Chương III Bài 4. Cấp số nhân + Luyện tập

MỤC TIÊU Về kiến thức - Nắm được định nghĩa, tính chất và số hạng tổng quát của cấp số nhân.. - Nắm được công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân - Áp dụng được vào bài tập.

§4 CẤP SỐ NHÂN

I MỤC TIÊU

Về kiến thức

- Nắm được định nghĩa, tính chất và số hạng tổng quát của cấp số nhân

- Nắm được công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

- Áp dụng được vào bài tập

Về kỹ năng

- Biết cách chứng minh một dãy là cấp số nhân

- Tìm được số hạng tổng quát của một cấp số nhân

- Tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân

Về thái độ

- Tự giác, tích cực trong học tập

- Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp, bài toán

cụ thể

- Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic, thực tế và hệ thống

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1 Chuẩn bị của giáo viên

+ Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở

+ Chuẩn bị các ví dụ cụ thể, dễ hiểu cho mỗi nội dung mới

2 Chuẩn bị của học sinh

+ Đọc bài trước ở nhà

III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

§4 CẤP SỐ NHÂN

I ĐỊNH NGHĨA

Cấp số nhân là một dãy số

(hữu hạn hoặc vô hạn), trong

đó kể từ số hạng thứ hai trở

đi, mỗi số hạng đều là tích

+ Cho dãy số vô hạn:

2, 4, 8, 16, …

Và dãy số gồm 6 số hạng

,

25

2 , 5

2 , 2 , 10

+ Hãy viết tiếp số hạng tiếp theo và cho biết quy luật để tìm ra số hạng đó?

+ Bạn đã tìm đúng quy luật, như vậy

số hạng tiếp theo sẽ là bao nhiêu?

+ Hai dãy số có đặc điểm như trên (số đứng sau bằng số đứng liền trước nhân với một số không đổi) được gọi là một cấp số nhân

+ Lắng nghe

+ Dãy thứ nhất: số hạng tiếp theo là 32 vì 2x2=4, 4x2=8, 8x2=16, nên số tiếp theo là 16x2=32; Dãy thứ hai: số hạng tiếp theo

là

125 2

+ 64; 6252

+ Ghi nhận kiến thức mới

của số hạng đứng ngay trước

nó với một số không đổi q

Số q đgl công bội của cấp

số nhân

u n là CSN 

q u

u n1  n.

với n  N*

Ví dụ: Các dãy sô sau là một

cấp số nhân:

5, 0, 0, 0, 0, …

2, 2, 2, 2, 2, …

0, 0, 0, 0, 0, …

II SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Nếu CSN có số hạng đầu là

u1 và công bội q thì

2 , 1

u q  n

n

Ví dụ: Cho CSN (un) với

u1=3, q  21

a) Tính u7

b) Hỏi

256

3

là số hạng thứ

mấy?

+ Với công thức này, muốn tìm q ta làm sao?

Và đây cũng là cách để ta chứng minh một dãy số là một cấp số nhân ( lấy số sau chia cho số liền trước nó kq là một

số không đổi) + Các dãy số sau có phải là CSN hay không? Nếu phải hãy xác định u1 và q

+ Chú ý sự đặc biệt khi q=0, q=1 cũng như u1=0

+ Cho CSN: 2, 4, 8, 16, … Hãy tìm số hạng thứ 10 của CSN trên

ĐVĐ: Nếu câu hỏi là tìm số hạng thứ

100 thì sao? Do đó cần thiết phải có một công thức để tính số hạng bất kỳ của CSN

+ Như vậy 2 2 9 2 10 1024

u

100 99

100  2 2  2

u

+ Gọi 2 học sinh lên bảng làm

+ Nhận xét và đánh giá bài làm của học sinh, chỉnh sửa những sai sót trong cách trình bày (nếu có)

+ Hãy viết dạng khai triển của CSN

+

n

n

u

u

q  1



+ u1  5 ,q 0

+ u1  2 ,q 1

+ u1  0, q tuỳ ý

+ Dùng máy tính để tìm

+ Học sinh lên bảng

GIẢI a)

64

3 2

1 3

6 6

1













u q u

b) Giả sử u n 2563

9 8

1

2

3 2

3

256

3 2

1 3

8 1

1







































n n

n n

Vậy 2563 là số hạng thứ 9 +

, 32

3 , 16

3 , 8

3 , 4

3 , 2

3 ,

III TÍNH CHẤT CÁC SỐ

HẠNG CỦA CSN

Nếu (un) là CSN thì

1 1

2





 k k

k u u

2



k

IV TỔNG n SỐ HẠNG

ĐẦU CỦA MỘT CSN

Cho CSN (un) với công bội

1



q Đặt S n u1 u2  u n

q

q u S

n n







1

1 1

này Cho CSN: 2, -4, 8, -16, 32, -64, …

+ Chú ý bộ 3 số hạng liên tiếp của CSN

+ Đó là tính chất của ba số hạng liên tiếp của một CSN

+ Yêu cầu học sinh kiểm tra tính chất (*) với CSN ở ví dụ trên

+ Chứng minh công thức (*):

Với k  2 ta có: 













k k

k k

q u u

q u u

.

1 1

2 1 1

 12 2 1

2 2 2 1 1

k

(Hoặc GV hướng dẫn và gọi học sinh lên bảng chứng minh)

+ Cách viết khác tính chất này là rút căn hai vế đẳng thức (*)

+ Tính chất này dùng để chứng minh một dãy số có phải là CSN hay không

+ Giới thiệu câu chuyện về người phát minh ra bàn cờ Vua chọn phần thưởng cho mình là: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai hai hạt thóc, cứ như vậy số hạt thóc ở

ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối cùng ĐVĐ: phần thưởng của người này là bao nhiêu?

Dẫn đến sự cần thiết phải có công thức tính tổng n sô hạng đầu của một CSN

+ Chứng minh công thức này

+ Quay lại với giải thưởng của người phát minh ra bàn cờ Vua, hãy tìm số phần thưởng của ông?

* Nếu đem rải đều số thóc này lên bề mặt trái đất thì sẽ được lớp thóc dày

+ Phát hiện vấn đề: Lấy 2x8=16, số -4 giữa bình phương lên cũng bằng 16

+ Sử dụng máy tính kiểm tra

+ |u k |  u k1 u k1

1 2 2 1

2

1 64 64







S

Ví dụ: Tính tổng

n

S

3

1

3

1

3

1



Bài tập củng cố: Cho CSN

(u n ), biết u 1 =2, u 2 =-6.

a) Tìm u 10

b) Tính tổng 15 số hạng đầu

tiên của CSN đó.

9mm Quả là một phần thưởng khổng

lồ, liệu nhà vua có đủ sô thóc để ban thưởng cho ông hay không?

+ Cho học sinh hoạt động nhóm: Mỗi nhóm 2 bàn, bàn trên quay xuống bàn dưới thảo luận trong vòng 3 phút Sau

đó cho 2 nhóm lên trình bày bài giải của mình

+ Gọi học sinh lên bảng giải

GIẢI Nhận thấy các số hạng của tổng S lập thành CSN với

1

1 

3

1



 









































n

n

n

q

q u S

3

1 1 2 3 3

1 1 3

1 1 1

1 1

+ Lên bảng giải

GIẢI

2

6 1

2   



u

u q

 3 39366

10    

u

b)

 

2

3 1 3

1

3 1

15













S

Dặn dò: Về nhà làm bài tập 1, 2, 3 và 4 trang 103 và 104 SGK

LUYỆN TẬP

Số tiết: 1

A MỤC ĐÍCH

Giúp học sinh củng cố lại các công thức đã học thông qua hệ thống bài tập

B CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1 Giáo viên

Các bài tập trọng tâm trong SGK

2 Học sinh

Làm bài tập trước ở nhà

C NỘI DUNG LÊN LỚP

Giáo viên gọi học sinh lên bảng giải các bài tập trong SGK, các câu hỏi trắc nghiệm thì đứng tại chỗ trả lời

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

1 Chứng minh dãy số 











n

2

5

là cấp số nhân

2 Cho CSN (un) với công bội q

a) Biết u1  2 ,u6  486 Tìm q

b) Biết

21

8 ,

3

2

4 

 u

c) Biết u1 3 ,q  2 Hỏi số 192 là số hạng

thứ mấy?

GV: Trong trường hợp không tìm được n

hoặc n ra số thập phân hay số âm, ta sẽ kết

luận số 192 không phải là số hạng của CSN

đó.

3 Tìm các số hạng của CSN (un) có năm số

hạng, biết u4  u2  25 và u3 u1  50

GIẢI

2

5 2

5



 



u

2

5 1



n n n

n

u u

Vậy đây là CSN với , 21

2

5

1  q

u

2 a) Ta có 5 486

1

6 u q 

u

3

3 243

486

2

5 5

5















q q q

b) 3 218

1

4 u q 

u

7

9 21 27 21

8 27

8 1

1











u u

c) Giả sử u n  192

7 6

1

2 64 2

192 2

3

6 1

1































n n

n n

Vậy số 192 là sô hạng thứ 7

3 











50 25

1 3 2 4

u u u u





























) 1 ( 50 1 25 1 50 25

2 1 2 1

1 2 1

1 3 1

q u q q u

u q u

q u q u

2

1



 q thế vào (1) ta được:

4 Tìm CSN có sáu số hạng, biết rằng tổng của

năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số

hạng sau là 62

3

200 50

1 4

1

1











u

Vậy CSN đó là:

6

25 , 3

25 , 3

50 , 3

100 , 3

200











4 Theo đề ta có

























62 31

6 5 4 3 2

5 4 3 2 1

u u u u u

u u u u u



























62 1

) 1 ( 31 1

4 3 2 1

4 3 2 1

q q q q q u

q q q q u

2



 q thay vào (1) ta được:

1 2 4 8 16 31 1 1

1       u 

u

Vậy CSN cần tìm là:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Dặn dò: - Làm phần còn lại của bài 1

- Làm bài tập ôn chương III

- Chuẩn bị kiểm tra 1 tiết