Nguyên hàm từng phần (Phơng pháp Long hồi đầu) Nhắc lại Hàm số Nguyên hàm Đạo hàm x n ? nx n-1 ln x ? 1 x 2 ln x ? 2 ln x x sinx -cosx ? cosx sinx ? e x e x Dạng I: I= sin ( ). cos . x x P x x dx e Đặt ( ) '. '( ) sin cos cos . sin x x u P x u du P x dx x x dv x dx v x e e = = = = Vậy I = P(x) cos sin x x x e - cos sin . '( ) x x x P x dx e Dạng II: J= ( ). lnP x xdx Đặt 1 ln ( ) ( ) ( ) du dx u x x dv P x dx v Q x P x dx = = = = = Vậy I = lnx.Q(x) - 1 ( ).Q x dx x Dạng III K= ( ). ( )P x Q x dx Mặc sức sáng tác u=phần này và dv= phần còn lại, cảm xúc phải tự nhiên 1 1. I = dxxx ∫ + sin)1( §Æt 1 sin cos u x du dx dv xdx v x = + =   ⇒   = = −   ⇒ I = ( 1)cos cos ( 1)cos sinx x xdx x x x C− + + = − + + + ∫ 2. J= dxxx ∫ cos 2 §Æt 2 2 sin cos du xdx u x v x dv xdx = =  ⇒   = =   J = 2 sin 2 sinx x x xdx− ∫ TÝnh J 1 = sinx xdx ∫ §Æt sin cos u x du dx dv xdx v x = =   ⇒   = = −   ⇒ J 1 = cos cos cos sinx x xdx x x x C− + = − + + ∫ VËy J = 2 2 sin 2( cos sin ) sin 2 cos 2sinx x x x x C x x x x x C− − + + = + − + 3. ( ) 2 2 1 cos2 1 sin cos 2 2 2 1 cos2 4 2 x I x xdx x dx x x x dx x x xdx −   = = = −   = − ∫ ∫ ∫ ∫ TÝnh J = cos 2x xdx ∫ §Æt 1 cos 2 sin 2 2 du dx u x dv xdx v x =  =   ⇒   = =    ⇒ J = 1 1 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 2 2 2 4 x x x xdx x x C− = + + ∫ VËy I= 2 2 1 1 1 sin 2 cos2 sin 2 cos 2 4 2 2 4 4 4 8 x x x x x x C x x C   − + + = − − +     4. I= dxex x ∫ 2 §Æt 2 2 x x du xdx u x v e dv e dx = =   ⇒   = =    ⇒ I = 2 2 x x x e xe dx− ∫ TÝnh J= x xe dx ∫ §Æt x x u x du dx dv e dx v e = =   ⇒   = =   J= x x x x xe e dx xe e C− = − + ∫ 2 ⇒ I = 2 2 2 2 2 x x x x x x x e xe e C x e xe e C   − − + = − + +   5. I= dxex x ∫ + )32( §Æt 2 3 2 x x u x du dx dv e dx v e = + =   ⇒   = =   ⇒ I = ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 2 1 x x x x x x e e dx x e e C x e C+ − = + − + = + + ∫ 6. I= dxxx ∫ 2cos §Æt 1 cos 2 sin 2 2 du dx u x dv xdx v x =  =   ⇒   = =    ⇒ I = 1 1 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 2 2 2 4 x x x xdx x x C− = + + ∫ 7. dxxx ∫ ln 2 §Æt 2 3 1 ln 3 du dx u x x dv x dx x v  =  =   ⇒   =   =   ⇒ I = 3 3 3 2 1 ln ln 3 3 3 9 x x x x x dx x C− = − + ∫ 8. I= dxxx ∫ ln §Æt 3 2 1 ln 2 3 du dx u x x dv xdx v x  =  =    ⇒   =    =   ⇒ I = 3 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 ln ln ln 3 3 3 9 3 9 x x x dx x x x C x x x x x C− = − + = − + ∫ 9. I= dxx ∫ 2 ln §Æt 2 1 2 ln ln du xdx u x x dv dx v x   = =  ⇒   =   =  ⇒ I = 2 ln 2 lnx x xdx− ∫ TÝnh J= ln xdx ∫ §Æt 1 lnu x du dx x dv dx v x  = =   ⇒   =   =  ⇒ J= ln lnx x dx x x x C− = − + ∫ VËt I= ( ) 2 2 ln 2 ln ln 2 ln 2x x x x x C x x x x x C− − + = − + + 10. I= dxxx ∫ + ln)32( 3 §Æt 2 1 ln (2 3) 3 du dx u x x dv x dx v x x  = =   ⇒   = +   = +  ⇒ I = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 ln 3 3 ln 3 2 x x x x x dx x x x x C+ − + = + − − + ∫ 11. dxxx ∫ 2ln 2 §Æt 2 3 1 ln 2 3 du dx u x x dv x dx x v  =  =   ⇒   =   =   ⇒ I = 3 3 3 2 1 ln 2 ln 2 3 3 3 9 x x x x x dx x C− = − + ∫ 12. dx x x x ∫ + − 1 1 ln. §Æt ( ) ( ) 2 2 1 1 1 ln 1 2 du dx x x x u x x dv xdx v −  = −   − + =   ⇒ +     =  =   ⇒ I = 2 2 2 1 ln 2 1 1 x x x dx x x − − + − ∫ Ta cã: ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 2 2 1 x dx dx x dx x x x x x x x x x x C x     = + = + −     − − + − +       −   = + − − + = + +   + ∫ ∫ ∫ ⇒ I = 2 1 1 1 ln ln 2 1 2 1 x x x x C x x − − − − + + + 13. dxxx ∫ + )cos1ln(.cos §Æt sin ln(1 cos ) 1 cos cos sin x u x du dx x dv xdx v x −  = + =   ⇒ +   =   =  ⇒ I = 2 sin sin ln(1 cos ) sin ln(1 cos ) (1 cos ) 1 cos x x x dx x x x dx x + + = + + − + ∫ ∫ sin ln(1 cos ) sinx x x x C= + + − + 14. dxxe x ∫ sin §Æt sin cos x x u e du e dx dv xdx v x   = = ⇒   = = −   ⇒ I = cos cos x x e x xe dx− + ∫ TÝnh J= cos x e xdx ∫ 4 §Æt cos sin x x u e du e dx dv xdx v x   = = ⇒   = =   ⇒ J = sin x e x I+ VËy I = cos x e x− + sin x e x I+ ⇒ I= (sin cos ) 2 x e x x C − + 15. dxxe x ∫ cos 2 §Æt 2 2 sin cos 1 2 x x du xdx u x v e dv e dx = −  =   ⇒   = =    ⇒ I = 2 2 1 1 cos sin 2 2 x x x e e xdx− ∫ TÝnh J= 2 sin x e xdx ∫ §Æt 2 2 cos sin 1 2 x x du xdx u x v e dv e dx =  =   ⇒   = =    ⇒ J= 2 1 1 sin 2 2 x xe I− VËy I = 2 2 2 1 1 1 1 2 1 cos sin cos sin 2 2 2 2 5 5 x x x x x e xe I I xe xe C   − − ⇒ = + +  ÷   16. ( ) 2 1 1 1 cos cos2 cos 2 2 2 2 x x x x x e xdx e e x dx e e xdx= + = + ∫ ∫ ∫ TÝnh cos 2 x I e xdx= ∫ §Æt 1 cos2 sin 2 2 x x u x du xdx dv e dx v e  = = −   ⇒   =   =  ⇒ I = 1 cos2 sin 2 2 x x e x e xdx+ ∫ TÝnh: J= sin 2 x e xdx ∫ §Æt 1 sin 2 cos2 2 x x u x du xdx dv e dx v e  = =   ⇒   =   =  ⇒ 1 sin 2 2 x J e x I= − ⇒ I = 1 1 1 1 4 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 2 2 2 4 5 5 x x x x x x e x e x I I e x e x I I e x e x C   + − ⇔ = + − ⇔ = + +  ÷   KL: 2 1 2 1 cos cos2 sin 2 2 5 5 x x x x e xdx e e x e x C= + + + ∫ 17. ( ) 2 2 2 1 1 1 tan tan tan tan cos cos x x x x I x x e dx x e dx e dx xe dx x x   = + + = + = +  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ §Æt 2 1 tan cos x x u e du e dx v x dv dx x  =  =  ⇒   = =    ⇒ I = tan tan tan tan x x x x e x xe dx xe dx e x C− + = + ∫ ∫ 18. ( ) dx x xxx ∫ + ++ 1 1ln. 2 2 5 §Æt ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 ln 1 1 1 1 1 1 1 x u x x du dx dx x x x x x dv dx v x x      = + + = + =    ÷ ÷  ⇒ + + + +      =   = +   +  ⇒ I = ( ) ( ) 2 2 2 2 1.ln 1 1.ln 1x x x dx x x x x C+ + + − = + + + − + ∫ 19. ( ) cos lnI x dx= ∫ §Æt ( ) 1 cos ln sin(ln ) u x du x dx x dv dx v x   = = −   ⇒   =    =  ( ) cos ln sin(ln )I x x x dx= + ∫ TÝnh J= sin(ln )x dx ∫ §Æt ( ) 1 sin ln cos(ln ) u x du x dx x dv dx v x   = =   ⇒   =    =  ( ) sin lnJ x x I= − VËy ( ) ( ) ( ) ( ) cos ln sin ln cos ln sin ln 2 x I x x x x I I x x C   = + − ⇒ = + +   20. dx x x ∫ 2 cos )ln(cos §Æt 2 ln(cos ) sin tan cos 1 tan cos u x x du dx xdx x dv dx v x x = −   = = −   ⇒   =   =   ⇒ 2 2 1 tan ln(cos ) tan tan ln(cos ) 1 cos I x x xdx x x dx x   = + = + −  ÷   ∫ ∫ tan ln(cos ) tanx x x x C= + − + 6 Trung tâm luyện thi đại học Cô Hà Trang Đề số: 12302 Nguyên hàm ( Phơng pháp từng phần) (Đề bài này gồm 01 trang) 1) dxxx + sin)1( Đs: Cxxx ++ cos)1(sin 2) dxxx cos 2 Đs: 2 sin 2 cos 2sinx x x x x C+ + 3) dxxx 2 sin Đs: Cxxx x + 2cos 8 1 2sin 4 1 4 2 4) dxex x 2 Đs: ( ) Cxxe x ++ 22 2 5) dxex x + )32( Đs: ( ) Cex x ++12 6) dxxx 2cos Đs: Cxx x ++ 2cos 4 1 2sin. 2 7) dxxx ln 2 Đs: C x x x + 9 ln 3 33 8) dxxx ln Đs: ln 1 2 x C x x + + 9) dxx 2 ln Đs: Cxxxx x ++ lnln 2 2 2 10) dxxx + ln)32( Đs: ( ) Cx x xxx ++ 3 2 ln3 2 2 11) dxxx 2ln 2 Đs: C x x x + 9 2ln 3 33 12) dx x x x + 1 1 ln. Đs: C x x x x xx + + + + 21 1 ln 4 1 1 1 ln 2 2 13) dxxx + )cos1ln(.cos Đs: Cxxxx +++ sin)cos1ln(.sin 14) dxxe x sin Đs: ( ) Cxxe x + cossin 2 1 15) dxxe x cos 2 Đs: Cxx e x ++ )cos2(sin 5 2 16) dxxe x 2 cos Đs: Cxx e x + )2sin22cos7( 5 2 17) ( ) dxexx x ++ 2 tantan1 Đs: Cxe x +tan 18) ( ) dx x xxx + ++ 1 1ln. 2 2 Đs: ( ) Cxxxx ++++ 1ln.1 22 19) ( ) dxx lncos Đs: [ ] Cxx x ++ )sin(ln)cos(ln 2 20) dx x x 2 cos )ln(cos Đs: Cxxxx ++ tan)ln(cos.tan 7 . Nguyên hàm từng phần (Phơng pháp Long hồi đầu) Nhắc lại Hàm số Nguyên hàm Đạo hàm x n ? nx n-1 ln x ? 1 x 2 ln x ? 2 ln x x sinx -cosx. ) tanx x x x C= + − + 6 Trung tâm luyện thi đại học Cô Hà Trang Đề số: 12302 Nguyên hàm ( Phơng pháp từng phần) (Đề bài này gồm 01 trang) 1) dxxx + sin)1( Đs: Cxxx ++ cos)1(sin 2) dxxx cos 2 Đs: