phương trình lượng giác

BÀI DẠYPHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX.

BÀI DẠY

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

1/ ĐỊNH NGHĨA :

Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

là phương trình có dạng

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = d

Trong đó x là ẩn số , a,b,c,d là các hệ số

Ví dụ : a/ sin2 x – 3sinx cosx + 2cos 2 x = 0

b/ 3cos 2 x + sinx cosx + 2sin 2 x = 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Thế nào là phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx ?

2/ CÁCH GIẢI 1:

Trường hợp 1 : a = d

Phương trình có dạng : a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = a (1)

(1)a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = a sin 2 x + a cos 2 x

 b sinx cosx + (c - a) cos 2 x = 0  cosx [ bsinx + (c – a)cosx ] = 0

 cosx = 0 v b sinx + ( c – a ) cosx = 0

Đây là 2 phương trình cơ bản đã biết cách giải

Ví dụ :

Giải

 2 cosx ( cosx – sinx ) = 0

 cosx = 0 v cosx – sinx = 0

 cosx = 0 v tanx = 1

Trường hợp 2 : a ≠ d

phương trình là : a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = d (2)

(2)  a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = d sin 2 x + d cos 2 x

 ( a – d )sin 2 x + b sinx cosx + ( c – d )cos 2 x = 0

Dễ thấy cosx = 0 không là nghiệm phương trình, chia 2 vế

cho cosx ta được :

( a – d )tan 2 x + b tanx + c – d = 0

Đây là phương trình bậc 2 theo tanx ta đã biết giải

Ví dụ : Giải phương trình : 6sin 2 x – 3sinx cosx + cos 2 x = 2 (2)

(2) 6sin2 x – 3 sinx cosx + cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

 4sin 2 x – 3 sinx cosx – cos 2 x = 0

Dễ thấy cosx = 0 không là nghiệm phương trình

Chia 2 vế cho cosx ta được :

4 tan 2 x – 3 tanx – 1 = 0

 tanx = 1 v tanx = - 1/4

 x = π/4 + kπ v x = α + kπ ( tanα = - 1/4 )

Giải

PHƯƠNG TRÌNH:

a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = d (1)

CÁCH GIẢI 2 :

(1) <=> a( 1 – cos2x )/2 + bsin2x/2 + c( 1 – cos2x )/2 = d

<=> bsin2x + ( c – a )cos2x = d – a – c

ta đã biết giải

Có cách nào khác để giải không ?