các định lý về giới hạn dãy số ; Định lý 1: nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.. Định lý 2: nếu một dãy số có giới hạn thì dãy số đó bị chặn.. Định lý 3: nếu một dãy
Trang 1GV: Nguyễn Văn Huy ( ĐT: 093.2421.725 )
GIỚI HẠN HÀM SỐ
Tóm tắt lý thuyết:
I/ các định nghĩa:
1.ĐN1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là L nếu
∀ε > 0 , ∃n0∈N: ∀n>n0thì | un - L | <ε Viết lim un = L
2 ĐN2 : Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực nếu với mọi số dơng M cho
trớc ( lớn bao nhiêu tuỳ ý ) , tồn tại một số dơng n0 sao cho
với mọi n>n0 thì | un|>M Ta viết Lim un = ∞
3 Chú ý :
3.1 Khi dãy (un) dần tới vô cực thì nó không có giới hạn ,song để cho tiện ta vẫn dùng kí hiệu Lim un = ∞
3.2 limu n = +∞ ⇔ ∀M > 0 , ∃n0∈N:n>n0 ⇒u n >M.
3.3 limu n = −∞ ⇔ ∀M > 0 , ∃n0∈N:n>n0 ⇒u n < −M.
3.4 lim 1 = 0 ; limq = 0 |,q| < 1
n
n k
4 ĐN3: Giới hạn hàm số (SGK)
5 ĐN4: Giới hạn hàm số dần tới vô cực (SGK)
6 ĐN5: Giới hạn hàm số tại vô cực (SGK)
7 ĐN6: Giới hạn một phía của hàm số (SGK)
8 chú ý :
x
Lim k
x
8.2 Giới hạn dạng = ∞
0
a
8.3 1 = 0 , > 0
∞
x
Lim k
x
II/ Một số định lý
1 các định lý về giới hạn dãy số ;
Định lý 1: nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý 2: nếu một dãy số có giới hạn thì dãy số đó bị chặn
Định lý 3: nếu một dãy số tăng và bị chặn trên (giảm và bị chặn
dới) thì dãy số đó có giới hạn
Định lý 4 : các phép toán về giới hạn( SGK)
Định lý 5 : Giới hạn kẹp giữa ( SGK)
2 các định lý về giới hạn hàm số:
Định lý 1: nếu một hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý 2: điều kiện cần hàm số có giới hạn(điều kiện đủ hàm số
có giới hạn).(SGK)
Định lý 3: Định lý giới hạn một phía ( sgk)
Định lý 4 : các phép toán về giới hạn( SGK)
Định lý 5 : Giới hạn kẹp giữa ( SGK)
III/ Bài tập:
Loại1: Giới hạn của dãy số qua các phép toán
Cách làm
• ta có thể áp dụng các định lý về giới hạn , các phép toán về tổng hiệu tích thơng để đa vào một kết luận trực tiếp
• Trong trờng hợp gặp các dạng vô định ( , , , 0
0
∞
∞
)ta thờng biến
đổi các biểu thức :
- Bằng cách đặt thừa số chung sau đó rút gọn
- Chia tử, mẫu cho số khác không và áp dụng
Trang 2lim 1 = 0 ; limq = 0 |,q| < 1
n
n k
- Nhân lợng liên hợp nếu chứa dạng có căn thức
- sử dụng kết quả đã tính đợc
Các VD: tìm các giới hạn sau
1.lim ( n2 +n− n2 +2) gợi ý : nhân liên hợp , kq: 1/2
2.lim (
4
2 2
2
1 2
n
n
n+ + + +
Gợi ý:
2.12 3.22 4.324 ( 1). 2 (1 1)12 (2 1)242 (3 1)32
n n
n
+ + + +
6
) 1 2 )(
1 ( 4
) 1 ( )
1 ( )
1 (
2 2
2 2
3
n n
3 lim
1 5
5 1
1
+
−
+
+
n
n
n e kq:1/5
4 Lim
9 2 7
1 4 3
2 3
− +
+
−
n n
n
n kq: 1/7
5.lim
) 4 3 )(
3 2 )(
1 (
1
2 3
+ +
+
+
n n
n
n kq: 1/3
) 1 (
1
3 2
1 2 1
1 (
+ + + +
n n
) 1 2 )(
1 2 (
1
7 5
1 5 3
1 (
+
− + + +
n n
) 2 (
1
4 2
1 3 1
1 (
+ + + +
n n
) 3 (
1
5 2
1 4 1
1 (
+ + + +
n n
10 Lim ( 12 22 21)
n
n n
n
− + + +
Loại 2: Giới hạn dãy số thông qua sự so sánh ( Định lý kẹp)
3
sin ) 1 (
2
! lim
n
n 3.lim(sinn)e−n
2 1
n n
n n
n n
n
+ + + +
+
Loại 3 Giới hạn hàm số thông qua các định lý
Cách làm
• ta có thể áp dụng các định lý về giới hạn , các phép toán về tổng, hiệu, tích, thơng để đa vào một kết luận trực tiếp
• Trong trờng hợp gặp các dạng vô định ( , , , 0
0
0
∞
∞
−
∞
∞
∞
)ta thờng biến
đổi các biểu thức :
- Bằng cách đặt thừa số chung sau đó rút gọn
- Chia tử, mẫu cho số khác không và áp dụng lim 1 , lim 1 0
∞
→
- Nhân lợng liên hợp nếu chứa dạng có căn thức
- sử dụng kết quả đã tính đợc
Trang 3Bài tập : Tìm các giới hạn sau:
1)
1
1
−
→ x
x
1 5
1 2 3
+
−
+ +
∞
→ x x
x x
x
2)
9
9 3 5
− + +
−
x x x
5 3
1 lim
2
+
+ +
−∞
x x
x
3)
1
2 1 3 lim
− +
x
5 3
1
+
+ +
+∞
x x
x
4)
1
1 2
3
+
− +
−
x x x
x
x
x −−
+∞
→ +
+ 11 ) 2
1 ( lim
9)
x
x
x
sin lim
∞
4 ( 2 lim 4
x tg x tg
x
−
→
π
π
11) lim ( x 1 x)
+∞
→ 12) lim ( x 1 x)
−∞
→
Loại 4: giới hạn các hàm số lợng giác
Một số công thức hay sử dụng
1
sin lim
→ x
x
) (
) ( sin lim
0
=
→ u x
x u
x
x (trong đó u(x) → 0khi x→ 0)
1 lim
→ x
tgx
) (
) ( lim
0
=
→ u x
x tgu
x
x (trong đó u(x) → 0khi x→ 0) Bài tập : tìm
0
cos 1 lim
x
x
x
−
x
x
x
3 sin lim 0
x
tgx
x sin 2 lim
2 0
→
0
2007 sin
3 sin 2 sin sin lim
x
x x
x x
x
x x
1 1
2 lim 0
+
− +
→
6)
x
x x
x 0 sin2
3 cos cos
x x
x
x sin 2
cos 1 lim
3 0
−
→
Loại 5: Giới hạn các hàm số có liên quan tới e
Một số công thức hay sử dụng
1) e
x
x
∞
→ ( 1 1)
→
1
0 ( 1 ) lim
3) ln(1 )) 1
lim
x
→ x
e x x
Bài tập : Tìm
1)
x
e
e ax bx x
−
→ 0
lim với a≠ 0 ,b≠ 0 2)
2 0
cos 3
lim
2
x
x
x
x
−
→
2 1 (
∞
1
2 (
→
x x
x Loại 6 : phơng pháp gọi số hạng vắng tìm giới hạn hàm số
Cách làm: Bản chất việc khử dạng 0/0 là làm xuất hiện nhân tử
chung để:
- Hoặc là khử nhân tử chung đa về dạng xác định
- Hoặc là đa giới hạn về dạng giới hạn cơ bản ,quen thuộc đã biết rõ kết quả hoặc cách giải
- Trong các bài toán khó chứa nhiều căn thức và chỉ số căn khác nhau ta cần thêm bớt vào giới hạn một hằng số hoặc một hàm số
Trang 4phù hợp để tách thành nhiều giới hạn đảm bảo phân số tham gia vào dạng vô định chỉ chứa một căn và vẫn là dạng 0/0
Ví dụ: Tìm
1)
1
7 5
3
+
−
−
x x
x
=
1
) 2 7 (
) 2 5
(
3
− +
−
−
−
x x
x
=
1
2 7 lim
1
) 2 5
(
1 2
3
− +
−
−
−
−
→
x x
x
x x
Bình Luận : Ta đã tách thành hai giới hạn đơn giản hơn đã biết cách làm Tại sao lại nghĩ đợc thêm bớt số 2? Trả lời là
1
2 7
; 1
) 2 5
(
2
2
3
−
− +
−
−
−
x
x x
x đều có dạng 0/0 vậy không thể chọn số khác ngoài 2
2)
2 3 0
1 3 2 1 lim
x
x x
x
+
− +
2 3 0
) 1 1 3 ( ) 1 2
1 ( lim
x
x x x
x
x
−
− +
−
−
− +
→
=
2 0
) 1 ( 2 1 lim
x
x x
x
+
− +
-2 3
0
) 1 ( 1 3 lim
x
x x
x
+
− +
→
Bình Luận : Ta đã tách thành hai giới hạn đơn giản hơn đã biết cách làm,trong trờng hợp này ta phải thêm vào x+1 vì nếu
thêm hằng số ta chỉ thu đợc dạng vô định mới mục đích
Vẫn chỉ làm mất bậc hai ở mẫu.Vì sao lại là x+1 mà không
phải biểu thức khác ( xem loại7)
Bài tập: tìm
1)
x
x x
x
3 0
8 1 2
1
7 5
+
−
−
x x
x
3)
2 3 0
1 3 2 1 lim
x
x x
x
+
− +
2 9
20 2
lim
4
3
+
− +
x x
x
5)
x
x x
3
cos cos
→ 6) lim ( 3 x3 3x2 x2 2x)
+∞
→
Loại 7: Giới hạn sử dụng công thức
1
n
a x
ax
n
→
1 1
lim
0 trong đó a≠ 0 ,n∈N*
Chứng minh :
ta đặt ẩn phụ n1 +ax =t từ đó suy ra ĐPCM
2 Giới hạn dạng m n k
a
x g x f
) (
) ( ) ( lim
−
−
0
0,m,n,k∈N, 1 ≤k ≤ min{ }m,n
Phân tích thành
k
a
x h x h x g x
h x
h x f
) (
)]
( )]
( [ ) ( [ )]
( )]
( [ ) ( [
−
− +
−
− +
→
Và phân tích thành hai giới hạn loại 6
VD1: Tìm lim ( )
0F x
x→ Trong đó
x
x x
x
F( )= ( 2 +2007)7 1−2 −2007
HD:
7
2007
.
2
1 2 1 2007 lim 2
1 lim ) 1 2 1 ( 2007 2
1 lim ) (
0
7 0
7 7
0 0
−
=
−
− +
−
=
−
− +
−
=
→
→
→
x x
x x
x x
x x
F
x x
x x
Trang 5VD2 : Tìm I =
3
2 3 0
27 27 9
9 6 8
lim
x
x x
x x x
x
+ +
− + + +
→
HD: I=
3
2 3
0
)]
3 ( ) 3 ( [
)]
3 ( ) 3 ( 8 [ lim
x
x x
x x
x x
x
+
− +
−
− +
− + +
→
Bài Tập : Tìm
1)
4 3
4 4
3
1 3 / 1 2 / 1 1 lim
x x
x
x x
x x
−
− + +
+
→
2)
x
x x
x x
x
x
3
4 3
0
4
) 1 ln(
cos 3 3 cos 2
3 1 2 cos lim
+
− +
− + +
→
gợi ý : h(x) = cosx
3)
2
0
4 2 1 2
2 cos lim
x
x x x
x
x
− +
−
−
→
Gợi ý: h(x) = 1-x
4)
2
2 0
2 1 4
2 2 cos 2 2
3 lim
x
x x
x x
x x
x
+
− + +
−
− + +
→
5)
2
3
3 1 ) 1 ln(
52 1 lim
x
x x
x x
x
+
− + +
+
→
Loại 8: Tham khảo toán cao cấp
Định lý : Nếu f(x), g(x) có đạo hàm ở lân cận x0,f(x0) = g(x0) =0 và
g’(x) khác không ở lân cận x0 ,thì ( )
( ) g( ) ( )x
x f im l x g
x f
x x x
′
=
→
lim
( Quy tắc lô pi tan)
−
→ x x
x
2007 lim
3
x
x 1 cos
3 2007 lim
2
sin
2 3 2007 lim
x
x
Bài tập tổng hợp Bài1 tính các giới hạn sau:
a)
x
x
||
3 sin 1
| 1
| lim
+
−
) 2 sin(
) cos 2
cos(
x
x
π
→
0
sin lim
x
x tgx
x
−
x x
x x
+ +
−
→ 3 4 2
sin 1 2 1 lim 3 0
2 sin
2 ( lim
x
5 cos 1 lim
x
x
x
−
→
g )
2
2 0
) ( ) ( lim
x
a tg x a tg x a tg
x
−
− +
1
5 7
−
− +
x x
x
i) )
x
x x
1 1
2 lim
0
+
− +
x
x x x
) 7 cos 5 cos 3 cos 1 ( 83
98
0
−
→
Bài2: Tính các giới hạn sau
a)
3 0
sin 1 1
lim
x
x tgx
x
+
− +
x
x x
x sin 11
7 cos 5 cos 1
0
−
→
Trang 6c)
) 1 ln(
1
x
e x
+
−
1 1
1 sin cos
lim
2
4 4
−
−
x x
x
e) lim (n Z)
n x
x tg
n
+
−
→
x
x
x 1 cos
1 2 1
+
−
→
g)
x
x
x sin 2
) 3 1 ln(
lim
0
+
1
0 (cos 2 )
→