Chương III - Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong Không gian

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chương trình thay sách giáo khoa 2008 Click Bài 3 :... Chứng tỏ rằng 3 điểm đó luôn thẳng hàng.

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG

KHÔNG GIAN

Chương trình thay sách giáo khoa 2008

Click

Bài 3 :

I Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian cho điểm M 0 (1;2;3) và 2 điểm M 1 (1+t;2+t;3+t) ; M 2 (1+2t;2+2t;3+2t)

di động với tham số t Chứng tỏ rằng 3 điểm đó luôn thẳng hàng

Giải : Xét M M 0 1 t t t; ; 

và M M0 2 2 ; 2 ; 2t t t



Vậy M M 0 2 2 ; 2 ; 2t t t  2M M0 1

Chứng tỏ 3 điểm đó thẳng hàng

Định lí :

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và nhận

 1; ;2 3

nằm trên  là có một số thực t sao cho :

0 1

0 2

0 3







  



Chứng minh : Xét M M0  x x y y z z 0;  0;  0



Điểm M nằm trên  khi và chỉ khi M M 0 cùng phương với a Nghĩa là M M0 t a

 

hay Điều đó tương đương với :

z z ta

 





 



  



z z ta

 





 



  

Định nghĩa :

Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có vectơ

chỉ phương aa a a1; ;2 3 là phương trình có dạng

0 1

0 2

0 3







  



(t tham số)

Chú ý : Nếu a 1 ; a 2 ; a 3 đều khác 0 thì người ta viết phương trình đường thẳng 

dưới dạng chính tắc : 0 0 0

Ví dụ 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M(1;2;3) và có vectơ chỉ phương a    1; 4; 5

Giải : Ta có phương trình tham số của  :

1

2 4

3 5

 





 



  



Ví dụ 2 : Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(1;-2;3) và B(3;0;0)

Giải : AB có vectơ chỉ phương :

AB 2; 2; 3 

Vậy phương trình tham số của AB là :

3 2 2 3

 









 



Click

Ví dụ 3 : Chứng minh đường thẳng d :

1

2 2

4 3

 





 



  



vuông góc với mặt phẳng () : 2x + 4y + 6z + 9 = 0

() có vectơ pháp tuyến : n  2; 4;6

Vậy ta có : n2; 4;6 2 1;2;3  2a Nên d  ()

Cho đường thẳng  có phương trình tham số :

1 2

3 3

5 4

 





 



  



Hãy tìm tọa độ một điểm M trên đường thẳng  và tọa độ một vectơ chỉ phương của 

Ví dụ áp dụng tại lớp :

 có vectơ chỉ phương : a  2; 3; 4 

Hỏi : Các điểm sau có thuộc  không ? Vectơ nào là vectơ chỉ phương của  ?

M 1 (-2 ; 6 ; 10) M 2 (1 ; 0 ; 9) M 3 (-3 ; 6 ; 1)

M  4 1 2 2;3 3 2;5 4 2  

1 4; 6;8



2 1;3;5

a  



3 2;3; 4



4 2 3;3 3; 4 3



Click

II Điều kiện để hai đường thẳng song song , cắt nhau , chéo nhau

Cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình tham số , lần lượt là :

3 2

4

 





 



  



và

2 '

5 2 '

 





 



  



a) Hãy chứng tỏ điểm M(1;2;3) là điểm chung của d và d’

b) Hãy chứng tỏ d và d’ có 2 vectơ chỉ phương không cùng phương /

1 3 2

3 4

t

t

 





      

  



và

1 2 '

3 5 2 '

t

t

 





      

  



Vậy M là điểm chung của d và d’

b) Tìm vectơ chỉ phương của d và d’

d có vectơ chỉ phương : a  2; 4;1

d’ có vectơ chỉ phương : b   1; 1; 2

Vậy : a b Nên d và d’ không cùng phương :

Click

1 Điều kiện để hai đường thẳng song song :

Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình tham số :

0 1

0 2

0 3

1 2 3

:

; ;







  







và

0 1

0 2

0 3

1 2 3

' ' '

' ' ' ' ' ; ' ; '







  







M(x 0 ;y 0 ;z 0 )  d

'

a ka

 









 

'

a ka

 









 

d

d’

a 

'

a 

.M

Ví dụ 1 : Chứng minh 2 đường thẳng sau đây song song

: 2 & ' : 3 4 '

d’ có vectơ chỉ phương : b  2; 4; 2  2 1; 2; 1  

2 '

 



 





 

Click

Ví dụ áp dụng : Chứng minh 2 đường thẳng sau đây trùng nhau

: 4 & ' : 5 3 '

* HD : tìm a  1;1; 2  ? 1;1; 2   ?.b? 3;3; 6   M 3; 4;5 d & 'd

2 Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau :

* d cắt với d’ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có đúng 1 nghiệm :

 

' ' ' ' ' ' 1 ' ' '

  





  



   



Chú ý : Nếu (1) có nghiệm (t 0 ; t 0 ’) để tìm giao điểm M 0 của d và d’ ta thay t 0 vào phương trình tham số d hoặc t’ 0 vào d’

Click

Ví dụ 2 : Tìm giao điểm của 2 đường thẳng sau :

1 2 2 '

2 3 2 '

3 1 3 '

  





  



   



1 ' 1

t t





 



 Vậy có : M(0;-1;4)

3 Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau :

* d chéo nhau với d’ khi và chỉ khi a   & a  '

không cùng phương

' ' ' ' ' ' 1 ' ' '

  





  



   



Click

Ví dụ 3 : Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng :

: 1 3 & ' : 2 2 '

1 2 1 3 '

1 3 2 2 '

5 1 2 '

  





   



   



3 5 2 '

5

5 1 2 '

t t











  



  







       

Hệ vô nghiệm

• Ta có : a 2;3;1 & a '3;2; 2

'

   

Nên d và d’ không cùng phương

• Vậy d và d’ chéo nhau

Click

Ví dụ 4 : Chứng minh 2 đường thẳng sau đây vuông góc :

: 3 2 & ' : 13 3 '

Giải : • d và d’ có vectơ chỉ phương : a  1; 2; 4 & a'2;3; 1 



Ta có : a a   ' 1.2 2.3 4 1    0

• Vậy : d  d’

Nhận xét :

Trong không gian Oxyz cho mp () : Ax + By + Cz + D = 0 và đt d :

0 1

0 2

0 3







  



• Xét phương trình : A(x 0 + ta 1 ) + B(y 0 + ta 2 ) + C(z 0 + ta 3 ) + D = 0 (1) t là ẩn +) Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và () không có điểm chung  d // ()

+) Nếu phương trình (1) có đúng 1 nghiệm t = t 0 thì d cắt () tại

M(x 0 +t 0 a 1 ; y 0 +t 0 a 2 ; z 0 +t 0 a 3 ) = d  () +) Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc () Click

 )

d

 )

 )

Ví dụ áp dụng : Tìm số giao điểm của mp () : x + y + z - 3 = 0 với đt d :

+) ta có (2 + t) +(3 - t) + (1) - 3 = 0  0.t = -3 VN t = -3 VN  d không cắt ()

+) ta có (1 + 2t) +(1 - t) + (1 - t) - 3 = 0  0.t = -3 VN t = 0 VSN  d nằm trong ()

+) ta có (1 + 5t) +(1 - 4t) + (1 +3 t) - 3 = 0  4.t = -3 VN t = 0  d  () = M(1;1;1)

Click

 

1 4

2 3

3 7

z

A

t

 





 



  



 

1 4

2 3

3 7

B

 





 



  



 

1 3

2 4

3 7

C

 





 



  



 

1 8

2 6

3 14

D

 





 



  



III Củng cố dặn dò :

1 Bài tập trắc nghiệm :

4; 6; 2

 

2 4 6

1 2

A

 









  



 

2 2 3 1

z

B

t

 









  



 

2 2 3 1

C

 









  



 

4 2

6 3 2

z

D

t

 





 



  



() : 4x + 3y – 7z + 1 = 0 t = -3 VN Phương trình tham số của d là :

Click

(A) : d 1  d 2

: 2 3 & : 5 6 '

Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng ?

(B) : d 1 // d 2 (C) : d 1  d 2 (D) : d 1 chéo d 2

phương trình tham số

3

1

z

 





 



 



Tìm mệnh đề đúng ?

(A) : d  () (B) : d cắt () (C) : d  () (D) : d // ()

Click

2 Bài tập :

Bài tập về nhà 1;2;3;4;5;6 ;7;8;9;10 trang 89 ; 90 ; 91 sgk hh12 - 2008