Bài mới: GV ĐVĐ: Ta vừa tính tích phân hàm hữu tỉ dạng bậc 1/bậc 1 bằng cách chia tử cho mẫu: Tử = thương + dư Mẫu Mẫu Trong đó: thương và dư : hằng số rồi tách đưa về dạng có thể tính đ[r]
Trang 1Ngày soạn : MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP
TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
Tiết:
Chuyên đề
I- MỤC TIÊU: Giúp học sinh:
1 Về kiến thức:
- Củng cố định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm, một số phương pháp tính tích
phân đã học để vận dụng tính tích phân
- Nắm được phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ đơn giản: Dạng P(x)/Q(x)
với P(x), Q(x): có bậc cao nhất là 2
2 Về kỹ năng:
- Nhận dạng, tính được một số tích phân dạng hàm hữu tỉ đơn giản.
- Sử dụng thông thạo tính chất, bảng nguyên hàm và một số phương pháp tính
tích phân để tính tích phân
3 Về tư duy và thái độ:
- Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức.
- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ II- CHUẨN BỊ :
1 Giáo viên: - Giáo án, bảng phụ.
2 Học sinh: - Ôn trước các kiến thức đã học: Nguyên hàm, tích phân.
III- PHƯƠNG PHÁP:
- Nêu và giải quyết vấn đề, thuyết trình, phân tích, tổng hợp, gợi mở vấn đáp… IV-TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1 Ổn định lớp :
2 Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi 1: Tính tích phân ( học sinh lên bảng)
2 1
2x 3
x
x 1
Câu hỏi 2: Điền vào chỗ chấm trong bảng sau: Máy chiếu
3 Bài mới:
GV ĐVĐ: Ta vừa tính tích phân hàm hữu tỉ dạng bậc 1/bậc 1 bằng cách chia tử cho mẫu: Tử = thương + dư
Mẫu Mẫu
Trong đó: thương và dư : hằng số
rồi tách đưa về dạng có thể tính được tích phân Tiết này ta xét tiếp tích phân hàm hữu
tỉ dạng bậc 2 / bậc 2 Vậy khi gặp dạng này, để tính tích phân ta sẽ làm như thế nào? HSTL: Chia tử cho mẫu
GV: Vậy thương và dư có kết quả là gì?
HSTL: Thương: là hằng số , dư : là đa thức bậc nhất hoặc hằng số
GV: Lúc này dẫn tới việc tính tích phân của các hàm số hữu tỉ dạng:
Dạng 1: 2
1
ax bxc
Dạng 2: 2
x
ax x
Ta sẽ lần lượt xét từng dạng:
Trang 2Hoạt động 1: Tích phân hàm số hữu tỉ dạng 1: 2
1
x
ax x
g
e
b c
(a 0)
I Dạng 1:
a) >0 :
Cách 1: Đồng nhất
2
Đồng nhất để tìm a, b bằng cách giải hệ hoặc cho x các giá
trị bất kì ( thường cho x bằng giá trị nghiệm x1, x2)
Cách 2: Thêm, bớt rồi tách
2
1 2 1 2 1 2
ax bxc a x x x x( )( ) a x( x ) x x x x
b) = 0 :
ax bxc a x x( ) a x x( ) ( 0 2 )
b x
a
c) < 0:
ax bxc a (xm) n (Đặt x + m = n.tant)
* Ví dụ áp dụng:
-VD1:
1
0
x 6x 8
d I
x
2
d
x x x x x
- GV: Dùng phương pháp
gì để tách?
- HS: Đồng nhất 2 vế
- GV: Khi đồng nhất, làm thế nào để tìm A, B ?
- HS: Ta có thể giải hệ hoặc lấy x giá trị bất kì để tìm A, B (thường lấy các giá trị nghiệm để tìm A,
B cho nhanh)
- GV: Sau khi tách , tìm nguyên hàm bằng công thức nào?
- HS: Dùng công thức 2)
- GV: Để tìm nguyên hàm của dùng công thức nào?
- HS: Dùng công thức 4)
- GV: Để tìm nguyên hàm của dùng công thức nào?
- HS: Dùng công thức 6)
- GV: Cho 3 ví dụ, hãy
nêu cách làm của từng ví dụ?
- HS:
VD1: dạng 1 với >0
VD2: dạng 1 với = 0
VD3: dạng 1 với < 0
- GV: Yêu cầu 3 nhóm
hoạt động và cử đại diện nhóm lên trình bày
- Học sinh dưới nhận xét
và GV chính xác hóa
Trang 31
0
1 0 1
0
1
2
1
2
x x
-VD2:
1
0
1
2 0
1
0
x
x
1
2
1 4
2
d
I
x
d
x
x
NX:
1
0
I
x
- VD3:
2x 5 (x 1) 2
I
x
Đặt: x+1=2tant 2 t 2
dx=2(1+tan2t).dt
2
3
.
t dt
- GV: yêu cầu học sinh
dùng cách thêm bớt rồi tách ( về nhà)
- GV: Còn cách phân tích nào khác không?
- HS: Có thể dùng hằng đẳng thức
x -1 1 t
0 4
Trang 4Hoạt động 2: Tích phân hàm số hữu tỉ dạng 2:
2
x
x ( 0, 0)
ax x
g
e
m n
b c
II Dạng 2:
a) >0 :
2
Cách 1: Đồng nhất
2
Đồng nhất để tìm a, b bằng cách giải hệ hoặc cho x
các giá trị bất kì ( thường cho x bằng giá trị nghiệm
x1, x2)
Cách 2: Thêm bớt dựa theo nghiệm ở mẫu rồi tách
Cách 3: Thêm bớt dựa theo đạo hàm của mẫu rồi
tách
- VD 4:
1
4 2
0
4
x 3x 2
x
x
Cách 1:
2
4
( 1).( 2)
Đồng nhất, ta có: A=3; B= 2
1
4
0
3 2
1 2
3 2
3ln 1 2 ln 2
3ln 2 2ln 3 2 ln 2
5ln 2 2 ln 3
x x
- GV: Ta có thể dùng phương pháp đồng nhất để phân tích và tách được không?
- HS: Ta có thể làm được tương tự như dạng 1 trong trường hợp >0
- GV: Ngoài ra có thể dùng phương pháp nào để tách?
- HS: Ta có thể thêm bớt để tách
- GV: Hãy phân tích rồi tách bằng phương pháp đồng nhất?
- HS: nhận nhiệm vụ, tính toán và đưa kết quả
- GV: Hãy dùng 2 cách còn lại để phân tích ( Yêu cầu về nhà, có hướng dẫn)
Trang 5Cách 2:
2
3x 2 ( 1).( 2)
( 1).( 2) ( 1).( 2)
x
Cách 3:
1 ( >0)
du
dang u
b) = 0 :
- VD 5:
1
5 2
0
x 6x 9
x
x
Cách 1:
2
2
6x 9 ( 3)
( 3) ( 3) ( 3)
( 3)
x
Cách 2:
2
x
- GV: Nếu không phân tích theo x+1 ta có thể phân tích theo x+2 được không?
- HS: Ta có thể phân tích được theo x+2 như sau:
( 1).( 2) ( 1).( 2)
x
- GV: Hãy nêu cách giải ?
- HS: Có thể làm theo 3 cách giống như trên:
Cách 1: Đồng nhất Cách 2: Thêm bớt theo nghiệm ở mẫu để tách
Cách 3: Thêm bớt theo đạo hàm của mẫu
- GV: Tuy nhiên chọn theo cách nào cho hợp lý, lời giải ngắn gọn,
ít phức tạp
- GV: Gọi học sinh tại chỗ giải theo cách 1, cách 2
- GV: Yêu cầu học sinh về nhà làm theo đủ 3 cách và rút ra kinh nghiệm cho bản thân
Trang 6Đáp số:
4 5 3ln
3 6
c) < 0 :
- VD 6:
3
2
1
x
x x
I I
2
1
( 2 5)
ln 2 5 ln 2
2 5
Đặt : x – 1 = 2tant 2 t 2
dx = 2(1+tan2t)dt
2
t dt
t
3
ln 2
8
- GV: Ta phân tích như thế nào để
có thể đưa về các dạng đã biết?
- HS: Phân tích thành I1 và I2 rồi
áp dụng công thức 2) và dạng 1 (với < 0)
- Yêu cầu học sinh thực hiện, GV chính xác hóa
Hoạt động 3: Một vài ví dụ dạng khác có thể đưa về dạng 1, dạng 2
- VD 7:
1
7 4 2
0 13 36
xdx I
Đặt t = x2
dt = 2xdx
x 0 1
t 0 1
- GV: I7 có ở dạng 1, dạng 2 hay không?
- HS: Không rơi vào dạng nào
- GV: Liệu ta có thể biến đổi hoặc dùng phương pháp nào đó để đưa về một trong các dạng trên hay không?
- HS: Ta có thể đặt ẩn phụ và đưa về dạng
1 với > 0
x -1 1 t
0 4
Trang 72 0
1
0
1
0
1 0 1
0
1
1
2 ( 4).( 9)
1
(ln 9 ln 4 )
10
ln
(ln ln )
ln
dt I
dt
dt
t t
- VD 8:
x dx
I
Đặt t = x3
dt = 3x2 dx
x 0 1
t 0 1
1
0
1
ln 2
9
I
dt
- VD 9:
0 2
1
2x +41x-91
(x 1)(x x 12)d
- GV: Sử dụng một trong các cách đã học
để phân tích rồi tách
- HS: Thực hiện
- GV: I8 có ở dạng 1, dạng 2 hay không?
- HS: Không ở dạng nào
- GV: Liệu ta có thể biến đổi hoặc dùng phương pháp nào đó để đưa về một trong các dạng trên hay không?
- HS: Ta có thể đặt ẩn phụ và đưa về dạng
2 với > 0
- GV: Sử dụng một trong các cách đã học
để phân tích rồi tách
- HS: Thực hiện
- GV: Ta có thể biến đổi hoặc dùng
Trang 8biết không?
- HS: Ta không đổi biến giống VD 7, VD
8 như trên
- GV: Vậy hãy tìm A, B, C sao cho
2
1; 4; 3 ta co':
x
- HS: Ta hoàn toàn có thể làm được bằng phương pháp đồng nhất Từ đó tách để có thể tính được tích phân
- GV: Yêu cầu học sinh về nhà tự hoàn thiện
- GV: Vậy với các hàm hữu tỉ bậc cao hơn
ta cũng có thể sử dụng các phương pháp giống như các hàm hữu tỉ dạng 1, dạng 2 Như vậy, trên cơ sở tiết này được cung cấp cách tính tích phân hàm hữu tỉ dạng 1 và dạng 2, các em có thể vận dụng một cách linh hoạt khi gặp các dạng bậc cao hơn
4 Củng cố, dặn dò:
- Kiến thức cơ bản đã học trong bài: Cách tính tích phân hàm hữu tỉ dạng 1 và dạng 2
- Chú ý: Phải biết nhận dạng hàm số dưới dấu tích phân để lựa chọn phương pháp và cách biến đổi hoặc cách đặt phù hợp với từng hàm số
- Giờ sau tiếp tục luyện tập về tích phân
5 HDVN: Về nhà làm các bài tập sau:
V Rút kinh nghiệm
……….
……….
……….
……….
2
2
0
x
1) I=
6x 7
d
1
2
0
x
2) I=
25x 10x 1
d
1 2 1
x 3) I=
4x 7
d x
1 2 0
( 2) x 4) I=
5x 4
x
1 2 0
(2x 5) x 5) I=
8x 16
d x
6 2 2
(2x 1) x 6) I=
4x 20
d x