Dự kiến kết quả nghiên cứu Hệ thống lại một số kết quả đã biết về tính hyperbolic, nhúng hyperbolic của một không gian con phức trong một không gian ban đầu.. Mục đích nghiên cứu Nghiên
Trang 2Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐAI HÓC Sư PHAM HÀ NÔI 2 • _2 • •
NGUYỄN THỊ THÙY DUNG
NHÚNG HYPERBOLIC CỦA KHÔNG GIAN PHỨC
LUẬN VÃN THẠC SĨ TOÁN HỌC ■ ■ •
HÀ NỘI, 2015
Trang 3i.-ZỵZ
1 - Z1- Z2
\-Zi_
P D { Z I , Z 2 ) = In
7
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này giới thiệu một số định nghĩa, khái niệm và các kết quả
đã biết Cụ thể, chúng ta tìm hiểu về những vấn đề sau:
• Không gian hyperbolic, hyperbolic đầy.
• Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi.
• Một số tiêu chuẩn nhận biết không gian phức là hyperbolic, hyperbolic đầy.
1.1. Không gian hyperbolic, hyperbolic đầy
1.1.1 Giả khoảng cách Kobayashi
Giả sử D là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức
D = { z € c : \ z \ < 1}
Trên D ta xét metric Bergman - Poincaré PD cho bởi:
p D {0, a) = In + | j , Va € D 1 — |a|
6
4. Đối tượng và phạm vi nghiền cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nhúng hyperbolic của không gian phức.
Phạm vi nghiên cứu: Các không gian phức được trang bị tô pô compact mở.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kiến thức và phương pháp nghiên cứu của giải tích Thu thập, tổng hợp các bài báo, công trình nghiên cứu trong và ngoài nước
6. Dự kiến kết quả nghiên cứu
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về tính hyperbolic, nhúng hyperbolic của một không gian con phức trong một không gian ban đầu Nghiên cứu bài toán thác triển liên tục của ánh xạ chỉnh hình.
5
xét tính hyperbolic đó nó còn giữ được hay không khi ta tiến tới biên của không gian Nói cách khác, ta phải nghiên cứu tính nhúng hyperbolic của một không gian.
Khái niệm nhúng hyperbolic được Kobayashi đưa ra từ đầu những năm
70 của thế kỷ hai mươi để mở rộng định lý Picard lớn sang trường hợp nhiều chiều Sau đó nhiều nhà toán học đã đưa ra những đặc trưng để nhận biết tính nhúng hyperbolic của một không gian con phức trong một không gian ban đầu.
Vì những lý do trên, đồng thời được sự hướng dẫn của thầy Lê Tài Thu tôi
đã chọn đề tài “Nhúng hyperbolic của không gian phức”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nhúng hyperbolic, những đặc trưng để nhận biết tính nhúng hyperbolic của một không gian con phức trong một không gian ban đầu và ứng dụng của nó trong việc thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về tính hyperbolic Nghiên cứu nhúng hyperbolic, một số dấu hiệu để nhận biết tính nhúng hyperbolic của một không gian con phức trong một không gian ban đầu và ứng dụng của nó trong việc thác triển liên tục ánh xạ chỉnh hình.
4
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được Kobayashi xây dựng lần đầu tiên vào những năm 70 của thế kỷ hai mươi, là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức Trong những năm gần đây lý thuyết này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà Toán học trên thế giới Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng minh bởi: Kobayashi, Kwack, Noguchi Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ và đã hình thành nên một chuyên ngành mới của giải tích Toán học, đó là giải tích phức hyperbolic Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã tìm thấy những mối liên hệ bất ngờ và sâu sắc với những lĩnh vực khác của Toán học, đặc biệt là không gian thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức.
Như chúng ta đã biết, giả thuyết của s Lang nói rằng một đa tạp đại số xạ ảnh trên trường số K (là mở rộng hữu hạn của trường hữu tỉ Q) có hữu hạn điểm hữu tỉ khi và chỉ khi đa tạp phức tương ứng là hyperbolic Hơn nữa, trong nhiều tình huống của giải tích phức hypebolic, điều quan trọng không chỉ là tính hyperbolic của một không gian mà là việc xem
3
3 9 3 9 4 3 4 Tài liệu tham khảo
Kết luận
Thác triển liên tục của ánh xạ chỉnh hình qua divisor
Thác triển liên tục của ánh xạ chỉnh hình qua đĩa thủng
2.2.
1.
2.2.
Thác triển liên tục của ánh xạ chỉnh hình 2.2.
iv Mục lục
Nguyễn Thị Thùy Dung
Hà Nội, tháng 8, năm 2015 Tác giả
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS.Lê Tài Thu.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Lời cam đoan
Nguyễn Thị Thùy Dung
Để hoàn thiện luận văn này, tôi đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đoàn thể và cá nhân Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn và kính trọng tới tất cả các tập thể và cá nhân đã tạo điều kiện giúp tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Tài Thu người đã hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn tới toàn bộ các thầy cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học, Thư viện, tập thể K17 Toán Giải Tích đợt 2 đã giúp tôi hoàn thiện luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã động viên, chia sẻ, giúp đỡ nhiệt tình và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để tôi hoàn thiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 8 năm 2015 Tác giả
Lời cám ơn
HÀ NỘI, 2015
LUẬN VÃN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng
dẫn khoa học: TS LÊ TÀI THU
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
NHÚNG HYPERBOLIC CỦA KHÔNG GIAN
PHỨC NGUYỄN THỊ THÙY DUNG
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 2 • 2 •
, Vzi,z2 € D
ii) Giả sử X là không gian phức, p và ợ là hai điểmtùy ý của X.Xét
dãy điểm p ữ — p, Pi, Pk = q của X, dãy điểm ữi,a2, ữfc e D
và dãy ánh xạ chỉnh hình /i, /2, fk € Hol (D,x} sao cho:
fi (0) = Pi_ị
f i { a i ) = P i , Vi = 1, 2, k
Ta gọi tập hợp {p 0 ,p 1: Pk, a u a 2 ,Ofc, /1, /2, là một dây
chuyền chỉnh hình nối p và ợ trong X.
k Với mỗi dây chuyền chỉnh hình như trên, ta lập tổng Ỵ2 P£>(05fli) •
2=1
Đặt dx(p, q) = inf ữi)^ theo tất cả các dây chuyền chỉnh
hình nối p vầ q có thể có.
Dễ thấy hàm dx '■ X X X —> R là một giả khoảng cáchvà gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.
iii) Giả khoảng cách Kobayashi có các tính chất sau:
+ dx là hàm liên tục và xác định tô pô của X
+ Nếu / : X —> Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì / giảm khoảng cách, nghĩa là:
d x { p , q ) >
+ d ỵ ) = P D
8
1.1.2 Không gian hyperbolic
Các định nghĩa sau (xem Kobayashi [12] )
Định nghĩa 1.1 Không gian phức X được gọi hyperbolic nếu giả
khoảng cách Kabayashi dx là khoảng cách trên X, tức là:
d x { p , q ) = 0 <=> p = q , Vp, ợ e X
Barth [2] đã chứng minh, nếu dim X < oo và dx là khoảngcách trên
X thì dỵ xác định tô pô của X.
Như vậy không gian phức (hữu hạn chiều) X là hyperbolic khi và chỉ khi giả khoảng cách Kobayashi dx là khoảng cách trên X.
1.1.3 Không gian hyperbolic đầy
Định nghĩa 1.2 Không gian hyperbolic X được gọi hyperbolic đầy nếu mọi
dãy Cauchy đối với dỵ đều hội tụ trong X.
Kobayashi [12] đã chứng minh rằng, nếu X là không gian phức hữu hạn chiều thì X là hyperbolic đầy khi và chỉ khi mọi tập con đóng bị chặn trong X
đều là compact.
1.2. Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi
1.2.1 Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp
Royden [17] đã xây dựng trên mỗi đa tạp phức X giả metric vi phân Royden - Kobayashi Fx trên không gian tiếp xúc TX như sau:
F x ( x , V ) = inf I —, 3/ G H o l ( D r, M ) s a o c h o /(0) = X , f ' ( e o) = V Ị
9
Royden đã đưa ra công thức biểu diễn giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp
trong đó íìp q là tập hợp tất cả các đường cong liên tục từng khúc nối p với q, tham số hóa bởi t € [0,1].
Ngoài ra, Royden đã chứng minh rằng:
F x là hàm nửa liên tục trên trên TM
ii) X là hyperbolic khi và chỉ khi với mỗi p ẽ X, tồn tại lân cận mở u của p
trong X và hằng số c > 0 sao cho F x (X, v) ^ C H (X, v ) với mọi V G
T x X và với mọi X E u, trong đó H là metric Hecmit trên TX.
Mở rộng kết quả của Royden sang không gian phức ta có:
Định nghĩa 1.3 Giả sử X là không gian phức, TX là không gian tiếp xúc Zariski của X, e ữ = g-\z=o £ T ữ D r sao cho If' (u) = V Nón Royden - Kobayashi
Fx được xác định:
ConX = {v G TX; £ Hol (Dr,x), 3u G TữDr sao cho ip' (u) = V}
Giả metric vi phân Royden - Kobayashi F x là hàm trên TX được xác định
như sau:
Định lý 1.1 Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi với mỗi p E
X, tồn tại lân cận mở u của p trong X và hằng số c > 0 sao cho
Fx{z,v) =
z , ự ( e o) = V > ,
+oo, V ị ConX
10
F x (X , v ) ^ C H ( x , V ) wdi raọi V € wồ wớỉ raọi X £ u , t r o n g đ ó H
là metric Finsler trên TX.
1.2.2 Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên không gian
phức
Venturini [20] cũng đã đưa ra một công thức biểu diễn giả khoảng cách
Kobayashi trên không gian phức.
Giả sử X là không gian phức, X G X và £ € Jk{X) x giả metric Venturini
được định nghĩa như sau:
F k x ( x , í ) = inf Ịỉ;3/ e H o l ( D , X ) , m = X , ị k ự ) x = rf|
Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X được biểu
diễn dưới dạng:
d x ( p , q ) = inf |sup/Fj( 7(i), j k l { t ) ) d t : 7 G l 1 0
ở đó Qp g là tập hợp tất cả các đường cong giải tích thực liên tục từng khúc nối p với q.
1.3. Tiêu chuẩn hyperbolic, hyperbolic đầy trong không gian phức
1.3.1 Một số tiêu chuẩn hyperbolic, hyerbolic đầy trong không gian phức
Trong phần này, chúng ta giới thiệu một số tiêu chuẩn để nhận biết tính
hyperbolic và hyperbolic đầy trong không gian phức.
11
Kobayashi [12] đã đưa ra một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic và hyperbolic đầy:
Định lý 1.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y (1) Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic;
(2) Nếu Y là hyperbolic đầy và X là đóng thì X là hyperbolic đầy
Định lý 1.3 Giả X, Y là các không gian phức và f : X —>■ Y là ánh xạ chình hình Giả sử Y' là không gian con của Y và X' = /-1 (1^) Nếu X
và Y' là hyperbolic đầy thì X' cũng là hyperbolic đầy.
Định lý 1.4 Giả sử X là không gian phức Nếu tồn tại họ các điểm Pa €
X và các số dương ổ a sao cho, với mỗi a, ỗ a - lân cận
u a = {ợ e X : d x (P a , q ) < ồ a }
là hyperbolic và {Ua} là phủ mở của X thì X là hyperbolic.
Đặc biệt, nếu mỗi p € X, tồn tại số dương ỏ sao cho ỏ - lân cận
u {p,ổ) = {q e X : dx {p, q) < ổ}
là hyperbolic thì X là hyperbolic.
Định lý 1.5 Giả sử X là không gian phức Nếu tồn tại số dương ổ sao cho với mỗi p € X, ổ - lăn cận u (p,ỏ) là hyperbolic đầy thì X là hyperbolic đầy.
Định lý 1.6 Giả sử X là không gian phức và lĩ : X —> X là ánh xạ phủ chỉnh hình giữa các không gian phức Thế thì
12
(1) Nếu p,q £ X và p,q G X với ĩĩ(p) = p và 7ĩ(q) = q thì
dx (p,q) = inf d~
ở đó infimun được lấy với mọi q G X sao cho 7Ĩ(q) = q;
(2) X là hyperbolic (hyperbolic đầy) nếu và chỉ nếu X là
hyperbolic (hyperbolic đầy);
(3) Nếu X là hyperbolic thÌTĩ : ( X , d ỵ ) —► (X, d x ) là đẳng cự địa phương và dỵ = 7Ĩ * dỵ
Định lý 1.7 Giả sử lĩ : X —¥ Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian p h ứ c V ớ i m ỗ i y e Y v à ỗ > 0, t ậ p u ( y , ô ) = { u e Y : d y { y , u
< ố)} Nếu với mỗi y G Y tồn tại số ô > 0 sao cho 7T -1 (U (y, ổ)) là hyperbolic thì X là hyperbolic.
Eastwood [5] đã chứng minh được định lý sau:
Định lý 1.8 Giả sử lĩ : X —► Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) và Y có phủ mở { U i } sao cho với mỗi 7T_1 ( U i ) là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì X là hyperbolic (hyperbolic đầy).
Định lý 1.9 Giả sử X là không gian hyperbolic đầy và f là hàm chỉnh hình bị chặn ở trên X Thế thì không gian con mở
X'={p€X:f(p)ji 0} = X - Zerv(f)
là hyperbolic đầy.
Định nghĩa 1.4.
13
i) Cho Y là không gian phức Không gian con X c Y được gọi là
hyperbolic đầy địa phương ở trong Y nếu mỗi điểm p G X có lân cận Vp ở trong Y sao cho Vp n X là hyperbolic đầy.
ii) A được gọi là Cartier divisor ở trong không gian phức Y nếu với mỗi điểm
X e A có lân cận V ở trong Y sao cho A n V được xác định bởi / = 0, ở đó /
là hàm chỉnh hình ở trên V.
Định lý 1.10 Giả sử Y là không gian phức và Ả là Cartier divisor của
Y Thế thì
(1) Y — A là hyperboỉic đầy địa phương ở trong Y;
(2) Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) thìY — A là hyperboỉic
(hyperbolic đầy).
Wu [21] đưa ra định nghĩa:
Định nghĩa 1.5.
i) Không gian phức X với hàm khoảng cách (5 xác định tô pô của X được gọi là (5 - tight nếu Hol (D,x) là đồng liên tục với (5.
ii) Không gian phức X được gọi là tight nếu nó là ô - tight với một ổ.
Chú ý 1.1 Nếu X là hyperbolic thì nó là dx - tight.
Kiernan [13] đã chứng minh được:
Định lý 1.11 Không gian phức X là hyperbolic nếu và chỉ nếu nó là tight.
Urata [19] sử dụng bổ đề Brody để chứng minh được định lý sau:
14
Định lý 1.12 Giả sử X là không gian phức với hàm độ dài E và G = Aut (X, E) là nhóm tự đẳng cấu chỉnh hình Giả sửx/G là compact Khi đó
X là hyperbolic đầy nếu nó không chứa đường thẳng phức h : c —»• X Định nghĩa 1.6 Không gian phân thớ (X,7Ĩ,R) gồm các không gian phức X, R
và toàn ánh chỉnh hình 7T : X —> R.
Ký hiệu: X r = 7T-1 (r), X Ư = 7T_1 (u ) , với r e R , u c R .
Định lý 1.13 Giả sử ( X, 7r, R) là không gian phãn thớ với thớ hyperbolic compact Nếu R là hyperbolic (hyperbolic đầy) và mỗi thành phần ỉiên thông của Xr là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì X là hyperbolic (hyperbolic đầy).
Zaidenberg [22] đã tổng quát hóa định lý Eastwood [5] như sau:
Định lý 1.14 Giả sử f : X —»■ Y ỉà ánh xạ chuẩn tắc giữa các không gian phức Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) và Y có phủ mở { 14}
của Y sao chof-1 (V^) hoặc là rỗng hoặc là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì X là hyperbolic (hyperbolic đầy).
1.3.2 Giả metric Sibony trên không gian tiếp xúc
Giả sử u là hàm số lớp c 2 trên tập mở của c n và w = (Wi,W n ) €
c n Ta ký hiệu (Lu (p) w,w)= Y! d g U [r w i' ì ^j là dạng Levi của u tại p ở
i,j=1 4 j
đó u là hàm số trong lân cận u của điểm p và £ G TpM, ở đó TpM là không gian tiếp xúc của M tại p.
Định nghĩa 1.7 Giả sử $ là biểu đồ từ lân cận của p vào lân cận của điểm gốc
0 E C n sao cho $ (p) = 0 Khi đó:
(íu (p) í, í) = (L (u o ( 0) $' 0) í, $' (p) í)
15
Định nghĩa trên không phụ thuộc vào cách chọn Ta ký hiệu:
Sp = {U xác định trên M : 0 ^ u ^ 1, u (p) = 0, u € c2 trong lân cận p và logM
€E PSH (M)}.
1.3.2.1. Giả metric Sibony trên không gian tiếp xúc
Ánh xạ P M : TM —> R + được xác định bởi:
PM (p,0 = sup ((£u(p)£,£)1/2,ở đó (p,ệ) e T P M Mệnh đề 1.1 Giả metric PM bị chặn địa phương ở trên không gian tiếp xúc TM Ngoài ra chúng ta có:
i) PM (P, ao = IA| PM (P, 0 e TM, Vp e c, (p, 0 e TM
a) P.M (p 5 £1 + £2) ^ PM ÌPI £1) + PM ÌPI £2)
nếu f là ánh xạ chỉnh hình từ Mi vào M2 thì
PM 2 Ư (P) , f (p) 0 ^ PM, {P, 0
Chú ý 1 2 Các metric vi phân Caratheodory E và metric vi phân
Kobayashi F đã được nghiên cứu ở [14], [15], [17] như sau:
Giả sử M, N ỉà hai đa tạp phức.
EM (V, í) = sup {If (p) f I : / e Hol (M, D) ,i e T„M} F M (p,{) = inf
ịa : a > 0,/ 6 Hol (M,D),f(0) = p,/' (0) = £/a}
Trên đĩa đơn vị D chúng ta có:
PD ( V, í) = EB (p, 0 = Fo (P, í)
16
Kobayashi [11] đã chứng minh với mọi đa tạp phức M chúng ta luôn có:
EM (p, 0 ^ PM (p, 0 ^ F M {p, 0
Bây giờ, chúng ta mở rộng giả metric Sibony trên sang không gian phức.
1.3.2.2. Giả metric Sibony trên nón tiếp xúc
Định nghĩa 1.8 Giả sử X là không gian phức Gọi Sp là tập hợp tất cả các hàm u xác định trên X thỏa mãn 0 ^ u ^ 1, u (p) = 0, u thuộc lớp c2 trong lân
cận của p là logu là hàm đa điều hòa dưới trên X Giả sử metric vi phân Sibony Px trên nón Royden - Kobayashi của X được xác định như sau:
/ d2u°ơ(0)\1^2 PxipA) = SU P{( QXQX ) U^SP’Ơ^ ỉỉol(D,X),
<j(0) = p,ơ'(e0 ) = £}
với (p,£) G ConX.
Rõ ràng p x là metric Finsler ở trên ConX và Px {p, 0 ^ F x (p,0 với mọi (p, £)
G ConX
Định lý 1.15 Giả sứ X là không gian phức Giả sử có hàm đa điều hòa dưới bị chặn u trên X sao cho u là đa điều hòa dưới chặn trong một lân cận của p e X thì X là hyperbolic tại p.
Chứng minh.
Với mọi p e X, ta cần chỉ ra tồn tại lân cận V của p sao cho F x ( ĩ ,
í ) > c l l ỉ I I , V p e v, í 6 C o n V n T p v
17
Cho $ là bản đồ từ lân cận u của p vào hình cầu B(0,2r) ở trong c n sao cho
$ (p) = 0 Chọn lân cận compact tương đối V của p ở trong X sao cho V CƯ và
$ (z) - ệ (p) c B (0, r) với z £ V.
Với mỗi q e V, đặt
Rõ ràng (q) = 0 Chúng ta giả sử rằng hàm u < 0 và u o <É>-1 có hàm mở
rộng đa điều hòa dưới chặn u o lớp c2 trên -0(0, 2r) sao cho (^(Luo^“1)
(z)w,w) ^ c\\w\\ 2 với w € C n , c > 0 độc lập với
q e v
Giả sử 9 là hàm trơn không tăng xác định trên R + sao cho
Rõ ràng trong lân cận của x \ u và ở trong 1 [B (o, 0) hàm log Ipị đa điều hòa dưới trên X Xác định trên 5(0, 2r) hàm
( Z ) = $ ( z ) - $ ( g ) , V í ẽ Vr
(1.1)
Với q e V và À > 0 chúng ta xác định
(1.2)
$(z) = ự>Jo •$-'(*) = 9
Lấy h = logớ Chọn A > 0 sao cho (lM|2) w,w^ ^ — ẢIIwII2với mọi z € B (0,1) và w e C n
Nó kéo theo
18
(^£> ỉogĩpị (z) w, w^ ^ (—4 + CA) ỊỊiưỊỊ2 với mọi w e cn.
Nếu chúng ta chọn A = ^2 chúng ta thấy rằng Ipị & Sq.
Giả sử cr e Hol(D,X) sao cho cr(o) = g, (/(eo) = £ chúng ta có:
9«í) ° ơ(t)a< = í>' ( |ĩ$( ^ ))|2 ) ì Ê e><"'
\ r 2 J d t
ỡ2«(i) ° <r(i)ỡíỡí = 9" ^Ê8$j(gW) a,$ Ì- (t))
x ^ v eA“(<7(í))
ưĩ
v ỵ j=i
+ » ^ r2 J^L, *iW‘)) af A 5Ĩ
+ Q ị \ q ® ( < r ( t ) ) \ \ t f d u j t r j t ) ) d u { ơ ( t ) ) c X u ( ơ ( t ) )
eXu(ơ(t))
eXu(ơ(t))
Do đó 9 ^ g(0) ^ \e {Xu( ^ d2u ^ )] ^ ƠÀe(Aíl^||£||2 Vì vậy Px(q, 0 ^ “~exp
i^ậcu{q)) ||£||, V£ e ConX n T q V.
Từ p x (q, 0 ^ ^exp (^w(ợ)) Ị|£ỊỊ và q là tùy ý, suy ra X là hyperbolic tại p m
19
Chương 2 Nhúng hyperbolic của không gian phức
Trong chương này, giả sử X là không gian con phức của không gian phức
Y Chúng ta xem xét nhúng hyperbolic của X trong Y được đặc trưng bởi tính
compact tương đối trong tô pô compact mở trong không gian thác triển liên
tục của ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng D* tới X và từ M — A tới X, ở đó M là
đa tạp phức và A là divisor trên M với giao chuẩn tắc.
Sau đó chúng ta ứng dụng các tính chất đặc trưng của nhúng hyperbolic
để tổng quát và mở rộng các định lý của Kobayashi, Kiernam, Kwack,
Noguchi và Vitali trong đĩa D và trong trường hợp nhiều chiều.
Tất cả không gian hàm trong chương này được giả thiết là trang bị tô pô compact mở.
20
2.1. Nhúng hyperbolic
2.1.1 Khái niệm nhúng hyperbolic
Có nhiều cách tiếp cận khác nhau để đưa ra khái niệm nhúng hyperbolic của không gian con phức trong không gian phức được Kobayashi giới thiệu trong [11] và được sử dụng nó để tổng quát định lý Picard lớn (xem [9], [11], [12], [13], [15]).
Định nghĩa 2.1 Không gian con phức X của không gian phức Y được gọi là phép nhúng hyperbolic trong Y nếu với hai điểm phân biệt p,q € X tồn tại các tập mở Wp, Wg trong Y sao cho p e Wp, q e Wg và d x {X n Wp, X nw5) > 0, ở
đó dỵ là giả khoảng cách Kobayashi trên X.
Sau khi xuất hiện định nghĩa đã có một số nghiên cứu về nhúng hyperbolic của không gian con phức đã sử dụng đặc trưng của nhúng
hyperbolic trong hướng nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình trên đĩa đơn vị D = -[ z
€ c : 1} trong mặt phẳng phức với trang bị tô pô compact
mở (xem [8]) Kí hiệu H (A, B) là không gian ánh xạ chỉnh hình từ không gian
phức A vào không gian phức B và FXY là tập / € H (D, Y) sao cho f~ 1 (Y — X)
là rỗng hoặc là đơn trong trường hợp X là không gian con phức của Y.
Kobayashi đã đưa ra định nghĩa sau (xem [13] , hoặc[14]).
Định nghĩa 2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Giả khoảng cách d X Y được xác định như sau:
d x Y (p , q ) — infa^ (a ), p , q € X ở đó cận dưới đúng lấy ở trên tất cả
21
dây chuyền a = {/i,f m } , (fị e F X ỵ) sao cho
/1(0) = p , f i ( z i ) = f i +1 (0) với í = 1,2, m — 1, fm ( z m ) = q
và -Ể (a;) = dD (0, z) với d D kí hiệu là khoảng cách hyperbolic trên D Nếu p hoặc q nằm trên biên dx của X dây chuyền không tồn tại, dx,Y { p , q ) = 00 nếu p Ỷ q và d x ,Y { p , q ) = 0 nếu p = q
Dạng vi phân F x (hoặc hàm Royden [18]) với dx xác định :
Fx (p, v) = inf {r > 0 : / (0) = p, df (0, re) = V, f G H (D, X)}
ở đây p £ X, e là vectơ đơn vị 1 tại 0 G -D, V & T P (X) không gian tiếp tuyến của X tại p , và d/là ánh xạ tiếp xúc với /
được định nghĩa tương tự, FXY{P,V) = 00 nếu ở đó không tồn tại r
> 0 sao cho f & FXY thỏa mãn / (0) = p, df (0, re) = V.
Cho E là hàm độ dài trên Y và cho d E là hàm khoảng cách tổng quát trên
Y bởi E (xem [15]) Nếu / € H (D,Y), với chuẩn của df (z) được xác định bởi:
\df iz)\ = Eư {z),df ở đó F D (Z,U) = 1.
Định nghĩa sau đây được đưa ra bởi Royden (xem [16]).
Định nghĩa 2.3 Đa tạp phức X là hyperbolic tại điểm p € X nếu tồn tại lân cận
u của p và một hằng số c > 0 sao cho Fx (ợ, í7) ^ c ỊỊ77II với mọi q G u và 77 e
Tq (u).
Định nghĩa được mở rộng bởi Joseph J and Kwack (xem [7]).
Định nghĩa 2.4 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y, điểm p e X được gọi là điểm hyperbolic của nếu X tồn tại lân cận u của p trong Y và một hằng số c > 0 sao cho Fx ^ cE trên u n X.
22 Joseph J and Kwack (xem [7]) đã chứng minh.
Định lý 2.1 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y
X là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi mỗi điểm của X là điểm hyperbolic của X.
Với 0 < r < 1, kí hiệu D r = {z G D : \z\ < r} và D* = D r — { 0}
2.1.2 Tiêu chuẩn nhận biết tính nhúng hyperbolic
Nếu X là không gian con phức của không gian phức Y , kí hiệu tập các điểm hyperbolic của X là R(X,Y) và đơn giản là R(X).
Định lý 2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y với hàm độ dài E Những điều kiện sau đăy là tương đương với mỗi điểm PGX.
(1) Điểm p G R{X).
(2) Nếu {fn} là dãy trong H (D*,x) và {zn } là dãy trong D* sao cho
zn —> 0 và fn ( zn ) —»• p, khi đó với mỗi u mở quanh p, tồn tại
0 < r < 1 sao cho f n (D*) c u.
(3) Nếu {fn} ỉà dãy trong H (D*,X) và { zn } là dãy trong D* sao cho
zn —>■ 0 và fn (zn) —> p, khi đó hai điều kiện sau là đúng:
(a) Với mỗi fn thác triển đến fn e H (D, Y).
(b) Tồn tại 0 < r < 1 và dãy con {fnk} của {fn} sao cho
fnk -> / G H ( Dr,Y) trên Dr.
23
(ị) Nếu {/ n } là dãy trong Fxy sao cho /n( 0) —> p, khi đó với mỗi и mở quanh p, tồn tại о < r < 1 sao cho fn ( Dr ) с и.
(5) Tồn tại lân cận и của p sao cho
sup{|d/(0)| : / G F X ỵ,f{0) e U} < oo (6) Tồn tại lăn cận u của p và с > 0 sao cho Fx Y ^ cE trên и п X.
(7) Nếu {pn } và {g n } là các dẫy trong X sao cho pn — »■ p và nếu không
có dãy con nào của {ợ n } hội tụ đến p, thì lim dx V (Pn,Qn) > 0.
(8) Tồn tại lăn cận и của p sao cho nếu {pn} và {ợ n } là các dãy trong и
п X và dx,YÌPn, qn) -> 0 ; khi đó dE (pn, qn) -> 0.
Bố đề dưới đây được Joseph J and Kwack chứng minh (xem [7]).
Bổ đề 2.1 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y và cho p G X Khi đó p G R (X) nếu Ịịm dx ( PnJ Qn) > 0 với mọi dãy {pn}
và {qn} trong X sao cho Pn —)■ p và không có dãy con nào của {qn} hội tụ tới p.
Chứng minh.
Giả sử p G R (X) và cho V, w, и là lân cận compact tương đối của p và с >
0 sao cho Fx ^ cE trên [/ п X, và y cW cW с u, Pn & V và q n e Y — u.
Chúng ta có dx (Vn, q n ) > d x {X П dv, X П ỠW) ^ cd E (dV, ỠW) > 0 Ngược lại, giả sử p ị RỤC) Thì tồn tại dãy {/n} trong H (D,X) sao cho f n (0) —> p và \df n
(0)1 —> oo Do đó, nếu и là lân cận tọa độ địa phương của p trong Y coi như
không gian con đóng của hình cầu bị
24
chặn Khi đó tồn tại dãy con {fn k } của {f n } và dãy {Zk} trong D sao cho Z ỵ
—»• 0 và fn k (z k ) &Y — u với mỗi k .
Tuy nhiên, d x (f nk (0), f nk (z k )) ^ d D (0, z k ) với mỗi k, như vậy
Điều này dễ dàng nhận thấy từ Bổ đề 2.1 không gian con phức X của không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y nếu X = R(X).
Bổ đề 2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y và cho p £ R(X) Giả sử {zn } và { fn } là các dẫy trong D* và H ( D*,x) tương ứng sao cho zn —> 0, fn ( zn) —> p Nếu ơn = {z & D : \z I = \zn\}, khi
đó fn (ơn) ->• p.
Chứng minh.
Dãy độ dài hyperbolic {l (crn)} thỏa mãn t (crn) —»• 0 (xem [15], p 41)
Và từ đó, mỗi x n e ơ n , ta có d x (ỉn (xn), fn (zn)) ^ £ (ơ n ), điều này được suy ra từ
Bổ đề 2.1 f n (ơn) —> p m
Chứng minh định lý 1.
(1) ^ (2) Chứng minh bằng phản chứng, giả sử (1) đúng và (2) không đúng Khi
đó, tồn tại lân cận tọa độ địa phương compact tương đối w, u của p và dãy {zn}, {V}, {z n "} trong D*, {f n } trong H (D*,x) sao cho w c u , u n X c R (X ),
f n (z n ) ->• p , f n ( z n ' ) & Y - U với mỗi n , \ z n \ ị
\zn'\ ị 0, I zn"\ ị 0 và min {\zn\, \zn'\) <I zn"\ < max {\zn,\zn'\\},
fn (zn”) e ỠW với mỗi n, fn {zn") q e ỠW
Từ q e R (X), f n (ơn) —*■ q bởi bổ đề 2.2, ở đó ơ n = {z G D : |z| = Cho V là lân cận compact tương đối của q sao cho V c u và p ị V Tồn tại các dãy {an}, {b n } của số thực dương sao cho 0 < a n < \z n "\ <
25
b n , a n ị 0, bn ị 0 và cứ tiếp tục như vậy Cuối cùng, hình khuyên ịz e D : an < \z\
< b n } là lớn nhất, đó là ánh xạ từ V vào f n Tồn tại các dãy chúng ta vẫn gọi {an}, {&n} thỏa mãn các điều kiện của {an}, {b n } như ở trên và dãy {xn}, {y n } sao cho nếu a n — {z G D : \z\ — an} và ßn = {z e D : \z\ = b n }, ta có x n e a n và y n
G ßn với mỗi n, fn (Xn) -> p' e ỠV, fn {x n ) -> p" e ỠV Do đó, theo bổ đề 2, /n
(an) -> p' và fn(ßn) p" , từ p', p7/ G R(x) Chọn tọa độ địa phương của и С c m
sao cho f ni (q) = 0, f ni (p') Ỷ °5 ỉn, {p") Ỷ 0 với mỗi n, ỏ đó f n = ( / n i , f n ) Với n
đủ lớn, ta có thể thấy điều này mâu thuẫn bởi ứng dụng của Kwack [10] của lập luận số uốn đối số của Grauert và Reckziegel [6] tới fni
(2)(3) Cho u là lân cận tọa độ địa phương của p và V là tập mở compact tương đối của p sao cho V с u Tồn tại о < r < 1 sao cho f n (D*) с V Cuối cùng (a) và
(b) kéo theo từ định lý Riemann cổ điển ngoài các điểm kỳ dị và định lý Montel [3].
(3)=>- (2) Giả sử (2) không đúng và (3)(a) đúng Khi đó tồn tại dãy {/„} trong H (D*,X) và {жп}, {y n } trong D* sao cho x n -> 0, y n -»• 0, fn i x n) p và không tồn tại dãy con của {f n (yn)} hội tụ tới p Với một dãy con {/n.} của {/„}, cuối cùng ta
có fnktồn tại, f nk (х Пк ) -»• p trong đó fn k (у Пк ) -fr p Do đó (3)(b) không đúng.
(2)(4) Giả sử (4) không đúng Khi đó tồn tại các dãy {x n },
{yn}trong D* và {/n} trong F X ỵ sao cho x n -»■ 0, xn -»■ 0, fn (xn) -> p, không có dãy con nào của {/„ (yn)} hội tụ tới p, và không có n thỏa mãn ĩ~ l ịỵ - X) = {æn} hoặc f- 1 (Y - X) = {y n } Nếu 0 < r < 1 và
26
f~ 1 (Y — X)r\D* = 0 với n vô hạn, tồn tại dãy con là dãy hạn chế của {fn} tới D*, mà chúng ta vẫn gọi là {/„} sao cho f n € H (D*,x) với mỗi n, f n (xn) —► p,
và không có dãy con của {f n (yn)} hội tụ tới p Như vậy (2) không đúng
Trong các trường hợp khác, ta giả sử Z“1 (Y — X) = {vn} với mỗi n và v n —
>• 0 Với mỗi 71, cho a n là tự đẳng cấu của D sao cho a n (0) = v n , và g n = f n oa n
trên D* Khi đó g n G H (D*,x) với mỗi n, {a~ x (a^n)} và {a“1 (y n )} là các dãy trong D*,a~ l (:x n ) 0, a“1 (y n ) ->• 0, g n {oí~ l {x n ))
p và không có dãy con nào của {g n (a“1 (yn))} hội tụ tới p Như vậy (2) không
đúng.
(4)=> (5) Nếu (5) không thỏa mãn, ở đó tồn tại dãy {/n} trong F x Y sao cho f n (0)
—> p và Idf n (0)1 —»• oo Cho u, V là lân cận hyperbolic compact tương đối của p sao cho u c V Cho 0 < r < 1 thỏa mãn f n (Dr) c u Tồn tại dãy con của {fn}, cũng được gọi là {/n}, và ánh xạ g € H (Dr, V) sao cho f n —> g, điều này mâu thuẫn với Idf n (0)1 —»■ oo Do đó (4) không đúng.
(5) (6) Giả sử u thỏa mãn (5) và cho c > 0 sao cho:
8up{|d/(0) | : / e í i , y, / ( 0) 6Ư } < ỉ
Nếu q € u n X, V € T q (^), r > 0 và / G Fxy thỏa mãn /(0) = q , d f ( 0, r e ) = V,
ta có
E (ợ, v) = E (/ (0), df (0, re)) = rE (/ (0), df (0, e)) ^
Như vậy cE (q, v) ^ r và do đó cE ^ FXY trên u n X.
(6) => (7) Giả sử {pn } và {ợn} là các dãy trong X sao cho Pn —>■ p và không có dãy con nào của {gn} hội tụ tới p.
27
Nếu Hm dxY (Pn 5 Я.П) = 00, ta kết thúc.
Trong trường hợp trái lại, chúng ta có thể giả sử dx Y (Pm Qn) là hữu hạn với mỗi n Cho с > 0, và [/, V, w là lân cận tương đối compact của p sao cho w
С V С V с и, sao cho q n е и với n hữu hạn, và FXY ^ cE trên и n X Cuối cùng
dxỵ ( Pn, ĩn) > d x ,Y ( X n â w, x n â v ) » cd E (dv, Ỡ W ) > ũ
(7)=>- (1) Từ với d x (p, q) dxY (p, я) với p,q £ X, (1) kéo theo từ bổ đề 2.1.
(1) và (7) => (8) Bởi (1), tồn tại lân cận compact и của p sao cho и п X С R(X) Giả sử (8) không đúng và cho {pn }, {çn} là các dãy trong и п X sao cho dxY (Pn,Qn) 0 và d E (Pn,Qn) Ỷ* 0- Tồn tại các dãy con của {p n } và {çn}, mà chúng
ta vẫn gọi là {pn} và {çn}, sao cho Pn -> y G и п X và Ит d E (р п , q n ) > 0 Như vậy y & R (X), p n -»■ у và không có dãy con nào của {q n } hội tụ tới p Điều này
mâu thuẫn với sự tương đương của (1) và (7).
(8)^ (7) Giả sử (7) không đúng và cho {p n }, {gn} là các dãy trong
X sao cho p n —»■ p, không có dãy con nào của {q n } hội tụ tới p và dx Y (;Vni Qn) 0 Cho w с и, ồ đó w là lân cận của p , и là lân cận
compact của p thỏa mãn (8), và q n € и với n hữu hạn Cho {ơ n } là dãy của quỹ đạo с1 trong X sao cho với mỗi n, ơ n nối với p n và q n và sao cho £ (ơn)0 (£ (ơn) được sử dụng tính
dỵy)-Cuối cùng, chúng ta có thể chọn y n £ ơ n C[dV và thu được dx Y (Vn J Vn) ^ t (ơ n ) với mỗi n, vì vậy dx,Y (РтУп) -> 0 trong đó d E (PmQn) ~h °- Do đó (8)
28
Điều này chỉ ra c — {0} không phải là hyperbolic, chúng ta sử dụng định lý 2.2 chỉ ra không có điểm trong c — {0} là điểm hyperbolic.
Ví dụ 2.1 Với mỗi điểm p € c — {0} và số nguyên dương k, xác định
fỵ e H (D*, c — {0}) cho bởi fỵ (z) — Với mỗi số nguyên dương 777,
cố định, f k (1/2km) = mp với mỗi k.
Ví dụ 2.2 Cho n Ỷ 1 là số nguyên dương và
M = {{zuz2, ,zn) e cn : Zị ị {0,1}}
[cư0,a;i, ,u;n] là tọa độ thuần nhất của không gian xạ ảnh p n (C) và 7T
là siêu phẳng Xác định ìj)\ M p n (C) cho bởi
ĩ p ( z u z 2 , , z n ) = [ l , z u , z n ]
ĩp nhúng M trong p n (C) và Kiernan (xem [9]) đã chỉ ra "0 (M) không
nhúng hyperbolic trong p n (C) Ta dễ dàng nhận thấy từ sự tương đương
(2)của định lý 2.2 nếu p = [0, l,tư2, .,cưn] G 7T và Ịcưị| ^ 1 với mỗi i thì p không là điểm hyperbolic với ĩp (M) Xác định dãy {/fc} trong
H (M)) cho bởi:
ĩ!L 1 _^2_
k ’ ’ 2kz’ 2kz Khi đó f k (l/2fc) -> p trong đó f k (l/4fc) -> [0,1, 26Ư2,2co n ].
Chúng ta sẽ hoàn thành phần này với 4 hệ quả.
Sự tương đương trong hệ quả 2.1 để so sánh với kết quả của Kobayashi là
không gian con phức compact tương đối Xcủa không gian con phức Y là nhúng hyperbolic trong Y nếu FXY ^ cE trên X với c > 0 (xem
[12] ) Thật vậy, quan điểm của Kobayashi chỉ ra (ỈD*\D — dũ và do đó
tính tương đối compact là không cần thiết.
fk (z) = [ 1, 2
2zk 5 2z k + 1 ’ 2zk+
29
Hệ quả 2.2 là Kwack đã tổng quát định lý Picard lớn.
Hệ quả 2.3 là tổng quát định lí Picard lớn Kobayashi - Kwack (xem [10], [12]).
Hệ quả 2.4 là tổng quát các kết quả của Abate và Vigue (xem [1]).
Hệ quả 2.1 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(1) X là nhúng hyperbolic trong Y.
(2) Với mỗi tập compact K c Y, tồn tại c> 0 sao cho Fxỵ (í ( 0), v) ỳ c với mỗi f c FXY với f (0) e K và V e df(TQ(D)) thỏa mãn E(f (0),v) = l (3) Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho FXY ^ H trên X.
Chứng minh.
(1)(2) Giả sử K là tập con compact của Y với (2) không đúng Tồn tại dãy {f n } trong FXY sao cho f n (0) —> p và Idf n (0)1 —> oo Do đó, không tồn tại lân
cận của 0 là ánh xạ cuối bởi {fn} vào tập con compact của lân cận hyperbolic
của p Từ sự tương đương (4) của định lý 2.2, (1) là không đúng.
(2) ^ (3) Giả sử là dãy các tập mở, tập con compact tương
đối của Y sao cho Uỵ c Uỵ + 1 với mỗi k và U™ =l Uk = Y Với mỗi k , tồn tại Cfc >
0 sao cho F X Y ^ CkE trên Uk r\ X Tồn tại hàm thực dương liên tục tp trên Y sao cho tp ^ Cfc trên uk- Cho H = ipE.
30
Hệ quả 2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Giả sứ f e H ( D*,x) và {zn } là dãy trong D* sao cho zn —> 0 và ĩ ( zn) p £
R PO- Khi đó f thác triển tới / G H{D, y).
Chứng minh.
Hệ quả này là áp dụng (3) của định lý 2.2 tới dãy hằng {/} ■
Hệ quả 2.3 Giả sử X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y Khi đó với mỗi f G H (D*, X)thác triển tới f G c (D, Y+) Nếu X là compact tương đối trong Y thì f là chỉnh hình.
Chứng minh.
Nếu tồn tại dãy {z n } trong D* sao cho z n —> 0 và nếu / (z n ) —>■ p &Y, thì p
e R (X) và từ hệ quả 2.2, / thác triển tới / e H (D, Y) Giả thiết, với dãy {z n } trong D* sao cho z n —> 0, ta có / (z n ) —> oo m Trong mệnh đề 1.1 của [1], đã chỉ ra miền hyperbolic X của siêu mặt Riemann compact Y là nhúng hyperbolic trong Y Một trong những kết quả chính được sử dụng Y — x ữ là hữu hạn với một miền hyperbolic x 0 D X Ta
tổng quát mệnh đề này.
Hệ quả 2.4 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi đó hoặc X là nhúng hyperbolic trong Y hoặc X — R ( x ) là không đếm được.
Chứng minh.
Cho p e X — R (X) Tồn tại các dãy {z n } , ịz n '} trong D* và {/„} trong H ( D * , x ) sao cho z n -> 0, z n ' -> 0, f n (z n ) -> p, f n (z n ') Ỷ* V- Nếu w là mở của p sao cho w là compact và sao cho f n (z' n ) G Y — w
31
thường xuyên, chúng ta có thể giả sử trong phép cộng của dãy {z n ”} sao cho:
min{| 2n |, \zn'\} < \zn"\ < max{| 2n |, \zn'\}
và / (z n ") —>• q € ÔW — R { X ) - , từ đó tồn tại tập mở không đếm được w
thỏa mãn các điều kiện, mỗi 2 điểm có biên rời nhau, ta hoàn thành chứng
Sau đây là các kết quả chính đạt được trên đĩa D đơn vị trong mặt phẳng
phức c.
Trong [13] Kieman đã chứng minh không gian con phức compact tương
đối X của không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y nếu mỗi fì c H ( D , x ) là tập con compact tương đối của H ( D , Y ) Phần điều kiện cần của
kết quả là tổng quát định lý Montel-Caratheodory lên trường hợp nhiều
chiều trên họ chuẩn tắc (xem [4], p 300) Nếu X c c là miền bị chặn thì định
lý (gọi là định lý Montel) đúng với H \ D , X : D ( D * , X ) .
Nếu X là không gian con phức của không gian phức Y, và G X Y = c [ D ,
Y + ; u Z £ D H ( D — { z } , X)], chúng ta xem trong định lý 2.4 nhúng
hyperblic là đặc trưng bởi tính compact tương đối của các tập con khác nhau
trong G ỵ Y • Chúng ta chú ý
C [ D , Y : H ( D * , X ) ] = H [ D , Y : H ( D * , x ) ]
Một trong những ý chính sử dụng nhiều lần trong bài báo này là hệ quả của định lý tô pô Ascoli - Arzela đã được chứng minh bởi Kelley và Palais (xem [8]) Chúng ta nhớ lại khái niệm.
32
Định nghĩa 2.5 Giả sử A, B là các không gian tô pô Họ p c c ( A , B ) là liên tục đều nếu với mỗi a e A, b e B , và mỗi lân cận u của b trong B , tồn tại lân cận V của a trong A và w của b trong B sao cho với mỗi
/ e P ,
/(a) € w => Ĩ ( V ) c u
Các kết quả tiếp theo sau đây dễ dàng thấy từ định lý 7.21 trong [ 8] từ giả
thiết dưới đây p là liên tục đều nếu p là liên tục đều và với mỗi X , {/ ( x ) : f
G P } là compact tương đối.
Định lý 2.3 Giả sử c là họ của tất cả các hàm liên tục trên không gian compact địa phương chính quy X đến không gian chính quy Hausdorff
Y Khi đó tập con F của c là compact tương đối trong c khi và chỉ khi (a) F là tập con đồng liên tục của c.
(b) F ( X) = {/ (x) : f e F} là tương đối compact trong Y với mỗi X G X.
Định lý 2.4 Các điều kiện sau là tương đương trong không gian con phức X của không gian phức Y:
(1) X là nhúng hyperbolic trong Y.
(2) GXY là tương đối compact trong c ( D,Y+ ).
(3) c [ D : Y + ; H ( D * , x ) ] là tương đối compact trong c ( D : Y + )
(ị) F X Y là tương đối compact trong c ( D , Y + )
(5) H \ D , Y ’ , H ( D * , x ) ] là tương đối compact trong c (D, 1^ + ).
(6) H ( D , X ) ỉà tương đối compact trong c ( D,Y + ).
33
Chứng minh.
Các bao hàm sau là đúng:
(i) H (D , X ) C H [ D , Y; H ( D * , X ) ] c F x ỵ c G x ỵ và
(ii) H ( D , X ) c c [ D , y+; H ( D * , x ) ] c G x ỵ
Do đó, theo định lý 2.3, chúng ta thử lại (1) kéo theo Gx Y là tập con liên tục đều của c (D, y+) và (6) =>■ (1).
Nếu Gx Y không là tập con liên tục đều của c (D, F+), thì bởi tính thuần nhất của D và tính liên tục của mỗi / € Gx Y J tồn tại các dãy {^n}, {y n } trong
D * , { f n } trong G x , y sao cho x n 0, y n 0, f n (xn) ->• p e Y + J n ( y n ) p
& Y + , q Ỷ p, và với mỗi n, f n (x n ) G X, f n ( y n ) G X.
Bây giờ lập luận tương tự như trong chứng minh của (2) (4) của định lý 2.2 sẽ tạo ra mâu thuẫn.
(6) ^ (1) Chúng ta chỉ ra với mỗi p G X trong Y,
s u p {\df ( 0)1 : / e H ( D , X) , / ( 0) 6 W } < 00
với lân cận w của p Điều này sẽ giống như trong chứng minh (5) = > (6)
của định lý 2.2, đó là tồn tại lân cận w của p và c > 0 sao cho Fx ^ c E trên
Wnl.
Cuối cùng, cho w là lân cận hyperbolic của p với bao đóng compact sao cho oo Ệ w Giả sử tồn tại dãy {/„} trong H ( D , X ) sao cho f n (0) —»• p và
Id f n (0)Ị o o Từ (6), tồn tại 0 < r < 1 và dãy con của {f n }, mà chúng ta cũng gọi là { f n } , sao cho f n (D r) c w Điều này là không thể vì \df n (0)1 ->
34
Chú ý 2.1 Khi X là không gian con phức compact tương đối của không gian phức Y :
(1) c ( D,Y+ ) có thể thay thế bởi H ( D,Y) từ định lý 2.Ậ.
(2) GX,Y — Fxỵ v ă H [ D , Y ; H ( D ' , X ) ] = C [ D , Y + ; H ( D ‘ , X ) ]
Chú ý 2 2 Mặc dù ( 6) => (1) đã được chứng minh trong [7], chúng ta có thể chứng minh ở đăy bằng tính đầy.
Chú ý 2.3 Kết quả gần đây của Abate [1] đã chỉ ra đa tạp phức là hyperbolic nếu D ( D , x ) là tương đối compact trong c ( H , x + ) đã được chứng minh bởi định lý 2.ị.
Chúng ta kết thúc phần này, xem H ( D * , x ) có phải là compact tương đối trong c (D*,Y+) khi X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y Thậm chí điều kiện tương đương (6) của định lý 2.2 có thể sử
dụng với quá trình đường chéo để đi đến kết luận, chúng ta đưa ra chứng
minh cơ sở của định lý 2.3, tập R (X) và thật vậy với mỗi / £ H ( D * , X ) giảm
khoảng cách.
Định lý 2.5 Nếu X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y Khi đó H ( D * , x ) là tương đối compact trong c ( D*,Y+ ).
Chứng minh.
Chúng ta chứng tỏ H ( D * , X ) là tập con liên tục đều của c (D*,Y+) Nếu không, thì tồn tại z ẽ D* và dãy {zn} trong D* và {fn} trong H ( D * , X ) sao cho z n z , f n { z ) p e Y + , f n ( z n ) q e Y + , p í q
Từ d x ( f n ( z n ) , f n ( 2)) ^ d ũ * (z n, z ) với mỗi n và hoặc p e R (X)
35
Dưới đây là các kết quả chính đạt được trên đa đĩa D m trong cm
Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra đặc trưng tính nhúng hyperbolic của
không gian con phức X của không gian phức Y trong mô tả thác triển ánh xạ trong H ( M — A, X ) , ỏ đó M là đa tạp phức và A là divisor ở trên M với giao
chuẩn tắc.
Chúng ta nhớ lại nếu A là divisor của đa tạp phức M , A được gọi là có
giao chuẩn tắc nếu
M — A — (D*Ỵ X D s với r + s = m (xem [17]).
Định lý 2.6 sau đây đưa ra một số đặc trưng của các điểm hyperbolic trong các số hạng của đa tạp phức và divisor với giao chuẩn tắc.
Định lý 2.6 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Những điều kiện sau đây là tương đương với p EY
(1) Điểm p là điểm hyperbolic của X.
(2) Nếu m là số nguyên dương, 6ƯQ G Drn, {ojn } và { fn } tương ứng là các dãy trong ( D*)m và H (( D * ) m , x ) sao cho ujn —>■ CƯO và fn (íưn) —> p, khi đó với mỗi lân cận Ư của p trong Y, tồn tại lân cận w của UJ0 trong Dm sao cho fn ( w n ( D*) m ) c u
(3) Nếu M là đa tạp phức, A là divisor trên M vói giao chuẩn tắc, U}0
€ M,{ujn} và { f n } tương ứng là các dãy trong M — A và H (M — A, X) sao cho 0Jn —> 0Jữ và fn (cư n ) —» p, khi đó với mỗi lăn cận u của p, tồn tại lân cận w của UJ 0 sao cho fn (W — Ả) c u.
(ị) Nếu M là đa tạp phức, A là divisor trên M với giao chuẩn tắc U3ữ € M,{ujn} và { f n } tương ứng là các dãy trong M — A và H (M — A, X)
36
sao cho 0Jn —>■ üJq và fn (cưn) —> p, hai điều kiện dưới đây là đúng với w mở trong M chứa U)Q :
( a ) Mỗi fn thác triển tới fn £ H ( W, Y )
( b ) T ồ n t ạ i c á c d ã y c o n { f n k } c ủ a { fn } s a o c h o f U k
— »■ / £ H ( W , Y ) trên w.
Chứng minh.
(4) =^(1) là rõ ràng từ sự tương đương của (1) và (3) trong định lý
2.1.
(1)=^(2) Chúng ta chứng minh bằng quy nạp trên m.
+) Với 771=1, (1)=^(2) được suy ra từ định lý 2.2.
+) Giả sử (2) là đúng với số nguyên к, nhưng không đúng với số nguyên к + 1 Khi đó ta có thể giả thiết U3 ữ = ( t 0 : s 0 ) € D k X D : các dãy {uj n = (í„,sn)}, {üJn = ( t n , S n ) } trong (D*) k X D* sao cho uj n -> CJ0, íủ n ' -> 6ƯQ, dãy
{/n} trong H (ẠD*) k+l ,X^) sao cho f n (ùJ n ) — ĩ p v ầ lân cận compact tương đối u , V ị , V 2 của p trong Y sao cho V с v 2 С v 2 С и , и п X с R (X),
và f n ( c ư ' n ) ẽ Y — Ư với mỗi n
Với mỗi n, xác định g n £ H ị { D * ) k , cho bởi g n (t) = f n (t, s n ) Khi đó t n
tữ, g n (t n ) —¥ p; bởi giả thiết quy nạp, tồn tại lân cận N của t 0 trong D k sao cho
g n П (Đ*)kJ с Vị, điều đó suy ra g n (t' n ) G V\.
Tồn tại dãy con của {g n (tn')}, mà chúng ta vẫn kí hiệu là {g n (tn')}, và q G
v 2 sao cho g n ( tn ') q.
Với mọi n, xác định h n G H ( D * , x ) cho bởi h n ( s ) = f n (t n ',s) Khi đó h n
(sn) q, q G R (X), và s n So, như vậy tồn tại lân cận Q của So
37
trong D sao cho h n (Q n D*) c v 2 Do đó, h n {s n ') = f n (0Jn ') e v 2 , điều này mâu
thuẫn.
(2)=>- (3) Điều này dễ dàng nhận được từ tính liên tục của mỗi f n cho phép chúng ta giả thiết Uú n e (D*) m với mỗi n và M — D m
(3)=>- (4) Cho u là lân cận hyperbolic của p và cho V là lân cận của p với bao đóng compact sao cho V c u Khi đó V là không gian con phức nhúng hyperbolic compact tương đối của không gian phức u Từ (3), tồn tại lân cận hyperbolic w của 6ƯQ sao cho f n iyv — Á) c V và cho bởi kết quả của Kiernan (còn gọi là “Định lý K3”) bởi Lang [15], f n thác triển tới f n e H (VK, Y), như vậy (4)(a) là đúng Khi |/nI là họ đồng liên tục trên w và do đó fn k —>■ / € H (w, y) trên w với một dãy
Định lý 2.7 biểu diễn kết quả chính trong phần này.
Định lý 2.7 Các điều kiện sau là tương đương với mỗi không gian con phức M của không gian phức Y:
(ỉ) X là nhúng hyperbolic trong Y.
(2) c [M, Y + ; H (M — A, X)] là compact tương đối trong c (M, Y+ ) vôi mỗi đa tạp phức M và divisor A trên M với giao chuẩn tắc.
(3) H [M, Y; H (M — A, X)] là compact tương đối trong c (M, Y+) vói mỗi đa tạp phức M và divisor A trên M với giao chuẩn tắc.
(4) H ( M, X) là compact tương đối trong c ( M, y + ) với mỗi đa tạp phức M.
Chứng minh.
38
Điều này rõ ràng từ tập bao hàm thức và sự tương đương của (1) và
(6) trong định lý 2.4 rằng (2) =>■ (3) =>■ (4) =>■ (1).
(1)=>- (2) Ta cần chứng tỏ c [M, Y + ; H (M — A, X)] là tập con liên tục đều của c (M, F+) Nếu trong trường hợp ngược lại, tồn tại U3 ữ e M và dãy {oơ n } trong
M, |/n| trong c [ M , Y + ; H (M — A , x ) ] sao cho
-> CJ0, Ã M -> p, ĩn (wn) -> q ; q , p e y+, q Ỷ V- Bởi tính trù mật của M
— A trong M và tính liên tục của mỗi fn trên M, chúng ta có thể giả thiết 0J n
£ M — A với mỗi n và tồn tại dãy {u) n '} trong M — A sao cho U) n ' —> íVq và
fn ( c ư n ) —> p■ Điều này mâu thuẫn với sự tương đương của (1) và (3)
trong định lý 2.6 từ hoặc p € R (X) hoặc q G R (X). ■
Hệ quả 2.5 Nếu X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y và A ỉà divisor với giao chuẩn tắc trên đa tạp phức M, khỉ
đó mỗi f € H (M — A, X) thác triển tói / € c (M, Y + )
Chứng minh.
Cho LŨQ G M Nếu p € Y + và {ív n } là dãy trong M — A sao cho U) n —> U3 ữ e M và / (cưn) —»• p, thì p e -Rpo hoặc p = oo và p là giới hạn xác định
duy nhất bởi sự tương đương của (1) và (3) trong định lý 2.6.
Với CƯQ vài», xác định h (tư0) = p Rõ ràng,/i (cư) = / (cư) với U3 € M —
A Chúng ta chỉ ra h là liên tục Nếu h (ùJg) = p ẽ Y, và u là mở quanh p, cho
V là lân cận của p với bao đóng compact sao cho V c u và u n X c R ( x ) Bởi
sự tương đương của (1) và (3) trong định lý 2.6, nên tồn tại lân cận w của 6ƯQ trong M sao cho / (W — Á) c V Điều đó kéo theo h ( w ) c V c u Nếu h(w 0 ) = oo và u là lân cận của h (cưo), thì bởi sự tương đương của (1) và (3) trong định lý 2.6, nên tồn tại w
39
mở quanh cư0 trong M sao cho f (w — A) c u Điều này kéo theo w mở quanh CƯQ trong M sao cho h (W) c u m
2.2. Thác triển liên tục của ánh xạ chỉnh hình
2.2.1 Thác triển liên tục của ánh xạ chỉnh hình qua đĩa thủng
Định lý 2.8 sau đây là sự mở rộng định lý Kobayashi-Kwack được khái
quát từ định lý Picard lớn tới xạ ảnh trong H ( D * , x ) ở đó X là không gian con nhúng hyperbolic của không gian phức Y Ngoài ra, H (D * , x ) là bao đóng trong c (D *, Y + )
Định lý 2.8 Nếu X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y, thì mỗi f e H ( D * , x ) thác triển tới f e c ( D*,Y + ) Chứng minh.
Nếu {/n} là dãy trong H (D * , x ) và f n ->• / e c ( D * , x ) , thì f n tồn tại với
mỗi n bởi hệ quả 2.3 và bởi định lý 2.4, nên tồn tại g £ c ( D , y+) và dãy con { f n k } của {/n} sao cho f n k g Do đó g = / trên D * Vậy
Sử dụng định lý Lelong trên độ đo (xem Lang [15], p, 56), Noguchi chỉ ra:
Nếu X là không gian con phức nhúng hyperbolic compact tương đối của không gian phức Y Nếu { f n } là dãy trong H (D * , x ) và f n —>■ f
e H ( D * , X ) , t h ì f n ^ f
Định lý 2.9 được chứng minh trên kết quả này và việc chứng minh không
sử dụng lý thuyết độ đo.
Định lý 2.9 Giả sử X là không gian con phức nhúng hyperbolic của
40
không gian phức Y khi và chỉ khi { fn} là dãy trong H ( D * , x ) v à f n —
>■ f ,
t h ì ĩ n ^ ĩ
-Chứng minh.
Cho {/n} là dãy trong H (£)*, X ) và / € c (D*,Y+) sao cho f n —> / Nếu {/nJ
là dãy con của { f n } sao cho f n k ^ g & c (D , y+) thì /njfe ỡ trên D * , như vậy g — f trên D * và do đó g = f Từ định lý 2.4, mỗi dãy con của có
dãy con hội tụ tới phần tử của c ( D , 1^+), vậy chứng
Ví dụ 2.3 Trong ví dụ 2.2, ý k - ì h ò â ó h l ầ hàm hằng [0,1,0, f k , h thác triển tới f k h e H (D , p n (C)) với mỗi k Tuy nhiên, f k - / ì h Định lý sau mô tả đặc
trưng của tính nhúng hyperbolic sẽ được sử dụng để mở rộng định lý
Noguchi trong D
Định lý 2.10 Không gian con phức X của không gian phức Y là
nhúng hyperbolic trong Y nếu c D , Y + ; H ( D * , X )
C ( D , Y + )
là compact trong
Chứng minh.
Từ C [ D , Y + ; H { D * , X ) ] c c D , Y + ] H { D * , X ) , điều kiện đủ rõ ràng
được suy ra từ định lý 2.4(3).
Với điều kiện cần, chúng ta chỉ ra
c £>,y + ;#(£>*,*) = C [ D , Y + \ H ( D * Ì X ) ]
ở đây X là nhúng hyperbolic trong Y và sử dụng định lý 2.4(3) lần nữa.
Xét /, ở đây dãy {/n} trong H (D * , x ) thỏa mãn f n — > f Khi đó /ễC ( D * , Y + ) và từ định lý 2.8 và định lý 2.9, f n ĩ
41
Như Vậy c \ d , Y + ; H ( D * , X ) ] c c [ D , Y + ; H ( D * , X ) ]
Với bao hàm thức ngược lại, giả sử |/n| là dãy trong c ( D , Y +) sao cho f n
— > g v ầ f n G H ( D * , x ) với mỗi n Khi đó fn —> g trên D*\ do đó bao hàm
Các hệ quả sau trình bày mở rộng hơn của định lý Noguchi trong D
Hệ quả 2.6 Giả sử X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y Nếu {fn} là dẫy trong H ( D * , X ) v à f n f t h ì
f n —>• / •
Chứng minh.
Nếu { f U k } là dãy con của {/n} sao cho J nk ->• g , thì f U k g trên D * , do đó
g = / trên D * và g = f Từ định lý 2.10, với mỗi dãy {/n} trong H ( D * , X ) ,
Trong trường hợp X là không gian con phức compact tương đối của không gian phức Y Định lý 2.10 có thể được chứng minh từ (ỉ) =>- ( U i ) của định
lý 2.2 trong [9] như trong điều kiện cần của hệ quả sau.
Hệ quả 2.7 Không gian con phức compact tương đối X của không gian phức Y là nhúng hyperboỉỉc trong Y khi và chỉ khi tồn tại g ẽ
H D , Y; H { D * , X ) s a o c h o \ d g (0) I = sup I ị d f (0) : f e H ( D * , X ) }
Chứng minh.
Điều kiện đủ được suy ra từ định lý 1 trong [13].
Ta cần chứng minh điều kiện cần Giả sử {f n } là dãy trong H ( D * , x )
sao cho
i f n (0)1 -> sup {|d/ (0)1 : / 6 H ( D \ X )}
42
Theo định lý 2.10, tồn tại dãy con { f n k } của {/n} và g G H D , Y; H ( D * , x ) sao cho Ị nk ->• g Khi đó dj nỵ (0) -> Idg (0)|. ■
Chú ý 2.4 Trong chứng minh điều kiện cần của định lý 2.10, đẳng thức
đã được thiết lập sẵn như sau:
Giả sử X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y Tập ở phía bên trái là tập con của tập phía bên phải như trong chứng minh của định lý 2.10.
Mặt khác, nếu fn —»■ g, ở đó fn e H ( D * , x ) , bởi định lý 2.5, fnk —>• / € c (D*,Y+) với dãy con {fnk} của {fn}- Do đó, fnk —> ĩ bởi định
lý 2.8 và 2.9, như vậy f = g.
Chú ý 2.5 Nếu X là không gian con phức tương đối compact của không gian phức Y trong phần này, thì có thể thay thể c bởi H và Y+ bởi Y từ đầu đến cuối.
Chú ý 2 6 Định ỉý 2.8 có thể xem là dạng tổng quát của kết quả với
mọi f e H ( D * , x ) trong H ( D * , C) thác triển khi X là miền bị chặn trong c , định lý Riemann trên các điểm kỳ dị bỏ được [3].
Chúng ta kết thúc phần này với ví dụ sử dụng trong định lý 2.4 để chỉ ra
không gian con phức chắc chắn là nhúng hyperbolic trong p 2 (C) Ví dụ 2.4 Cho M = (C — {0,1}) X Q ở đây ri c c là miền bị chặn Giả sử [cư0,a;i,cư2]
biểu diễn tọa độ thuần nhất của p 2 (C).
Xác định ĩp : M —>■ p 2 (C) được cho bởi ỉp ( Z Ị , Z 2 ) = [1, 2i, 22].
Chúng ta chứng tỏ H [ D , p 2 (C); H ( D * , t p (M))] là compact tương đối trong H (£), p 2 (C)) Cho { g n } là dãy trong H (D*,ĩJ) ( M ) ) Tồn tại
43
dãy {/n} trong H (D *, M ) sao cho g n = ° f n với mỗi n, vàf n được cho
ở đó {an}, {òn} là các dãy trong c — {0,1}, tương ứng Từ c — {0,1} và ri đều
là nhúng hyperbolic trong p1 (C), chúng ta có thể giả sử a , b € H ( D * , P 1
(C)) sao cho a n —>• a , b n —>• b , ã n, b n, ã, b G H (D , p1 (C))tồn tại với
mỗi Ĩ I , và ữn —^ ữ, b n —^ 6; với mỗi n, gn thác triển tới được xác định bởi:
Khi đó g n h
2.2.2 Thác triển liên tục của ánh xạ chỉnh hình qua divisor
Trong phần này, chúng ta trình bày định lý 2.7 đưa ra những kết quả cho
không gian nhiều chiều có sự so sánh trong D trên ứng dụng của định lý 2.4
Chứng minh của tất cả trừ ba định lý cuối cùng bị bỏ qua từ
chúng tương tự chứng minh trong phần đó H ( M — A , X ) là bao đóng trong c ( M — A , 1^+).
Định lý 2.11 Giả sử X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y Giả sử M là đa tạp phức và A là divisor trên M với giao chuẩn tắc Khỉ đó
bởi
fn (z) = (an (z), bn ( z ) )
Xác định h e H ( D , P 2 (C)) bởi:
) , b { z ) ] , a { z ) e c
h { z ) =
, a ( z ) € c
44
(a) M ỗ i f e H (M — A , x ) trong c (M — A, Y+) thác triển tới f €
ơ(M,y+);
(b) Nếu { f n } là dãy trong H (M — A, X) và fn —>• / e c ( M — i4, Y+),thì
fn —> / •
Định lý 2.12 Không gian con phức X của không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y k h i và chỉ k h i c
M, y + ; H (M - A , X ) là compact trong c [M, y + ] với mỗi đa tạp phức M và dỉvỉsor A trên M với giao chuẩn tắc.
Hệ quả 2.8 Giả sử X là không gian con phức nhúng hyperbolic com- pact tương đối của không gian phức Y Giả sử M là đa tạp phức và A
là divisor trên M với giao chuẩn tắc Với mỗi z G M, tồn tại g € H ' M , Y; H { M - A , X ) ị s a o c h o
\ d g (z)| = sup ị ị d f ( z ) : f & H ( M - A , X ) Y Định lý 2.13 Giả sử X là là không gian con phức nhúng hyperbolỉc của không gian phức Y Giả sử M là đa tạp phức và Ả là divisor trên
M vói giao chuẩn tắc Nếu { fn } là dẫy trong H (M — A , X ) , v à f n —>• f
e C ( M - A , Y + ) , t h ì l ^ l
Ta đóng với một vài chú ý, ba tính đặc trưng của tính nhúng hyperbolic,
và mở rộng định lý cổ điển của Vitali tới hàm nhiều biến.
Chú ý 2.7 Định lý 2.11(a) là sự tổng quát và mở rộng của kết quả của Kieman (xem định lý 5.2 của chương II trong [15]).
Chú ý 2.8 Định lý 2.11(b) và 2.13 là tổng quát của định lý Noguchi (xem định lý 5-4 của chương II trong [15]).
45
Định lý 2.14 Không gian con phức X của không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi ba điều kiện sau đẫy là đúng với mỗi
đa tạp phức M và divisor A trên M với giao chuẩn tắc:
(1) H (M — A , X ) là compact tương đối trong c (M — A , Y + )
(2) M ỗ i f G H ( M — A , x ) có thác triển trong c ( M,Y+ ).
(3) Nếu { f n } là dãy trong H (M — A, X) và fn —¥ f ẽ c (M — A, Y + ) ,
t h ì /„->/.
Chứng minh Chúng ta chứng minh điều kiện đủ Cho { f n } là dãy trong H ( M — A , X ) Bởi (1), tồn tại dãy { f n k } của {/n} và / € c ( M — A, y+) sao cho fn k f Bởi (2), fn k và / tồn tại với mọi k và bởi (3), fn k —> f Như vậy, theo
Chú ý 2.9 Định lý 2.13 và 2.lị chỉ ra rằng, chúng ta có thể thay thế H (M — A , X ) b ở i H ( M — A , X ) trong điều kiện 3 của định lý 2.lị.
Chú ý 2 10 Dễ dàng quan sát được từ chú ý 2.9 và định lý 2.lị không gian con phức X của không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi hai điều kiện sau thỏa mãn với mỗi đa tạp phức M và divisor A trên M với giao chuẩn tắc:
( 1 ) H (M — A , x ) là tương đối compact trong c (M — A , Y + )
( 2 ) Á n h x ạ K : H (M — A , X ) — > c ( M , Y + ) xác định bởi «(/) = f ỉà nhúng.
Định lý 2.15 sau đây đưa ra đặc trưng của tính nhúng hyperbolic, nó tương tự như mệnh đề sau được đưa ra bởi Taimanov [18].
46
Mệnh đề 2.1 ơiả sử A ỉà tập con trù mật của không gian tô pô Haus- dorff X và cho f là ánh xạ của A tới không gian HausdorffY Ánh xạ f
có thác triển liên tục trên X khi và chỉ khi mỗi cặp Bị, B2 các tập con đóng rời nhau của Y là ảnh ngược f ~ 1 ( B ị ) v à f ~ 1 ( B2 ) có bao đóng rời nhau trong X.
Định lý 2.15 Các phát biểu sau là tương đương với mỗi không gian con phức X của không gian phức Y:
(1) X là nhúng hyperbolic trong Y.
(2) Với mỗi đa tạp phức M, divisor A trên M với giao chuẩn tắc và dãy {fn} trong H (M — A , x ) , t ồ n t ạ i d ã y c o n { f n k } của { f n } sao cho:
ỉ ì m f ũ ! ( p ) n lũn/“1 (Q) = ộ
với tô pô trên M với bất kỳ p và Q tương ứng là tập con compact và đóng rời nhau của Y.
(3) Phát biểu thu được khi thay thế H (M — A, X) bởi H (M — A, X) trong (2).
Chứng minh.
(2) =>- (3) Hiển nhiên.
(2)=>■ (3) Bởi hệ quả 2.1 và định lý 2.4 với bất kỳ dãy {/n} trong H (M — A, X),
f n e C ( M , y+) tồn tại với mỗi n và có dãy con Ị/n* I của {/n} sao cho J n k
->• g e c (M, Y + )
Nếu p c Y là compact và Q c Y là đóng và
X e lim/-/ (P) n lim/-/ (Q)
47
cho w là lân cận của g (X ) và cho K là lân cận compact của X trong M sao cho g ( K ) c w Khi đó f n k ( K - A ) c w, trong đó f n k { K - A ) n p ỉ 0 và
f n k ( K — A ) n Q 7^ 0 xảy ra thường xuyên Vì vậy w n p 7^ 0, w n Q Ỷ
0 v à ^ ( a : ) G P n Q trong y+ Từ p là compact trong y, 3 (ì) € F n Q.
(3)=>■ (1) Giả sử {/n} và {zn} là các dãy trong H ( D * , X ) và D* tương ứng , sao cho z n — > 0 và f n ( z n ) p G Y Cho u là mở quanh p và chọn w mở quanh p sao cho w là compact và w c u Nếu không tồn tại 0 < r < 1 sao cho
f n (D *) c u , thì tồn tại dãy con của {/ra}, mà chúng ta vẫn gọi là { f n } , sao
cho 0 e lim/“1 (VF) n lim/“1 (Y — t/) với mỗi dãy con {fnk} của {/n}, như vậy
(3) là sai Do đó chúng ta kết thúc chứng minh bởi Bổ đề 2.1 và sự tương
Cuối cùng, chúng ta tổng quát định lý Vitali cổ điển [3] với hàm một biến phức tới trường hợp nhiều chiều.
Định lý 2.16 Giả sử X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y Giả sử M là đa tạp phức và A là divisor trên M với giao chuẩn tắc Giả sử N c M có tính chất nếu f , g & c (M, y + ) và f = g trên N, thì f = g Nếu { f n } là d ẫ y trong H (M — A, X) và |/nI
Như vậy fn k —> f trên N và do đó f n —»• / trên N Điều này kéo theo
48
K Ê T L U Ậ N
Luận văn nghiên cứu tính nhúng hyperbolic của không gian phức Luận văn đã hệ thống lại:
Một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic và hyperbolic đầy.
2 Một số dấu hiệu để nhận biết tính nhúng hyperbolic của một không gian con phức trong một không gian phức ban đầu.
Thác triển liên tục của ánh xạ chỉnh hình.
Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng, song khả năng kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được
ý kiến đóng góp của các Thầy, Cô giáo và các bạn.
Hà Nội, tháng 8, năm 2015 Tác giả
Nguyễn Thị Thùy Dung
49
Tài lieu tham khâo
[1] Abate M and Vigue J P (1991), “Common fixed points in hyperbolic
Riemann surfaces and convex domains”, Proc Amer Soc., (112), 503-512.
[2] Barth.T (1972), “The Kobayashi distance induces the standar topology”,
Proc Amer Math Soc., (35), 439 - 441.
[3] Boas R (1978), Invitation to Complex Analysis, Random House,
New York.
[4] Conway J B (1978), Functions of One Complex Variable, Springer-
Verlag New York.
[5] Eastwood.A, (1975), "A propos des variétés hyperboliques complètes",
C R Acad Sei Paris série A., (280), 1071 - 1075.
[6] Grautert H and Reckziegel H (1965), “Hermitesche Metriken und
normale Familien holomorpher Abbildungen“, Math Z 89 108-125.
[7] Joseph J and Kwack M, Hyperbolic points and imbeddedness of complex subspaces, Preprint.
[8] Kelley J L (1955), General Topology, Van Nostrand Priceton NJ.
50
[9] Kieman P (1972), “Extensions of holomorphic maps”, Trans Amer Math Soc., (172), 347-355.
[10] Kwack M (1969), “Generalizations of the Picard theorem”, Ann of Math., (2), 9-22.
[11] Kobayashi S (1970), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings,
Marcel Dekker, New York.
[12] Kobayashi S, Relative intrinsic distance and hyperbolic imbedding,
Intern, Preprint.
[13] Kieman P and Kobayashi S (1973), “Holomorphic mapping into
projective space with lacunary hyperplanes”, Nagoya Math J., (50),
119-216.
[14] Kobayashi S and Ochlai T (1971), “Satake compactifications and the
great Picard theorem”, J Math Soc Japan, (23), 340-350.
[15] Lang S (1987), Introduction to Complex Hyperbolic Space, Springer-
Veriag NY.
[16] Noguchi J (1985), “Hyperblic fiber spaces and Mordell’s conjecture
over functipon fields”, Publ Research Institute Math Sciences Kyoto University , (21), No.l, 27-46.
[17] Royden H (1971), “Remarks on the Kobayashi metric”, Proc Maryland Conference on Several Complex Variables Springer Lecture Notes, Vol 185,
Springer-Verlag, Berlin.