Giáo án Đại số 11 chương 1 bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Về kiến thức: Giúp học sinh - Hiểu phương pháp xây dựng công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản sử dụng đường tròn lượng giác, các trục sin, côsin, tang, côtang và tính t

Trang 1

TIẾT 7-12: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I MỤC TIÊU BÀI DẠY:

1 Về kiến thức:

Giúp học sinh

- Hiểu phương pháp xây dựng công thức nghiệm của các phương trình lượng giác

cơ bản (sử dụng đường tròn lượng giác, các trục sin, côsin, tang, côtang và tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác)

- Nắm vững các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản

2 Về kĩ năng:

- Giúp học sinhBiết vận dụng thành thạo công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản;

- Biết cách biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên đường tròn lượng giác

3 Về thái độ, tư duy:

II CHUẨN BỊ:

1 Về phía thầy:: Đồ dùng dạy học như thước kẻ, com pa,.bảng in đồ thị các HSLG

2 Về phía trò:: Đồ dùng học tập như thước kẻ, com pa, ,

III GỢI Ý PHƯƠNG PHÁP:

Gợi mở ,vấn đáp

IV TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:

TIẾT 7

1 Kiểm tra bài cũ:

Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, sự biến thiên

của các HSLG

Học sinh làm theo yêu cầu gv

2 Nội dung bài mới:

H1: Tìm nghiệm của phương trình (1)

Để tìm tất cả các nghiệm của (1), ta có thể làm

như thế nào ?

1 Phương trình sinx = m

a Để làm ví dụ, ta xét một phương trình

cụ thể, chẳng hạn:

sinx = 1

Để tìm tất cả các nghiệm của (1), ta có thể

Trang 2

B'

B

x

/6

Dễ thấy, số đo (rađian) của các góc lượng giác

(OM, OM1) và (OA, OM2) là tất cả các nghiệm

của (1) Lấy một nghiệm tuỳ ý của (1), chẳng

hạn x =

6



Khi đó các góc (OA, OM1) có số đo

k2

6



  ; các góc (OA, OM2) có số đo

k2

6



   , (k  Z)

Hiển nhiên phương trình (I) xác định với mọi

x  R

Ta đã biết, sinx  1 với mọi x Do đó,

phương trình (I) vô nghiệm khi m > 1 Mặt

khác, khi x thay đổi, sinx nhận mọi giá trị từ -1

đến 1 nên phương trình (I) luôn có nghiệm khi

m  1

Kể từ đây, để cho gọn, ta quy ước rằng nếu

trong một biểu thức nghiệm của phương trình

lượng giác có chứa k mà không giải thích gì

thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc Z

Chẳng hạn x =  + k2 có nghĩa là x lấy mọi giá

trị thuộc tập hợp

{,   2,   4,   6, }

Giải các phương trình

làm như sau:

Xét đường tròn lượng giác gốc A Trên trục sin, ta lấy điểm K sao cho OK 1

2

 Đường thẳng qua K và vuông góc với trục sin cắt đường tròn lượng giác tại 2 điểm M1

và M2; 2 điểm này đối xứng với nhau qua trục sin (h 1.19) Ta có : sin(OA, OM1)= sin(OA, OM2) = OK 1

2



Vậy : sin x 1 x k2



6



    (k  Z)

Sử dụng kí hiệu "[" thay cho từ "hoặc", ta

có thể viết lại kết quả trên như sau

2

6





  





    



b Giả sử m là một số đã cho Xét phương

trình: sinx = m (I) Làm tương tự đối với phương trình (1), ta có

Nếu  là một nghiệm của phương trình (I), nghĩa là sin = m thì sin x m x k2 k Z

  



    

Ta nói rằng x =  + k2 và x =  -  + k2 là 2 họ nghiệm của phương trình (I)

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Trang 3

2) Vì 2 1

3  nên có số  để sin =2

3 Do đó

2

sin x sin x sin

  





H2: Giải phương trình sin x 2

2



H3: Trên đồ thị hàm số y = sinx (h 1.20), hãy

chỉ ra các điểm có hoành độ trong khoảng (0;

5) là nghiệm của phương trình sinx = 2

2

Ví dụ 2: Tìm số x thoả mãn phương trình

Giải

1) sinx = 3

2

 ; 2) sinx = 2

3

Giải



3 3

sin x sin x sin

3





  













3 4

3





  



 



   



Trong mặt phẳng toạ độ, nếu vẽ đồ thị (G) của hàm số y = sinx và đường thẳng (d): y =

m thì hoành độ mỗi giao điểm của (d) và (G) (nếu có) là một nghiệm của phương trình sinx = m

CHÚ Ý:

 Khi m  [0; 1], công thức (Ia)

có thể viết gọn như sau:

2

2 sin x 0 x k



Trang 4

2x x k2



    





2

5











  



2

5 2







 

  



Vậy các số x phải tìm là x 2 k2

3



   và 2

H4: Giải phương trình sin2x = sinx

 Dễ thấy với m cho trước mà

m  1, phương trình sinx = m có đúng 1 nghiệm nằm trong đoạn ;

2 2

 



  Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arcsinm (đọc là ác-sin m) Khi đó

x arcsin m k2 sin x m

x arcsin m k2



 Vậy ở ví dụ 1, câu 2) có thể viết

2

x arcsin k2

sin x

3





  



 Từ (Ia) ta thấy rằng: Nếu  và 

là 2 số thực thì sin = sin khi và chỉ khi có

số nguyên k để  =  + k2 hoặc  =  -  + k2, k  Z

3.Củng cố:Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m.

4.Hướng dẫn vè nhà: Làm các bài tập

Trang 5

TIẾT 8

Nhắc lại công thức nghiệm của phương

trình lượng giác sinx = m

Làm bài tập

2 Nội dung bài mới:

m

M1

A'

B

B'

+

H

M2 trôc cosin

(l)

Do m  1 nên đường thẳng (l) cắt

đường tròn lượng giác tại 2 điểm M 1 và

M2 Hai điểm này đối xứng nhau qua trục

côsin (chúng trùng nhau nếu m = 1) Ta

thấy số đo các góc lượng giác (OA, OM1)

và (OA, OM2) là tất cả các nghiệm của

(II) Nếu  là số đo của một góc trong

chúng nói cách khác, nếu  là một

nghiệm của (II) thì các góc đó có các số

đo là

 + k2 và - + k2

H5: Giải phương trình sau :

cosx = 2

2



H6: Hãy giải phương trình

2 Phương trình cosx = m

Xét phương trình: cosx = m (II) trong đó m là một số cho trước Hiển nhiên phương trình (II) xác định với mọi x  R Dễ thấy rằng:

Khi m > 1, phương trình (II) vô nghiệm

Khi m  1, phương trình (II) luôn có nghiệm

Để tìm tất cả các nghiệm của (II), trên trục côsin ta lấy điểm H sao cho OH = m Gọi (l) là đường thẳng đi qua H và vuông góc với trục côsin (h 1.12)

Vậy ta có:

Nếu  là một nghiệm của phương trình (II), nghĩa là

cos = m thì

cos x m

  



      

CHÚ Ý

 Đặc biệt, khi m  {0; 1},

Trang 6

cos (2x + 1) = cos (2x - 1) công thức (IIa) có thể viết gọn như sau:

cos x 1 x k2

2

    



    

 Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước mà m

 1, phương trình cosx = m có đúng 1 nghiệm nằm trong đoạn [0; ] Người ta thường kí hiệu nghiệm

đó là arccos m (đọc là ác-côsin m) Khi đó:

x arccos m k2 cos x m

x arccos m k2





mà cũng thường được viết là

x =  arccos m + k2

 Từ (IIa) ta thấy rằng: Nếu  và  là 2 số thực thì cos = cos khi và chỉ khi có số nguyên k để 

=  + k2, k  Z

3.Củng cố:Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m., cosx =

m

Trang 7

TIẾT 9

Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, sự biến thiên

của các HSLG

T

2

M +

B'

B

1

M

Ta có tan (OA, OM1) = tan (OA, OM2)

= AT = m Gọi số đo của một trong

các góc lượng giác (OA, OM1) và (OA,

OM2) là ; nói cách khác,  là một

nghiệm nào đó của phương trình (III)

Khi đó, các góc lượng giác (OA, OM1)

và (OA, OM2) có các số đo là  + k

Đó là tất cả các nghiệm của phương

trình (III) (hiển nhiên chúng thoả mãn

ĐKXĐ của (III))

Giải

1) Vì -1 = tan

4



 

  nên tanx =

-1  x = k

4



   2) Gọi  là một số mà tan = 3

3   3         (Có thể tìm được một số  thoả mãn

3 Phương trình tan x = m

Cho m là một số tuỳ ý

Xét phương trình tanx = m (III) Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình (III)

là cos x  0

Ta đã biết, khi x thay đổi, tan x nhận mọi giá trị từ - —> + Do đó, phương trình (III) luôn có nghiệm

Để tìm tất cả các nghiệm của (III), trên trục tang,

ta lấy điểm T sao cho AT= m Đường thẳng OT cắt đường tròn lượng giác tại 2 điểm M1 và M2 (h 1.22) Vậy ta có:

Nếu  là một nghiệm của phương trình (III), nghĩa là tan = m thì tanx = m  x =  + k

(IIIa)

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1) tanx = -1

2) tanx

3=3

Trang 8

tan = 3 bằng cách tra bảng số hoặc

dùng máy tính bỏ túi Cụ thể là  

1,249)

H7 : Giải phương trình tan2x = tanx

CHÚ Ý :

 Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước, phương trình tanx = m có đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng

;

2 2

 



  Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arctan m (đọc là ác-tang m) Khi đó : tanx = m  x = arctan m + k

 Từ (IIIa) ta thấy rằng : Nếu  và  là 2 số thực

mà tan , tan  xác địnhb thì tan = tan khi và chỉ khi có số nguyên k để  =  + k

m, tanx = m

Trang 9

TIẾT 10

Nhắc lại công thức nghiệm của

phương trình lượng giác sinx = m.,

cosx = m ; tanx = m

Làm các bài tập

Giải:

1.Gọi  là một số mà cot = 1

3

 , tức là tan = -3 (chẳng hạn, bằng bản

số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được 

 -1,249) Khi đó cotx = 1

3

  x =  + k

2.cot3x = 1

 cot3x = cot

4



 3x =

4

 + k

 x = k



4 Phương trình cotx = m

Cho m là một số tuỳ ý, xét phương trình cotx = m (IV) ĐKXĐ của phương trình (IV) là sinx  0 Tương

tự như đối với phương trình tanx = m, ta có:

Nếu  là một nghiệm của phương trình (IV), nghĩa là cot = m thì cotx = m  x

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

1) cotx = 1

3

CHÚ Ý:

Trang 10

H8: Giải phương trình

cot 2x 1

6



 = tan1

3

H9: Giải các phương trình sau:

1) cos(3x – 150) = 2

2

 2) 2) tan5x = tan 250

Giải

Vì 3

2 = sin 600

 Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước, phương trình cotx = m có đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng (0; ) Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccot

m (đọc là ác-côtang m) Khi đó

cotx = m  x = arccot m + k.

5 Một số điều cần lưu ý

+ Khi đã cho số m, ta có thể tính được các giá trị arcsin m, arccos m (với m  1), arctan m bằng máy tính bỏ túi với các phím sin-1, cos-1, tan-1

+ Arcsin m, arccos m (với m  1), arctan m và arccot m có giá trị là những số thực

+ Khi xét các phương trình lượng giác ta đã coi ẩn

số x là số đo rađian của các góc lượng giác Trên thực

tế, ta còn gặp những bài toán yêu cầu tìm số đo độ của các góc (cung) lượng giác sao cho sin (côsin, tang hoặc côtang) của chúng bằng số m cho trước chẳng hạn sin (x + 200) = 3

2 Khi giải các phương trình này (mà lạm dụng ngôn ngữ, ta vẫn gọi là giải các phương trình lượng giác), ta có thể áp dụng các công thức nêu trên và lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ trong “công thức nghiệm” cho thống nhất, chẳng hạn viết x = 300 + k3600 chứ không viết x = 300 + k2 Tuy nhiên, ta quy ước rằng nếu không có giải thích

gì thêm hoặc trong phương trình lượng không sử dụng đơn vị đo góc là độ thì mặc nhiên ẩn số là số đo rađian của góc lượng giác

Ví dụ 5:

Giải các phương trình sin (x + 200) = 3

2

Trang 11

nên sin (x + 200) = 3

2  sin (x +

200) = sin 600



m ,tanx = m, cotx = m

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	233 KB