BÀI GIẢNG NGUYÊN hàm và PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm file word

Cần nắm vững bảng nguyên hàm.2.. Nguyên hàm của một tích thương của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng tích thương của các nguyên hàm của những hàm thành phần.. Tìm

NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

˜ ⓣ ⓗ ⓑ ⓣ ⓝ ™

Khái niệm nguyên hàm và tính chất

1 Khái niệm nguyên hàm

— Cho hàm số f x ( ) xác định trên K . Hàm số F x ( ) được gọi là nguyên hàm của hàm

số f x ( ) trên K nếu: F x ¢ = ( ) f x ( ), " Î x K

— Nếu F x ( ) là một nguyên hàm của f x ( ) trên K thì họ nguyên hàm của hàm số ( )

1 Cần nắm vững bảng nguyên hàm.

2 Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng

tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm thành phần.

3 Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một

tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên

hàm).

Dạng toán 1 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM

˜ ⓣ ⓗ ⓑ ⓣ ⓝ ™

A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa ¾¾ ¾PP ® khai triển.

2 Tích các hàm mũ ¾¾ ¾PP ® khai triển theo công thức mũ.

3 Chứa căn ¾¾ ¾PP ® chuyển về lũy thừa.

4 Tích lượng giác bậc một của sin và cosin ¾¾ ¾PP ® khai triển theo công thức tích

BT 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định):

Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận dụng các tính chất

……….

u) 2 4sin I = ò x dx × ĐS: I = 2 x - sin2 x C + ………

……….

v) 1 cos4 . 2 x I = ò + × dx ĐS: sin4 . 2 8 x x I = + + C ………

……….

w) 1 (3cos 3 )x I = ò x - - × × dx ĐS: 1 3 3sin ln3 x I = x - - + C ………

……….

x) 2 (tan 2cot ) I = ò x - x dx ĐS: I = tan x - 4cot x - 9 x C + ………

……….

y) 3 .( 4) I = ò u u - du ĐS: I = 7 33u7 - 33u4+ C . ………

……….

BT 2 Chứng minh F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) trong các trường hợp sau: Phương pháp: Để F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ), ta cần chứng minh: ( ) ( ) F x ¢ = f x a) F x ( ) = 5 x3+ 4 x2- 7 x + 120 và f x ( ) = 15 x2+ 8 x - 7.

b) F x ( ) = ln( x + x2+ 3) và 2 1 ( ) 3 f x x = +

F x = x - × e f x ( ) = (4 x - 1) × ex.

d) F x ( ) = tan4x + 3 x - 5 và f x ( ) = 4tan5x + 4tan3x + 3.

e)

2 2

4 ( ) ln

f)

2 2

2 1 ( ) ln

BT 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trong các trường hợp sau:

Phương pháp: Tìm nguyên hàm của hàm số f x ( ), tức đi tính

b) f x ( ) = - 3 5cos , ( ) x F p = 2 ĐS: F x ( ) = 3 x - 5sin x + - 2 3 p

f) I = ò sin2 cos , x xdx biết F 3 0.

p

æ ö ÷ ç

k) 2 2 2cos 1 , cos x I dx x -= ò × biết F 4 2 p p æ ö ÷ ç ÷= × ç ÷ ç ÷ çè ø ĐS: F x ( ) = 2 x - tan x + 1.

BT 4 Tìm điều kiện của tham số m hoặc a, b, c để F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) : Phương pháp: Để F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x Û F x ¢ ( ) = f x ( ) Từ đó, ta sử dụng đồng nhất thức để tìm ra tham số cần tìm. a) 3 2 2 ( ) (3 2) 4 3 ( ) 3 10 4 F x mx m x x f x x x ìï = + + - + ïï × íï = + -ïïî ĐS: m = 1.

b) 2 2 ( ) ln 5 2 3 ( ) 3 5 F x x mx x f x x x ìï = - + ïïï × í + ï = ïï + + ïî ĐS: m = - 3.

c) 2 ( ) ( ) ( ) ( 3) x x F x ax bx c e f x x e ìï = + + × ïï × íï = - × ïïî ĐS: a = 0, b = 1, c = - 4.

d) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (2 8 7) x x F x ax bx c e f x x x e -ìï = + + × ïï × íï = - - + ×

e) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 3 2) x x F x ax bx c e f x x x e -ìï = + + × ïï × íï = - + × ïïî ĐS: a = - 1, b = 1, c = - 1.

f) ( ) ( 1)sin sin2 sin3 2 3 ( ) cos b c F x a x x x f x x ìïï = + + + ïï × íï ï = ïïî ĐS: a = = = b c 0.

g) 2 2 ( ) ( ) 2 3 20 30 7 ( ) 2 3 F x ax bx c x x x f x x ìï = + + × -ïï ï × í - + ï = ïï -ïî ĐS: a = 4, b = - 2, c = 1.

h) 2 ( ) 3 , ( 3) ( ) ( ) 3 f x x x x F x ax bx c x ìï = - £ ïï × íï = + + × -ïïî ĐS: a = 2 5 ; b = - 2 5 ; c = - 12 5 ×

C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHÓM 1 : DÙNG B NG NGUYÊN HÀM ẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f x ( ) = x3+ 3 x + 2

là hàm số nào trong các hàm số sau?

Câu 2. Hàm số F x ( ) = 5 x3+ 4 x2- 7 x + 120 + C

là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Câu 5. Nguyên hàm F x ( )

Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số g x ( ) = - 5 x4+ 4 x2- 6 là:

A

6 3

x

-D

( )3

3 3

x

-D

( )3

3 3

Câu 16. Một nguyên hàm F x ( )

của hàm số

1 ( )

f x

x

= là:

1 ( )

F x

x

=

-Câu 17. Tìm họ nguyên hàm F x ( )

của hàm số

2 ( ) 3sin

Câu 18. Tìm họ nguyên hàm F x ( )

của hàm số f x ( ) = 3 – 3 x2 x

, ta được kết quả là:

Câu 20. Tìm nguyên hàm F x ( )

của hàm số ( ) ( )2

2

f x = x x +

, ta được kết quả là:

x

D Kết quả khác.

Câu 21. Họ nguyên hàm của f x ( ) = x2- 2 x + 1 là:

2 x + + C B (2 x + 1)4+ C C 2(2 x + 1)4+ C D Kết quả khác

Câu 23. Nguyên hàm của hàm số f x ( ) = - (1 2 ) x5 là:

A

6

1 (1 2 )

3

x

C x2+ 3ln x2+ C D Kết quả khác

Câu 25. Tìm hàm số f x ( )

biết rằng f x ’ ( ) = 2 x + 1

và f ( ) 1 = 5

A x2+ + x 3 B x2+ - x 3 C x2+ x D Kết quả khác

Câu 26. Tìm hàm số y = f x ( ) biết f x ¢ = ( ) ( x2- x x )( + 1) và (0) f = 3

Câu 27. Cho f x ( ) = 3 x2+ 2 x - 3 có một nguyên hàm triệt tiêu khi x = Nguyên hàm đó là 1

kết quả nào sau đây?

+

-D Kết quả khác

Câu 29. Một nguyên hàm của hàm số f x ( ) x2 3 2 x

x

là

NHÓM 2: HÀM S VÔ T ( CH A CĂN) Ố VÔ TỶ ( CHỨA CĂN) Ỷ ( CHỨA CĂN) ỨA CĂN)

Câu 32. Nguyên hàm của hàm số

1 ( )

Câu 38. Hàm số ( ) ( )2

Câu 43. Gọi ( ) F x là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f x ( ) = 1 2 - 1 x thì ( ) F x là:

Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số

( ) 3

NHÓM 3: HÀM S L Ố VÔ TỶ ( CHỨA CĂN) ƯỢNG GIÁC NG GIÁC

Câu 50. Tìm nguyên hàm của hàm số

Câu 53. Tính ò ( sin x - cos x dx )

Câu 54. Một nguyên hàm của hàm số 2

2 ( ) cos

f x

x

=

là:

A 2tanx C + B 2cotx C + C 2sinx C + D 2cosx C +

Câu 55. Một nguyên hàm của hàm số 2

Câu 56. Cho ( ) f x = sin x - cos x Một nguyên hàm ( ) F x của ( ) f x thỏa F 4 0

C 2 cos + x + 2sin x D x2+ cos x + 2sin x - 2

Câu 58. Một nguyên hàm của hàm số f x ( ) = tan2x là:

A

3

tan 3

x x

Câu 59. Một nguyên hàm của hàm số f x ( ) = cos4x - sin4x là:

cos2 2

-Câu 62. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f x ( ) = 2sin2 x

Câu 69. Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5 cos3 x x là:

Câu 71. Kết quả nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f x ( ) = cos x biết

nguyên hàm này triệt tiêu khi x = 2

F æ ö ç ÷= ç ÷ ç ÷ ÷

çè ø

p

Kết quả là:

C

1 sin6 1 sin4

6 x - 4 x C + D - 6sin6 x + sin4 x C +

Câu 76. Trong các hàm số sau:

(I) f x ( ) = tan2x + 2 (II) 2

2 ( )

A (I), (II), (III) B Chỉ (II), (III) C Chỉ (III) D Chỉ (II)

Câu 77. Nguyên hàm của hàm số f x ( ) =  2sin3 cos2 x x

C 5cos5 x + cos x C + D Kết quả khác

Câu 78. Lựa chọn phương án đúng:

A ò cot xdx = ln sin x + C B ò sin xdx = cos x C +

A Chỉ (I) và (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II) và (III) D Chỉ (II)

(I) ( ) F x = + x cos x là một nguyên hàm của

Câu 88. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A. ò sin cos x xdx = - cos sin x x C + B. sin cos 1 cos2

C F x ( ) =  cot – tan x x C +    D F x ( ) =-   cot – tan x x C +   

Câu 91. Tìm nguyên hàm ò 2sin3 cos2 x xdx ?

=

A 2tan2x C + B 2 cot2x C + C 4 cot2x C + D 2 cot2x C +

Câu 94. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

NHÓM 4: HÀM S MŨ, LOGARIT Ố VÔ TỶ ( CHỨA CĂN) Câu 98. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) f x = ex- e-x.

Câu 101. Hàm số F x ( ) = 7 ex- tan x

là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Câu 106. Một nguyên hàm F x ( )

của hàm số

e - e + C

B 2 e2x- ex + C C e ex( x - x ) + C D Kết quả khác

Câu 111. Nguyên hàm của hàm số 2

Câu 112. Tính ò (3cos x - 3 )xdx , kết quả là:

A

3 3sin

ln3

x

Câu 113. Hàm số F x ( ) = ex + tan x C +

là nguyên hàm của hàm số ( ) f x nào?

1 ( )

D Kết quả khác

Câu 114. Nếu ò f x dx ( ) = ex + sin2 x C + thì ( ) f x bằng

A ex + cos2 x B ex- cos2 x C ex + 2cos2 x D

1 cos2 2

( )

x x

A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm

( )

, ( )

— Nếu bậc của tử số P x ³ ( ) bậc của mẫu số Q x ( ) ¾¾ ¾PP ® Chia đa thức.

— Nếu bậc của tử số P x < ( ) bậc của mẫu số Q x ( ) ¾¾ ¾PP ® Xem xét mẫu số và khi đó:

+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số.

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:

dx I

dx I

dx I

dx I

dx I

dx I

1 6

1 2 2

t)

2

x dx I

u)

2 2

1 1

2

3 2

y)

2 2

BT 6 Tính các nguyên hàm sau:

d)

2 3

e)

3

dx I

+

= + là:

Câu 124. Cho hàm số

2 2

-Câu 126. Cho hàm số ( ) ( 2 )2

Vậy ( )

= ïïî Tính ò f x dx ( ) = F x ( ) + C , ta được kết quả là:

D Kết quả khác

Câu 132. Tính nguyên hàm

x

+ là :

3

x

C x

D Kết quả khác

Câu 134. Kết quả của 1 2

x dx x

A 1 x - 2+ C B 2

1

+

x

dx x

Dạng toán 3 TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

˜ ⓣ ⓗ ⓑ ⓣ ⓝ ™

A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Định lý: Cho ò f u du ( ) = F u ( ) + C và u = u x ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

m n

n

PP n

· I = ò f e e dx ( )x × ×x ¾¾ ¾PP ® Đặt t = ex.

· I = ò f (cos ) sin x × xdx ¾¾ ¾PP ® Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx

· I = ò f (sin ) cos x × xdx ¾¾ ¾PP ® Đặt t = sin x Þ dt = cos xdx

1 (tan )

· I = ò f (sin x ± cos ) (sin x × x m cos ) x dx × ¾¾ ¾PP ® Đặt t = sin x ± cos x

2 Đổi biến số dạng 2: đặt x = j ( ) t

·

I = ò f a - x × x dx ¾¾ ¾PP ® Đặt x = a sin t Þ dx = a cos tdt

0 0 khi

8

x

xdx I

h)

3 2

i)

3 2

j)

2

xdx I

k)

3

xdx I

+ +

n)

3

1

x dx I

BT 8 Tính các nguyên hàm sau:

x

2 4

xdx I

d)

2

1

x dx I

h)

3

2 4

dx I

k)

3sin cos

dx I

dx I

xdx I

BT 9 Tính các nguyên hàm sau:

1 (1 ln )

e)

2 3

ln 2 ln x xdx I

f)

3 2 2

(1 3ln )

3 9ln 2

BT 10 Tính các nguyên hàm sau:

dx I

dx I

dx I

dx I

g)

2 2

dx I

dx I

BT 11 Tính các nguyên hàm sau:

a)

cos

1 sin

xdx I

c)

2

3cos (1 sin )

xdx I

d)

2cos

3 2sin

xdx I

g)

3 2

cos sin

h)

2

sin2 (2 sin )

sinx.cos

cos

xdx I

cos

xdx I

BT 12 Tính các nguyên hàm sau:

a)

sin

1 cos

xdx I

3 4

sin cos

x x

BT 13 Tính các nguyên hàm sau:

tan cos

b)

4 6

sin cos

x

c)

4

tan cos2

dx I

(1 sin2 )

x dx I

dx I

g)

cos cos

4

dx I

h)

tan

4 cos2

BT 14 Tính các nguyên hàm sau:

a)

2 4

cos sin

b)

2 8

cos sin

dx I

dx I

e)

sin sin

6

dx I

f)

3

sin (sin cos )

xdx I

BT 15 Tính các nguyên hàm sau:

cos2

xdx I

BT 16 Tính các nguyên hàm sau:

dx I

dx I

c)

dx I

dx I

e)

3 2

f)

2 4

dx I

Câu 147. Họ nguyên hàm của hàm số

Câu 150. Hàm số F x ( ) = ex2

là nguyên hàm của hàm số

A F x ( ) = ex + + 3 C B F x ( ) = 2 ex + + 3 C

x x

Câu 159. Một nguyên hàm của hàm số:

3 2

2

x y

x

=

- là:

x

= +

Câu 167. Tìm nguyên hàm F x ( )

biết f x ( ) = cos cos2 sin4 x x x

Kết quả là:

Câu 168. Tìm nguyên hàm F x ( )

biết f x ( ) = x sin x Kết quả là:

A F x ( ) = - 2 cos x x + 4 x sin x + 4cos x + C

B F x ( ) = - 2 cos x x - 4 x sin x + 4cos x + C

C F x ( ) = - 2 cos x x + 4 x sin x - 4cos x C +

D F x ( ) = 2 cos x x + 4 x sin x + 4cos x + C

Câu 169. Tính nguyên hàm

2 1

x

xe +dx

A

2 1

1 ( ) 2

x dx x

ò

.

1 ( )

19cos

x

Câu 174. Hàm số F x ( ) = ln sin x - 3cos x

là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Câu 176. Nguyên hàm F x ( )

của hàm số f x ( ) = sin 2 cos 22 x 3 x thỏa F 2 0

e

f x

e

= + thỏa F ( ) 0 = - ln3

Câu 180. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

Câu 182. Hàm số F x ( ) = ln sin x - 3cos x

là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây:

A f x ( ) cos sin x 3cos 3sin x

1

ln 3 2 4

Câu 185. Tìm nguyên hàm của hàm số f x ( ) = e3cosx.sin x

I = ò u x v x dx × ¢ × = u x v x × - ò u x v x dx ¢ × × hay I = ò udv = uv - ò vdu ×

Vận dụng giải toán:

— Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác

— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv = phần còn lại Nghĩa là nếu có

ln hay logax

thì chọn u = ln hay

1

ln

a

a

và dv = còn lại Nếu không

có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại Nếu không có log, đa thức, ta chọn

u = lượng giác,….

— Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.

— Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.

B - BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 17 Tính các nguyên hàm sau:

b) I = ò (1 2 ) - x e dx × × ×x ĐS: I = (3 2 ) - x e × +x C

c) I = ò ex× cos x dx × × ĐS: (sin cos ) 2 x e I = x + x + C

d) I = ò (2 x - 1) ln × x dx × × ĐS: 2 2 ( )ln 2 x I = x - x x - + + x C

e) 3x I = ò x e × × × dx ĐS: 3 3 3 9 x x xe e I = - + C

f) 2 ln2 I = ò x × x dx × × ĐS: 3ln2 3 . 3 9 x x x I = - + C

g) I = ò ln x dx × × ĐS: I = x x x C ln - +

h) I = ò ( x + × 1) sin2 x dx × × ĐS: 1 cos2 1 sin2 2 4 x I = - + x + x C +

i) x I = ò x e × × ×- dx ĐS: I = - (1 + x e ) × +-x C

j) I = ò ex× sin x dx × × ĐS: (sin 2 cos ) . x e x x I = × - + C

k) I = ò x × cos x dx × × ĐS: I = x sin x + cos x C +

l) sin 2 x I = ò x × × × dx ĐS: 2 cos 4sin 2 2 x x I = - x + + C

m) x I = ò x e dx × × × ĐS: I = xex- ex + C

n) I = ò x × ln(1 - x dx ) × × ĐS: 2 ln(1 ) (1 )2 ln(1 ) 2 2 4 x x x I = - x - - - + + C

o) 2 sin I = ò x × x dx × × ĐS: 2 sin2 cos2 . 4 4 8 x x x x I = - - + C

p) 2 ln( 1 ) I = ò x + + x × × dx ĐS: I = x ln( x + 1 + x2) - 1 + x2 + C

q) 1 ln 1 x I x dx x + = × × × -ò ĐS: 2 1 1 ln . 2 1 x x I x C x - + = + + -

r) 3 lnx I dx x = ò × × ĐS: 2 2 ln 1 . 2 4 x I C x x = - - +

s) I = ò x × sin x × cos x dx × × ĐS: 1 cos2 1 sin2 4 8 I = - x x + x C +

t) 2x cos3 I = ò e- × x dx × × ĐS: 1 2 (3sin3 2cos3 ) 13 x I = e- x - x + C

u) 1 cos2 x dx I x × = × + ò ĐS: 1 tan 1 ln cos . 2 2 I = x x + x + C

v) 2 (2cos 1) I = ò x × x - × × dx ĐS: 2 sin2 1 4 cos2 . x I = × x + x C +

w)

3 ln

x) sin2 x I dx x = ò × × ĐS: I = - x cot x + ln sin x + C

y) 2 ( 2) x I = ò x - × × × e dx ĐS: 1 ( 2) 2 1 2 2 4 x x I = x - e - e + C

z) 2 ln( 1) I = ò x × x + × × dx ĐS: I = ( x2+ 1)ln( x2+ - 1) x2- 1 + C

BT 18 Tính các nguyên hàm sau: a) 2 2 1 ln x I x dx x -= ò × × × ĐS: 1 ln 1 . I x x x C x x æ ö ÷ ç ÷ = ç ç + ÷ × - + + ÷ çè ø

b) I = ò cos x dx × × ĐS: I = 2 x sin x - 2cos x C +

sin

I = ò x dx × ×

d) 2 3 (8 2 ) x I = ò x - x e × × × dx ĐS: I = (4 x2- 1) × - ex2 4 ex2 + C

e) 2 3. x I = ò x e × × dx ĐS: 1 2 2 2 1 2 2 . x x I = x e - e + C

f) 3 5 x I = ò x e × × × dx ĐS: 1 3 3 3 1 3 3 . x x I = x e - e + C

g) sinx sin2 I = ò e × x dx × × ĐS: I = 2sin xesinx- 2 esinx + C

h) x I = ò x e × × × dx ĐS: I = 2 xe x - 4 xex + 4 e x + C

i)

2

2