LUẬN văn sư PHẠM TOÁN KHÔNG GIAN VECTƠ tôpô

Tuy nhiên, lớp các không gian đó chưa đủ rộng để nghiên cứu các vấn đề của giải tích, bởi vì có nhiều không gian vectơ quan trọng mà tôpô tự nhiên nảy sinh trên nó không được cho được bở

KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆPNgành: SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Định nghĩa không gian tôpô 4

1.2 Tập mở, tập đóng, lân cận 4

1.3 Các loại điểm, phần trong, bao đóng 6

1.4 Cơ sở tôpô 7

1.5 Các tiên đề đếm được 8

1.6 Các tiên đề tách 8

1.7 Ánh xạ liên tục 9

1.8 Không gian compact 10

1.9 Lưới và sự hội tụ theo quan điểm lưới trong không gian tôpô 11

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ 13

2.1 Định nghĩa không gian vectơ tôpô 13

2.2 Tập hút, tập cân, tập lồi, tập tuyệt đối lồi trong không gian vectơ 16

2.3 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn trong không gian vectơ tôpô 27

2.4 Cơ sở lân cận 31

2.5 Không gian vectơ tôpô Hausdorff 38

2.6 Không gian vectơ tôpô lồi địa phương 41

2.7 Không gian vectơ tôpô mêtric 65

2.8 Không gian vectơ tôpô chuẩn hóa được 73

2.9 Ánh xạ tuyến tính và phiếm hàm tuyến tính 75

2.10 Không gian vectơ tôpô hữu hạn chiều 77

CHƯƠNG 3 BÀI TẬP 82

KẾT LUẬN 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO 98

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Như ta đã biết một cách đơn giản để đưa một tôpô vào một không gian vectơ là cho trước một chuẩn, khi đó ta có một không gian định chuẩn như đã biết Tuy nhiên, lớp các không gian đó chưa đủ rộng để nghiên cứu các vấn đề của giải tích, bởi vì có nhiều không gian vectơ quan trọng mà tôpô tự nhiên nảy sinh trên nó không được cho được bởi chuẩn nào, lớp không gian này tổng quát hơn các không gian định chuẩn và được gọi là các không gian vectơ tôpô Từ đó, được sự hướng dẫn và gợi ý của thầy Lê Hồng Đức, em đã chọn đề tài “ Không gian vectơ tôpô ” với mục đích bổ sung kiến thức và hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các không gian kể trên

2 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng được nghiên cứu trong luận văn này là về không gian vectơ tôpô và

một số tính chất có liên quan

3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu của luận văn là giúp em nâng cao kiến thức về giải tích

hàm, đặc biệt là về không gian vectơ tôpô Bên cạnh đó, việc nghiên cứu một kiến thức mới sẽ thúc đẩy tinh thần học hỏi, từ đó giúp em có sự đam mê đối với toán nhiều hơn Ngoài ra, qua việc thực hiện luận văn này, sẽ giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tạo một nền tảng kiến thức cần thiết cho việc học tập sau này

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

 Sưu tầm, tham khảo các tài liệu có liên quan đến đề tài

 Phương pháp tổng hợp, khái quát hóa dùng để trình bày các kiến thức dưới dạng các định lý, mệnh đề

 Phương pháp hệ thống hóa được sử dụng để sắp xếp các kiến thức theo một trình

tự phù hợp

5 TÓM TẮT NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhắc lại một số khái niệm trong không gian tôpô và một số tính chất, định lý được

sử dụng trong bài nghiên cứu này

CHƯƠNG II KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

 Đây là phần nội dung chính của luận văn, đầu tiên là định nghĩa về không gian vectơ tôpô Từ định nghĩa, ta đã suy ra được một số tính chất hay của không gian vectơ tôpô, trong đó có một tính chất rất quan trọng đó là: cấu trúc tôpô của một không gian vectơ hoàn toàn xác định nếu ta xác định được cơ sở lân cận tại 0 trong không gian vectơ tôpô đó

 Luận văn cũng khảo sát một số loại tập như: tập hút, tập cân, tập lồi, tập tuyệt

đối lồi… Việc tìm hiểu các loại tập này là rất quan trọng, bởi vì bài nghiên cứu này khảo sát tôpô trong không gian vectơ tôpô theo quan điểm lân cận, nên các loại tập này

sẽ là một công cụ đắc lực giúp ta nghiên cứu tôpô trong không gian vectơ tôpô

 Phần tiếp theo là nghiên cứu về cơ sở lân cận của 0 trong không gian vectơ tôpô, như đã nói ở trên việc khảo sát cơ sở lân cận tại 0 là vô cùng cần thiết, nó giúp ta nắm được cấu trúc tôpô đang khảo sát Ở đây ta khảo sát tính hút, cân, lồi của lân cận của 0, ngoài ra còn một số tính chất khá hay khác Định lý về tính chất tính của không gian vectơ tôpô cũng được khảo sát trong phần này

 Luận văn cũng khảo sát một loại không gian vectơ tôpô quen thuộc là không gian vectơ tôpô Hausdorff, mà cụ thể là điều kiện cần và đủ để một không gian vectơ tôpô

đã cho là một không gian vectơ tôpô Hausdorff

 Luận văn cũng nghiên cứu một loại không gian vectơ tôpô quan trọng là không gian vectơ tôpô lồi địa phương Bên cạnh đó, đã khảo sát các tính chất của nửa chuẩn,

từ đó đã xây dựng và khảo sát một số tính chất quan trọng của phiếm hàm Minkowski tương ứng với các tập lồi, cân, hút Ngoài ra, luận văn cũng đã xây dựng được một không gian vectơ tôpô có tôpô cảm sinh bởi họ nửa chuẩn, từ đó đã đưa ra sự so sánh

về độ “mạnh – yếu” về tôpô của không gian vectơ tôpô cảm sinh bởi họ nửa chuẩn với tôpô của các không gian vectơ tôpô khác (trên cùng một không gian vectơ nền) Hơn thế nữa, bài nghiên cứu cũng đưa ra khẳng định, với một không gian lồi địa phương bất kỳ, thì luôn tồn tại họ nửa chuẩn gồm các phiếm hàm Minkowski sao cho tôpô của không gian lồi địa phương được cảm sinh bởi họ nửa chuẩn đó

 Như ta đã biết, trong không gian tôpô việc nghiên cứu “đo” khoảng cách giữa các phần tử đã làm nảy sinh không gian vectơ tôpô mêtric với những tính chất thú vị Một cách tự nhiên, điều kiện nào để ta có thể “đo” khoảng cách giữa các phần tử trong

không gian vectơ tôpô ? Để trả lời câu hỏi trên, luận văn đã nghiên cứu về điều kiện cần và đủ để một không gian vectơ tôpô có tôpô cảm sinh bởi một mêtric

 Bài nghiên cứu cũng đề cập đến không gian vectơ chuẩn hóa được, mà cụ thể là điều kiện cần và đủ để một không gian vectơ tôpô có tôpô cảm sinh bởi một chuẩn Cuối cùng, luận văn nghiên cứu về ánh xạ tuyến tính và phiếm hàm tuyến tính trong không gian vectơ tôpô, cũng như không gian vectơ tôpô hữu hạn chiều

CHƯƠNG III BÀI TẬP Bài tập về không gian vectơ tôpô là rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên do sự hạn chế về kiến thức của bản thân, nên các bài tập được trình bày ở mức độ vận dụng lý thuyết kết hợp với một số kỹ thuật đơn giản Cụ thể là:

 Một số bài tập về các loại tập: hút, lồi, mở, đóng…

 Chứng minh một tôpô tương thích hay không tương thích với cấu trúc đại số trên không gian vectơ nền

 Chứng minh một không gian vectơ tôpô có tôpô cảm sinh bởi một mêtric cho trước

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Định nghĩa không gian tôpô

Cho X là một tập hợp khác rỗng Một họ  các tập con của X được gọi là một tôpô

trên X nếu nó thỏa mãn đồng thời các tính chất sau:

    là hợp hữu hạn hay đếm được các khoảng rời nhau từng đôi một 

Khi đó  là một tôpô trên X Tôpô này được gọi là tôpô tự nhiên trên 

1.2 Tập mở, tập đóng, lân cận 1.2.1 Tập mở

Chú ý

Giao một họ tùy ý các tập mở có thể không là một tập mở

1.2.2 Lân cận 1.2.2.1 Định nghĩa

Cho A X , V  X Khi đó V được gọi là một lân cận của tập A nếu G  sao  cho AGV

Nếu A x thì V được gọi là một lân cận của điểm x Nếu V là một tập mở thì V được gọi là một lân cận mở của điểm x

Họ  x V x là một cơ sở lân cận của điểm x ( hay cơ sở địa phương của không gian

X tại điểm x ) nếu  V V x,   x:x  V

Ví dụ : Cho X là một không gian rời rạc, aX Khi đó họ    a lập thành một cơ sở lân cận của điểm a

Ví dụ : Xét  với tôpô thông thường, a   Khi đó họ  các khoảng mở có dạng a

a,a  0 là một cơ sở lân cận của điểm a

1.2.3 Tập đóng 1.2.3.1 Định nghĩa

Cho X, ,  F  X. Khi đó F được gọi là tập đóng nếu X F là mở \

vi x được gọi là điểm cô lập của A nếu  V V V x: A x

Tập hợp tất cả các điểm biên của tập A được gọi là biên của A Kí hiệu:  A hoặc

Bao đóng của tập A là tập đóng bé nhất trong X chứa A Ký hiệu  A hoặc A hoặc

Cho X, , A  X , xX Khi đó xA khi và chỉ khi x là điểm dính của tập A

Từ định lý trên ta nhận thấy bao đóng của một tập là tập hợp tất cả các điểm dính của tập đó

1.4 Cơ sở tôpô 1.4.1 Định nghĩa

Cho X, Họ    là một cơ sở tôpô của   nếu  x X, V V x thì    sao

Cho không gian tôpô X, Họ    là một cơ sở của  X, khi và chỉ khi mỗi tập 

mở trong X là hợp của một họ nào đó những tập thuộc 

Không gian tôpô X, được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mỗi 

điểm x thuộc X đều tồn tại một cơ sở lân cận của x gồm đếm được phần tử

1.5.2 Định nghĩa

Không gian tôpô X, được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu X có một 

cơ sở tôpô gồm đếm được phần tử

1.5.3 Định lý

Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thì X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất

1.5.4 Nhận xét

Không gian tôpô X, thỏa tiên đề đếm được thứ nhất thì nói chung chưa chắc nó 

thỏa tiên đề đếm được thứ hai

1.6 Một số tiên đề tách (T  không gian) i

1.6.1 T  không gian (không gian Frechet) 1

1.6.1.1 Định nghĩa

Không gian tôpô X, được gọi là  T 1 không gian nếu với hai phần tử x y khác ,

nhau, tồn tại một lân cận của x không chứa y

1.6.1.2 Định lý

Không gian tôpô X là T  không gian khi và chỉ khi mỗi tập con gồm một phần tử 1

của X đều là tập đóng

Ví dụ: Không gian tôpô rời rạc là T  không gian 1

1.6.2 T  không gian (không gian Hausdorff) 2

Không gian tôpô X là không gian chính qui nếu mỗi điểm xX , và tập đóng F

không chứa điểm x luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của F sao cho

Giả sử f X: Y là một ánh xạ từ không gian tôpô X, X  vào không gian tôpô

X, Y Khi đó:

 Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm xX nếu với mọi lận cận V của f x thì  

tồn tại lân cận U của x sao cho f U V

 Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm xX 1.7.2 Định lý

Giả sử X, X , Y, Y là hai không gian tôpô và f là ánh xạ từ X vào Y Khi đó

các mệnh đề sau là tương đương:

Cho hai không gian tôpô X Y Ánh xạ , f :X Y được gọi là một phép đồng phôi

nếu f thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:

i f là một song ánh )

ii f liên tục ) iii ) f1 liên tục

Ví dụ: a Ánh xạ đồng nhất từ không gian tôpô X vào chính nó là một phép đồng )phôi

)b Hai không gian rời rạc cùng lực lượng thì đồng phôi với nhau

)c Hai không gian thô cùng lực lượng thì đồng phôi nhau

1.7.3.2 Nhận xét

)

i Phép đồng phôi biến tập mở (tập đóng) trong không gian này thành tập mở

(tập đóng) trong không gian kia và ngược lại Do đó có thể đồng nhất hai không gian đồng phôi với nhau

1.8 Không gian compact 1.8.1 Định nghĩa

Không gian tôpô X được gọi là một không gian compact nếu mỗi phủ mở của X

luôn tồn tại một phủ con hữu hạn

Điều này có nghĩa rằng X là không gian compact nếu với mọi họ tập mở  G i i I





1.8.2 Định nghĩa

Giả sử X là không gian tôpô, A X, A   Khi đó:

 A được gọi là tập compact trong X nếu tôpô cảm sinh trên A bởi tôpô trên X là

không gian compact

 A được gọi là tập compact tương đối nếu A là tập compact

Ví dụ: ) a Tập X tùy ý với tôpô thô là không gian compact

b  với tôpô thông thường là không gian không compact vì họ )   ,  

r

r r



  là một phủ mở của  nhưng không có phủ con hữu hạn nào

1.8.3 Định lý

)

i Mỗi tập con đóng K của không gian compact X đều là tập compact

)

ii Nếu X là không gian Hausdorff và K là tập compact trong X thì K là tập đóng

1.9 Lưới và sự hội tụ theo quan điểm lưới trong không gian tôpô 1.9.1 Định nghĩa

Cho D là một tập khác rỗng và  là một quan hệ trên D Khi đó D  được gọi l,  à một tập định hướng nếu nó đồng thời thỏa mãn:

Với mọi   , , trong D thì

gọi là hội tụ đến x trong X khi và chỉ khi với mọi tập mở G thỏa G  thỏa x  G

thì có một  trong D sao cho x G với mọi  

Khi đó ta nói điểm x là điểm giới hạn của lưới  x   D, ký hiệu lim

Giả sử f là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y , x0X Khi

đó ánh xạ f được gọi là liên tục tại x nếu và chỉ nếu với mỗi lưới 0  x  D

 trong X

hội tụ đến x thì lưới 0 f x   D

 trong Y hội tụ đến f x  0

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

2.1 Định nghĩa không gian vectơ tôpô 2.1.1 Định nghĩa

ChoX là một không gian vectơ trên trườngK (K   hoặc ), là một tôpô trên X Khi đó: cặp ( , )X  được gọi là một không gian vectơ tôpô trên trường K nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

( )i Ánh xạ  :X X X , ( , )x y xy là liên tục

( )ii Ánh xạ  : KX X , ( , ) x  x là liên tục

Khi đó tôpô  được gọi là tôpô tương thích với cấu trúc đại số trên X Nếu như tôpô  hoàn toàn xác định và không sợ nhầm lẫn thì ta viết X thay cho ( , )X 

Nếu K =  (hoặc  ) thì không gian vectơ tôpô X được gọi là không gian vectơ tôpô thực (hoặc phức)

Do không gian vectơ tôpô có bản chất là một không gian tôpô, nên mọi tính chất đúng với không gian tôpô thì đều đúng với không gian vectơ tôpô

Theo quan điểm lân cận thì hai điều kiện trong định nghĩa lần lượt tương đương với các phát biểu sau:

 Với mỗi ( , )x y XX , lấy W là một lân cận tùy ý của x y thì tồn tại UV x,

  sao cho tV  W , t K thỏa  t 

Để thuận lợi cho việc tìm hiểu về không gian vectơ tôpô, ta cần định nghĩa một số phép toán về tập hợp như sau:

Giả sử X là không gian vectơ trên trường K ; , A B là hai tập con tùy ý của X Khi đó

ta định nghĩa:

ABxX x: ab a, A b, B

tAxX x: ta a, A, t K

zA z AxX x: za a, A,  z X

Trường hợp đặc biệt AxX x:  a a, A Lưu ý rằng s t, K, A X thì ta luôn có (st A) sA tA Nhưng chiều ngược lại không phải lúc nào cũng xảy ra Thật vậy: Giả sử X   , ta chọn s  , t 1 A 1,i Suy ra (st A) 2A2, 2i, trong khi đó sA tA 2, 2 ,1i i

 Vì U là một lân cận của 0 nên tồn tại G mở sao cho 0GU, suy ra

a a Ga U , mà do T là phép đồng phôi v a à G mở nên T G a( )aG mở Vậy

nên a U là một lân cận của a

2.1.3 Hệ quả

Cấu trúc tôpô trong không gian vectơ tôpô hoàn toàn xác định nếu ta biết được một cơ

sở lân cận mở  tại 0 0

CHỨNG MINH Như ta biết, nếu V là một lân cận của a thì b a V  là một lân cận của b , a b, X Giả sử  là một cơ sở lân cận địa phương tại a a X Lấy b tùy ý nằm trong X , và

G là một lân cận bất kỳ của b

Khi đó ta có T a b ( )G a b G là một lân cận của a (vì T a b nên biến lân cận thành lân cận)

Khi đó U   thỏa U a a b G , suy ra b a U  G Hơn nữa b a U  là một

lân cận của b Từ đó ta suy ra họ b a U U:  a là một cơ sở lân cận tại b Do

đó họ a U U :  0, với  là một cơ sở lân cận địa phương tại 0 0, là một cơ sở lân

cận địa phương tại vectơ a bất kỳ nằm trong X Nhắc lại một tính chất trong không gian tôpô: Trong không gian tôpô X bất kỳ, nếu

Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K , A X được gọi là tập hấp thụ (hay

tập hút) khi và chỉ khi x X thì luôn   sao cho x  0  A,  

Từ định nghĩa của tập hút A , ta dễ dàng nhận thấy định nghĩa này tương đương với



 CHỨNG MINH )

i Do A hút nên x X,   , sao cho x  0  A,   Khi đó chọn x  ta 0được 0 A hay a A sao cho 0 a mà   nên 0 0 0.1  1 .a a

K là một trường), suy ra 0A )

hay x X,

0

1

n i i

Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K , A X được gọi là tập cân khi và

i Chọn   , suy ra 0 0 0 0.A A )

Do    nên   Khi đó suy ra A0   A, suy ra  A A

2.2.2.3 Định lý

Giả sử X là một không gian vectơ tôpô trên trường K , A X là một tập cân Khi đó

A là tập cân Hơn nữa, nếu 0 int A (hayA là một lân cận của 0) thì int A là tập cân

CHỨNG MINH

 Ta chứng minh A là tập cân

Xét K thỏa 0   , với mỗi 1  thì M là một phép đồng phôi nên

( ) ( )

M  A M  A  1 Mà do A là tập cân nên A   A, 0   , suy ra A1   A (2)

Từ (1) và (2) ta được  A A, 0   Với 1   , do A cân nên 00 A, suy ra

0A Vậy: A   A,  1 Do đó A là tập cân

 Giả sử 0int A , ta chứng minh int A là tập cân

Xét K thỏa 0   Đầu tiên ta chứng minh: int1  Aint( A), 0   1 ( )i CM: int  Aint( A)

Lấy yintA, suy ra  a intA sao cho y a Do aintA nên tồn tại G mở sao cho aG A , suy ra a   G A, mà M ( )G  G nên G  mở Do đó a  là

một điểm trong của A  suy ra  aint( A) hay yint( A) Vậy intAint( A) ( )ii CM: int  Aint( A)

Lấy yint( A), suy ra tồn tại G mở sao cho 1y 1G  1 A A

2.2.3 Tập lồi 2.2.3.1 Định nghĩa

Giả sử X là một không gian vectơ tôpô trên trường K , A X được gọi là tập lồi khi

và chỉ khi  A1A A,    0,1

2.2.3.2 Mệnh đề

    0,1 , .(xA)(1).xAx A(1)AxA (vì A lồi), suy ra

xA là tập lồi

    0,1 , .( AB)(1).(AB) A(1)A B(1)B AB (vì A B lồi), suy ra A, B là tập lồi

Do x y, A nên ta được x V A  và y V A  , suy ra

 *   x0 1y0 x1y U A  ** Vì U là một lân cận tùy ý của

0, nên  x1y U là một lân cận tùy ý của  x1y Từ  ** suy ra

 x 1 y U A  Vậy nên  x1yA,    0,1 , do đó A là tập

lồi

 Chứng minh int A là tập lồi

Lấy x y tùy ý nằm trong , int A Gọi U V lần lượt là lân cận của x và y , U và V ,

cùng nằm trong A Rõ ràng U V luôn tồn tại vì nếu trong trường hợp , ''khó khăn'' thì

ta hoàn toàn có thể chọn U V intA (vì int A là lân cận của mọi điểm nằm trong

nó)

Ta chứng minh x1yintA với mỗi   0,1 Thật vậy:

Vì U V lần lượt là hai lân cận của x và y nên tồn tại hai tập mở , G G sao cho 1, 2

1

xG U , yG2 V Khi đó với  đã được xác định như trên thì  x G1  U

và 1y1G2 1V Lưu ý rằng  G1, 1G2 là hai tập mở, suy ra

1 1 2

   là một tập mở (theo chứng minh ở phần trước )

Theo trên ta có  x1y G11G2  U1V , suy ra

1 

   là một lân cận của z

Mặt khác, với mỗi   0,1 thì  U 1V  A (vì A là một tập lồi) Khi đó ta có

   , suy ra  x1y là một điểm trong của A hay  x1yintA

với mỗi   0,1 Do đó int A là một tập lồi

2.2.3.4 Mệnh đề

Giả sử X là một không gian vectơ, A X Khi đó nếu A lồi thì ( st A) sA tA , với mọi s t, dương

CHỨNG MINH Lấy xst A suy ra tồn tại aA sao cho xs t a  sa ta sA tA , do đó

xsA tA , suy ra (st A) sA tA Ngược lại, lấy xsA tA , suy ra tồn tại a a1, 2A sao cho x sa1ta2,

khi đó vì A là lồi nên 1 2 1 2  

Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K Vectơ xX được gọi là tổ hợp lồi

của các vectơ x iX i, 1 m nếu tồn tại  i  sao cho 0

1

1

n i i

m 2: mệnh đề hiển nhiên đúng vì A là tập lồi

Giả sử mệnh đề đúng với mk k,  Ta chứng minh đúng với 2 mk 1

2.2.3.7 Định nghĩa

Giả sử X là một không gian vectơ, A X Bao lồi của tập A là giao của tất cả các

tập lồi trong X chứa A Ký hiệu: coA

Từ định nghĩa và tính chất của tập lồi ta dễ có được các nhận xét sau:

)i coA là tập lồi bé nhất chứa A

Mặt khác, tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi, chứa A , do đó chứa coA

Vậy ta có điều phải chứng minh

  Giả sử A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A , khi đó theo định lý 2.3.3.8 suy ra coA AcoA A, suy ra A lồi

2.2.4 Tập tuyệt đối lồi 2.2.4.1 Định nghĩa

Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K , tập con A của X được gọi là tuyệt đối lồi khi và chỉ khi A   A A với mọi  , K thỏa     1

i Ta có A   A A với mọi  , K thỏa    1 Khi đó chọn   suy 0

ra 0 0 0.A0.A A )

ii Trường hợp 1:  0Khi đó  A 0 , theo nhận xét trên thì 0A, vậy nên 0.0   K , suy ra

iii

  Giả sử A là tập tuyệt đối lồi, suy ra  A A A với mọi  , K thỏa

1

   

 Ta chọn ,  sao cho ,  thỏa 0   , thì A1   A A suy ra A là tập lồi

 Ta chọn  , suy ra 0  A0A A hay  A A, với mọi  thỏa   0  hay 11

  , suy ra A là tập cân

  Giả sử A là tập lồi và cân Ta chứng minh A là tập tuyệt đối lồi Thật vậy:

Lấy ,x y tùy ý thuộc A ;   tùy ý thuộc K thỏa ,     1  *

Trường hợp 1:  0Khi đó từ  * ta có   , suy ra 1  x y0x y yA ( vì A là tập lồi ) suy

ra A là tuyệt đối lồi

Trường hợp 2: 0 (CM tương tự trường hợp 1)

 , suy ra   sao cho x  0  A Với 

được xác định như trên thì với mọi  thuộc K thỏa  2 thì  A2A A

(theo tính chất được chứng minh bên trên), suy ra x A Vậy ta có: với mỗi xX , tồn tại '2 sao cho 0  ' thì x A, suy ra A là một tập hút

2.2.4.4 Hệ quả

Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K , tập con A của X là tuyệt đối lồi

Khi đó A là tập hút khi và chỉ khi

Với mỗi   thuộc K , luôn tồn tại 0 n   sao cho 0* n, mà A là tuyệt đối lồi

nên A  nA (theo tính chất đã được chứng minh bên trên), suy ra

Giả sử X là một không gian vectơ tôpô trên trường K , A X được gọi là tập bị chặn

khi và chỉ khi với mỗi lân cận U của 0, tồn tại   sao cho A0  U, với mọi   K

 Do U là một lân cận của 0 nên  V V0 sao cho V V U Mặt khác do A và B

là những tập bị chặn nên 1  sao cho A0  V,  1 và 2  sao cho 0

A V ,  2

i Mỗi tập con hữu hạn của không gian vectơ X là một tập bị chặn Thật vậy: Giả sử

A X và A hữu hạn, suy ra Ax x1, 2, ,x n0, hay  

0

1

n i i



 Do đó A là bị chặn

)

ii Tập nhận được bằng cách tịnh tiến một tập bị chặn là một tập bị chặn Thật vậy: từ

tính chất trên chọn A z ta có điều phải chứng minh

)

iii Từ tính chất trên dễ dàng chứng minh (bằng quy nạp) được rằng hợp hữu hạn và

tổng hữu hạn của các tập bị chặn là bị chặn

2.3.1.3 Định lý

Giả sử X là một không gian vectơ tôpô trên trường K , dãy (x n n)nằm trong X là

một dãy hội tụ Khi đó dãy (x n n)là bị chặn

CHỨNG MINH

Do dãy (x n n)  hội tụ nên z X sao cho x n  Với mỗi n   đặt z y n x n , suy z

ra y  n 0

Lấy U là một lân cận bất kỳ của 0 Khi đó tồn tại lân cận cân V của 0 thỏa V U Do

V  V ,   Mặt khác do 1 y  nên N n 0    sao cho y nV , n  N Do đó

n

y V  V  U,   , n1  N (*)

Đặt Ay y1, 2, ,y N, By n:nN Khi đó do A là tập hữu hạn nên A bị chặn,

suy ra tồn tại   sao cho A0  U,   Ta hoàn toàn có thể chọn  sao cho 1

  sao cho A U,    ( vì nếu 1   thì quan hệ A1  U vẫn đúng với 1

2.3.1.4 Định lý

Giả sử X là một không gian vectơ tôpô, tập A X là bị chặn khi và chỉ khi với mỗi

lân cận V của 0, tồn tại   sao cho A0  V

CHỨNG MINH

  Hiển nhiên đúng theo tính chất của tập bị chặn

  Giả sử V là một lân cận tùy ý của 0, khi đó V chứa một lân cận U của 0, theo

giả thuyết tồn tại   sao cho A0  U Khi đó với mọi K thỏa   thì

  thì  AU Do dãy   n n *

 là hội tụ về 0, nên suy ra n0  sao cho

0

n n

  thì  n , suy ra  n AU  n n0, suy ra  n x nU  n n0 Từ đây

kết hợp với giả thiết U được lấy bất kỳ ta được  n x n n 0

Giả sử X, là một không gian vectơ tôpô, A là một tập con của X Khi đó A được 

gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu với mọi lân cận V của 0 thì tồn tại tập hữu hạn

B X sao cho AV B

Từ định nghĩa ta nhận thấy với mọi aA, tồn tại b aB sao cho ab aV Tập hữu hạn B thỏa điều kiện trên được gọi là một V  lưới hữu hạn của A Lưu ý rằng tập hữu hạn B có thể chọn bao hàm trong A

Thật vậy: Lấy V là một lân cận tùy ý của 0, khi đó tồn tại lân cận U của 0 sao cho

U U V Mặt khác do A là hoàn toàn bị chặn nên tồn tại U  lưới hữu hạn B sao '

i Giả sử A là compact khi đó tồn tại lân cân mở V của 0 và a a1, 2, ,a nA sao cho

 

1

n i i



 hữu hạn, suy ra A là hoàn toàn bị chặn

)

ii Gọi U là một lân cận cân tùy ý của 0, suy ra tồn tại V cân sao cho V V U Do

A là hoàn toàn bị chặn nên tồn tại F hữu hạn sao cho AF V Vì F bị chặn nên

tồn tại n 1 sao cho F nV Từ đó suy ra:

AnV V nV nV n V V  AnU , theo định lý 2.3.4.1 ta suy ra A là bị

chặn

2.4 Cơ sở lân cận 2.4.1 Định lý

Giả sử X là một không gian vectơ tôpô, U là một lân cận tùy ý của 0 Khi đó  V V0thỏa V V U Hơn nữa, V có thể được chọn sao cho đối xứng (tức là V   ) V

CHỨNG MINH

Do X là một không gian vectơ tôpô nên ánh xạ  : X X  X, ( , )x y   là liên x y

tục Chọn ( , )x y (0, 0), do  liên tục tại (0,0) nên với U là một lân cận tùy ý của

00 suy ra 0 V V1, 2V0 sao cho V1V2 U Khi đó ta đặt V V1V2 ( V)1 ( V2) thì rõ ràng V là một lân cận của 0 thỏa

V  V Hơn nữa do V V V1, V2 nên V V V1V2 U , do đó V V U

ii Giả sử X là một không gian vectơ tôpô, U là một lân cận tùy ý của 0, n là số

nguyên dương thỏa n 2 Khi đó tồn tại n lận cận mở, đối xứng V của 0 sao cho

n

VV  V U

CHỨNG MINH

i Theo trên tồn tại lân cận đối xứng V của 0 sao cho V V U , do V là một lân cận

của 0 nên tồn tại G mở sao cho ' 0G'V (lưu ý rằng G' cũng là một tập mở) Đặt

G  G V (vì GV suy ra G'  V V , do đó có được điều cần tìm)

Vậy nên G là lân cận mở, đối xứng cần tìm

)

ii Ta chứng minh bằng quy nạp:

n  : hoàn toàn đúng theo định lý 2 Giả sử khẳng định đúng với n , k k  Tức là tồn tại lân cận V mở, đối xứng sao 2cho

k

VV  V U

Ta cần chứng minh khẳng định đúng với trường hợp nk , tức là tồn tại lân cận 1

mở, đối xứng Wcủa 0 sao cho

VV  V U , với V là lân cận mở, đối xứng của 0

Do V là một lận cận của 0 lân cận mở, đối xứng V1 của 0 thỏa V1V1V , suy ra:

1 1

1

k k

là một lân cận của 0 (do U là một lân

cận của 0) nên G mở sao cho 0

2

G  U

  , suy ra 0GW , do đó W là một lân cận của 0 Hơn nữa thì rõ ràng 0 W V  1

Lấy   K thỏa   Lấy x W1  , suy ra tồn tại 0 0  sao cho x0U, suy

ra  x0U Mà 0  0  suy ra x   W,   K thỏa   1Vậy nên Wlà cân  2

Từ  1 , 2 ta suy ra điều phải chứng minh

iv Mỗi lân cận của 0 luôn chứa một lân cận đóng, cân của 0

CHỨNG MINH

i Do U là một lân cận của 0 nên nên tồn tại lân cân đối xứng W sao cho

W W U Tiếp tục, vì W là một lân cận của 0 nên theo trên tồn tại lân cận cân của

V sao cho V W Vậy nên VV W W U , suy ra VV U , với V cân.

)

ii Thật vậy ở chứng minh ) ii trong tính chất 2.4.1 ta hoàn toàn có thể chọn lân cận

U của 0 sao cho W U là mở và cân

Do U là một lân cận của 0 nên tồn tại G mở sao cho 0GU, suy ra  G U

với mọi   Khi đó ta hoàn toàn có thể chọn U G , suy ra U   G , suy ra U 

là mở, suy ra W U

  



 là mở (vì W là hợp của một họ các tập mở) Còn việc chứng minh W cân thì hoàn toàn tương tự

)

iii Từ hệ quả ) ii kết hợp với định lý mở rộng bên trên ta có được điều phải chứng

minh

)

iv Giả sử U là một lân cận của 0, khi đó tồn tại lân cận V của 0 sao cho V V U

Do V là một lân cận của 0 nên tồn tại lân cận cân W của 0 sao cho W V Mặt khác

W V W , suy ra W V V , suy ra W U  1

Do W là lân cận của 0 nên dễ dàng ta có W cũng là một lân cận đóng của 0  2

Do W là một tập cân nên W cũng là một lân cận cân của 0  3

Từ      1 , 2 , 3 suy ra U chứa một lân cận đóng, cân W của 0

CHỨNG MINH

 i Lấy x tùy ý nằm trong X , do V là một lân cận của 0 nên V là một tập hút, suy ra

0



  sao cho x V,   Hơn nữa do dãy  r n n *

 là không bị chặn trên nên với  đã cho bên trên, luôn tồn tại n đủ lớn sao cho 0



 Khi đó ta đặt n  max0 n i i: 1, 2, ,k thì K n U0 Do đó K là tập bị chặn

 iii Do V là một lân cận của 0 nên với mỗi n  * thì  n V cũng là một lân cận của 0 Suy ra hệ  *

:

n V n

   là hệ bao gồm các lân cận của 0  1

Lấy U là một lân cận tùy ý của 0, do V là một tập bị chặn nên   sao cho  0

V  U,   Mặt khác từ giả thuyết về dãy   n n *

Giả sử X là một không gian vectơ tôpô, A B,  X Khi đó:

i  Lấy xA , gọi V là một lân cận của 0 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả

sử V là đối xứng Ta có x V là một lân cận của x , do xA nên x V A  ,

suy ra tồn tại v V sao cho x v A x A v A V , kết hợp với giả thiết V đối xứng ta được xA V , suy ra x A V V : V0

 Lấy x A V V : V0, giả sử xA , suy ra tồn tại lân cận V của 0 sao cho

Giả sử X là một không gian vectơ tôpô trên trường K , A và B là hai tập con rời

nhau của X thỏa A là một tập compact, B là một tập đóng Khi đó tồn tại lân cận V

mở của 0 sao cho A V   B V  

CHỨNG MINH

 Trường hợp 1: A   Khi đó chọn V là một lân cận mở bất kỳ của 0 thì ta luôn có A V   , suy ra

A V   B V   Khi đó ta có được điều phải chứng minh

 Trường hợp 2: A   Lấy xA suy ra xB ( vì AB  ), suy ra xX B\ Vì B là tập đóng nên

ta kí hiệu lân cận tương ứng của 0 là V để dễ cho việc sử dụng về sau x

Từ trên ta có x V xV xV x  X B\ , suy ra x V xV xV xB  , suy ra

Nhận xét

Vì V được chọn là mở nên ta cũng có A V và B V cũng là các tập mở (theo chứng

minh ở phần trước) Dễ dàng nhận thấy vì V là một lân cận của 0 nên A V và B V

là hai tập lần lượt chứa A và B Vậy nên định lý trên đã chỉ ra hai tập mở rời nhau lần lượt chứa A và B

2.5 Không gian vectơ tôpô Hausdorff

Trong phần này ta sẽ tìm hiểu điều kiện nào để một không gian vectơ tôpô đã cho trở thành một không gian vectơ tôpô Hausdorff

2.5.1 Định nghĩa

Không gian vectơ tôpô X, trên trường K được gọi là không gian vectơ tôpô 

Hausdorff nếu không gian tôpô  trên X là một không gian Hausdorff

2.5.2 Định lý

Giả sử X là một không gian vectơ tôpô Khi đó X là không gian vectơ tôpô Hausdorff

khi và chỉ khi mỗi tập một điểm là một tập đóng

CHỨNG MINH ( )

Giả sử X là một không gian vectơ tôpô Haussdorff, lấy xX Ta chứng minh  x là

tập đóng Lấy một phần tử tùy ý yX \ x , suy ra x y, theo giả thiết

,

    sao cho V U   hay x V Suy ra: yV  X \ x Hơn nữa

do VV y nên tồn tại G mở sao cho yGV Suy ra yG X \ x hay X \ x là