Mục đích yêu cầu - Nắm được phương trình lượng giác cơ bản, điều kiện của a để phương trình sinx = a; cosx = a có nghiệm - Biết được công thức nghiệm của phương trình lượng giác nếu số đ
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I Mục đích yêu cầu
- Nắm được phương trình lượng giác cơ bản, điều kiện của a để phương trình sinx = a; cosx = a có nghiệm
- Biết được công thức nghiệm của phương trình lượng giác nếu số đo bằng độ hay Rad
- Biết sử dụng arcsina; arcosa, arcostang, arccota khi việc phương trình lượng giác
II Trọng tâm
III Chuẩn bị
IV Các bước lên lớp
1 Ổn định tổ chức
2 Kiểm tra bài cũ
Tìm các giá trị của x để sin a = 1; cos 1 ?
2 a 2
+ Giá trị lượng giác của 1 cung : (cos 300, sin 600, tang 300, cot 600,…)
3 Giảng bài mới
Giáo viên nhắc lại cách biểu diễn cung
AM
trên đường tròn lượng giác
GV cho học sinh tìm giá trị của x thỏa
mãn phương trình 2sinx – 1 = 0? Và
phương trình sin x = -2 ?
Với a 1; GV minh họa trên đtr lượng
giác tâm O?
KL: nghiệm của pt sin x = a
là x = k2 (k z )
vậy x = k2
+ GV phân tích nếu
sin a
arcsin a
(arcsin a nghĩa là cũng có sin a bằng a)
=> x x arcsinarcsina k a k2 2
và các trường hợp đặc biệt
+ Giải phương trình lượng giác là tìm tất cả các giá trị của ẩn số để thỏa mãn phương trình đã cho Các giá trị này sô đo các cung (góc) tính bằng độ, Rad
+ Các phương trình sau: sin x = a; cos x =
a tanx = a; cotx = a gọi là phương trình lượng giác cơ bản
I Phương trình sinx = a (1)
TH1: a 1
Pt1 : VN vì
sin 1
1 sin 1
x
x
TH2: a 1
Kl: Nghiệm của pt (1)
Vì : 2
2
k z
Ví dụ: giải phương trình lượng giác
sin ; cos
1 sin
3
x
Trang 2Nên sin 1 sin sin
x x
2 6
x k
x k k
Gv hướng dẫn HS khảo sát cosx = a
(vẽ đường tròn lượng giác tâm O; OH=a;
H trên trục cosin …)
GV hướng dẫn giải bài tập trong SGk và
các bài tập tương tự (theo các dạng của
SGK)
GV: pt tanx = a
Xét giao điểm của đường thẳng y=a vì đồ
thị của y = tanx
=> Hoành độ giao điểm là 1 nghiệm của
pt (3)
GV: phân tích hsinh chú ý: tan x = a
=> tan x = tan có nghiệm x = k
tan x = tang 0 k1800
Gv hướng dẫn học sinh giải các bài tập
SGK và các bài tập tương tự (theo các
dạng của SGK)
Giải: sin 1
6 2
1
sin
3
x khi arcsin1
3
x
vậy M x= arcsin 1 2
3k
II cos x = a (2) TH1: a 1: (2)VN
TH2: a 1
Nghiệm x k2
Chú ý : nếu là 1 số thực thỏa mãn
cos a
Thí nghiệm : x arccosk2
Ví dụ:
cos 2 cos 2 cos
3
4 3 8
III Phương trình tang = a (3)
Điều kiện của phương trình:
( ) 2
x k k z
Hoành độ giao điểm là nghiệm của ptrình tan x = a
(nên x1 tanx1 = a
2 x 2
(và x1 = arctan a) Nghiệm => x=arctan a + k
* Chú ý: x = k
0
tanxtan có nghiệm
0 0
tan 180 ,
x k k z
Ví dụ: tan 3 tan
3
3
x k
tanx =tg 2 arcsin( 1)
arcsin( ) ,
k
Trang 3IV/ Phương trình cotx = a
Điều kiện để phương trình có nghiệm
là x k , kz
a = cot x <=> y = cotx
y = a
GV hướng dẫn: dựa vào đồ thị ta thấy
h/s y = cotx, cắt đường thẳng y = a tại
điểm có hoành độ
GV phân tích các chú ý
Cotx = cot
Và cotx = cot 0
GV hướng dẫn giải các bài tập trong
SGK và các bài tập tương tự trong
SGK
4 Củng cố từng phần
5 Dặn dò
- Bài tập 1,2, 3abc, 4,5ab
6,7a trang 29 SGK
- Xem các bài tập 5c, 7b chuẩn bị các
tiết sau
Costx = a
N1 là hoành độ giao điểm (cost x1= a) 0<x1<
x1 = arccota
k z Chú ý:
a) PT: cotx = cot , cho trước
x = + k, kz b) cotx = cot0
=> x = 0 + k1800 ; kz
Ví dụ:
cos x = 3
3 = cos 6
=> x = 6 = k
cos 4x = cos7 4x = 27 + k
x = 14 + k4 cos 2x = -2 3x = arccot (-2)+k
x = 13 arccot (-2) +k3 cos (x - 100) = 13
cos 600 = 13 Vậy cos (2x –100) = 13 cos (2x-100)= cos
600
2x-100 = 600 + k180
x = 35 + k900 ( kz)
=> x= arccota +k
Trang 4MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
I.MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU:
1.Về kiến thức:
- Biết được dạng và cách giải phương trỉnh: bậc nhất,bậc hai đối với một hàm số lượng giác,asinx + bcosx = c,phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos,phương trình có
sử dụng công thức biến đổi để giải (dạng cơ bản).
2.Về kĩ năng:
- Giải được phương trình thuộc dạng nêu trên.
3.Về tư duy và thái độ:
- Xây dựng tư duy logic,linh hoạt,biết quy lạ về quen,cẩn thận trong tính toán.
II.CÔNG TÁC CHUẨN BỊ:
1.Thầy: - Giáo án,sách giáo khoa, đồ dùng dạy học
- Phương pháp chủ yếu: Đàm thoại + thuyết trình.
2.Trò: - Tập ,sách giáo khoa, đồ dùng học tập.
- Chuẩn bị bài củ.
III.TIẾN TRÌNH DẠY HỌC:
1 Ổn định lớp : Điểm danh sĩ số,vệ sinh.
2 Kiểm tra bài củ:
- Các công thức để giải các phương trình lượng giác cơ
bản
- Bài tập: Giải các phương trình:
a) cos(3 ) 1
2 4 2
x
b) 2 1
cos 2
4
x
3.Bài Giảng:
I.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI
VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
1.Định Nghĩa:
Phương trình bậc nhất đối với một hàm
số lượng giác có dạng: at+b=0
Gv: goi 1 hs nhắc lại dạng của phương trình bậc nhất?
từ đó đưa ra Đn pt bậc nhất đối với một hàm số
Trang 5trong đó a,b là các hằng số (a 0) và t là
một trong các hàm số lượng giác.
VD: 2sin3 tanx x1 01 0
2.Cách Giải:
Đưa phương trình về phương trình lượng
giác cơ bản để giải.
Vd: giải phương trình 3 tanx 3 0
Giải: Ta có :
3 tan 3 0
3 tan
3 tan 3
tan tan
3 ( ) 3
x
x
x
x
3.Phương Trình Đưa về phương trình
bậc nhất đối với một hàm số lượng
giác:
Vd:Giải phương trình:
8sinxcosxcos2x=-1
Giải: Ta có:
8sin cos cos 2 1
4sin 2 cos 2 1
2sin 4 1
2
x
II.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI
VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
1.Định Nghĩa:
Phương trình bậc hai đối với một hàm
số lượng giác là phương trình có dạng:
2 0( 0)
at bt c a ,trong đó a,b là các hằng
số,t là một trong các hàm số lượng giác.
bậc nhất.
- Gọi hs cho các ví dụ?
-Gợi ý cho Hs phát hiện ra cách giải là chuyển về pt lượng giác cơ bản.
-Gọi một hs lên bảng giải
- phương trình trên
có phải là pt lượng giác đối với một hàm số lượng giác chưa?
-hướng dẫn hs đưa pt
về dạng pt đối với một hàm số lượng giác.
Trang 6VD:
22
3sin 2sin 1 0
2 tan 3tan 1 0
là các phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
2.Cách Giải:
Đặt biểu thức lượng giác làm ần phụ và
đặt điều kiện cho ẩn phụ(nếu có) rồi giải
phương trình theo ẩn phụ này.Cuối cùng
ta đưa về việc giải phương trình lượng
giác cơ bản.
Vd: giải phương trình:
sin2x 3sinx 2 0(1)
Giải: đặt t= sinx.Điều kiện 1 t 1
3 2 0
2
t
t t
t
So điều kiện ta nhận t=1.
2
của phương trình.
3.Phương trình đưa về phương trình
bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Vd:Giải phương trình:
2
6cos x5sinx 2 0
Giải:
2
2 2
6cos 5sin 2 0
6(1 sin ) 5sin 2 0
6sin 5sin 4 0(*)
Đặt t = sinx.Điều kiện 1 t 1
Khi đó (*) trở thành :
2
6 5 4 0
4 3 1 2
t t
t
t
so điều kiện nhận t 12
vậy ta có
-Gọi một hs lên giải tiếp theo
-Gọi 1hs Nhắc lại pt bậc hai đã học?từ đó đi vào
Đn pt bậc hai đối với một hàm số lượng giác -Gọi hs cho các vd
-hướng dẫn hs đưa ra cách giải
-Gọi 1 hs lên bảng giải
-Gợi ý cho hs đưa được
Trang 7sin sin sin( )
2
7
2 6
k Z
Vd: Giải phương trình :
2sin2x 5sin cosx x cos2 x2(*)
Giải:
Trước hết ta thấy cosx=0 không thỏa
phương trình (*).xét cosx 0chia 2 vế của
(*) cho cos x2 ta được:
2
2
2
2
2 tan 5 tan 1
cos
2 tan 5 tan 1 2(1 tan )
4 tan 5 tan 1 0
tan 1
1 tan
4
x
x
x
4
x x k k Z
tan 1 arctan1 ,
x x k k Z
III.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx:
Phương trình có dạng:
asinx+bcosx=c(a,b,c là các số thực
và a,b không đồng thời bằng 0)
Cách Giải:
Chia cả hai vế của phương trình cho
2 2
a b ta được:
2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
a b a b a b
2 2
cos sin
a
a b
b
x
a b
Khi đó pt trở thành:
về pt đã biết cách giải
-gọi 1 hs lên giải tiếp theo
-Hướng dẫn cho hs hiểu được cách giải pt dạng này bằng cách đưa về pt bậc hai đối với một hàm
số lượng giác.
-Gọi một hs lên giải tiếp theo
Trang 82 2
2 2
sin cos cos sin
sin( )
c
a b c
x
a b
Là pt lượng giác cơ bản.
Chú ý:
Phương trình trên có nghiệm khi:
2c 2 1 a b c
a b
Vd:Giải phương trình:
sinx 3 cosx1
Giải:Ta có :
sin 3 cos 1
sin cos
1 sin cos cos sin
sin( ) sin
2
2 2
x
k Z
Là nghiệm của phương trình.
-Nhận xét
2a 2 2b 2 1
nên đặt
2 2
2 2
cos sin
a
a b b
a b
-Gợi ý cho Hs nhận xét
ĐK để pt có nghiệm
Nhận xét:
1 cos
3 2 3 sin
3 2
IV.CŨNG CỐ:
Trang 9Câu hỏi 1: Em hãy cho biết những nội dung chính đã học
trong bài này?
Câu hỏi 2: Nêu cách giải phương trình lượng giác bậc
nhất,bậc hai đối với một hàm số lượng giác,phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx?
V.BÀI TẬP VỀ NHÀ:
- Ôn lại kiến thức đã học trong bài.
- Làm các bài tập 1;2;3;4;5;6 trang 36;37(SGK)