Tiết 36, 37: Phương trình đường thằng trong không gian

KÍNH CHÀO QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH THÂN MẾN!... Hai đường thẳng a, b trong không gian thì có bao nhiêu vị trí tương đối?. Hãy cho biết các vị trí?Song song Cắt nhau Trùng nhau Ché

KÍNH CHÀO QUÝ THẦY

CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH

THÂN MẾN!

KIỂM TRA BÀI CŨ:

Câu 1. Viết phương trình tham số của đường

thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) Qua hai điểm M(4;2;1) và N(5;3;3)

b) Qua điểm A(2;-2;7) và vuông góc với mặt

phẳng (P): 4x – 3y + 1 = 0

Trả lời:

t y

t x

t a z

z

t a y

y

t a x

x

2 1

2 4

3 0

2 0

1 0

) 2

; 1

; 1 (

; 1

; 1 (

MN

a) Ta có, d qua M(4;2;1) va N(5;3;3) nên nhận làm VTCP.

;3

;4( 

n

b) Ta có, đường thẳng d qua điểm A(2;-2;7)

và vuông góc với mp(P): 4x – 3y +1 = 0 nên nhận VTPT của mp(P) làm VTCP,

4 2

3 0

2 0

1 0

z

t y

t x

t a z

z

t a y

y

t a x

x

KIỂM TRA BÀI CŨ:

Câu 2. Hai đường thẳng a, b trong không gian thì có bao nhiêu vị trí tương đối? Hãy cho biết các vị trí?

Song song Cắt nhau Trùng nhau Chéo nhau

Hai đường thẳng a, b trong không gian thì

có 4 vị trí.các vị trí là: song song, cắt nhau,

trùng nhau, chéo nhau

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 3:

I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG.

II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU.

Trong không gian, cho 2 đường thẳng d, d’lần lượt có phương trình:

Tiết PPCT: 36,37

(Tiếp theo)

' 0

'

' 2

' 0

'

' 1

' 0 ' :

t a z

z

t a y

y

t a x

x d

z

t a y

y

t a x

x d

3 0

2 0

' 2

' 1

3 2

1

a a

a a

a a

1 Điều kiện để hai đường thẳng song song.

//

d M

a k

a d

d M

a k

a d

Ví dụ: Hai đường thẳng sau song song hay trùng nhau?

t y

t

x d

3 2

1 :

' '

2 5

4 3

2

2 :

t z

t y

t

x d

Giải:

Ta có:

d’ có VTCP a (' 2 ; 4 ;  2 )

d có VTCP a  ( 1 ; 2 ;  1 ) và M ( 1 ; 0 ; 3 )  d

' 2

1 2

1 4

2 2

' ' '

1

4 3 2 1

2 5

3

4 3

0

2 2

1

t t

t

t

t t t

'

2 2

2 1

2

1 :

, 3

2

1 :

t z

t y

t

x d

t z

t y

t

x d

' '

6 3

3 5

3

2 :

, 2 5

4

3 :

t z

t y

t

x d

t z

t y

t

x d

a)

2 Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau .

d

d’ M

' 0 3

0

'

' 2

' 0 2

0

'

' 1

' 0 1

0

t a

z t

a z

t a

y t

a y

t a

x t

a x

(I)

Có đúng một nghiệm

Ví dụ:

Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau:

tìm giao điểm M của d và d’ ta thay t0 vào

phương trình tham số của d hoặc thay t’0 vào phương trình tham số của d’

' '

3 1

2

2

2 :

, 3

3 2

1 :

t z

t y

t

x d

t z

t y

t x

d

3 1

3

2 3

2

2 2

1

t t

t t

t

(2) (3)

2

2 2

1

t t

t t

Thay t= -1, t’=1 vào (3) được:

3 – ( - 1) = 1 + 3 (thoả mãn)

Vậy hệ (1), (2), (3) có nghiệm t = -1, t’ = 1

Thay t = -1 vào phương trình d ta được:

1 (

3

1 )

1 (

3 2

0 )

1 (

' '

1 2

3 :

, 1

2

1 :

t z

t y

t

x d

t z

t y

t x

d

3 2

1

t t

t t

1

2 1

3 2

1

t t

t t

t

(2) (3)

Từ (1) và (2), ta có:

Thay t = 1, t’ = 0 vào (3) được:

- 1= - 1 + 0 (thoả mãn)

Vậy hệ (1), (2), (3) có nghiệm t = 1, t’ = 0

Thay t = 1, vào phương trình của đường thẳng d, ta được:

1

3 1

2 1

z y x

Vậy, đường thẳng d cắt đường thẳng d’tại điểm M(3 ; 0 ; - 1)

3 Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.

' 0 3

0

'

' 2

' 0 2

0

'

' 1

' 0 1

0

t a z

t a z

t a y

t a y

t a x

t a x

'

a k

a 

Đường thẳng d chéo đường thẳng d’ khi và chỉ khi (k # 0) và hệ sau vô nghiêm

d’ d

1 :

, 3

2 2

1

' '

z

t y

t

x d

t z

t y

t

x d

Ta có, d có VTCP

d’ có VTCP '(1; 2;0)

)3

;2

;1(





a a

3

0 2

2 1

t

t t

1

'

t t

23

22

1

1

' '

t

t t

t

(2) (3)

Từ (1) và (3) ta có:

3

1 ,

3 3

1 2

Vậy, d chéo d’.