Mục đích: - Đã có không ít những cuốn sách của nhiều tác giả nổi tiếng viết về những phơng pháp tính tích phân, tuy nhiên để giúp các em học sinh học tốt hơn và yêu thích chơng Nguyên hà
Trang 1Ngời viết: Nguyễn Bá Trung – Tổ Toán Tin
I Đặt vấn đề:
1 Lí do chọn đề tài:
- Là giáo viên việc học tập nâng cao trình độ chuyên môn là một
điều hết sức cần thiết Đặc biệt là một giáo viên trẻ của một tr-ờng THPT mới thành lập thì việc đó lại càng cần thiết hơn bao giờ hết Năm học 2009 – 2010 TôI đợc nhà trờng phân công giảng dạy môn toán lớp 12, trong quá trình giảng dạy tôi thấy rằng đa số học sinh trong trờng rất sợ khi học tích phân
- Tôi luôn tự nhủ làm thế nào để học sinh của mình học tốt hơn,
và yêu thích môn học???
- Phát huy tốt khả năng t duy sáng tạo của học sinh
- Trong những năm gần đây tích phân luôn có trong tất cả các đề thi Đại học Cao đẳng
2 Mục đích:
- Đã có không ít những cuốn sách của nhiều tác giả nổi tiếng viết
về những phơng pháp tính tích phân, tuy nhiên để giúp các em học sinh học tốt hơn và yêu thích chơng Nguyên hàm - tích phân tôi xin đa ra một vài quan điểm riêng của mình qua nội dung: “ giúp học sinh học tốt nguyên hàm – tích phân qua phơng pháp biến đổi
”
1 Quan điểm cũ của học sinh:
- Học thuộc máy móc cách trình bày từng bài toán
- Học tủ, không có sáng tạo khi học Sợ học tích phân
- Thầy dạy gì, Trò học đó
2 Quan điểm của giáo viên:
- Bám sách giáo khoa, bám sát phân phối chơng trình
3 Hậu quả:
- Học sinh thụ động khi gặp những bài toán mới lạ
- Không định hớng cách làm
- Cảm thấy khó khăn, dẫn đến không thích học
4 Những điều cần l u ý khi thực hiện ph ơng pháp:
- Biến đổi là phơng pháp cần đòi hỏi nhiều kỹ năng, mỗi bài toán
có cách biến đổi khác nhau không có khuôn mẫu nhất định
- Cần vận dụng tổng hợp nhiều kiến thức và kỹ năng, vì vậy để thực hiện biến đổi tốt thì học sinh cần nắm trắc kiến thức cũ và vận dụng linh hoạt nó: Các phép biến đổi tơng đơng, các hằng
1
Trang 2Ngời viết: Nguyễn Bá Trung – Tổ Toán Tin
đẳng thức, kỹ thuật thêm bớt, bảng đạo hàm và bảng nguyên
hàm cơ bản…
5 H ớng giải quyết:
Với việc học lấy học sinh làm trung tâm nh ngày nay vai trò của ngời Thầy càng trở lên quan trọng: Thầy định hớng, Thầy dẫn
dắt, học sinh chủ động nắm bắt lĩnh hội tri thức và phát huy khả năng t duy Sau đây Tôi trình bày vài ví dụ tính nguyên hàm sử dụng phơng pháp biến đổi:
a Nguyên hàm các hàm số đa thức, mũ :
Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a f(x)=(x3 +3.x2 +2).e x b f(x)=(x2010+2010.x2009 +2008).e x
).
1 ( ) (
x
e x x f
x
−
= LG:
Khi gặp những bài toán dạng này học sinh thờng hay sử dụng
ph-ơng pháp từng phần để tính (vì khi học học sinh thờng đợc tổng
quát khi gặp những bài toàn nh vậy thì đặt u, v’ ).…
Với bài toán a học sinh có thể sử dụng 3 lần từng phần đợc nhng rất dài
Với bài toán b và c thì học sinh không thể sử dụng đợc mà phải
biến đổi
a
dx e x
∫
∫
∫ ( 3 + 3 2 + 2 ) = ( 3 + 2 ) + 3 2 = ( 3 + 2 ).( ) ' + ( 3 + 2 ) '
=∫ ( 3 2 ). ' ( 3 2 ).
ở đây ta đã sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm là:
C x f dx x
∫ ( ) ' ( )
b Tơng tự
dx e x
=(x2010 +2008).e x +C
c Với bài toán này học sinh phảI biến đổi trớc khi sử dụng tình
chất trên:
' 2
2). ( 1 1) ( ) 1
( ) (
x
e e x x x
e x x
f = − x = − + x = x
C x
e dx e x
−
⇒∫( 21).
2
Trang 3Vậy nếu biết vận dụng tốt các kiến thức SGK và thêm vào đó một số kỹ thuật biến đổi ta có thể giải quyết đợc nhiều bài toán khó mà lời giải thật ngắn gọn dễ hiểu
Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm
a x dx
x
∫28.−43−. b ∫ (x2 +1 ) 3
dx
c
dx x x
x
∫ 33.+5+. 5+7
2
LG:
Với dạng toán này có nhiều cách giải, đa số học sinh thờng dùng phơng pháp đổi biến đặt t = …
Biến đổi cũng đợc dùng khá hữu hiệu trong những bài toán này
x x dx
x
x
∫
−
−
4 2
) 4 ( 2 4
2
3 8
x x x dx= x −x dx=x −x+c
−
− +
−
4 2
1 4
b tơng tự bằng
C x
x x
dx
+ +
= +
∫ ( 2 1)3 2 1
c
C x
x dx x
x dx
x x
+ +
+
∫
7 5
5
3 2
b Nguyên hàm các hàm số l ợng giác:
Phơng pháp biến đổi còn đặc biệt hữu hiệu trong các bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số lợng giác
Để làm tốt đợc các bài dạng này yêu cầu học sinh cần nhớ đợc các công thức lợng giác và sử dụng nó một cách thành thạo
Ví dụ 3: Tìm họ nguyên hàm:
a ∫ x dx
2
sin 2
b ∫cot 2 x dx
c ∫cosdx4 x
LG:
Học sinh thờng sử dụng đổi biến để làm những bài toán trên, xong những bài toán đó có thể giải quyết rất đơn giản bằng phơng pháp biến
đổi
a Ta sử dụng công thức hạ bậc: ( 1 cos 2 )
2
1
Vậy ∫ x dx=∫ − x dx= ∫dx− ∫ x dx= x− sinx+C
2
1 2
1 cos 2
1 2
1 ) cos 1 ( 2
1 2
sin 2
Trang 4Ngời viết: Nguyễn Bá Trung – Tổ Toán Tin
b Ta sử dụng công thức biến đổi
1 sin
1 sin
sin 1 sin
cos
2 2
2
x x
x x
x x
Vậy ta có ∫ =∫ − dx= − x−x+C
x dx
sin
1 (
x x
dx
+ +
= +
= +
∫ ( 1 tan ) ( 1 tan ) (tan ) tan tan3
cos
1 cos
3 2
2 2
4
Ví dụ 4:
Tìm họ nguyên hàm:
) sin(
).
dx
) cos(
).
dx J
) cos(
).
dx K
LG:
Để tính nguyên hàm dạng này ta phải khéo léo sử dụng các công thức biến
đổi lợng giác
Với bài toán dạng này ta phải nhớ các công thức cộng
a Để tính I ta sử dụng đồng nhất thức
) sin(
1 )
sin(
) ( ) ( sin )
sin(
)
sin(
b a b
a
b x a x b
a
b
−
=
−
−
− +
=
−
−
=
Vậy
∫
+ +
b x a x
b x a x b
x a x b
a b
x a
x
dx I
) sin(
) sin(
) sin(
) cos(
) cos(
) sin(
) sin(
1 )
sin(
).
sin(
+
+
− +
+
−
a x
a x dx
b x
b x b
) cos(
) sin(
) cos(
)
sin(
1
b
−
= ln sin( ) ln sin( )
)
sin(
1
a x
b x b
+
+
−
=
) sin(
) sin(
ln )
sin(
1
Tơng tự với bài toán b và c ta có thể áp dụng các đồng nhất thức sau:
=
) cos(
).
dx
J , sử dụng đồng nhất thức 1 sin(sin( ))
b a
b a
−
−
=
4
Trang 5Ngời viết: Nguyễn Bá Trung – Tổ Toán Tin
=
) cos(
).
dx
) cos(
) cos(
1
b a
b a
−
−
=
c Nguyên hàm các hàm số vô tỉ:
Với các bài toán nguyên hàm – tích phân của các hàm số vô tỉ phơng pháp biến đổi có thể giải quyết rất nhiều các dạng toán
Ví dụ 1:
Tìm họ nguyên hàm =∫ +− dx
x
x I
1 1
LG:
Điều kiện:
−
<
≥
1
1
x x
Ta xét 2 trờng hợp:
Với x≥ 1 ta có:
−
−
−
=
−
−
= +
−
x
dx x
xdx dx
x
x dx
x
x
1 1
2
2 1
1 1
2 2
2
Với x<1 ta có:
−
−
−
=
−
−
= +
−
x
xdx x
dx dx
x
x dx
x
x
1 2
2 1
1
1 1
2 2
2
Tổng Quát:
∫
+
−
−
− +
<
+
− +
−
−
≥
=
>
+
−
=
C a x a
x x
a x
C a x x a
x
a x a
dx a x
a x
I
2 2 2
2
2 2 2
2
ln
ln )
0 ( ,
Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm
=∫ + + −
1
x
dx J
LG:
Khử tính vô tỉ ở mẫu bằng cách trục căn thức
−
−
− + +
=
−
− +
=
− + +
2
1 ) 1 1
( 2
1 1 1
2
1 2
1
x d x x
d x dx
x x
x x
dx J
= [ (x+ 1 ) 3 + (x− 1 ) 3]+C
3
1
Trang 6Ngời viết: Nguyễn Bá Trung – Tổ Toán Tin
Tổng Quát:
=
c ax b
ax
dx
I , Với a≠ 0 ,b−c≠ 0
Ta cũng khử tính vô tỉ bằng cách nhân liên hợp
Ví dụ 3:
Tìm họ nguyên hàm: =∫ − x
e
dx I
1
LG:
C e x
e
e d x dx e
e dx
e
e e e
dx
x
x x
x x
x x
−
−
−
=
− +
=
−
+
−
=
−
1
1 ( 1
1 1
1 1
)
Các bài tập tham khảo 1.Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a ∫
+
=
) 4 cos(
.
dx I
b =∫ +
1 sin
dx
J c =∫ +
x
dx p
2 sin 1
2 Tìm họ nguyên hàm:
1
+
=∫ HVBCVT TPHCM
x
xdx
I
− + + +
1 2 1 2
1
x x
x
I
−
−
1
x x
dx
I
III Kết luận :
Đối với đa số học sinh nguyên hàm tích phân là dạng toán khó, vì vậy khi học chơng nguyên hàm tích phân giáo viên cần tạo hứng thú cho học sinh ngay từ những bài đầu tiên Qua phơng pháp biến đổi học sinh có thể giải quyết đợc nhiều bài toán mà lời giải tơng đối ngắn gọn
và dễ hiểu
Trên đây tôi trình bày một số dạng toán tìm nguyên hàm của hàm số bằng phơng pháp biến đổi Ngoài ra phơng pháp này còn áp dụng cho nhiều dạng toán khác nữa Hy vọng rằng qua đó giúp các em học sinh làm quen và thấy đợc cái hay trong biến đổi từ đó yêu thích và có hứng thú hơn trong học tập
Qua phần nội dung trình bày ở trên nhằm giúp học sinh:
- Củng cố hệ thống kiến thức cơ bản và nâng cao
- Có húng thú hơn trong quá trình học tập
6
Trang 7- Phát triển t duy sáng tạo, tạo thêm một kĩ năng trong giải toán
- Với học sinh ban cơ bản SGK không viết phơng pháp biến đổi mà cũng chỉ thông qua các ví dụ chính vì vậy mà các em ít gặp những bài toán dạng này, đây là cơ hội để các em cọ sát, làm quen
IV Bài học rút ra :
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy để hộc sinh học tốt thì phải tạo đợc hứng thú, sự tò mò cho học sinh trớc khi vào một chơng mới, mảng kiến thức mới Cũng nh việc hớng dẫn một ngời tập đi xe đạp đừng bắt ngời ta phải đạp xe lên dốc mà hãy tập trên đờng bằng phẳng khi biết
đi rồi thì ngời ta sẽ tự biết cách để đi lên dốc
Xuân Giang, ngày 28 tháng 04 năm 2010
Ngời viết Nguyễn Bá Trung
Trang 8Ngời viết: Nguyễn Bá Trung – Tổ Toán Tin
V Phần đánh giá và nhận xét của hội đồng SKKN cấp tr
ờng :
1 Đánh giá xếp loại :
………
………
………
………
………
………
………
………
2 Đề nghị : ………
………
………
………
………
………
………
Thay mặt hội đồng xét SKKN
8