Chuyên đề giới hạn hàm số

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0.. Có bao nhiêu dãy số có giới hạn bằng 0 trong các dãy số trên.. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm.. Với a là một số thự

Trang 1

Tác giả: HUỲNH ÁI HẰNG ( Huế) Biên tập: Lê Bá Bảo ( Huế )

Chủ đề 1:

I- LÝ THUYẾT:

1 ĐỊNH LÍ 1: Cho hai dãy số    u n , v Nếu n ;

*

lim 0

n

v











thì limu n0

2 CÁC PHÉP TOÁN: Giả sử limu n  L , limv nM và c là một hằng số Khi đó:

* ;

n n

n

u L

v M

Định lý 1:NGUYÊN LÝ WEIERSTRASS

Một dãy số tăng và bị chặn trên ( hoặc giảm và bị chặn dưới ) thì có giới hạn

Định lý 2: (ĐỊNH LÝ KẸP GIỮA)

Cho 3 dãy số ( ), ( ),u n v n (w với: n) v n u nw n ;  n *

lim lim

n

n n

v A

u A





Trang 2

*CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG:

* limc c , c  *

3 3

lim lim

lim

n n

n

u L



  





0

n

n n

u L

  

* Tổng cấp số nhân lùi vô hạn q 1: 2 1

1 1 1

1

u

S u u q u q

q



n

u

3

* limq n 0 nếu q 1

lim k 0 k

n   Mở rộng: lim c k 0

n 

* limn ; lim n ; lim3n 

* limq n  nếu q1

limn k  , k

3 MỘT VÀ QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ:

limu n  , limv n   limu n  , limv n  L 0 limu n L 0, limv n0

limu n limv n limu v n n limu n Dấu L limu v n n Dấu L Dấu v n

lim n n

u v





















































II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:

Câu 1 Với k là số nguyên dương thì lim 1k

n bằng

A  B  C 0 D 1

Hướng dẫn:

 *

1

lim k 0, k

n   

Lựa chọn đáp án C

Trang 3

Câu 2 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A lim1 lim 1k ; k 

n n   B limq  nếu n 0 q  1

C lim c  ( c là hằng số) c D lim3u n 3 limu n

Hướng dẫn:

limq  nếu n 0 q 1

Lựa chọn đáp án B.

Câu 3 Cho dãy số  u n thỏa mãn u n 2 12

n

  với mọi n Khi đó, limu n có giá trị bằng

A 2 B 2 C 0 D 1

Hướng dẫn:

Vì u n 2 12

n

  và lim 12 0

n  nên limu  n 20 Vậy limu  n 2

Lựa chọn đáp án A.

Câu 4 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

A 1

1

n  B

1

n n



D cos n

n

Hướng dẫn:

     



Lựa chọn đáp án C.

Câu 5 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A 3

2

n

 

 

  B 54

n

 

 

 

2 3

n

 

 

  D 43

n

 

 

 

 

Hướng dẫn:

Vì 1 2 1

3

   nên lim 2 0

3

n

 

  

 

Câu 6 Dãy nào sau đây không có giới hạn?

A 2

3

n

 

 

  B 23

n

 

 

 

  C 0,99n D  1n

Hướng dẫn:

Nếu n chẵn thì  1 n1, n lẻ thì  1 n 1 Do đó dãy số  1n không có giới hạn

Trang 4

Câu 7  1

lim

2

n



 có giá trị bằng

A 1

2



Hướng dẫn:

Câu 8 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

A 1

 1

n



C 5 4

n

 

 

2

n

Hướng dẫn:

Vì 5 1

4 nên lim 5

4

n

 

   

 

Câu 9 lim1 2

4

n n



có giá trị bằng

A 1

1 4

1 2



Hướng dẫn:

1 2

n



Lựa chọn đáp án D.

Câu 10 lim3 5

5

n



A 1 B 0 C 3

8

5

Hướng dẫn:

3 1 5

3 5

1 5

n

 

  

 



Trang 5

Câu 11

1

lim

3.4 7

  

 có giá trị bằng

A 7 B 0 C 1 D 1

3

Hướng dẫn:

1

7



   

   

 

 

Câu 12

2

2 2

lim

π

  có giá trị bằng

A 1

3 B

1

4 C  D 1

Hướng dẫn:

2

2 2

3 1

4

π

   

    

   

   

Câu 13

3

4

lim

n n

  có giá trị bằng

A  B 2 C 0 D  6

Hướng dẫn:

4

n n

Câu 14 Gọi L lim 4 sin 3n

n

  thì L bằng số nào sau đây?

A 0 B 2 C 2 D 4

Hướng dẫn:

Trang 6

Ta có sin 3n 1

n n limsin 3n 0

n

Câu 15

4

lim

n n

 

A 0 B 2

5

Hướng dẫn:

4

3

2

n

Câu 16

3 2 2

lim

n n

  có giá trị bằng

A 2 B 0 C  D 2

Hướng dẫn:

3

2

2 2

2 3

1 1

n

n n





Câu 17    

   

2

lim

1 2 5

  có giá trị bằng

A 0 B 1

2 C 1 D 

Hướng dẫn:

   

2 2

2

Câu 18 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 12 1

S      có giá trị bằng

A 1

1

2

5

4

Trang 7

Hướng dẫn:

2

S      là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với 1 1

5

u  và 1

5

q 

Khi đó,

1 1 5

1 4 1

5



Câu 19 Cho các dãy số        u n , v n , w n , α n với 3 21, 2 2

n



2017 4

w  ,

2017 2

n



 Có bao nhiêu dãy số có giới hạn bằng 0 trong các dãy số trên?

A 1 B 2 C 3 D 4

Hướng dẫn:

Có 3 dãy có giới hạn bằng 0 gồm      u n , v n , w n

Câu 20 Biết lim4 1

2

n

a n

 

 Hỏi a là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A x   2 4 0 B x25x  C 4 0 2

x  x  D

2

4

0

x

x x





 

Hướng dẫn:

4 1

2

n

a a n

 Lần lượt thế a  vào các phương trình ở các phương án 4

Lựa chọn đáp ánB.

Câu 21  3 2 

lim 3n n  có giá trị bằng 1

A 2 B 1 C  D 

Hướng dẫn:

 3 2  3

3

1 1 lim 3n n 1 limn 3

n n



       

lim n  n n 2 có giá trị bằng

2

Hướng dẫn:

Trang 8

   2   2 

2

lim

2

n



lim n  n n 2 có giá trị bằng

A 1 2 B  C 1 D 

Hướng dẫn:

 2 2 

2

          

Câu 24

2 2

2 lim

A 4 B 2 C 1

2

Hướng dẫn:

2 2

lim

2 lim



=

n

Câu 25 lim3n13n có giá trị bằng

A 0 B 1 C  D 

Hướng dẫn:

3 3

 

Trang 9

Câu 26 lim1 3 5 (22 1)

n n

A 0 B 1 C 1

3 D 

Hướng dẫn:

1 3   5 (2n1) là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng có u11, u n2n1 và công

sai d  2

Do đó 1 3 5 (2 1) 1 2 1 2

2

n

          Suy ra

2

3

n

Câu 27

 

1.2 2.3 3.4 n n 1

A 0 B 2 C  1 D 1

Hướng dẫn:

Ta có:  1 1   11 1 11.

k k

k k k k

 



Do đó

 

       

              

Suy ra

 

Câu 28 Cho dãy   1

1

1 :

1

n n

u

u u



 





Lúc đó, limu n bằng

A 0 B 2 C  1 D 1

Hướng dẫn:

Dùng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được u n 1 limu n 0

n

  

Trang 10

III – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:

Câu 1 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

A Nếu limu  n 0 thì limu  n 0 B Nếu limu   n thì limu   n

C Nếu limu   n thì limu   n D Nếu limu n a thì limu n a

Câu 2 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm

B Nếu  u n là dãy số tăng thì limu   n

C Nếu limu   n và limv   n thì limu nv n0

D Nếu u n và 1a n    thì a 0 limu  n 0

Câu 3 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A lim3 f x g x  3limf x g x 

B lim3 f x g x 3 limf x 3 limg x 

C lim3 f x g x lim3 f x lim3 g x 

D lim3 f x g x lim3 f x 3 g x 

Câu 4 Với a là một số thực, trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A Nếu limu na và limv   n thì lim n 0

n

u

v 

B Nếu limu na và limv   n thì lim n 0

n

u

v 

C Nếu limu na và limv   n thì limu v   n n

D Nếu limu n a 0 và limv  n 0 và v  n 0 với mọi n thì lim n

n

u

v  

Câu 5 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Mọi dãy dương đều có giới hạn

B Mọi dãy tăng đều có giới hạn

C Mọi dãy giảm đều có giới hạn

D Mọi dãy là dãy không đổi đều có giới hạn

Câu 6 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Mọi dãy bị chặn đều có giới hạn

B Mọi dãy tăng và bị chặn trên đều có giới hạn

C Mọi dãy giảm và bị chặn trên có giới hạn

D Mọi dãy tăng và bị chặn dưới đều có giới hạn

Câu 7 Cho  u n là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q Khẳng định nào sau đây là đúng?

A q 1

Trang 11

B 1

1 2

1

n

u

q



1

u u q u q u q

q



D lim 1

1

n

u S

q





Câu 8 Để tính lim2.4 5 13

2 5

 ta tiến hành

A Chia cả tử và mẫu cho 2n

B Chia cả tử và mẫu cho 3n

C Chia cả tử và mẫu cho 4n D Chia cả tử và mẫu cho 5n

Câu 9  

 

1

lim

n n



A 1

3

2 5

5



Câu 10

lim

n n



A 3

2

Câu 11  2 3

lim

1

n

A 0 B 1

3 C 1 D 

  

lim

   có giá trị bằng

A 0 B 8

3 C 1 D 

4

lim

n n n

A 1 B 3 C 3

2

Câu 14

3

2

lim

1 1 2

A 0 B 1 C 1

2

4

Trang 12

Câu 15 Tổng 1 1 1 1

S       bằng

A 1 B 2 C 4 D 6

1

+ +

n

n S





 



    

A 1 B 1

3

2

3

Câu 17 Với k là số nguyên dương thì lim n bằng k

A  B  C 0 D n

Câu 18 lim2n32n2 có giá trị bằng 3

A 2 B 1 C  D 

Câu 19  4 2 

lim 3n 4n   có giá trị bằng n 1

A  B  C 3 D 7

lim n  4 n 1 có giá trị bằng

A 3 B 1 C 0 D 

lim n 2n 1 2n n có giá trị bằng

A 1 2 B  C 1 D 

lim n 2n 3 n có giá trị bằng

A 1 B 0 C  D 1

Câu 23

2

lim

n

A 1 B 3 C 0 D 

Câu 24 lim 1 12 13 1

  có giá trị bằng

A 1

1

lim 2n   n 1 2n 3n2 có giá trị bằng

A 1

2 B 0 C  D 

Câu 26 lim 1 1

    có giá trị bằng

A 1 B 0 C 1

2 D 

Trang 13

Câu 27

2017 2016

2017 2015

lim

3



A 1 B  1 C 1

3 D 

Câu 28

1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 3

A 1

3 D 

Câu 29 lim n n 2 n3

  có giá trị bằng

A 1 B 0 C 5

2 D 

Câu 30 Nếu limu nL thì lim3 u  n 8 có giá trị bằng

A L  2 B 3 L 8 C 3 L  2 D L  8

Câu 31 Nếu dãy  u với n u n 0,  n  và limu nL thì lim 1

9

n

u  có giá trị bằng

A 1

3

L  B

1 9

L  C

1 3

L  D

1 9

L 

Câu 32 Cho dãy số  u n với limu  n 3 Khi đó, lim2 4

1

n

u u



A 4 B 2 C 5 D 1

2

Câu 33 Cho dãy số  u n với limu   n Khi đó, lim 2 2

1

n

u u



A 1 B  C 0 D 2

Câu 34 Cho dãy số  u n với  2  

n

u     Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

n n



B limu   n

C limu   n

D Dãy số  u n không có giới hạn khi n  

Câu 35

3

1 lim

8

n n



A 1 B 1

1

8 D 

Trang 14

Câu 36

3

2

lim

n

A 2 B 2 C 1 D 

Câu 37 lim 1 1 1  1 

1.4 4.7 7.10 3n 2 3n 1

A 1

3 D 

3

lim

n n n

A 1

2017 B

1

Câu 39 lim 3 ( 1) cos 3

1

n

  có giá trị bằng

A 3

2 B 3 C 5 D 1

Câu 40 lim 3 n 5n



  có giá trị bằng

A 3 B  C  D  5

Câu 41

2

1 lim

2

n n

A 1 B 2 C 0 D 1

Câu 42 3 3 

lim n 2nn có giá trị bằng

A 2

3

3 C 1 D 0

Câu 43 3 2 3 

lim n n n có giá trị bằng

A 1

A

2 2

1 3

n

n u

n n





1 3

3

n

n u

n n







C

2

1 2

5

n

n u

n





1 2 5

n

n u

n







2

n

    

A 1

Trang 15

Câu 46 Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ?

A

2 2

2

n

n n u

n n





1 2

n

n u

n







C

2

n

n u

n





2

3

2 5

n

n u

n n





Câu 47 Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ?

A

2

3 2

n

n n u

n n





2018 2017

1

n

n u

n





C u n2017n2016 n2 D u nn2 1

Câu 48 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng  1?

A

2 3

n n



3 3

n n



C

2

n

n n



3

2

3

1

n n



 

Câu 49 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?

A

2 3

n n



3

2

n n n



C

2 4

2

n n



3

2

3 5

1

n n





Câu 50 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?

A

2

3

2

4

n n



3

2

n n n



C

n n



4

2

n n



Câu 51 Dãy số nào sau đây không có giới hạn?

A lim  1 sin

2

nπ

  

    

  

C lim cos

2

π nπ

  

A lim sin nπ  B lim cos nπ 

C lim sin 2

2 1

n π n

  

cos 2 limn n

n



Câu 53 Biết lim4 1

1 2

n

M n

 

4 3 lim

2 4





 Tích M m bằng .

A 2 B 2 C 1

1 2



Trang 16

Câu 54 Biết lim20172017 0

n  và lim 20172017 0

n



2017

2017 sin 2017

A 2017 B 2017 C 1 D 0

Câu 55 Để tính lim1 2 3 2 n

n

   

, một học sinh làm như sau:

Bước 1: Ta có 1 2 3 2 n 12 22 32 n2

   

Bước 2: Suy ra lim1 2 3 2 n lim 12 22 32 n2



Bước 3: Suy ra lim1 2 3 2 n lim 12 lim 22 lim 32 lim n2

   

Bước 4: Suy ra lim1 2 3 2 n 0 0 0 0 0

n

   

     

Bạn học sinh đã giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai thì bước nào?

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Bài giải đúng

Câu 56 lim1 3 5 (22 1)

n n

A 0 B 1

4

 C 1

5 D 

Câu 57 lim1 2 3 2

2

n n

   

A 1 B  C 1 D 1

2



Câu 58

 

1.2 2.3 n n 1

A 1

2 B 2 C 0 D 

Câu 59 Cho dãy    

1

* 1

2

n n

n

u u

u



 



A 0 B 2 C 1 D 1

Câu 60 Cho dãy  

1

* 1

1 2 :

3

n

u u

u  u n

 





A  B 2 C  D 1

Câu 61

3

1 2 3

lim

4 2017

n n

A 1

1

Trang 17

Câu 62 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Một dãy số có giới hạn thì luôn tăng hoặc luôn giảm

B Nếu n

n

u a và a1 thì limu n0

C Nếu limu n 0 và limv n   thì lim( ) 0u v n n 

D Nếu limu n   thì lim2017 0

n

u 

Câu 63 Khẳng định nào sau đây là sai?

A Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

B Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

C Nếu limu n   và limv n   thì lim n 1

n

u

v 

D Nếu u n a nvà 2 a 1



   thì lima n 0

Câu 64 Khẳng định nào sau đây là sai?

A Nếu limu n a và limv n b thì lim(u nv n) a b

B Nếu limu n   và limv n   thì lim(u nv n) 0

C Nếu u n0 với mọi n và lim v n a thì a0

D Nếu limu n  2 và limv n2018 thì lim n 1009

n

v

u  

Câu 65 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Nếu limu n a và limv n b thì lim n

n

u a

v b

B Nếu limu n a thì lim u n  a

C Nếu limu n 5 và limv n 0 thì lim n

n

u

v  

D Nếu u n a n và a 2 thì limu n  

Câu 66 Cho dãy số  u với n 2 4 6 23

n

n u

n n

   



  Khẳng định nào sau đây đúng?

A limu n 0 B limu n 2 C limu n 3 D limu n  

Câu 67 Cho dãy số  u với n

2

1

1 2 2 2

n

u      

 Khẳng định nào sau đây đúng?

A lim 1

2

n

u  B limu n 1 C limu n   D limu n  

Câu 68 Cho dãy số  u với u 2016  5 Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 18

A limu n 0 B limu n 5 C limu n 7 D limu n 2016

Câu 69 Cho 1 1 1 1

S      Khẳng định nào sau đây đúng?

A S0 B S1 C lim 1

2

n

u  D limu n  

Câu 70 Cho S  1 2 22  2n Khẳng định nào sau đây sai?

A S 

B Slim(1 2 2  2  2 )n

C S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

D S là tổng vô hạn các phần tử của một cấp số nhân

Câu 71 Cho dãy số  u có n limu n  Khẳng định nào sau đây sai?

A lim 2 1

n

u u



2

lim

2

n

u u





C lim3u n6  D

lim

n

u u

 

 

- HẾT -

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,31 MB