Chủ đề giới hạn hàm số

Nhận xét: Kỹ năng xác định giới hạn 1 bên và kết quả: Điều kiện để hàm số tồn tại giới hạn tại x 0 : là cơ sở cho việc xử lí vấn đề HÀM SỐ LIÊN TỤC mà sau này chúng ta được học!. Bài tậ

Tác giả: NGUYỄN THU HÀ (Huế ) LÊ BÁ BẢO (Huế)

lim( )

3 Một vài quy tắc quy tắc về giới hạn vô cực:

Lưu ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp xx0, xx0, x  và x  

(Dấu của f x được xét trên khoảng đang tìm giới hạn hạn, với   xx0)

1

11

n x

x

x x

111

x

n

x x

x x



  3)

6

2 26

lim

x

x x



 



4)

2

2 1

9)

2

2 1





 13)

3

4

1

11

2 3

2 1

x

x x

x

x x

Bài tập 2: Tính giới hạn các hàm số sau:

x

x x

422

14)  2 

1lim

lim

x

x x

lim

x

x x

x

x x

Nhận xét: Kỹ năng xác định giới hạn 1 bên và kết quả:

Điều kiện để hàm số tồn tại giới hạn tại x 0 :

là cơ sở cho việc xử lí vấn đề HÀM SỐ LIÊN TỤC mà sau này chúng ta được học!

Bài tập tương tự: Tính giới hạn các hàm số sau:

lim

x

x I

11

11

lim

x

x I

Phân tích: Cách giải thứ nhất chấp nhận được nhưng không mang tính tổng quát vì nếu ta thay yêu cầu

11

lim

x

x x

0 là làm xuất hiện nhân tử chung để:

-Hoặc là khử nhân tử chung đưa về dạng xác định

-Hoặc là đưa giới hạn về các dạng cơ bản, quen thuộc đã biết rõ kết quả hoặc

cách giải

Trong các bài tập khó, trong các đề thi Đại Học, các hạng tử cấu thành nhân tử chung thường thiếu vắng

Để giải quyết bài toán, điều mấu chốt là khôi phục các hạng tử vắng đó như thế nào? Bài viết này, chúng tôi xin giới thiệu đến bạn đọc 3 phương pháp để giải quyết vấn đề này

**Trong lời giải trên, ta đã thêm bớt 2 vào tử thức của ( ) F x Có 3 câu hỏi đặt ra là:

1) Tại sao phải có số 2

2) Tại sao phải là số 2

3) Tìm số 2 như thế nào ?

Trả lời 3 câu hỏi trên ta có phương pháp giải loại toán này:

+Trả lời câu hỏi 3: Để tìm số 2, ta đưa ra thuật toán gọi số hạng vắng

c f

c c

2( )lim

lim cos cos

, hạng tử vắng

ở đây là P x  đã “xưng danh” trong biểu thức giới hạn Nhân tử chung trong phương pháp này

không giản ước được Khi tìm giới hạn thì lim0   Const

Và do đó:

245

Phương pháp 3: TÁCH BỘ PHẬN KÉP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA PHÂN THỨC CHỨA CĂN

Như vậy, việc tìm “số hạng vắng” không khả thi!!!

Ta tìm đa thức vắng như sau:

LƯU Ý: + Biểu thức h x được xác định từ các biểu thức   f x , g x được gọi là bộ phận kép  

trong bài toán tìm giới hạn dạng (*)

+ Một vài số hạng của bộ phận kép h x có thể bị ẩn trong   f x1 , g x ta phải tìm 1 

chúng để xác định chính xác biểu thức h x 

Ví dụ 2: Tìm giới hạn:

4 3

cos cos ln

coslim

3

ln lim

KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC

Bài giải: Nhận xét giới hạn có dạng vô định “     ” khi x   nên ta tiến hành khử dạng

vô định bằng cách nhân lượng liên hợp

KỸ THUẬT: XÁC ĐỊNH GIỚI HẠN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

x

x x

tantan

tan

a a

t  Lúc đó:

2 2

2

2

211121

sincostan

t a t t a t t a t

12

sin a b  a b  a b 

12cos cosa b cos a b cos a b 

II- BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài tập: Tính các giới hạn sau:

bx ax

sin sin sin sin

cos cos cos

a x

cos cos cos

sin cos sin

sin sin sin

 

2

2 0

x

x x

1

sinlim

cos

x

x x

sin

x

x x

limtan( )

x

ax x

sin

x

x x

sinlimtan

x

x x

cos

x

x x







 16)

2

1lim

III - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

(Trong hệ thống các ví dụ trắc nghiệm mà chúng tôi dẫn ra có dạng giới hạn lượng giác cũng nhằm

để các em làm quen với dạng toán này trước, để tiếp cận chuyên đề đạo hàm sau được dễ dàng hơn)

Câu 1 Giá trị của

lim

x

x x

2 1 2 0 1

12

x x

khikhi

f x

x mx

1

,,

f x

x mx



Hướng dẫn:

x

x x

khikhi

coslim

x

ax x

sinlimsin

x

x M

Hướng dẫn: Ta có

210

lim

x

x x



 

 bằng phương pháp nào là ngắn và đúng nhất :

A Nhân cả tử và mẫu với  x  8 3 B Thay x  vào 1

C Chia cả tử và mẫu cho x D Chia cả tử và mẫu cho x

IV - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Câu 1 Với k là số nguyên dương Giá trị của lim2 1k

Câu 3 Giá trị của

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

lim

x

x x

lim

x

x x

f x x  x  Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A Hàm số có giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tại x  bằng nhau 1

B Hàm số có giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tại x  không bằng nhau 0

C Hàm số có giới hạn tại mọi điểm

 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A Hàm số có giới hạn trái và giới hạn bên phải bằng nhau

B Hàm số có giới hạn tại điểm x 3

C Hàm số chỉ có giới hạn bên trái tại điểm x 3

D Hàm số chỉ có giới hạn bên phải tại điểm x 3

Câu 13 Giá trị của  2 2 

x

x x







  bằng:

khi x x

x x x

x x

e e e e





 bằng:

Câu 31 Giá trị của 2

D Phân tích nhân tử rồi rút gọn

Câu 34 Trong các phương pháp tìm giới hạn



 

  sau đây, phương pháp nào thích hợp?

A Phân tích thành nhân tử rồi rút gọn

B Nhân cả tử và mẫu cho 3 2x7

C Nhân cả tử và mẫu cho  x 3 2 3  2x7

D Chia cả tử và mẫu cho x

Câu 35 Giá trị của  2 2 

x x

2

2 7

1449

x

a

f x c

 

C lim ( )

d x

11

khikhi

,( )

Khẳng định nào sao đây là sai?

Khẳng định nào sau đây là sai?

lim ( )

    D

1 ( )

lim ( )

   

- HẾT -

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Trong tài liệu này, tác giả có sử dụng phần lí thuyết và một số câu hỏi của Thầy Lê Bá Bảo

(CLB Giáo viên trẻ TP Huế), Thầy Đặng Ngọc Hiền (TP Bà Rịa_Vũng Tàu), Cô Nguyễn Hương Lý (Hải Phòng) và sách trắc nghiệm 2007, tài nguyên Page Toán học Bắc Trung Nam Dù biên soạn rất kỹ, song chắc chắn không tránh khỏi sai sót Mong bạn đọc phản hồi để cùng tác giả hoàn thiện nội dung trên Xin cảm ơn! Xin tặng các Thầy Cô và các em học sinh chuyên đề này!

Tác giả: NGUYỄN THU HÀ

Facebook:Nguyễn Thu Hà Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ