PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn... Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C có tâm Ia; b, bán kính R... Phương trình đường tròn

Nội dung bài học:

 Phương trình đường tròn.

 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

I

1 Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R

a

b

O

y

x

M(x;y) R

Điểm M(x;y) thuộc (C) khi và chỉ khi nào?Ta có:M(x;y)  (C)  IM = R

R b)

(y a)

(x











2 2

2

) (

)

1 Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:

Phương trình (x – a)2 + (y–b)2 = R2 được gọi là phương trình tổng quát của đường tròn tâm I(a;b), bán kính R

Ví dụ 1: a)Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; –3) và

bán kính R= 2

b) Cho các điểm A(2; –1); B(3;1); C(0; –3) Điểm nào thuộc đường tròn (C)

Bài giải:

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;–3); bán kính R= 2 là:

(x – 2)2 + (y + 3)2 = 4 b) Đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; –1) và điểm C(0;–3)

 Đường tròn (C) hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 1) và B(5;3) Viết phương trình

đường tròn (C) nhận AB làm đường kính

Bài giải: Đường tròn (C) nhận AB làm đường kính nên có tâm

I(xI; yI) là trung điểm của AB và bán kính là

Tọa độ tâm I:



















































2 2

3 1

4 2

5 3

2

2

I

I

B A

I

B A

I

y

x y

y y

x

x x

=> I(4;2) Bán kính R:

2 2

) 1 3 ( )

3 5

(

) (

) (

2 2

2 2



















AB AB

y y

x x

2

AB

=> R= 2

Phương trình đường tròn (C) là: (x–4)2 + (y–2)2 =2

1 Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:

I O

y

x

Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ

O và có bán kính R là:

x2 + y2 =R2

y

R

1 Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:

2 Nhận xét:

 Phương trình đường tròn (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể viết dưới dạng x2 + y2 –2ax – 2by + c = 0, trong đó c = a2 + b2 –

R2

c b

a2  2 

 Phương trình x2 + y2 – 2ax –2by + c = 0 là phương trình đường tròn (C)  a2 + b2 – c > 0 Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R =

oNếu đường tròn (C) có phương trình (x–a)2 + (y–b)2 = R2 thì:

(x–a)2 + (y–b)2 = R2

 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2

 x2 + y2 –2ax –2by + a2 + b2 – R2 = 0

 x2 + y2 – 2ax –2by + c = 0với c = a2 + b2 –R2

oNgược lại nếu phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) thì ta phải đưa được về dạng: (x –a)2 + (y – b)2 = R2

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (*)

 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – a2 – b2 + c = 0

 ( x– a)2 + ( y– b)2 = a2 + b2 – c Để phương trình (*) là phương trình đường tròn thì: a2 + b2 –c > 0

 Phương trình mà các hệ số của x2 và y2 khác nhau thì nó không phải là phương trình của đường tròn

Ví dụ1: Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình

sau đây là phương trình đường tròn Xác định tâm và bán

kính:

2x2 + y2 – 8x + 2y –1 = 0; (1)

x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0; (2)

x2 + y2 – 2x – 6y + 20 = 0; (3)

x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0 (4)

Bài giải:

Phương trình (1) không phải là phương trình của đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau

Phương trình (2) có a=–1; b=2; c=–4 thỏa mãn a2 + b2 –c > 0 là phương trình của đường tròn (C) tâm I(–1;2) bán kính R = 3

Phương trình (3) có a=1; b=3; c=20 không thỏa a2 + b2 – c>0 nên không phải là phương trình đường tròn

Phương trình (4) có a=–3; b= –1; c =10 không thỏa a2+b2 - c>0

2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:



M0

. I

Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) Gọi  là tiếp

tuyến của (C) tại điểm

Mo(xo;yo) nằm trên đường

tròn.























)

; (

)

; (

0 0

0 0

b y

a x

y x

0

0

IM tuyến

pháp vectơ

có

M điểm

qua đi

2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Do đó  có phương trình là:

(x0 – a)(x – x0 ) + (y0 – b)(y – y0) = 0 (2)

tuyến của đường tròn ( x– a)2 + (y – b)2 =R2 tại điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn

2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn :

(C) : (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25

đi qua điểm M0(4; 2).

Bài giải:

Ta thấy điểm M0(4; 2) thuộc đường tròn (C) có tâm là I(1; –2) Do đó phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0 là:

(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0)= 0.

 (4 – 1)(x – 4) + ( 2 + 2)(y – 2) = 0.

 3(x – 4) + 4(y – 2) = 0.

 3x + 4y –20 = 0.

Củng cố bài học:

 Phương trình của đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R:

(x - a)2 + (y - b)2 =R2

 x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 với c= a2 + b2 –R2

a  b  c

 Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương

trình đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 –c >0 Khi đó

đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R=

 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) :

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

tại điểm M0(x0; y0) thuộc đường tròn (C) :

Trắc nghiệm:

Bài tập 1: Đường tròn (C) có phương trình :

(x – 3)2 + (y + 4)2 = 9 Đường tròn (C) có tâm là:

a) I(3;4) b) I(–3;4) c) I(3;–4) d) I(–3;–4)

Bài tập 2: Đường tròn (C) có phương trình:

x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 Đường tròn (C) có tâm là:

a) I(–3;–1) b) I(3;1) c) I(–3;1) d) I(3;–1)

0

Bài tập về nhà:

Bài tập 1-> 6 ( SGK trang 83 – 84)