SKKN Chuan

Nhưng đây cũng là phần rất khó của bộmôn Toán.Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của toán học sơ cấp đang ngày càng pháttriển, đây cũng là một phần toán học sơ cấp đẹp và thú vị

Một trong những bộ phận rất quan trọng và hấp dẫn với học sinh giỏi là phân mônBất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Nhưng đây cũng là phần rất khó của bộmôn Toán.

Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của toán học sơ cấp đang ngày càng pháttriển, đây cũng là một phần toán học sơ cấp đẹp và thú vị nhất, vì thế luôn cuốn hút rấtnhiều sự quan tâm của học sinh, đặc biệt là học sinh giỏi, học sinh có năng khiếu họctoán Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng thức trong toán sơ cấp đó là có rất nhiềubài toán hay và khó, thậm chí là rất khó.Tuy nhiên cái khó ở đây không nằm ở gánh nặngvề lượng kiến thức mà ở yêu cầu óc quan sát, linh cảm tinh tế và sức sáng tạo rồi rào củangười học vì thế người học luôn có thể giải được bằng những kiến thức rất cơ sở và việchoàn thành được những chứng minh như vậy là một niềm vui thực sự

Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thì bài toán bất đẳng thức, giá trịnhỏ nhất, lớn nhất là một bài toán có khả năng rèn luyện cho học sinh óc phán đoán và tưduy logic song phần lớn học sinh gặp khó khăn khi giải quyết dạng toán này

2 CƠ SỞ THƯC TIỄN

Trong toán học cũng như trong cuộc sống các quan hệ phần nhiều không tồn tạidưới dạng đẳng thức mà đa phần dưới dạng bất đẳng thức Ngay từ khi còn rất nhỏ, mộtđứa trẻ dù chưa biết chữ và chưa được đi học thì nó đã biết so sánh chẳng hạn với một

hơn Đó là nhứng ý niệm ban đàu về sự so sánh Cũng như vậy khi các em bước vào bậctiểu học, bài học đầu tiên là so sánh nhiều hơn, ít hơn, thấp hơn, cao hơn

Đối với học sinh phổ thông vẫn chỉ là những phép so sánh đó nhưng nó đã nânglên một tầm cao mới với những khó khăn và phức tạp hơn nhiều Việc hoàn thànhđược những so sánh đó nhiều khi phải vận dụng một hệ thống các kiến thức khácnhau Kết quả của các phép so ánh đó thường cho ta các bất đẳng thức

Ở bậc THCS (đặc biệt là học sinh giỏi) đã được làm quen với một số bất đẳng thức

cơ bản như bất đẳng thức (Côsi) Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki xong bất đẳngthức được đề cập nhiều nhất và phù hợp với trình độ của học sinh nhất là bất đẳng thứcCauchy Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp và học sinh thì thấy học sinhgặp rất nhiều khó khăn khi làm các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cosi, đặc biệt lànhững bài toán phải vận dụng các kỹ thuật đặc biệt để chứng minh

Với những lí do như vậy tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài “Bất đẳng thức Côsi và một

số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi”

II PHẠM VI, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI.

1 Phạm vị nghiên cứu

Tìm hiểu về bất đẳng thức Côsi và hệ thống một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thứcCôsi

2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là: Học sinh giỏi khối 8,9 trường THCS Xuân Giang

3 Phương pháp nghiên cứu:

+ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh

+ Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8,

9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện

+ Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạychuyên đề So sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp thực nghiệm tại trường THCS XuânGiang

+ Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp

4 Kế hoạch nghiên cứu

a Thời gian nghiên cứu: 03 tháng

b Địa điểm: Trường THCS xuân Giang

c Kế hoạch cụ thể

+ Chọn học sinh giỏi môn Toán khối 8, 9 của trường THCS Xuân Giang và chiathành 02 nhóm (Nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng) Việc phân nhóm đảm bảo sự ngẫunhiên

+ Tiến hành khảo sát học sinh ở cả hai nhóm về phần bất đẳng thức Côsi, sau đó lậpbảng kết quả ban đầu

+ Tiến hành dạy chuyên đề bất đẳng thức Côsi và một số kỹ thuật sử dụng bất đẳngthức Cosi cho nhóm thực nghiệm

+ Tiến hành khảo sát cả hai nhóm (cả nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng) và lậpbảng kết quả

+ So sánh, đối chiếu bảng số liệu ban đầu, bảng số liệu sau khi dạy thực nghiệm,phân tích và đưa ra kết luận

III MỤC ĐÍCH

- Đưa ra những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi, các dạng bài tập hay gặptrong các đề thi học sinh giỏi có sử dụng bất đẳng thức Coossi và chỉ ra một số sai lầm màhọc sinh thường mắc phải

- Đề xuất một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi, đồng thời rèn cho học sinh tìmtòi lời giải

- Lựa chọn phương pháp giải hợp lý Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả năng phântích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìmhiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạybén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còntâm lý ngại ngùng đối với bài toán bất đẳng thức

B - NỘI DUNG

I NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI.

Bất đẳng thức Côsi, đặc biệt là các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi là vấn đềkhó và rất quan trọng, nắm vững kiến thức về vấn đề này sẽ giúp học sinh giải quyếtđược nhiều bài toán về bất đẳng thức khác nhau và ứng dụng nó để giải phương trình, hệphương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng các phương pháp đặc biệt

Mặc dù bất đẳng thức Côsi về mặt hình thức là một bất đẳng thức tương đối đơngiản song để áp dụng nó một cách có hiệu quả thì không phải ai cũng làm được Ở rấtnhiều bài toán, nếu ta chỉ đơn thuần áp dụng bất đẳng thức Côsi ở dạng nguyên mẫu thìbài toán có thể sẽ không giải được hoặc có giải được thì cũng rất dài dòng và phức tạp,nhưng nếu người học khéo léo áp dụng một số kỹ thuật và một vài phép biến đổi nhỏ thìviệc áp dụng bất đẳng thức Côsi sẽ trở lên đơn giản và ngắn gọn hơn nhiều

2 THỰC TRẠNG BAN ĐẦU CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

a Kết quả khảo sát ban đầu

b Phân tích ưu điểm tồn tại của vấn đề nghiên cứu

- Học sinh trong đội tuyển được lựa chọn đã có một số học sinh nắm được cách làm bài

toán về bất đẳng thức Cosi xong kết quả cón chưa cao, phần nhiều còn yếu trong cáchvận dụng bất đẳng thức Cosi đề chứng minh, kiến thức học sinh nắm được chưa có hệthống, chưa linh hoạt trong các biến đổi để chứng minh, một số học sinh còn rất lúngtúng, thậm chí không có phương hướng để bắt đầu cho việc chứng minh

3 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

3.1 NỘI DUNG:

3.1.1 Bất đẳng thức Côsi (Cauchy)

1 Cho hai số thực không âm a,b Khi đó ta có: ab  ab

2 (Dạng tổng quát).Cho n số thực không âm a1,a2, ,a n.Khi đó ta có:

n

n

n a a a n

Bất đẳng thức này còn được gọi là bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng vàtrung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic mean- Geometric mean)

Chứng minh:

k

k

k a a a k

1

1

1 2

a a

a k k

a a a

a

k k

k

k

k a

a a

.

1 1

1

1 2 1

k k

k k

1 1

4

1 1

Do  ,   0 nên suy ra   1

1 2 1

a a a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1

Chứng minh tương tự, ta được:

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:

Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh

2 Một số lưu ý khi biến đổi.

Nói chung, ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Côsi như các Ví dụ trên

mà thường biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thứcCôsi Khi biến đổi, ta thường sử dụng những số hạng của một vế cộng thêm các số hạngthích hợp và sử dụng bất đẳng thức Côsi Khi biến đổi, ta lưu ý một số nhận xét sau:

Nhận xét 1.Số chiều của BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng của bậc cao nhất.

Ví dụ 4 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

3 3 3 2 2 2

a b c ab bc ca

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao nhất là 3, nên ta sẽ sử dụng bất đẳng

như vậy, ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

333

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng ab bc ca, , vế bên phải có bậc cao nhất là 2, nên ta sẽ sửdụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không õm

Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

222

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên tráicó chứa mẫu, các số hạng bên phải không

chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêmcác số hạng vào bên tráicủa bất đẳngthức Bậc của số hạng cần mô tả là hai, nên bậc của số hạng thêmvào cũng là hai

Chẳng hạn, số hạng

3

a

Bậc của số hạng là 2, nên ta cộng thêmvào ab.

b

bc b c

c

ca c a

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

Ví dụ 7 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a b c

bc ca ab   

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải không

chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêmcác số hạng vào bên trái của bất đẳngthức Bậc của số hạng cần mô tả là một, nên bậc của các số hạng thêm vào cũng là một Chẳng hạn, số hạng

3

a

số hạng thêm vào là b, c:

b

ca c

ab

  

  Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

a

b c bc

b

ca c

a b ab

2.2 Nhận xét 3 Khi bậc không bằng nhau số hạng cộng thêm có thể là hằng số.

Ví dụ 8 Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca  1, chứng minhrằng:

3

a b c Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Cho a b c  thay vào điều kiện ta tính được 1

3

a b c  

Sử dụng bất đẳng thức Côsi với n = 3 cộng với số hạng hằng số, số hạng chứa biến

thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh

Chẳng hạn, với số hạng ab trong điều kiện xác định, ta sử dụng các số hạng

3

3 31

13

31

31

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Biến đổi điều kiện, ta được: 1 1 1 3

4

ab bc ca  

Sử dụng bất đẳng thức Côsi với n = 3 cộng với số hạng hằng số, số hạng chứa biến

thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh

2.3 Nhận xét 4 Ta cần để ý đến trường hợp đẳng thức xảy ra với a = b = c của bất đẳng thức để thêm hệ số cho thích hợp.

Ví dụ 10 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Phân tích: Cho a b c  thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng minh,

Mặt khác, số hạng này lại có mẫu chứa nhân

Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh

Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Tương tự, ta có:

3 3

Ví dụ 11 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

29

a b c

b c  c a  a b   

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Cho a b c  thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng minh,

chẳng hạn số hạng

3 2

Mặt khác, số hạng này lại có mẫu chứa

   

3

3 3

2

2

272

Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh

Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

2

2

272

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

2.4 Nhận xét 5 Ta sử dụng bất đẳng thức Côsi kết hợp với một số bất đẳng thức phụ.

Ví dụ 12.Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

2 2

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

 

32

Do đó, ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 16.Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Chia cả hai vế cho bc 0, ta được:

Bất đẳng thức trên đó được chứng minh ở Ví dụ 6

b c

Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 18.Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

x y z x

x

y z

y z x y

y

y z

z x y z

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

2 2 2

c c

24

a b

Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

3 3 2

Bài 3 Với các số dương a, b, c thỏa mãn a b c  3abc, chứng minh rằng:

a b b c c a  a b c Hướng dẫn:

   

2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 1

Ví dụ 22: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

3 2

2 2

2 2

2       a b c 

c b

a c

b a

c b

2 3

3 2

Tương tự ta có:

b b a c b

b b

2 3

3 2

c c b a c

c c

2 3

3 2

Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được:

3 2

2 2

2 2

2       a b c 

c b

a c

b a

c a b

c b a

2 2

1 1

1 1 1

1 1

1 2 1

1

c b

c b a

2 1

1    





c b

bc c

Nhân ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được

2 2 2

1 1 1

.

8 1 1 1

b a

1 1 1

abc c

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

8

8 8

8 1

1

8        x  x  

x x

3.1.2.5.Một hệ quả của bất đẳng thức Côsi

Với x,y>0 ta có:

4 1

y x

xy  

Dấu “=” trong các bất đẳng thức trên xảy ra khi x=y

Ví dụ 26: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn: 111 8

z y

2

1 2

1 2

1 1

1 4

1 1

2

1

.Dấu “=” xảy ra khi x=y=z

1 2 1 16

1 2

2 1 1 16

1 2

1

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z

Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được :

2 8 4

1 1 1 1 4

1 2

1 2

1 2

3.1.3 MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

3.1.3.1 KỸ THUẬT CÔSI NGƯỢC DẤU

1.Ví dụ mở đầu:

Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:

3

2 2

3 2

2

3 2

2

a ac c

c c

bc b

b b

ab a

b ab a

b ab

b ab a

c bc b

a ac c

2 3

2 3

2

2 2

3 2

2

3 2

2

a ac c

c c

bc b

b b

Nhận xét: Bất đẳng thức trên được chứng minh rất gọn và hay nhưng có vẻ không

“tự nhiên” khi tác giả đưa ra bất đẳng thức riêng

3

2

2 2

b ab a





tìm ra bất đẳng thức riêng này thì bài toán trở nên thật đơn giản, tuy nhiên làm thế nào đểtìm ra bất đẳng thức riêng đó, đó là điều ta cần phải giải đáp cho học sinh và giúp học sinh tìm ra bất đẳng thức riêng trong các bài tương tự

Chứng minh rằng: 23

1 1

b b

a

Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các mẫu số thì ta có:

2

3

2

1 2 2 2 1

b b

a a

c c

b b

a a

c c

b

b

a

? Như vậy ta sẽ được một bất đẳng thức đổi chiều, và do đó ta không có được điều phải chứng minh

Tuy nhiên, thử biến đổi một chút biểu thức đã cho ta thấy:

2 2

1

1

2 2

2 2

ab a b

ab a b

cùng chiều Làm tương tự cho các biểu thức còn lại rồi cộng chúng lại ta được điều phải chứng minh

Lời giải:

Ta có:

2 2

1 1

2 2

2 2

ab a b

ab a b

ab a b

1 1

2 2

2 2

bc b c

bc b c

bc b c

1 1

2 2

2 2

ac c a

ca c a

ca c a

c c

b b a

Nhận xét: Như vậy ta thấy rằng qua một phép biến đổi ta đã đưa biểu thức mà ta muốn

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểu thức mangdấu âm, từ đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho mẫu mà vẫn được các bất đẳng thức cùng chiều Đó chính là kỹ thuật Côsi ngược dấu

Ví dụ 28: Chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có:

2

2 2

3 2 2

3 2 2

a c

c c b

b b a

2 2

2

2 2

2

a ab

ab a b a

ab a b

2 2

2

2 2

2

b bc

bc b c b

bc b c b

2 2

2

2 2

2

c ac

ca c a c

ca c a c

Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được :

 

2 2

2 2

3 2 2

3 2

2

c b a a c

c c b

b b

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

Từ bài toán Ví dụ 6 và Ví dụ 7 ta có các bài toán tương tự sau:

Ví dụ 29: Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 4 Chứng minh rằng:

2 1

1 1

c c

b b

a

.

Ví dụ 30:Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3 Chứng minh rằng:

3 1

1 1

1 1

1

2 2

b b

a

.

Ví dụ 31: Cho a,b,c,d là các số dương có tổng bằng 4 Chứng minh rằng:

4 1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

c c

b b

a

Ví dụ 32: Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 4 Chứng minh rằng:

2 1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

3 2 2

3 2 2

3 2 2

a d

d d c

c c b

b b a

3 2

2 2

4 3

3

4 3

3

4 3

3

a d

d d

c

c c

b

b b

2 2

2 2

b

b b

a a

Ví dụ 36:Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:

1 2 2

2 3

2 3

b b

a

a

Hướng dẫn

3 6

3 3

3 3

2

3

2

3

2 2

2

ab a

b a

ab a

3 2

2

3 2

2

a ac c

c c

bc b

b b

2 2

2

2

a ab

b a ab a b ab a

b a ab a b

b ab a





đưa ở Ví dụ trên mà tôi đã giới thiệu

3.1.3.2 KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI.

1.Điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.

Ví dụ 37 :Cho a 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S aa1

Phân tích: