chuyên đề khảo sát hàm số

Tìm m để hàm số có cực trị và tìm tọa độ các điểm cực trị... Dạng 2: viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu cực trị... Tìm quỹ tích các điểm cực đại của đồ thị hàm s

  Page 1 

CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I LÝ THUYẾT:

1 Định nghĩa: cho hàm y=f(x) xác định trên (a; b)

- Hàm y=f(x) tăng( đồng biến) trong (a; b)  x x1, 2( ; ) :a b x1 x2  f x( )1  f x( )2

- Hàm y=f(x) giảm( nghịch biến) trong (a; b)

1, 2 ( ; ) : 1 2 ( )1 ( )2

x x a b x x f x f x

- Hàm số hoặc đồng biến hoặc nghịch biến được gọi là hàm số đơn điệu

2 Định lý: cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a, b)

- f(x) đồng biến trên (a,b)  f x'( ) 0,  x ( , ).a b ( dấu = xảy ra ở một số hữu hạn điểm)

- f(x) nghịch biến trên (a,b)  f x'( ) 0,  x ( , ).a b ( dấu = xảy ra ở một số hữu hạn điểm)

3 Điểm tới hạn: là điểm ' '

1.- f(x) đồng biến trên (a,b)  f x'( ) 0,  x ( , ).a b

- f(x) nghịch biến trên (a,b)  f x'( ) 0,  x ( , ).a b

2 Xét f x( ) ax 2bx c (a0)

  Page 2 

0 ( ) 0,

0 0 ( ) 0,

+ Để hàm số f(x) không đổi dấu trên toàn R là   0

3 Thông thường dẫn đến việc so sánh các nghiệm của tam thức với các số 

Bài 3: định m để hàm số y mx 2(m6)x3 nghịch biến trên (1,)

Bài 4: tìm m để hàm số y2x33(2m1)x26 (m m1)x1 (C m)đồng biến trên (2,)Hd: m 1

Bài 5: tìm m để hàm số y x 42mx2 3m1 đồng biến trên (1, 2)

 là điểm cực tiểu của f(x)

c Các điểm cực đại, cực tiểu gọi là cực trị

Định lý Ferma: nếu hàm số y=f(x) coa đạo hàm tại x o và đạt cực trị tại x o thì

- Tính y' giải pt y'=0 để tìm điểm tới hạn x i

- Tính y'' và thế x i vào y'' từ đó áp dụng định lý 2

II BÀI TẬP:

Bài 1: tìm cực trị của hàm số:

  Page 4 

2

1 ( )

1 (1 )

Bài 2: xác định m để y x 33mx2(m21)x2 đạt cực đại tại x=2

Chú ý: nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc vào dấu tam thức bậc 2 thì ta lập luận : hàm số

có cực trị khi và chỉ khi y'=0 có hai nghiệm phân biệt

Bài 3: (A-2005) Cho hàm số y mx 1

x

  Tìm m để hàm số có cực trị và tìm tọa độ các điểm cực trị

y x mx  m x có cực đại, cực tiểu nằm cùng phía đối với trục tung

d Có cực tiểu, không có cực đại

Chú ý: - hàm bậc 3 hoặc đổi dấu 1 lần, hoặc đổi dấu 3 lần

- Hàm bậc 3 đổi dấu 3 lần khi có 3 nghiệm phân biệt

Bài 13: cho hàm số y x 3mx22 Tìm m để hàm số có CĐ, CT, đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị nằm 2 phía đối với trục Ox

Dạng 2: viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu( cực trị)

B1: điều kiện để có cực trị là y'=0 có 2 nghiệm phân biệt

B2: chia đa thức y cho y' kết quả có dạng:

B4: kết luận: đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: y x 

Nhận xét: nếu hàm số có cực đại, cực tiểu thì tọa độ các điểm cực trị là:

Hd: tìm tọa độ cực trị, sử dụng công thức OA=OB Đs: 1

2

m 

Ví dụ 4: định m để đồ thi hàm số y2x33(m1)x26(m2)x1 có 2 cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y=x

a C/m rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

b Định m để giá trị cực đại, cực tiểu trái dấu viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Hd: nêu tọa độ cực trị A(0, 2m m 4), (B  m m, 4m22 ), (m C m m, 4m22 )m

Hàm số là hàm chẵn, nên B, C đối xứng qua trục tung, tức AB=AC

Tam giác ABC đều khi và chỉ khi AB=BC

Bài toán tìm quỹ tích các điểm cực trị ( tìm tập hợp điểm)

B1: tìm tọa độ điểm cực trị : ( ) (1)

( , ) (2)

x g m M

  Page 7 

B3: giới hạn quỹ tích, dựa vào điều kiện của tham số m, suy ra điều kiện x, y

Ví dụ 1: cho (C m) :y x 33mx21 Tìm quỹ tích các điểm cực đại của đồ thị hàm số

2 Cần phân biệt các cặp khái niệm:

- Giá trị lớn nhất và giá trị cực đại

- Giá trị bế nhất và giá trị cực tiểu

Bài 5: (D-03)

2

1( )

2 Chú ý: xét ( )

( )

u x y

v x

 , nếu a là nghiệm của mẫu thì x=a là tiệm cận đứng của đồ thị

Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

3 Tiệm cận ngang: đồ thị hàm số y=f(x) nhận đường thẳng y=b làm tiệm cận ngang

khi xảy ra một trong hai trường hợp sau: lim ( ) , lim ( )

4 Chú ý: đồ thì hàm số hữu tỷ có đường tiệm cận ngang khi bậc tử bậc mẫu

Ví dụ: tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

- Tìm các đường tiệm cận( nếu có)

- Tính đạo hàm y' Tìm các điểm tới hạn Xét dấu y' để tìm khoảng tăng, giảm và tìm

cực trị( nếu có) của hàm số

- Lập bảng biến thiên

3 Vẽ đồ thị:

     : hoành độ của điểm uốn

Điểm uốn của đồ thị là điểm ngăn cách giữa phần lồi và phần lõm của đồ thị Khi đó tiếp tuyến đâm xuyên qua đồ thị Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối

2.y'=0 có nghiệm kép:

12 10 8 6 4 2

-2 -4 -15 -10 -5 5 10 15

3 y'=0 vô nghiệm:

-2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15

5 y'=0 có nghiệm kép:

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15

6.y'=0 vô nghiệm:

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15

8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15

-2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15

-2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15

*ad-bc>0:

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15

- Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành, bỏ phần đồ thị nằm dưới trục hoành

- Lấy đối xứng phần đồ thị bỏ đi qua trục hoành

- Tách m sang một vế: f(x)=g(m) trong đó y=f(x) là hàm số đã khảo sát

- Dựa vào sự tương giao của hai đường này để biện luận (số nghiệm= số điểm

b Tìm m để phương trình x x2| 2 2 | m có 6 nghiệm phân biệt

Ví dụ 5: ( đề thi thử Quốc Học Huế-2010)

Cho hàm số y2x2x4

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b Tìm tất cả các số thực m đrrt phương trình | | (2x x x 3)m có đứng 1 nghiệm thực

Dạng 5: bài toán tìm quỹ tích ( tìm tập hợp điểm)

B1: tìm tọa độ điểm : ( ) (1)

( , ) (2)

x g m M

B2: khử m Rút m từ (1) rồi thê vào (2), ta được phương trình quỹ tích y=F(x)

B3: giới hạn quỹ tích, dựa vào điều kiện của tham số m, suy ra điều kiện x, y

Chú ý: nếu bài toán chỉ hỏi điểm M chạy trên đường nào, thì chỉ cần chỉ ra phương trình F(x, y)=0 Không cần tìm giới hạn của quỹ tích

Ví dụ 1: cho hàm số y f x( )x33mx22x3m1 (C m) Tìm tập hợp các điểm uốn của (C m)

2 Tiếp tuyến (C) biết hệ số góc k:

- Gọi tiếp điểm M x y( , )0 0

- Giải phương trình f x'( )o k để tìm tiếp điểm M x y( , )0 0

- Sử dụng phương trình (1)

3 Tiếp tuyến của (C) đi qua( xuất phát) từ M x y( , )0 0

Page 14 

- Gọi k là hệ số gĩc của d đi qua M x y( , )0 0 d y k x x:  (  o)y o

- d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm

1 Cho hàm số y=f(x) (C) và y=g(x) (C')

(C) tiếp xúc với (C') khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm

( ) ( )'( ) '( )

 ( điều kiện tiếp xúc)

2.Nếu (C1): y = px+q và (C2): yax2bx c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau phương trình ax2bx c  px q có nghiệm kép

3 Hệ số gĩc k của tiếp tuyến d cĩ thể cho gián tiếp:

- d tạo với trục hồnh một gĩc  thì k=tan

- d song song với đường thẳng d':y=ax+b thì k=a

- d vuơng gĩc với đường thẳng d': y=ax+b thì k 1

a song song với đường thẳng d: y=3x+2

b Vuơng gĩc với đường thẳng : 2

Page 15 

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(0, 3)

c Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ nguyên

Bài 5': tìm các điểm trên (C) của hàm số 2 2 3 1

3 1

x x y

b Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C) Viết pttt đó

Bài 7: cho hàm số y f x( ) 4 x33 ( ), x C d y g x:  ( )k x(  1) 1 Tìm k để d tiếp xúc với (C)

Bài 11:(cao đẳng A-2010)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)y x 33x21

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1

Dạng 7: Tìm các điểm trên đường thẳng d cho trước để từ đó kẻ

được 1, 2,3, tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C): y=f(x)

- Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)(3) có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2

- Hai tiếp tuyến vuông góc  f x f x'( ) '( )1 2  1

Mọi đường thẳng song song với trục Oy không phải là tiếp tuyến

Bài 1: tìm những điểm trên trục hoành để từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)y x 33x2,

và hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Bài 2: tìm m để từ A(0, m) kẻ được 2 tiếp tuyến đến ( ) : 2

 sao cho 2 tiếp tuyến

đó nằm về hai phía đối với trục hoành

Bài 3: tìm các điểm trên trục hoành để từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến đến ( ) :C y x 33x2, sao cho có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

 (1)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (1)

b Tìm tọa độ M(1), biết tiếp tuyến của (1) tại M cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B

và tam giác OAB có diện tích bằng 1

4

Hd: viết phương trình tt tại M tìm tọa độ A, B

Bài 2': cho hàm số y x 3 1 m x( 1) (C m) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó với trục tung, tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

a Cm rằng M là trung điểm AB

b Cm diện tích tam giác IAB là hằng số

c Tìm điểm M để chu vi tam giác IAB là nhỏ nhất

Page 18 

Dạng 10: sự tương giao giữa các đồ thị

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C), y=g(x) có đồ thị (C')

(C) cắt (C')  phương trình sau có nghiệm f(x)=g(x) (*)( pt hoành độ giao điểm)

Số nghiệm của (*)số giao điểm của 2 đồ thị

Chú ý: đồ thị hàm số bậc 3: yax3bx2cx d a ( 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệtphương trình ax3bx2  cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt

hàm số y=ax3bx2cx d có CĐ, CT sao cho y CD.y CT 0

Bài tập:

Bài 1: tìm m để đồ thị hàm số

a y x 33x2mx2m, y=-x+2 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

b y(x1)(x2mx m 23) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

c y x 42x21,y m cắt nhau tại 4 điểm phân biệt

d y x 4(2m3)x2m23mcắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Nhận xét: để đồ thị hàm trùng phương cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành 1CSC( chắn

theo 3 đoạn thẳng bằng nhau) thì phương trình trung gian bậc 2 theo t có 2 nghiệm

dương phân biệt thỏa t19t2 Sau đó ta có hệ:

y x mx   x m Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số là nhỏ nhất

Đs: m=0

Bài 7: cho hàm số y x 3 (1 2 )m x2 (2 m x m)  2 (1)

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)

b Định m để đồ thị hàm số (1) có CĐ, CT, đồng thời hoành độ điểm CT nhỏ hơn 1

Bài 8: cho hàm số y2mx4x24m1 (1) Tìm m để đồ thị hàm số có 2 cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 5

Bài 9: cho hàm số y f x( )x42mx22m m 4 (C m) Tìm m để đồ thị có CĐ, CT đồng thời các điểm cực trị của (C m)

Page 21 

a Tạo thành một tam giác đều

b Tạo thành một tam giác vuông

Đs: a m  33 b m1

Bài 10: cho hàm số y2x33(m3)x218mx8 Tìm m để hàm số có CĐ, CT tại x x1, 2sao cho x12x2 1

Bài 11: cho hàm số y (1 m x) 4mx2(2m1) ( )C Định m để hàm số có đúng 1 cực trị

Dạng 13: tìm điểm đặc biệt của họ đường cong (C m) :y f x m( , )

ii Điểm (C m) không đi qua:

Gọi M x y( , )o o là điểm (C m)không đi qua

0 0

A B

- Viết phương trình tiếp tuyến tại M: y f x'( )(o x x o)y o

Ví dụ: cho họ đường cong y x 3(m2)x22mx m (C m) Chứng minh rằng với mọi

m, họ (C m) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định

Dạng 15: biện luận số đường của một họ đường cong (C m) :y f x m( , )

đi qua một điểm

- Ta có M x y( , ) (o o  C m) f x m( , )o  y o (1)

- Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

Dạng 16: tâm, trục, cặp điểm đối xứng

1 Cm rằng đồ thị hàm số nhận điểm M x y( , )o o làm tâm đối xứng

 thay vào y=f(x) và đưa về dạng Y=F(X)

- Chứng minh hàm số Y=F(X) là hàm lẻ (F(-X)=-F(X)) trên tập xác định Nên đồ thị

hàm số nhận

0

0 0

o

x x X

Chú ý: hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng, hàm nhất biến nhận giao điểm của 2

tiệm cận làm tâm đối xứng

2 Cm hàm bậc 4 có trục đối xứng //Oy: c/m đường x=a là trục đối xứng

 thay vào y=f(x) và đưa về dạng Y=F(X)

- Chứng minh hàm số Y=F(X) là hàm chẵn (F(-X)=F(X)) trên tập xác định Nên đồ

- Lập pt hoành độ giao điểm của d' và (C) Gỉa sử pt có 2 nghiệm x x M, N

- Tính tọa độ trung điểm I của MN theo m

- M, N đối xứng qua d   I d m ? thay vào pt hđộ giao điểm, giải tìm x x M, N Suy ra y M,y N

5 Tìm m để đồ thị (C):y=f(x) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ:

(C) có 2 điểm đ/x qua O(0, 0)f(-x)=-f(x) có 2 nghiệm phân biệt

6 Tìm m để đồ thị (C):y=f(x) có 2 điểm đối xứng nhau qua đường thẳng x=a:



 hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: x-2y-6=0

Bài 2: chứng minh y  x3 3x29x2 có đồ thị có tâm đối xứng là I(1, 13)

Bài 3: chứng minh đường thẳng x=1 là trục đối xứng của đồ thị hàm số

y x  x  x  x

Bài 4: tìm trên đồ thị hàm số y x 34x2 x 2, hai điểm đối xứng nhau qua I(2, 4)

Bài 5: tìm m để đồ thị (C) có 1 cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ:

Page 25 

Hd: b nhận thấy (0, 1) ( )

2

A   C có k/c đến 2 trục tọa độ nhỏ nhất Nên ta thu hẹp miền

khảo sát của x sao cho / 1

x x

M C sao cho tổng khoảng cách từ M đến đường thẳng là nhỏ nhất

Dạng 18: tìm hai điểm M, N trên 2 nhánh của hàm nhất biến sao cho