CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN 2018 CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN-HÀM SỐ LIÊN TỤC Tổ Toán, Trường THPT Yên Khánh A I.. b Hàm số liên tục trên một khoảng Định nghĩa: + Hàm số yf x gọi là liên tục

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN 2018 CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN-HÀM SỐ LIÊN TỤC

Tổ Toán, Trường THPT Yên Khánh A

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1) Giới hạn dãy số

a) Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Định nghĩa 1: limu  n 0 khi n   nếu u n nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào

đó trở đi

- Định nghĩa 2: limu na khi n   nếu lim(u n a) 0 

b) Một vài giới hạn đặc biệt

lim 0; lim k 0

n n  với k 

  limq  n 0 nếu q 1

limc c với c là hằng số

b) Định lý về giới hạn hữu hạn

- Nếu limu na và limv nb thì

n

- Nếu u  n 0 với mọi n và limu na thì a 0 và lim u n  a

c) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q với q 1

- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u1 và công bội q là:

1

n

u

q

      



d) Giới hạn vô cực

- Định nghĩa:

+) limu  n nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi

+) limu   n nếu lim( u n) 

- Một vài giới hạn đặc biệt

limn  k với k  

limq  n nếu q 1

2) Giới hạn hàm số

a) Giới hạn hữu hạn của ham số tại một điểm

- Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x0, hàm số f x( ) xác định trên khoảng K hoặc K\ x0 0

lim ( )

x x f x L

  nếu dãy số  x n bất kì, x nK\ x0 và x n x0 ta có f x( )n  L

- Định lý về giới hạn hữu hạn:

+) Giả sử xlim ( )x0 f x L và xlim ( )x0g x M Khi đó:

( ) lim ( ) ( ) ; lim ( ) ( ) ; lim ( ) ( ) ; lim

( )

f x L

g x M

+) Nếu ( ) 0 và xlim ( )x0 f x L thì L 0 và

0

lim ( )

x x f x L

b) Giới hạn một phía

Trang 2

- Cho hàm số yf x( ) xác định trên khoảng x b0 ;  Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số ( )

yf x khi x x0, kí hiệu

0

lim ( )

x x f x L





 nếu với dãy số  x n bất kì, x0 x nb và x n  x0 ta có ( )n

f x  L

- Cho hàm số yf x( ) xác định trên khoảng a x; 0 Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số yf x( ) khi x x0, kí hiệu

0

lim ( )

x x f x L





 nếu với dãy số  x n bất kì, a x nx0 và x n x0 ta có f x( )n  L

- Định lý: 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )

x x f x L x x f x x x f x L

c) Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

- Cho hàm số yf x( ) xác định trên khoảng a ;  Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi x  ,

kí hiệu là xlim ( ) f x L nếu với dãy số  x n bất kì, x na và x   n ta có f x( )n  L

- Cho hàm số yf x( ) xác định trên khoảng  ;a Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi x   ,

kí hiệu là xlim ( )  f x L nếu với dãy số  x n bất kì, x na và x    n ta có f x( )n  L

- Các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm vẫn còn đúng khi x   n hoặc x    n

d) Giới hạn vô cực của hàm số

- Định nghĩa:

Cho hàm số yf x( ) xác định trên khoảng a ;  Ta nói hàm số có giới hạn là   khi x  , kí hiệu là xlim ( ) f x   nếu với dãy số  x n bất kì, x n a và x   n ta có f x   ( )n

-lim ( ) lim ( )

        

- Một vài giới hạn đặc biệt:

lim k

x x

   với k  

lim k

x x

     với k là số lẻ

lim k

x x

   với k là số chẵn

- Quy tắc giới hạn vô cực:

+) Quy tắc giới hạn vô cực của tích f x g x( ) ( ):

0

lim ( )

x x f x

x x g x

x x f x g x



0

+) Quy tắc giới hạn vô cực của thương g x f x( )( ):

0

lim ( )

x x f x

x x g x

0

( ) lim ( )

x x

f x

g x



0

3) Hàm số liên tục

a) Hàm số liên tục tại một điểm

Trang 3

- Định nghĩa: Cho hàm số yf x( ) xác định trên khoảng K và x0 K Hàm số yf x( ) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim ( )0 ( ) 0

x x f x f x

Hàm số không liên tục tại x0 gọi là gián đoạn tại x0

b) Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa:

+) Hàm số yf x( ) gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó +) Hàm số yf x( ) gọi là liên tục trên đoạn a b; nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng a b;  và: lim ( ) ( ); lim ( ) ( )

x a f x f a x b f x f b

c) Một số định lý cơ bản

- Định lý 1:

+) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực 

+) Hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

- Định lý 2:

Giả sử yf x( ) và y g x ( ) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 Khi đó:

+) Các hàm số f x( ) g x f x( ); ( )  g x f x g x( ); ( ) ( ) liên tục tại x0

+) Hàm số g x f x( )( ) liên tục tại x0 nếu g x ( ) 0 0

- Định lý 3:

Nếu hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn a b;  và f a f b ( ) ( ) 0 thì tồn tại ít nhất một điểm ca b;  sao cho f c ( ) 0

II PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD

Đề thi tham khảo THPT QG 2018_BGD

GIỚI HẠN - HÀM SỐ

LIÊN TỤC

Câu 2 (Giới hạn hàm số)

2%

3

x

 



 bằng

3

x

x x

  



 bằng

1

Câu 2.2

1

lim

1

x

x x







 bằng

Trang 4

Câu 2.3

1

1 2 lim

1

x

x x



 



 bằng

III ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI THPT QG CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN, HÀM SỐ LIÊN TỤC

CHỦ

ĐỀ

SỐ

Giới

hạn,

hàm

số liên

tục

(6 tiết)

1-2 Giới hạn dãy số

- Giới hạn hữu hạn của dãy số, định lý về giới hạn hữu hạn

- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Giới hạn vô cực của dãy số

- Các phương pháp tính giới hạn của dãy số

3-4 Giới hạn hàm số

- Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

- Giới hạn một bên, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

- Giới hạn cô cực của hàm số, quy tắc giới hạn vô cực

- Các phương pháp khử dạng vô định

5-6 Hàm số liên tục

- Hàm số liên tục tại một điểm

- Hàm số liên tục trên một khoảng

- Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

A CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 CÂU HỎI TNKQ GIỚI HẠN DÃY SỐ

Câu 1: NB Tính giới hạn

2 2

4 5 200 lim

5 3 7

 

  ta được kết quả

4 5

Lời giải Chọn B.

2

4 n 5 20 lim

4 n 5 20

n n

 

  ta được kết quả

Lời giải Chọn A.

2

(2 1) 8 lim

1

n

 

 ta được kết quả

Lời giải Chọn D.

Câu 4: NB Tính giới hạn lim 22 1

4

n



  ta được kết quả

Trang 5

Lời giải Chọn C.

Câu 5: TH Tính giới hạn lim n2 n n  ta được kết quả

A 1

1 2

2

lim

  ta được kết quả

A 1

9

27

12500.

Câu 7: TH Tính giới hạn lim 32 2

n



A 3

3

lim( 2 )

I  n  n  n ta được kết quả

3

Câu 9: TH Tính giới hạn lim( n n n  n) ta được kết quả

1

2.

Câu 10: VD Tính giới hạn lim(3n3 n2  n2n) ta được kết quả

A 5

6

2



Câu 11: VD Tính tổng 1 1 1 1

Trang 6

A S 1 B S 2 C 1

2

3

S 

1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1)

n

u

  Tính I limu n

2

3

I 

Câu 13: VD Tính giới hạn lim 5 n 2n

 ta được kết quả

Câu 14: VDC Cho dãy số (un) với u  n 5   5 2 5 3  5 n Chọn mệnh đề đúng?

n

u 

2

n

Câu 15: VDC Giá trị của tổng 4+44+444+…+44 4 (tổng đó có 2018 số hạng) bằng

(10 1)

2018

40 (10 1) 8072

C 4(102018 1)

2018

40 (10 1) 2018

2018

S 4 44 444 44 4 4 1 11 111 11 1

9 (10 1) (100 1) (1000 1) (10 0 1) 4

(10 100 1000 1000 0) 2018

S



2 CÂU HỎI TNKQ GIỚI HẠN HÀM SỐ

Câu 16: NB Tính giới hạn lim 1

2

x

x x

 



Trang 7

Câu 17: NB Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A

0

1 lim

0

1 lim

x  x



0

1 lim

x  x



 D xlim0 1

x



Câu 18: NB Giả sử lim ( )x a  f x , lim ( )x a g x

   Xét các mệnh đề:

(1): lim ( ) ( )



(2): lim ( ) 1

( )

x a

f x

g x







(3): lim ( ) ( ) 0



Trong các mệnh đề trên

2018

2018 2

4 lim

2

x

x x





A 2018

2 D 

Câu 20: NB Tính giới hạn 3 2

2

2 2 lim

2

x

x x

 



A 2 2

2 2

3 2 2

f x





 Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A lim ( ) 1x1 f x  B Đáp án khác

C lim ( ) 4x1 f x  D Không tồn tại lim ( )x1 f x

Câu 22: TH Tính giới hạn lim 2 1 

1 2



Trang 8

Câu 23: TH Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ

8

6

4

2

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

A xlim ( ) 2  f x  B xlim ( )   f x  2 C xlim ( )1 f x  D xlim ( )1 f x  

Câu 24: TH Tính

2

0

2 lim

1 1

x

x x



 

ta được kết quả

Câu 25: TH Tính lim ( )x2 f x với ( ) 2 2 4 4

4

f x

x



A 1

4



0

ax 1 1

x

bx

x



  

A a b 0 B a2b2 10 C b 1 D 1a3

Lời giải Chọn D

2 2

2 3

lim

x

I

  

  



  

3

I 

Trang 9

2 3

9 lim

2 1

x

x x







  ta được kết quả

1

lim

1

x





 ( ,a b Z b , 0 và a

b tối giản) Biểu thức

a  b có giá trị là

x

A a3b2 745 B a3b2 11951 C a3b2 50689 D a3b2 12131

Câu 31: VD Tính lim ( 1) 32 1

x

x x

  



2

5

5 .

Câu 32: VDC Cho a, b là hai số thực khác 0 Nếu 2

2

x



 



 thì a b bằng

1

khi x







Tìm m để hàm số có giới hạn tại x=1

Câu 34: VDC Cho a, b, c là các số thực khác 0, 3b 2c0 Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c để

3 0

t anax 1 lim

2

Trang 10

A 1

a

3 CÂU HỎI TNKQ HÀM SỐ LIÊN TỤC

Câu 35: NB Hàm số

2 2

1 ( )

5 6

x

f x





  liên tục trên khoảng nào sau đây?

A  ;3 B 2;3. C 3; 2 D 3;

f x

khi x







 Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

f x







Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

trên   ; 1

Câu 38: NB Cho hàm số

sinx

0 2

( )

1

0 2

khi x x

f x

khi x











Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

2



 

Câu 39: TH Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không liên tục trên khoảng (-1;1)?

1

f x

x



 B f x( ) 2x1

Trang 11

C f x( ) 8 2 x2 D f x( )x4 x22.

Câu 40: TH Cho hàm số ( ) 2

x

f x



  Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Câu 41: VD Tìm m để hàm số sau đây liên tục trên :

1

1 ( ) ln

x

x khi x













Câu 42: VD Cho hàm số

0 ( )

x khi x









Tìm a để hàm số liên tục tại x=0

2

3

Câu 43: VD Cho a,b là các số thực khác 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa a,b để hàm số

2

0 ( )

khi x







liên tục tại x=0

A a4b B a b C a4b1 D a4b1

Câu 44: VDC Phương trình sau x3mx2 (m3)x 1 0 có bao nhiêu nghiệm với mọi giá trị của

m

Câu 45: VDC Cho phương trình sin 2m x2(sinx cos ) 0 x  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trang 12

A Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Xét trên đoạn 0; , (0) 2, ( ) 2

Câu 46: VDC Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương m để x3x2 (m2)x m  1 0 có

ba nghiệm phân biệt x x x thỏa mãn 1, ,2 3 x1x2  2 x3 Khi đó S là tập con của tập hợp

A  ;17  B 1;17  C 8; D 10;

B ĐỀ TỰ LUYỆN

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH

TRƯỜNG THPT YÊN KHÁNH A

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ:

GIỚI HẠN-HÀM SỐ LIÊN TỤC

Ôn thi THPT quốc gia năm 2017- 2018

Thời gian làm bài 45 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ SỐ 1

Câu 1: Tính giới hạn lim 4 n 35n 2000 ta được kết quả

Câu 2: Tính giới hạn lim 5.2 7.5

15.3 17.5



A 7

17

1

7

15.

Câu 3: Số 3 là giới hạn của dãy số nào sau đây?

A lim 2 3

n n



 B lim3 1

2

n n



n

 D lim 32 2

1

n



 

Câu 4: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào khác với các giới hạn còn lại?

n I

n





n I

n





 C lim4 1

n I

n





1

n I

n







Câu 5: Cho dãy số  u n với 1 2 3 2

1

n

n u

n

   



 Tính limu ? n

1 2



Câu 6: Tính giới hạn

2

2sin lim

1 2





Trang 13

A 1 B 1

1 2



Câu 7: Cho dãy số (un) được xác định bởi công thức 1 1

2(2 1) 1,

3

n n

n

u



 với mọi số tự nhiên 1

n  Biết (un) có giới hạn hữu hạn, limu bằng n

Câu 8: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a 2,151515 (chu kì 15) a được biểu diễn dưới

dạng phân số tối giản m

n , trong đó m n, là các số nguyên dương Tìm tổng m n .

A. m n 38 B m n 104 C m n 114 D m n 312

2 3

x

x I

x

 







1

lim



4

Câu 11: Tính limx13x x11

0

2 ( )

1

0 1

x

f x

x

khi x x







 



lim ( )x0 f x bằng

Câu 13: Biết

3 2

2 8

2

x



  



 Tính M a22a

Câu 14: Cho

2 4

lim

x

  





 ( ,a b Z b , 0 và a

b tối giản) Biểu thức a b có giá trị là

Câu 15: Cho biết lim ( 2+ax+5 ) 5

2

lim ( 2)

4

x

x x

x







Trang 14

Câu 17: Cho a, b là hai số thực khác 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b để

2

lim

x







Câu 18: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

1

f x

x



Câu 19: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị dưới đây6

4

2

1 1

0 2

Hàm số f(x) gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

Câu 20: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1

x

f x

x





1

x

f x

x





1

x

f x

x





1

x

f x

x





Câu 21: Tập hợp các điểm gián đoạn của hàm số 32 3

9 5

x y

x





 

Câu 22: Cho phương trình 2x4-5x2+x+1=0, mệnh đề nào sau đây đúng?

Trang 15

Câu 23: Cho hàm số

2

khi x

  





 



Xác định a để hàm số liên tục tại x=2?

Câu 24: Cho hàm số

2

x khi x





 



Tìm m để hàm số liên tục trên ?

Câu 25: Cho a, b là các số thực khác 0 và hàm số

2

ax 1 1

0 ( )

khi x









liên tục tại x=0 Tìm

giá trị nhỏ nhất của T=ab+2a-30

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 01

Câu 1: NB Tính giới hạn lim 4 n 35n 2000 ta được kết quả

Dùng máy tính cầm tay

15.3 17.5



A 7

17

1

7

15.

Câu 3: TH Số 3 là giới hạn của dãy số nào sau đây?

A lim 2 3

n n



2

n n



n

 D lim 32 2

1

n



 

Câu 4: TH Trong các giới hạn sau, giới hạn nào khác với các giới hạn còn lại?

Trang 16

A lim3 1

n I

n





n I

n





 C lim4 1

n I

n





1

n I

n







1

n

n u

n

   



 Tính limu ? n

1 2



2

( 1)

n

n n n

u





Câu 6: VD Tính giới hạn

2

2sin lim

1 2





1 2



2(2 1) 1,

3

n n

n

u



 với mọi số tự nhiên 1

n  Biết (un) có giới hạn hữu hạn, limu bằng n

Giả sử limu n  L limu n1 L

Do 1

2(2 1) 3

n n

n

u u

u





1

2

n n

n

L









*

2(2 1)

3

n

u



dạng phân số tối giản m

n , trong đó m n, là các số nguyên dương Tìm tổng m n .

A m n 38 B m n 104 C m n 114 D m n 312

Trang 17

2 4

2,151515 2 0,15 0,0015 0,000015

1

100

n

2 3

x

x I

x

 







  ta được kết quả

4

Câu 11: NB Tính limx13x x11

0

2 ( )

1

0 1

x

f x

x

khi x x

 







 



lim ( )x0 f x bằng

Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn Đáp án C là hàm số lẻ

Câu 13: TH Biết

3 2

2 8

2

x



  



 Tính M a22a

a

Câu 14: TH Cho

2 4

lim

x

  





 ( ,a b Z b , 0 và a

b tối giản) Biểu thức a b có giá trị là

Trang 18

A 9. B 5. C 9. D 5.

4

1 4

1

x



2

ax 5

+ax+5





2

5 a

2

a 5

x

a

x x

  





2

lim ( 2)

4

x

x x

x







2

x

Câu 17: VDC Cho a, b là hai số thực khác 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b để

2

lim

x







2

lim

( 2)( 3)( 4)

x





2

lim

x







  hữu hạn (a b )2 4 b 3a 0 a2b

Câu 18: NB Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,72 MB