Chương III - Bài 4: Cấp số nhân

Bài 4: Cấp số nhânI- Định nghĩa Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay tr ớc nó với một

Bµi 4: CÊp sè nh©n

TiÕt 43: PhÇn I, II vµ bµi tËp 1, 2, 3.

TiÕt 44: PhÇn III, IV vµ bµi tËp 5, 6, 7.

KiÓm tra bµi cò

C©u 1: Cho cÊp sè céng (un) cã sè h¹ng ®Çu u1 = -5

vµ c«ng sai d = 2 th× sè h¹ng thø 21 lµ

C©u 2: Cho cÊp sè céng (un) cã sè h¹ng ®Çu u1 = 7 vµ c«ng sai d = -3 th× tæng 8 sè h¹ng ®Çu lµ

A

B

Bài 4: Cấp số nhân

I- Định nghĩa

Hoạt Động 1

+) Số hạt thóc trên các ô từ 1 đến 6 của bàn cờ là: 1, 2, 4, 8, 16, 32 +) Nếu coi số hạt thóc trên các ô từ 1 đến 6 của bàn cờ là một dãy số

Nhận xét: Từ số hạng thứ 2 trở đi thì mỗi số hạng đều bằng

tích của số hạng đứng ngay tr ớc nhân với 2

Cụ thể:

u  u 2

: ) (u n 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Bài 4: Cấp số nhân

I- Định nghĩa

Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số hữu hạn (hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay tr ớc nó với một số không đổi q

Số q đ ợc gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (un) là cấp số nhân có công bội q, ta có công thức truy hồi

*

n 1 n

u   u q với n   (1)

Đặc biệt:

+) Khi q=0 thì cấp số nhân có dạng: u1, 0, 0, …, 0, …, 0, …, 0, …

+) Khi q=1 thì cấp số nhân có dạng: u1, u1, u1, …, 0, …, u1, …

+) Khi u1 =0 thì với mọi q cấp số nhân có dạng: 0, 0, 0, …, 0, …, 0, …, 0, …

Bài 4: Cấp số nhân

1 1 1 1 , , , , 1.

81 27 9 3

n 1 n

Định nghĩa: với n 

1 1

.( 3);

9 27

  

I- Định nghĩa

Chứng minh:

Vậy, dãy số đã cho là cấp số nhân có công bội q = -3

Ví dụ 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số nhân

vì ( ).( 3);

27   81 

( ).( 3)

3   9 

1

3

Bài 4: Cấp số nhân

I- Định nghĩa

II- Số hạng tổng quát

Hoạt Động 2:

Đọc hoạt động 1 và cho biết ở ô thứ 11 có bao nhiêu hạt thóc?

2 1 3 1 4 1

2 1 3 1 4 1

5 1 6 1

5 1 6 1

Nhận xét:

u u 2 ; u u 2 ; u u 2

u u 2 ; u u 2 ;

Đáp án: 1 , 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210.

n 1

Dự đoán: u  u 2  , (2   n 64).

Bài 4: Cấp số nhân

I- Định nghĩa

II - Số hạng tổng quát

Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un đ ợc xác định bởi công thức

n 1

u  u q  , n  2 (2)

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 5 và q= -2

a) Tính u6

b) Hỏi 1280 là số hạng thứ mấy?

Đáp số:

a) u6 = -160

b) 1280 là số hạng thứ 9

Củng cố

Câu 1: Cho cấp số nhân (un) có u5 = -17 và u6 = 34 Số hạng đầu

và công bội của cấp số đó là

Câu 2: Cho cấp số nhân (un) có u3 = 3 và q = -2 Số hạng đầu của cấp số đó là

A

D

TiÕt 44

Kiểm tra bài cũ

Câu 1: Cho cấp số nhân (un) có u5 = 7 và u6 = -28 Công bội của cấp số đó là

Câu 2: Cho cấp số nhân (un) có u5 = -3 và u8 = 81 Số hạng đầu của cấp số đó là

A

B

Bµi 4: CÊp sè nh©n

III- TÝnh chÊt c¸c sè h¹ng cña cÊp sè nh©n

Ho¹t §éng 3:

Cho cÊp sè nh©n (un) cã u1 =-2 vµ q= -1/ 2

a) ViÕt n¨m sè h¹ng ®Çu cña nã

b) So s¸nh u víi tÝch u u vµ u víi tÝch u u

§¸p ¸n:

a) N¨m sè h¹ng ®Çu: -2, 1, - , ,

2 1 3 3 2 4

b) u  u u ; u  u u

2

k k 1 k 1

Dù ®o¸n: u u  u  , k 2 (trõ sè h¹ng ®Çu vµ sè h¹ng cuèi)

Bài 4: Cấp số nhân

III- Tính chất các số hạng của cấp số nhân

Định lý 2:

Trong một cấp số nhân, bình ph ơng mỗi số hạng (trừ số hạng

đầu và cuối) đều bằng tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

2

Chứng minh:

Sử dụng công thức (2) với k >1, ta có

k 1 2 1





Bài 4: Cấp số nhân

IV – Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Hoạt Động 4:

Gọi tổng số hạt thóc trên 11 ô đầu của bàn cờ là S11 Khi đó

2 3 10 11

Và S11 là tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân có u1= 1, q=2

11

11

11 11

1 2

1 2





11 1

11

u (1 q )

1 q







Bµi 4: CÊp sè nh©n

IV – Tæng n sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè nh©n

§Þnh lý 3:

n

n 1 2 3 n

n 1

n







 Chó ý: NÕu q=1 th× cÊp sè nh©n lµ u1, u1, u1 , …, 0, … vµ Sn = n.u1.

VÝ dô 3: Cho cÊp sè nh©n (un ) cã u1 = 4 vµ q= 3 TÝnh tæng cña 9 sè h¹ng ®Çu

Lêi gi¶i: ¸p dông c«ng thøc (*) ta cã:

9 9

S







Bài 4: Cấp số nhân

IV – Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Hoạt Động 5:

?1 Vế phải của (1) là tổng của bao nhiêu số hạng?

?2 Nếu ta coi các số hạng đó theo thứ tự là một dãy số thì dãy

số trên có đặc điểm gì?

Bài 4: Cấp số nhân

n 1

n 1

1

3

1 3









IV – Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Hoạt Động 5:

Lời giải:

Nhận xét: Tổng trên là tổng của n+1 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu là 1 và công bội 1/3 Khi đó:

Cñng cè

C©u 1: Cho cÊp sè nh©n (un) cã u1 = -2 vµ q = 3 Tæng 7 sè h¹ng ®Çu

C©u 2: Cho cÊp sè nh©n (un) cã u1 = 4 vµ S5 = 242 T×m c«ng béi q

C

D