SKKN toán 11 - Tìm số hạng tổng quát trong dãy số.DOC

đó có phương pháp dạy học môn toán.- Trong chương trình toán học THPT, các bài toán liên quan đến dãy số là mộtphần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11, học sinh thường phải đối mặ

đó có phương pháp dạy học môn toán.

- Trong chương trình toán học THPT, các bài toán liên quan đến dãy số là mộtphần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11, học sinh thường phải đối mặt vớinhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xácđịnh công thức số hạng tổng quát của dãy số Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi

đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gầnnhư được giải quyết

Đề tài: Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số, là kinh nghiệm

mà tôi đã đúc rút được trong quá trình giảng dạy muốn trao đổi với các đồngnghiệp

- Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định côngthức số hạng tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán Giớihạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một dãy số, từ

đó có thể áp dụng vào một số bài toán cụ thể Qua đó, người đọc có thể trang bịthêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Đặc biệtcác thầy cô giáo có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bàitoán về dãy số được trình bày trong đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu từ các tài liệu và sách giáo khoa để đưa ra các dạng toán tìm sốhạng tổng quát của dãy số Từ đó giúp học sinh phân tích để vận dụng nhằm đơngiản hóa một số bài toán Góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, phát huytính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh

3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu

- Học sinh lớp 11E , 11G

- Chương trình toán 11

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Cơ sở để tìm số hạng tổng quát của dãy số

- Các ví dụ về tìm số hạng tổng quát của dãy số

- Ưu điểm của việc tìm ra số hạng tổng quát của dãy số

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan tới việc tìm

số hạng tổng quát của dãy số

- Thực nghiệm qua giảng dạy

- Trao đổi với đồng nghiệp

- Kiểm chứng thông qua các thông tin phản hồi của học sinh.

B NỘI DUNG

I Cơ sở lí luận

- Trong sách giáo khoa lớp 11 đưa ra định nghĩa về dãy số:

“ Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là mộtdãy số vô hạn ( gọi tắt là dãy số) Kí hiệu:

- Một dãy số cho bởi phương pháp truy hồi, tức là một dãy số :

+ Cho số hạng đầu ( hay vài số hạng đầu)

+ Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng( hay vài số hạng ) đứng trước nó

- Hệ thức truy hồi thường có dạng phương trình biểu thị mối liên hệ giữa các sốhạng của dãy số và thường có dạng là phương trình sai phân tuyến tính

+ Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 là phương trình sai phân có dạng:

u1 = α, a.un+1 + b.un = fn, n∈ N*

trong đó a, b, α là các hằng số, a ≠ 0 và fn là biểu thức của n cho trước

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có phương trình đặc trưng là

aλ + =b

Phương trình a.u n+1 + b.un = 0 được gọi là phương trình thuần nhất và

phương trình a.u n+1 + b.un = fn được gọi là phương trình không thuần nhất.

+ Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình sai phân dạng:

*

trong đó a,b,c, α,β là các hằng số, a ≠ 0 và f là biểu thức của n cho trước n

Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có phương trình đặc trưng là

+ Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng:

Nhận xét: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp

ba luôn có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lạitrong trường số thực, tức là chỉ xét nghiệm thực

- Có hai dãy số có tính chất đặc biệt được giới thiệu trong chương trình sách giáokhoa, đó là cấp số cộng và cấp số nhân

+ Cấp số cộng: là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số

hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một sốkhông đổi d

• Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

• Khi đó (un) là một cấp số cộng với công sai d ⇔ un+1 = un + d, n ∈N*

• Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức

Sn = n(u1 u ) [2un 1 (n 1)d]n

+ Cấp số nhân: là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số

hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một sốkhông đổi q

• Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

• Khi đó (un) là một cấp số nhân với công bội q ⇔ un+1 = un q, n ∈N*

• Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức

Sn =

n 1

+ Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

+ Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 ( gọi

là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

II Thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu.

1 Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số khi cho dãy số bằng phương pháp truy hồi và dựa vào phương trình sai phân tuyến tính.

1.1 Hệ thức truy hồi cho biết một số hạng đầu

Hệ thức truy hồi có dạng :

Cho un thỏa mãn: u1 = α, a.un+1 + b.un = fn, n∈ N* (1)

Trong đó a, b, α là các hằng số, a ≠ 0 và fn là biểu thức của n cho trước.Nhận xét:Phương trình (1) chính là phương trình sai phân tuyến tính cấp 1

a) Dạng 1:

Tìm un thoả mãn điều kiện:

u =α a u + +b u = (1.1)trong đó , ,a b α cho trước, n N∈ *

Phương pháp giải:

Giải phương trình đặc trưng aλ + =b 0 để tìm λ Khi đó n

n

u =qλ (q là hằng số) , trong đó q được xác định khi biết u1 =α

Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên

Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng aλ + =b 0 ta tìm được λ Ta

2) Nếu λ =1 thì u n* =n g n với g là đa thức cùng bậc với n f n

trong đó f n = v.µn là đa thức theo n

Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng aλ + =b 0 ta tìm được λ Ta có

trong đó a,b,c, α,β là các hằng số, a ≠ 0 và f là biểu thức của n cho trước n

Nhận xét: Phương trình (2) chính là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

a) Dạng 1: Tìm u thoả mãn điều kiện: n

*

u =α u =β au + +bu +c u − = n N∈ (5.1)

Phương pháp giải:

Giải phương trình đặc trưng a.λ2 +b.λ+ =c 0 tìm λ Khi đó:

1) Nếu λ λ1, 2 là hai nghiệm khác nhau thì 1n 2n

n

u =Aλ +Bλ , trong đó A và Bđược xác định khi biết u u 1, 2

2) Nếu λ λ1, 2 là hai nghiệm kép thì ( ) n

n

u = A Bn+ λ , trong đó A và B đượcxác định khi biết u u1, 2

Bài toán 5 : Tìm u thoả mãn điều kiện sau: n

u = u = u + = u + − u (5.2)

Bài giải: Phương trình đặc trưng λ2 −8λ+16 0= có nghiệm kép λ =4

1) Nếu λ ≠ 1 thì u là đa thức cùng bậc với *n f n

2) Nếu λ =1 là nghiệm đơn thì u n* =n g g ,n n là đa thức cùng bậc với f n

3) Nếu λ =1 là nghiệm kép thì u n* =n g g.2 n, nlà đa thức cùng bậc với f , n

Bài giải: Phương trình đặc trưng λ2 −2λ+ =1 0 có nghiệm kép λ =1 Ta có

Giải phương trình đặc trưng a.λ2 +b.λ+ =c 0 để tìm λ Khi đó ta có

Phương trình đặc trưng λ2 −2λ− =3 0 có nghiệm λ1 = −1,λ2 =3

u là một nghiệm riêng của phương

trình tuyến tính không thuần nhất a u n+2 +bu n+1+c u n +d u n−1 = f (3.b) n

Xét phương trình đặc trưng:

aλ +bλ +cλ + =d (3.c)1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tínhcấp ba thuần nhất (3.a)

a) Nếu (3.c) có ba nghiệm thực λ λ λ1, 2 , 3 phân biệt thì

1 1n 2 2n 3 3n n

b) Nếu λ =1 (nghiệm đơn) thì u n* =n g n, g là đa thức cùng bậc với n f n

c) Nếu λ =1 (bội 2 ) thì u*n =n g2 n, g là đa thức cùng bậc với n f n

d) Nếu λ =1 (bội 3) thì u*n =n g3 n, g là đa thức cùng bậc với n f n

n

Bài giải: Ta có:

a+ = a −a − + (10.2)Trong (10.2) ta thay n bởi n-1, ta được:

a = a − −a− + (10.3)Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu được:

a+ − a + a− −a − = (10.4)Phương trình đặc trưng của (10.4) là:

λ − λ + λ − =

Có nghiệm λ =1 là nghiệm bội bậc ba

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10.4) là:

( 2 )2 2

4 n n 1 3 1

Điều này chứng tỏ A là một số chính phương

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Xác định công thức của dãy số (xn) thoả mãn các điều kiện sau:

Bài 3: Cho dãy số (bn) xác định bởi: 1 2 ( )

Bài 5: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện

1.5 Xây dựng bài toán về dãy số truy hồi

Nhận xét : Nội dung của phần đầu tiên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng quát

của một lớp dãy số có tính chất truy hồi một cách chính xác nhất, giúp thầy côkiểm tra kết quả của bài toán theo cách giải khác Bên cạnh đó ta có thể tiến hànhxây dựng thêm các bài toán mới về dãy số

Dưới đây là một số ví dụ về xây dựng thêm các bài toán về dãy số có tínhquy luật chỉ mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu vàphát triển rộng hơn các bài toán khác về dãy số

Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình:

(λ−1) (λ+ = ⇔9) 0 λ2 +8λ− =9 0 (11.1)Phương trình (11.1) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số cóquy luật Chẳng hạn dãy số u được xác định theo công thức sau: n

Có thể cho u0 =2,u1 = −8 Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau:

Bài toán 1: Cho dãy số x xác định như sau: n

Bài toán 2: Cho dãy số x xác định như sau: n

Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình:

λ− = ⇔ λ − λ+ = (11.2)

Phương trình( 11.2) thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số cóquy luật Chẳng hạn dãy số u được xác định theo công thức sau: n

Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau:

Bài toán 1: Xác định công thức của dãy số x thoả mãn các điều kiện sau: n

Bài toán 3: Cho dãy số x xác định như sau: n

Cho dãy số (un) thoả mãn hệ thức truy hồi Tìm số hạng tổng quát của dãy

Bước 1: Từ hệ thức truy hồi của dãy tìm quy luật của một cặp hai số hạng liêntiếp trong dãy (un)

Bước 2: Ta thông qua dãy (vn) mà số hạng vn biểu thị được theo phép toán củahai số hạng liên tiếp của dãy (un)

Bước 3: Từ đó chứng tỏ (vn) là dãy số đặc biệt ( cấp số cộng hoặc cấp số nhân)

Bước 4: Biểu thị un theo các số hạng của dãy (vn)

Bài giải:

Từ giả thiết suy ra:

un + un-1 = 2un+1⇒ - (un - un-1) = 2(un+1 - un), với n = 2, 3, … (1)

Đặt vn = un - un-1 với n = 2, 3, …

Hãy xác định số hạng tổng quát của ãy số u0; u1; u2; … được xác định như sau:

1) u0 = 0; u1 = 1;

2) un+1 = aun bun 1

++ với n = 1; 2; 3; ….

Lập công thức số hạng tổng quát của dãy (xn)

Bài 3: Dãy (un) được xác định bởi công thức:

u1 = 1; un+1 = un + n3 với n =1; 2; …

Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số

Bài 4: Dãy (un) được xác định bởi công thức:

u1 = 5; un+1 = un +3n - 2 với n =1; 2; …

Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số

Bài 5: Cho dãy số (un) thoả mãn:

3 Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi phương pháp truy hồi bằng biến đổi đại số và chứng minh quy nạp

Phương pháp:

* Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của un

* Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước

Bước 1: Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho un

Bước 2: Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp

Bài toán 1: Cho dãy số (un) được xác định như sau:

u1 = 1; un = un-1 + 2 với n ≥ 2Xác định công thức tính un theo n

Bài giải:

Nhận xét: Với đề bài này ta có thể làm theo phương trình sai phân tuyến tính,

hoặc thông qua dãy (vn) với vn = un - un-1 Ngoài ra ta có thể dùng cách biến đổiđại số hoặc chứng minh quy nạp

Cách biến đổi đại số: Từ giả thiết ta có:

un = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1 Vậy, ta có: un = 2n - 1

Bài toán 2: Cho dãy số ( un) với un = 2 2

n +4n 3+ với mọi n ∈ N* và dãy số (Sn)

được xác định như sau:

S1 = u1 ; Sn = Sn-1 + un với n ≥ 2Xác định công thức tính Sn theo n

Bài giải: Ta có ngay: Sn = u1 + u2+ … + un

u1 = 1; un = 3un-1 với n ≥ 2Xác định công thức tính un theo n.

Bài 2: Cho dãy số (un) được xác định như sau:

u1 = 4; un = 2un-1 với n ≥ 2Xác định công thức tính un theo n

Bài 3: Cho dãy số (un) được xác định như sau:

u1 = 5; un = 1

3un-1 với n ≥ 2Xác định công thức tính un theo n

Bài 4: Cho dãy số (un) được xác định như sau:

u1 = 1; un =

n 1

3

u − với n ≥ 2Xác định công thức tính un theo n

Bài 5: Cho dãy số ( un) với un = 1

n(n 1)+ với mọi n ∈ N* và dãy số (Sn) được xácđịnh như sau:

S1 = u1 ; Sn = Sn-1 + un với n ≥ 2Xác định công thức tính Sn theo n

III Phân tích đánh giá thực tiễn

Trong quá trình dạy môn đại số và giải tích 11 đặc biệt là chương dãy số cấp số cộng và cấp số nhân, tôi đã hướng dẫn học sinh cách tìm công thức số

-hạng tổng quát của dãy số Góp phần giúp cho học sinh linh hoạt hơn trong việclựa chọn các phương pháp, tạo được hứng thú cho học sinh trong học tập

Đa số học sinh vận dụng được các phương pháp tìm số hạng tổng quát mộtcách sáng tạo và giải quyết rất nhiều dạng toán với hiệu quả cao

Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biếtvận dụng ở dạng cơ bản xác định được công thức số hạng tổng quát của dãy số

Sau đây là kết quả của các lớp mà tôi tiến hành nghiên cứu, có sự khácbiệt giữa các lớp thực nghiệm (TN) và các lớp đối chứng (ĐC)

C KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

Ứng dụng của phương pháp này khá rộng nhưng lí do trình độ của học sinh chưa phù hợp, nên đối với những dạng phương trình có chứa nghiệm phức, phép toán môđun tôi chưa giới thiệu Vì trường số phức và phép toán môđun các

em chưa được học

Xây dựng phương pháp giảng dạy theo quan điểm đổi mới là việc mà toàn

xã hội và ngành quan tâm Tuy nhiên, trong một số lớp bài toán bậc THPT ta có thể sử dụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp là một vấn đề ít được chú ý Qua nội dung đề tài, tôi mong muốn có

thể tìm hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa “Toán học hiện đại” và “ Phương

pháp toán sơ cấp” Qua đó ta có thể xây dựng được phương pháp giải, xây dựng

các lớp bài toán ở bậc THPT.

Vì vậy, trên đây tôi chỉ đưa ra một số ví dụ mà trong quá trình giảng dạy tôi đã giới thiệu cho học sinh Chắc chắn rằng sẽ còn có nhiều bài toán mà ta có thể giới thiệu cho học sinh Do điều kiện có hạn nên các ví dụ đưa ra chưa thật phong phú Vì vậy rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để cho đề tài của tôi thêm hoàn chỉnh, và có thể ứng dụng cho các năm học sau.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Xuân Giang, 15/05/2011 Người thực hiện

Dương Thị Thanh Tâm

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Trần Văn Hạo - Vũ Tuấn, Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản giáo dục 2) Trần Văn Hạo - Vũ Tuấn, Bài tập Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản giáo

dục

3) Lê Hồng Đức - Nhóm cự môn, Bài giảng chuyên sâu toán THPT - Giải toán

Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Hà Nội.

4) Phan Huy Khải - Nguyễn Đạo Phương, Các phương pháp giải toán Đại số

và giải tích 11, Nhà xuất bản Hà Nội 1999

5) Lê Đình Thịnh - Lê Đình Định, Phương pháp sai phân Nhà xuất bản Đại

học quốc gia Hà Nội 2004

6) Trần Chí Hiếu - Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH Đại số

và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục.

7) Nguyễn Văn Mậu, Một số bài toán chọn lọc về dãy số, Nhà xuất bản Giáo dục

2003

3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

B NỘI DUNG

I Cơ sở lí luận

II Thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu

1 Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số khi cho dãy số

bằng phương pháp truy hồi và dựa vào phương trình sai phân tuyến

tính.

1.1 Hệ thức truy hồi cho biết một số hạng đầu

1.2 Hệ thức truy hồi cho biết hai số hạng đầu

1.3 Hệ thức truy hồi cho biết ba số hạng đầu

1.4 Bài tập áp dụng

1.5 Xây dựng bài toán về dãy số truy hồi

2 Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số khi dãy số cho

bởi phương pháp truy hồi và thông qua tính chất một dãy số khác

3 Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi phương

pháp truy hồi bằng biến đổi đại số và chứng minh quy nạp

III Phân tích đánh giá thực tiễn

3 7 12 13 15 17

20 24

25 26 27