chuyên đề giới hạn hàm số lớp 11: bài tập đề kiểm tra tham khảo
Trang 1Biên soạn: Ths Đỗ Hồng Thái, giáo viên trường THPT Đại Từ, ĐT: 0986965911, Email:Dohongthai82@gmail.com
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 1 Tính các giới hạn sau (dạng vô định 0
0 mà tử số và mẫu số là các hàm đa thức)
1
1 lim
x
x x x
x x
→
x
x x
4
1
1 lim
→
−
5 3 1
1 lim
1
x
x x
→−
+ +
3
lim
x
x x
→
2 1
lim
x
x x x x
→
4
2
16 lim
2
x
x
x x
→−
− + 7)
4 2
x 1
lim
→
−
2
x 3
lim
→
3 2 1 x 2
lim
→
−
10)
0
lim
x
x
→
1
lim
1
n x
x
→
x 1
lim
→
13)
3 4
x 1
lim
→
100 50
x 1
lim
→
x a
lim
x a
→
−
−
Bài 2 Tính các giới hạn sau (dạng vô định 0
0 ;
∞
∞; ∞ − ∞)
2.1 Nhân lượng liên hợp (có một căn bậc hai, căn bậc ba)
1)
x x
x
1 lim
2
+
−
x
x x
x
1 1
lim
2 0
− + +
25
3 4 lim 2
− +
→ x
x x
2
3 5 lim
2
−
+
x
x
5)
1 1
lim
0 + −
x
→
−
3 3 2 1
lim
1
x
x x x
7)
→
3 3
1
2 lim
x
3 2 2
lim
x
x
3
x 2
4x 2 lim
x 2
→
−
−
2.2 Nhân lượng liên hợp (có hai căn bậc hai, bậc ba)
1)
x
x x
x
−
− +
→
5 5
lim
x
x x
x x
+
− +
−
→
1 3
1
2 3
2 4
2 3
2
−
−
−
−
x x x
x
4)
x
x x x x
1 1
lim
2 0
+ +
− +
→
0
lim
x
3
2 1
lim
1
x
x
Trang 2Biên soạn: Ths Đỗ Hồng Thái, giáo viên trường THPT Đại Từ, ĐT: 0986965911, Email:Dohongthai82@gmail.com
7)
x 1
lim
x 1
→
− −
x 0
lim
→
2 3
x 1
lim
x 1
→−
+
x 8
9 2x 5 lim
x 2
→
3 3
x 1
x 1 lim
x 2 1
→
−
3 3
x 1
x 1 lim
x 7 2
→−
+
− +
2.3 Nhân lượng liên hợp (có cả căn bậc hai và căn bậc ba)
1)
x
x x
x
3 0
8 1
2
→
2)
2 3
2 4
2 3
−
−
−
−
x x x
x
3)
1
7 5
2 3
+
−
−
x x x
4)
1
5 7 lim
2 3
−
− +
x x
x
x x
x
3 0
5 8 4 3
x
x x
x
7 1 2 1 lim3
0
+
− +
→
0
lim
x
x
→
2 2
lim
x
→
3 2 0
lim
x
x
→
10)
→
3 0
lim
x
1 lim
2
3
+
−
x
x 7
lim
→
2.4 Nhân lượng liên hợp (giới hạn tại vô cực)
1)
2 2
lim
x
→±∞
+ + −
→+∞
3)
2
→+∞
→+∞
→−∞ 3 3− + 2+
→−∞
→−∞ + − +
xlim 2x 1 x
→+∞ + + − − +
13)
→+∞
lim
x
14)
→−∞
+
2 2
2
3 lim
x
x
15)
→−∞
2 2
2 lim
x
x x
x x
Trang 3Biên soạn: Ths Đỗ Hồng Thái, giáo viên trường THPT Đại Từ, ĐT: 0986965911, Email:Dohongthai82@gmail.com
→+∞
lim
x
+ − +
2 2
lim
x
x x x
+ −
−
2 2
lim
1
x
x x
x x
19)
→+∞
2 2
lim
x
x x x 20) →−∞
2 2
lim
x
x x x
−
lim
1
x
x
x
lim
→−∞
−
6 2 x
lim
→+∞
−
2 x
lim
3 x 17
→−∞
−
x
lim
x 10
→−∞
3x 1 lim
→−∞
+
4 x
lim
x 4
→−∞
+ +
x lim x x 2x x 2 x x
Bài 3 Một số dạng giới hạn khác và giới hạn một bên.
x lim x 2
+
→ −
2
x 1
x
+
→ − +
−
x 1 lim x 2
→+∞
− +
2x 1 lim x 1
→−∞
+ +
+ +
3x 1 lim 1 2x
→+∞
+
−
3
x
lim x
→−∞
+
7)
x 2
lim
4 x
x 2
→
+
−
x 2 x lim
+
→
+
− 9)
2
x 2
4 x lim
2 x
−
→
−
2 2
x 3
lim
9 x
−
→
−
11)
( )
2
x 1
lim
+
→ −
2 2
x 2
lim
−
→
−
13)
x 1
1 x x 1 lim
−
→
− + −
3 2
x 1
lim
+
→
−
−
Trang 4Biên soạn: Ths Đỗ Hồng Thái, giáo viên trường THPT Đại Từ, ĐT: 0986965911, Email:Dohongthai82@gmail.com
lim
−
→
2x 3
x 1
→
−
−
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 5 Tính các giới hạn sau (sử dụng biểu thức liên hợp để tính các giới hạn)
1) lim(n+ −1 n2+n)
2)
2
n n n
3) lim(n− 9n2+ +n 4n2+2n)
4)
( 3 2 3)
8 lim
n n n
6)
7) lim( n2+ −n n2+2) 8) lim(32n n− 3 + −n 1) 9) lim 1( + −n2 n4+3n+1)
10)
1 lim
1
2
2
3 lim
5
n n n n
Bài 6 Tính các giới hạn sau (biến đổi đơn giản u n để tính các giới hạn)
lim
n
n
+ + +
2)
2 3
2
4 2
− +
+ + +
n n
n
2 3
2 1 lim 3
2 2
2
+ +
+ + +
n n
n
4)
1 2
) 1 2 (
3 1
+ +
− + + +
n n
n n
5) lim1 2 2
3
n
+ + +
n n
a b
+ + + + < <
lim
n n+
3
1 lim
1
+ +
2
lim
+ +
n n
2 2
lim
+ − −
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trang 5Biên soạn: Ths Đỗ Hồng Thái, giáo viên trường THPT Đại Từ, ĐT: 0986965911, Email:Dohongthai82@gmail.com
Điểm x0 mà tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số.
2 f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x 0∈ (a;b) ⇔ → + ( ) = → − ( ) = → ( ) ( )=
0
x x
3 f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc
khoảng ấy
4 f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b)
lim
lim
x a
x b
f x f a
f x f b
+
−
→
→
=
5 Các hàm số f(x) và g(x) liên tục tại x 0 thì: f x( ) ( ) ( ) ( ) ( )±g x f x g x, , f x( ) ( ) (g x ≠0)
6 Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
7 Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c) = 0 Tức là
phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
B BÀI TẬP
Bài 8 Xét tính liên tục của các hàm số tại điểm đã chỉ ra:
1) f(x) =
=
≠
−
−
−
−
2 x khi 3 11
2 x khi 2 x x
6 x x
2 3
2 2
x 3x 2
khi x 1
x 1 x khi x 1 2
tại xo = 1
2
1 x 2
x
3
3
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
+ −
tại xo = 0
5)
3 2 2
khi x 3
= − +
6)
khi x
tại điểm xo =2
Bài 9 Cho hàm số
2x 1 x 5
khi x 4
a 2 khi x 4
≠
Tìm a để hàm số liên tục tại 4.
Trang 6Biên soạn: Ths Đỗ Hồng Thái, giáo viên trường THPT Đại Từ, ĐT: 0986965911, Email:Dohongthai82@gmail.com
Bài 10 Cho hàm số
3 3x 2 2 khi x 2
ax 2 khi x 2
>
Tìm a để hàm số liên tục tại 2.
Bài 11 Tìm a để hàm số
33x 2 2
khi x 2
x 2
f (x)
1
ax khi x 2 4
>
=
liên tục trên R.
Bài 12 Tìm a để hàm số
2 khi x 1
4 x khi x 3
x
f x
− >
liên tục trên R.
Bài 13 Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
Bài 14 Chứng minh rằng phương trình
1) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) 2) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
3) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) 4) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
5) x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong [0;5] 6) 4x4+2x2− − =x 3 0 có ít nhất hai nghiệm phân
biệt thuộc khoảng (-1;1)
Bài 15 Cho f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn 2a + 6b + 19c = 0 Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có
nghiệm trong [0;1]
Bài 16 Chứng minh rằng các PT sau luôn có nghiệm:
1) m x( −1) (7 x− +3 2) x− =5 0 2) (m2+ +m 1)x4+2x− =2 0
3) a cos2 x b + sin x + cos x = 0 4) (m2+1)x3−2m x2 2 −4x m+ 2+ =1 0luôn có 3 nghiệm Pb