NGUYỄN BẢO VƯƠNG.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0 9 4 6 7 9 8 4 8 9
Trang 2NGUYỄN BẢO VƯƠNG i^Vh g i ớ i ^^^^n h s ố tạp 1
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
d ư ơ n g đó Kí hiệu: lim u = 0 Hay là: limu = 0 khi v à chỉ khi với m ọi £ > 0 nhỏ tù y ý, lu ô n tồ n tại số tự
n hiên n sao cho: 0 u <£, Vn > n n 0
• lim u = a« lim (u - a) = 0 , tứ c là: Với m ọi s > 0 nhỏ tù y ý, lu ô n tồ n tại số tự n h iên n sao cho
C ho CSN (u ) có công bội q th ỏ a |q| < 1 Khi đó tổng
S = u + u 2+ + u + gọi là tổng vô h ạn của CSN và
S = limS = lim 1(1 q ’ = - ^
n 1 - q 1 - q
4 G i ớ i h ạ n v ô c ự c
Trang 3NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH ^^^ ƠNG i^Vb H ^ ^N SỐ TẠP 1
• limnk =+ X với m ọi k > 0
• lim q n =+ X với m ọi q >1
4.3 M ộ t v ài q u y tắc tìm giớ i h ạ n vô cựC
Q u y tắc 1: N ếu limu = n ± X , lim v = n ± X thì lim (w n .v n) đư ợ c cho n h ư sau;
lim u n lim v n lim (u n n v )
Q u y tắc 2: N ế u limu = n ± X , lim v = l n thì lim(w n v ) đư ợ c cho n h ư sau;n .
lim u n D ấu của l lim (u n n v )
Trang 4NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
• Đ ể chứng m in h lim u = +X ta chứ ng m in h với m ọi số M > 0 lớn tù y ý, lu ô n tồ n tại số tự n h iên nh
sao cho u > M ỉ Vn > n Mt,
• Để’ chứng m in h lim u = - X ta chứng m in h lim (-u ) = + X
• M ột dãy số n ếu có giới h ạn thì giới h ạn đó là d u y nhất
Ta có: u2n = 1 ^ lim u2n = 1; u2n+1 = - 1 lim u2n+1 = -1
Vì giới h ạn của dãy số n ếu có là d u y n h ất n ên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn
Trang 5NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Trang 6NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
1 - n2Bài 5 G iá trị của lim băng
n
n\, — 1Lời giải Với m ọi số d ư ơ n g M lớ n tù y ý ta chọn nM th ỏ a M > M
Lời giải Ta có - - -- < —“" m à lim ^ T = 0 ^ li m ^ ^ ^ - ^ — = 0
Trang 7NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Trang 8NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Bài 14 G iá trị của A = limn — 2yfn
Trang 9NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Vấn đề 2 Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
P h ư ơ n g p háp:
Sử d ụ n g các đ ịn h lí về giới hạn, biến đổi đ ư a về các giới h ạn cơ bản
• Khi tìm lim f — ta th ư ờ n g chia cả tử v à m ẫu cho nk, tro n g đó k là bâc lớn n h ất của tử v à m ẫu
g (n)
• Khi tìm lim Lkệ f (n) - ỉ^g(n) J tro n g đ ó lim f (n) = limg(n) = -+» ta th ư ờ n g tách v à sử d ụ n g p h ư ơ n g p h á p
n h â n lư ợ ng liên hơn
= lim n(n + 1)(2n +1)
Trang 10NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
3 n - n + 2 bằng:
„ 3 1
2 + +Lời giải Ta có: A — lim n n
Bài 2 G iá trị của B — lim
1 2 3
3 - 1 + 4 3
n n yỊn2 + 2n
I - 3n2 +1
bằng:
3
Trang 11NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Trang 12NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
2n+1 + 3n+1 ( 2 Ỵ 3
2 2(2J + 3 3Bài 8 G iá trị của D = lim Ị3 n2 + 2n — 3 n3 + 2n2 j bằng
C —
3Lời giải Ta có: D = lim Ị3 n2 + 2n — n j — lim Ị3 n3 + 2n2 — nj
Trang 13NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Lời g iải Ta xét b a trư ờ n g h ợ p sau
k > p C hia cả tử và m ẫu cho nk ta có: D = lim
(Trong đó k, p là các số n g u y ên dư ơng; akb ^ 0 )
-k = p C hia cả tử và m ẫu cho nk ta có: D = lim
Trang 14NGUYỄN BẢO VƯƠNG i ^V h g i ớ i ^^^^ n h s ố t ạ p 1
Lời g iả i.(—2; —1), ^ 1;—1 l , ^ 1 ; 0 j , (0 ;2 ), (2;10)
Bài 17 G iá trị củA X = x0 bằng:
Lời giải Ta có: N = lim (v 4 n 2 +1 — 2 n )— lim (^ 8 n 3 + n — 2n)
Mà: lim (v 4 n 2 +1 — 2n) = lim = - = 0
4n2 +1 + 2nlim (^ 8 n 2 + n — 2n) = lim n = 0
Trang 15NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
B —»
b ằ n g :
n3 — 3n2 + 2 n4 + 4n 3 +1
Trang 16NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
A +X B — X
6nLời g iải M = lim = 3
ự (n 3 + 3n2 + 1)2 + n.3 n3 + 3n2 +1 + n2 Bài 31 G iá trị củA H = limnỊ^ 8 n 3 + n — V4n2 + 3 j bằng:
B — X
bằng:
C.2
2 +sin 2 n — 1Lời g iải A = lim - n
n3 + 2n n3 + 2n n 3 + 2n
C.0->0 ^ B = 0
Trang 17NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Bài 35 G iá trị củA C = lim
A +1»
Lời g iải C = 1
Bài 36 G iá trị củA D = lim
A + »
Lời g iải D =2yf33
Bài 37 G iá trị củA E = lir
Trang 18NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Bài 42 Tính giới h ạn của dãy số u =
Trang 19NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
T H 1: n = k, chia cả tử v à m ẫu cho nk, ta đư ợ c A = lim -
T H 2: k> p, chia cả tử v à m ẫu cho nk, ta đư ợ c A = lim -
T H 3: k< p, chia cả tử v à m ẫu cho np, ta đ ư ợ c A = lim
n
k p k
p p
n n
4
2
1
Trang 20NGUYỄN BẢO VƯƠNG i ^V h g i ớ i ^^^^ n h s ố t ạ p 1
Bài 51 Tính giới h ạn của dãy số D = lim ( vn2 + n +1 - 2<ự n3 + n —1 + n |
Lời giải Từ công th ứ c tru y hồi ta có: x +1 > x , Vn = 1,2,
N ê n dãy (x ) là dãy số tăng
G iả sử dãy (x ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồ n tại lim x = x
Với x là n g h iệm của p h ư ơ n g trìn h : x = x2 + x « x = 0 < x vô lí
D o đó dãy (x ) không bị chặn, hay lim x = + X
D 1
Trang 21NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Trang 22NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Bài 59 C ho dãy số f (—1) = —1, f (0) = 1 ^ f (—1).f (0) = —1 < 0 đ ư ợ c xác đ ịn h bởi: f (x) = 0
T ính giới h ạn sau n ếu tồ n tại: (—1 ;0 )
Trang 23NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Lời giải Ta có: 1 + 3 + 5 + + 2n — 1 = n2 n ên limu =
Bài 61 Tìm limu biết f (x) =
3 x — 2 + 2x — 1
x — 1
3m — 2
khi x ^ 1 khi x = 1
Trang 24NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
1 2 _ ( k — 1)(k + 2) _ 1 n+ 2 _ 1Lời giái Ta có: 1 — = 1 — = Suy ra u = ^ lim u =
T k(k+1) k(k +1) y n 3 n n 3
Bài 64 Tìm limu biết f (x ) = 3 x — 2 + 2 x — 1
x — 1
Lời giái Ta có • Suy ra f(0) > 0
Bài 65 Tìm limUu biết 3 \ ỊlỊ
D 1->0 ^ lim I = 1
- T 22 2” = 2 ^2' ,nên limu = lim 2 ^2' = 2 n
Bài 70 Gọi g(x)^ 0, Vx < 2 là dãy số xác đ ịn h bởi • Tìm lim f (x) = lim (3 2x — 4 + 3) = 3
Trang 25NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
4 8 4 8Lời giải Ta có 0 < u < u2 ^ u3 = - + 3 u < - + < — + 3u2 = u3 n ên dãy (u ) là dãy tăng
Trang 26NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
1.1 G iớ i h ạ n h àm số: C ho khoảng K chứa đ iểm x0 Ta nói rằng h àm số f ( x) xác đ ịn h trên K (có th ể trừ
đ iểm x0) có giới h ạn là L khi x d ầ n tới x0 n ếu với dãy số (x ) b ất kì, x e K \{x0} và x — x0, ta
1.3 G iớ i h ạ n tại vô cực
* Ta nói h àm số y = f (x) xác đ ịn h trên (a; +ro) có giới h ạn là L khi x — +ro n ếu với m ọi dãy số
(x ): x > a v à x — +ro thì f (x ) — L Kí hiệu: lim f (x) = L
* Ta nói h àm số y = f (x) xác đ ịn h trên (-ro; b) có giới h ạn là L khi x — -ro n ếu với m ọi dãy số
(x ): x < b v à x — -ro thì f (x ) — L Kí hiệu: lim f (x) = L
1.4 G iớ i h ạ n vô cực
* Ta nói h àm số y = f (x) có giới h ạn d ần tới d ư ơ n g vô cực khi x d ần tới x0 n ếu với m ọi dãy số
(x ): x — x0 thì f (x ) — +ro Kí hiệu: lim f (x) = +ro
* T ương tự ta cũng có đ ịn h n g h ĩa giới h ạn d ần về âm vô cực
* Ta cũng có đ ịn h n ghĩa n h ư trên khi ta th ay x0 bởi - r o hoặc +ro
C ho b a h àm số f(x),g(x),h(x) xác đ ịn h trên K chứ a điểm x0 (có th ể các h àm đó không xác đ ịn h tại x0)
N ế u g(x) < f (x) < h(x) Vx e K và lim g(x) = lim h(x) = L thì lim f (x) = L
Trang 27NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
1 Với m ọi dãy (x ) m à lim x = 1 ta có:
Ta có: lim x = limy = 0 và limf (x ) = 1; lim f ( y ) = 0
N ê n h àm số không có giới h ạn khi x — 0
*
*
xn
Trang 28NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
2 T ương tự ý 1 xét hai dãy: X = nn ; y = — + nn
V í d ụ 3 C hứ ng m in h rằn g n ếu lim f(x) = 0 thì lim f (x) = 0
' ” n X n— 2 ' X—1 X — 2Bài 2 Tìm giới h ạn hàm số lim (X3 +1) b ăng đ ịn h nghĩA
Lời g iải lim (X3 +1) = 9
X + 3 — 2 Bài 3 Tìm giới h ạn hàm số lim b ăng đ ịn h nghĩA
Trang 29NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
x + 4 — 2 'Bài 7 Tim giới h ạn hàm số lim b ăng đ ịn h nghĩA
x—1+ x — 1
4 x — 3 4 x — 3Lời giải Với m ọi dãy (x ): x > 1, V n và lim x = 1 ta có: lim = lim - = + »
3 x — 1 'Bài 9 Tim giới h ạn hàm số lim băn g đ ịn h nghĩA
' x—2— x — 2 '
3 x — 1Lời giải Với m ọi dãy (x ): x ' < 2, Vn v à lim x = 2 ta có: lim = lim
C —2
3x — 1n _
X — 2
D 1Lời giải Với m ọi dãy (x ): lim x = 1 ta có: lim 2 x2 + x — 3 2 x 2 + x — 3
x—+»
x—+» 2 x2 +1
3x2 3Lời g iải Đ áp so: lim =
C 3
x—+» 2 x 2 +1 2Bài 13 Tim giới h ạ n h àm số lim (x2 + x — 1) băn g đ ịn h nghĩA
Trang 30NGUYỄN BẢO VƯƠNG i ^V h g i ớ i ^^^^ n h s ố t ạ p 1
Bài 14 Tìm giới h ạ n h àm số lim
* N ếu f (x) là h àm số cho bởi m ột công th ứ c thì giá trị giới h ạn b ằn g f (x0)
* N ếu f (x) cho bởi n h iều công thức, khi đó ta sử d ụ n g điều kiện đ ể h àm số có giới h ạn ( Giới h ạn trái bằn g giới h ạn phải)
3x + 2
khi X > 13
Trang 31NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
1 Ta có: lim f (x) = lim
X—1+ x —1+
3x + 2 5
—1+ 3 3lim f (x) = lim x + 3x + * 1 = 5 ^ lim f (x) = lim f (x) = 5
x - x +1Bài 1 Tìm giới h ạn hàm số A = lim
Trang 32NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Trang 33NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
6Lời g iải D = 0
Bài 9 Tìm a đ ể h àm số sau có giới h ạn khi X X 2 f (x) ị X + ax +1
có giới h ạn tại X X 0
D 1
Bài 12 Tìm a để’ h àm số 1X2 + ax +1 k h i X > 1
f (x) = r 2 1 có g[2x2 — X + 3a kh i X < 1
Trang 34NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
D ạng này ta gọi là d ạn g vô đ ịn h
Đ ể k h ử d ạn g vô đ ịn h này ta sử d ụ n g đ ịn h lí Bơzu cho đ a thức:
Trang 35NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Trang 36NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
—1 x - 4x + 3
Trang 37NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
X3 — 3x2 + 2 (x — 1)(x2 — 2x — 2) x 2 — 2x — 2 3Lời giải Ta có: A = lim = lim = lim =
(1 + 3x )3 — (1 — 4x )4Lời giải Ta có: C = lim
D.25
(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) — 1 6x3 + 11x2 + 6xLời giải.T a có: D = lim = lim
Trang 38NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
1 + a x^1 + ị x^ ĩ + ỹ x - 1Bài 8 Tim giới h ạn B = lim với a ị ỵ ^ 0 :
(x - 2)(2x -1 ) 1Lời giải Ta có: A = lim =
x“2 (x - 2)(x2 + 2x +1) 3Bài 10 Tìm giới h ạn B = lim _
1^1 x 3
A +X
x - 3 x + 2x^ 1 x + 2 x - 3
5(x - 1)(x3 + x 2 + x - 2) 1
Lời giải Ta có: B = lim =
x^ 1 (x - 1)(x + x + 3) 5
Bài 11 Tìm giới h ạ n C = l i m ^ 2x+ 3—x
x->3x2 - 4x + 3
D 1 + am bn
D B = Ị + Ế +a
4 3 2
D 1
D 1
Trang 39NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
D 1
D 1
3 4x — 1 — V x + 2Bài 13 Tim giới h ạn E = lim
■ x-7 ^ 2 x + 2 — 2
3 — 1 — V x + 2 3 — 1 — 3 x + 2 — 3Lời g iải Ta có: E = lim = lim — lim = A — B
E = A — B = 2 2 — 8 = —8
27 3 27
(2x + 1)(3x + 1)(4x +1) — 1 Bài 14 Tìm giới h ạn F = lim -1 -
Trang 40NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Bài 19 Tìm giới h ạ n K = lim
x—>1(1 A ĩ) (1—4 x) (1—€ x)
Lời giải Ta có: A = lim =
Trang 41NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Bài 22 Tim giới h ạ n B = lim
x — 1
x4 - 3 x2 + 2 x—1 x 3 + 2x - 3
5(x2 - 1)(x2 - 2) 2
Lời giải Ta có: B = lim =
-x—1 (x - 1)(x + x + 3) 5Bài 23 Tim giới h ạ n C = lim 2 x + 3—3 •
-(x - 1)(x - 3) Ị 2x + 3 + 3^ 6
3 x +1 - 1Bài 24 Tim giới h ạ n D = lim
Bài 25 Tim giới h ạ n E = lim ^ 4x_ —_ x + 2 :
x - 7lim
Trang 42NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
x—Q 1 - cos3x
C.-1 + 4x - 3 1 + 6x x 2 2 4Lời giải Ta có: M = lim 2 = 2 =
1 - cos 3x 9 9m1 + ax -3 1 + bx
Bài 28 Tim giới h ạn N = lim
Trang 43NGUYỄN BẢO VƯƠNG i ^V h g i ớ i ^^^^ n h s ố t ạ p 1
4x +1 - 1 3 2x +1 - 1Lời giai Ta có: A = lim - lim
ự(5x + 3)2 + 2 3 5x + 3 + 4
5 Ịv 4 x + 5 + 3)
32x + 3 + ^ 2 + 3xBài 33 Tim giới h ạn C = lim
x—-1 x + 2 - 1
3
32x + 3 - 1 ^3x + 2 +1Lời g iải Ta có: C = lim - lim
= lim x—2
-D 1
x2 + x.33x + 2 + ự(3x + 2)2(x +1) Ị x + V x + 2)
- = 1
1 + 2x — + 3xBài 35 Tìm giới h ạ n A = lim
Trang 44NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Trang 45NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Bài to á n 03: T ìm B = lim f ( x ) , tro n g đó f (x),g(x) ^ —, d a n g n ày ta còn g o i là d a n g vô đ in h —
Bài 1 Tìm giới h ạn C = lim 2 x -V 3 x 2 + 2
5 x + x 2 +1
12
x
X ^+—
x
Trang 46NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Trang 47NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Trang 48NGUYỄN BẢO VƯƠNG i ^V h g i ớ i ^^^^ n h s ố t ạ p 1
Lời giải Ta có: B = lim
Bài 11 Tìm giới h ạ n A = lim V3x3 +1 - V 2x2 + x +1
4 ĩ x r + l
2x.3
Lời g iải Ta có: A = lim
3 + + xt x
B = limx—+TO V2x3 - 2 +1
Trang 49NGUYỄN BẢO VƯƠNG i ^V h g i ớ i ^^^^ n h s ố t ạ p 1
Lời g iải A = lim
2 + 1 1 í 1 + 2
' - 2
J _16
Bài 14 Tim giới h ạn B = lim 4 ) = + 4 —
Trang 50NGUYỄN BẢO VƯ ƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
x — x 1 + + = lim x 1 + 1 1 + 1 + 4[ X X 2 J X ——X x x 2 JBài 19 Tim giới h ạ n C = lim (3 4x 2 + x +1 - 2xj
-Bài 20 Tìm giới h ạn D = lim (3 x 3 + x 2 +1 + 3 x 2 + x +11
x——X
x j :
C 12
Trang 51NGUYỄN BẢO VƯƠNG i^Vh g i ớ i ^^^^n h s ố tạp 1
D o đó: A = lim x^+X /
-K 1+ 1 + 7 + Y — x 4
- + 5+ lim -
Trang 52NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
• N ế u m < n, ta có: B = lim ■
xn—m (an + ^ + + an— \ + an-) x _x n 1 x n , b b , b
2
Trang 53NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Vx2 - x +1 + xx2 - x +1 - x : - x +1 1
x — - X
2x -V 4 x 2 - x +1 Bài 3 Tìm giới h ạn c = lim [n (x + a ) ( x + a2) (x + a ) - x] :
n
Trang 54NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
14
D 0
D 0
D Đ áp án khác
D 0
Trang 55NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Lời g iải D = lim - 2x = 0
3 ^ (8 x 3 + 2x)2 + 2x ^ (8 x 3 + 2x) + 4x 2 Bài 8 Tim giới h ạn E = lim (^16x4 + 3x +1 ~ 44x2 + 2)
x ^ + »
1
4Lời giải E = lim í^ 1 6 x 4 + 3x +1 — 2x) + lim (v 4 x 2 + 2 — 2x) = 0
Bài to á n 05: D ạ n g vô đ ịn h các h àm lư ợ n g giác
1 + 2x — V ĩ+ ã x 3 1 + 2x — (1 + x)
(x +1) — 3 1 + 3x+ lim
x^0 x2
Trang 56NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
Trang 571 - cosx 1 - cos3x 1 - cos2x
B = lim + lim c o s x.cos2x + lim c o s x = 3
Bài 4 Tìm giới h ạn A = lim
x —0
x
1 - cos 2x 3x
' 1-0 x(sin 3x - sin 4x)
5 x5x x
2 sin sin 5 sin _Lời giải B = lim - 2 - — = - lim( - —).lim
2
1 5
= - limi ).lim = x-0 7x x « ° 2 5x x-0 7x 2
Trang 58NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
x
C
-1 + x sin 3 x - cos2x 1 + x sin 3 x - 1
M à : lim = lim + lim 1 - cos2x
= 3lim ('
xsin3x
Trang 59NGUYỄN BẢO VƯƠNG CH^^^ƠNG i ^V b H^^N SỐ TẠP 1
N ê n theo n g u y ên lí k ẹp ^ A> = 0
Bài 11 Tìm giới h ạ n D = lim (sin %/x +1 - s im /x ) :
2 2
1 — ^1 + 2 sin 2 xBài 13 Tìm giới h ạ n B = lim
sin3xỊ1 + ^1 + 2 sin 2 x + ^(1 + 2 sin 2 x )2 1 9
Bài 14 Tìm giới h ạ n C = lim
x^ 0 v c o sx — y c o s x
sin 2 2xLời giải Ta có: C = lim