quanh giá trị xác suất của biến cố đó

Đ4 Hàm đặc trưng-Định lý giới hạn trung tâm

1.Hàm đặc trưng

1.1.Định nghĩa: Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

eitX, ký hiệu ϕX(t)

ϕX(t) = E(eitX) = E(cos(tX)) + iE(sin(tX)) +Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, P (X = xi) = pi: ϕX(t) =Pn

i=1eitx ipi +Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, hàm mật độ f(x):ϕX(t) =R+∞

−∞ eitxf (x)dx 1.2.Các tính chất của hàm đặc trưng

a |ϕX(t)| ≥ 1

b.Nếu Y = aX + b thì ϕY(t) = eibtϕX(at)

c Nếu X1, X2, Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập thì:

ϕX1+X2+ +Xn(t) =

n

Y

k=1

ϕXk(t)

d Nếu tồn tại E|X|k thì ϕX(t)cũng tồn tại đạo hàm đến bậc k tại mọi t

e.F (x) xác định duy nhất hàm đặc trưng ϕX(t)