Họ HCP và các tính chất mối quan hệ của họ HCP với các họ khác trên không gian tôpô không gian với mạng σ HCP

Mối quan hệ của họ HCP với các họ khác trên không gian tôpô.. Giải tích hiệnđại chuyên nghiên cứu các vấn đề mang tính chất lý thuyết, trong đó việcnghiên cứu về các họ có tính chất đặc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

KHÔNG GIAN VỚI HỌ HCP

Sinh viên thực hiện: VÕ THỊ ANH THƯ

Giảng viên hướng dẫn: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

KHÔNG GIAN VỚI HỌ HCP

Sinh viên thực hiện: VÕ THỊ ANH THƯ

Giảng viên hướng dẫn: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Chuyên ngành: Sư phạm Toán

Lớp: 14ST

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầygiáo TS Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn, động viên, nhắc nhởtác giả trong suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn thành đượcluận văn này.

Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới BanChủ nhiệm khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vàcác thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình học tập tại trường

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè và tất cảnhững người đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập

và hoàn thành luận văn

Tác giả

Võ Thị Anh Thư

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1.1 Không gian mêtric 4

1.2 Không gian tôpô 4

1.3 Không gian khả mêtric 7

1.4 Các tiên đề tách 8

1.5 Một vài không gian mêtric suy rộng 8

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VỚI HỌ HCP .13

2.1 Họ HCP và các tính chất 13

2.2 Mối quan hệ của họ HCP với các họ khác trên không gian tôpô 21

2.3 Không gian với mạng σ-HCP 26

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích là một chuyên ngành quan trọng của toán học Giải tích hiệnđại chuyên nghiên cứu các vấn đề mang tính chất lý thuyết, trong đó việcnghiên cứu về các họ có tính chất đặc biệt trên không gian tôpô rất đượcchú ý Họ bảo tồn bao đóng di truyền HCP cùng với không giank-mạngσ-HCP có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu không gian mêtric tổngquát Những vấn đề này đã được nhiều người quan tâm như: L Foged

đã giới thiệu về đặc trưng của không gian Fréchet với k-mạng σ-HCP,Junniala và Ziqiu Yun đã đưa ra mối quan hệ giữa ℵ-không gian và khônggian k-mạng σ-HCP,

Bởi những lý do như trên cùng với sự góp ý và hướng dẫn tận tình củathầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, tôi đã quyết định chọn đề tài nghiêncứu là: “Không gian với họ HCP”

Nghiên cứu tính chất của họ HCP, mối quan hệ với các họ khác cũngnhư tính chất của mạng σ-HCP trên trong không gian mêtric suy rộng,thuộc lĩnh vực Tôpô đại cương.

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trìnhthực hiện đề tài và thực hiện theo quy trình sau:

(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống lại những kiến thức của tôpô đạicương

(2) Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu liên quanđến họ HCP và mạng σ-HCP và mối quan hệ với các họ khác trênkhông gian tôpô

(3) Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quảđang nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu thamkhảo dành cho ai đang quan tâm nghiên cứu về mêtric hóa của không giantôpô

7 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 2 chương.Chương 1, Trong chương này, tôi hệ thống lại một số khái niệm và kiếnthức cơ bản về không gian mêtric, không gian tôpô nhằm phục vụ choChương 2

Chương 2, Trình bày khái niệm và một số tính chất của của họ HCPcũng như mạngσ-HCP và mối quan hệ với các họ khác trên không gian tôpô

Trong toàn bộ bài viết, các không gian được giả định là T1-không gian

K ∧ F = {KT

F : F ∈ F }

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Không gian mêtric

Định nghĩa 1.1.1 ChoX 6= ∅và hàmd : X×X → R thỏa mãn các tiên đề sau:

Với mọi x, y, z ∈ X, ta có

(1) d(x, y)> 0 với mọi x, y ∈ X

d(x, y) = 0 nếu x = y (tiên đề đồng nhất)

(2) d(x, y) = d(y, x) (tiên đề đối xứng)

(3) d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z) (tiên đề bất đẳng thức tam giác)

Khi đó,

• d được gọi là một mêtric trên X

• Cặp (X, d) được gọi là không gian mêtric

• Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của X

• d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa x và y

1.2 Không gian tôpô

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X là một tập hợp và τ là họ gồm các tập con

nào đó của X thỏa mãn

(1) ∅ ∈ τ, X ∈ τ;

(2) Nếu {Uα}α∈λ ⊂ τ, thì [

α∈λ

Uα ∈ τ;(3) Nếu U, V ∈ τ, thì U T

V ∈ τ

Khi đó,

• τ được gọi là một tôpô trên X

• Cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô, viết tắt là X

• Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở

Nhận xét 1.2.2 Đối với không gian tôpô X, ta có

• Nếu U mở thì U được gọi là lân cận mở của x;

• Nếu A = {x} thì U được gọi là lân cận của x

Định nghĩa 1.2.4 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô, x ∈ X, Ux là họgồm tất cả các lân cận của x Khi đó, họ Vx ⊂ Ux được gọi là cơ sở lâncận tại điểm x nếu với mọi U ∈ Ux, tồn tại V ∈ Vx sao cho: V ⊂ U.Định nghĩa 1.2.5 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô và B ⊂ τ Khi đó,

B được gọi là cơ sở của τ nếu mỗi phần tử của τ là hợp nào đó các phần

tử của B, nghĩa là

∀U ∈ τ, ∃{Vα}α∈I ⊂ B: U = [

α∈I

Vα

Nhận xét 1.2.6 Giả sử B là cơ sở của τ Khi đó,

• Mỗi phần tử của B là một tập mở trong X

• Mỗi tập mở trong X có thể không thuộc B

Bổ đề 1.2.7 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô và B ⊂ τ Khi đó,

B là cơ sở của không gian tôpô (X, τ ) khi và chỉ khi với mọi U ∈ τ và vớimọi x ∈ U, tồn tại V ∈ B sao cho: x ∈ V ⊂ U

Chứng minh (1) ⇒ (2): Giả sử B là cơ sở của không gian tôpô (X, τ ),

(2) ⇒ (1): Giả sử ∀U ∈ τ, ∀x ∈ U, ∃V ∈ B: x ∈ V ⊂ U Phải chứngminh B là cơ sở của không gian tôpô (X, τ )

Thật vậy, lấy W ∈ τ Khi đó, ∀x ∈ W, ∃Vx ∈ B: x ∈ Vx ⊂ W

P = S

{Pn : n ∈ N},trong đó, mỗi Pn là phủ có tính chất (P ) và

Pn ⊂ Pn+1

với mọi n ∈ N.

Định nghĩa 1.2.9 Giả sử X là một không gian tôpô Khi đó,

(1) X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu với mọix ∈ X

có một cơ sở lân cận đếm được

(2) X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tồn tại cơ sở

B đếm được

Nhận xét 1.2.10 Nếu X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứhai thì nó là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất Tuy nhiên,chiều ngược lại không đúng

Nhận xét 1.2.11 Cho A là tập con của không gian tôpô X Khi đó,(1) A luôn tồn tại;

1.3 Không gian khả mêtric

Định nghĩa 1.3.1 Định nghĩa tôpô sinh bởi một mêtric

Giả sử (X, ρ) là một không gian mêtric Khi đó, họ τ các tập mở trong X

là một tôpô trên X Ta nói rằng τ là tôpô sinh ra bởi mêtric ρ

Như vậy, các không gian mêtric là những không gian tôpô

Định nghĩa 1.3.2 Định nghĩa không gian khả mêtric

Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là khả mêtric nếu tồn tại một mêtric

ρ: X × X → R sao cho tôpô sinh bởi ρ trùng với tôpô τ

1.4 Các tiên đề tách

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử X là một không gian tôpô Khi đó,

(1) X được gọi là T1-không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y, tồn tạilân cận Ux của x, Vy của y sao cho x /∈ Vy và y /∈ Ux

(2) X được gọi là T2-không gian hay không gian Hausdorff nếu với mọi

x, y ∈ X mà x 6= y, tồn tại lân cận U của x, V của y sao cho

U T

V = ∅

(3) X được gọi là không gian chính quy nếu với mọi tập F đóng trong

X, với mọi x /∈ F, tồn tại các lân cận U của x, V của F sao cho

(3) P được gọi là rời rạc nếu mỗi x ∈ X, tồn tại lân cận V của x sao cho

V chỉ giao với nhiều nhất một phần tử của P

(4) P được gọi làσ-rời rạc nếu P =

(6) P được gọi là σ-hữu hạn địa phương nếu P =

∞

[

n=1

Pn, trong đó mỗi

Pn là họ hữu hạn địa phương

(7) P được gọi là đếm được địa phương nếu với mỗi x ∈ X, tồn tại lâncận V của x sao cho V chỉ giao với đếm được phần tử của P

(8) P được gọi là σ-điểm-hữu hạn nếu P =

∞

[

n=1

Pn, trong đó mỗi Pn làđiểm-hữu hạn

(9) P được gọi là compact-hữu hạn nếu mỗi tập compact K ⊂ X thì K

chỉ giao với hữu hạn phần tử của P

Định nghĩa 1.5.2 Giả sử X là một không gian tôpô Khi đó,

(1) X được gọi là k-không gian nếu nó được xác định bởi phủ gồm cáctập con compact của X

(2) X được gọi làℵ-không gian nếu nó cók-mạngσ-hữu hạn địa phương.(3) X được gọi là k0-không gian nếu với mọi tập con không đóng H ⊂ X

và với mọi điểm x ∈ H\H, tồn tại tập compact K ⊂ X sao cho

x ∈ HT

K.(4) X được gọi là không gian dãy nếu với mọi A ⊂ X, A là đóng trong

X khi và chỉ khi không có dãy nào trong A hội tụ đến điểm nằmngoài A

(5) X được gọi là không gian Fréchet nếu với mọi A ⊂ X và x ∈ A, tồntại dãy xn ⊂ A hội tụ đến x

Định nghĩa 1.5.3 Giả sử X là không gian tôpô Ta nói rằng X là khônggian có tính chất mỗi điểm của X là Gδ-tập nếu với mọi x ∈ X, tồn tạidãy giảm gồm các tập mở {Un(x) : n ∈ N} sao cho

Mệnh đề 1.5.4 Đối với không gian Hausdorff, các khẳng định sau đây

(3) Mỗi không gian Fréchet là không gian dãy;

(4) Mỗi không gian dãy là k-không gian;

(5) Mỗi không gian Fréchet là k0-không gian;

(6) Mỗi k0-không gian là k-không gian

Chứng minh (1) Giả sử X là không gian mêtric Khi đó, với mọi x ∈ X,họ

Bx = {Vn(x) : n ∈ N}

Ta có thể giả thiết rằng Vn+1(x) ⊂ Vn(x) với mọi n ∈ N.

Bây giờ, giả sử F là tập con bất kỳ của X và x ∈ F Khi đó,

Vn(x)T

F 6= ∅ với mọi n ∈ N.

Do đó, với mỗi n ∈ N, tồn tại xn ∈ Vn(x)T

F Suy ra tồn tại dãy

{xn : n ∈ N} ⊂ F sao cho xn ∈ Vn(x) với mọi n ∈ N Ta cần chứng minh

dãy {xn} hội tụ đến x Thật vậy, giả sử U là lân cận bất kỳ của x Vì Bx

là cơ sở lân cận tại x nên tồn tại n0 ∈ N sao cho:

x ∈ Vn0(x) ⊂ U.Mặt khác, vì xn ∈ Vn(x) ⊂ Vn0(x) với mọi n > n0 nên suy ra xn ∈ U vớimọi n> n0 Điều này chứng tỏ rằng xn hội tụ đến x

Vậy X là không gian Fréchet

(3) Giả sử X là không gian Fréchet Ta cần chứng minh X là khônggian dãy

(i) Giả sử F là tập con đóng trong X và {xn} là dãy trong F hội tụđến x ∈ X Khi đó, vì F là tập đóng nên x ∈ F

(ii) Giả sử F ⊂ X sao cho mọi dãy trong F hội tụ đến điểm x ta đều

có x ∈ F Ta cần chứng minh F là tập hợp đóng

Giả sử ngược lạiF không là tập đóng trongX Khi đó, tồn tạix ∈ F \F

Vì X là không gian Fréchet nên tồn tại dãy {xn} ⊂ F hội tụ đến x /∈ F.Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Do đó, X là không gian dãy

(4) Giả sử X là không gian dãy vàA là tập con củaX thỏa mãn AT

K0 = {xn : n ∈ N} là tậpđóng trong K0, kéo theo AT

K0 đóng trong X Suy ra x ∈ {xn : n ∈ N}

kéo theo x ∈ A Mâu thuẫn với x /∈ A Do vậy, A đóng trong X và X là

k-không gian

(5) Giả sử X là không gian Fréchet, A là tập con không đóng của X

và x ∈ A\A Ta cần chứng minh tồn tại tập compact K ⊂ X sao cho

x ∈ AT

K

Thật vậy, vì X là không gian Fréchet và x ∈ A nên tồn tại

{xn : n ∈ N} ⊂ A.hội tụ đến x Đặt

K = {x}S

{xn : n ∈N}.Hiển nhiên K là tập compact trong X Từ cách đặt suy ra

KT

A = {xn : n ∈N}.Mặt khác, vì x ∈ {xn : n ∈N} nên x ∈ AT

K

Do vậy X là k0-không gian

(6) Giả sử X là k0-không gian Ta cần chứng minh X là k-không gian.Giả sử ngược lại X không là k-không gian Khi đó, tồn tại tập con A

của X sao cho AT

K đóng trong K với mọi tập compact K ⊂ X nhưng

A không đóng trong X

Vì A không đóng trong X nên tồn tại x ∈ A\A Mặt khác, vì X là

k0-không gian nên tồn tại tập compact K0 ⊂ X sao cho x ∈ AT

K0 Hơnnữa, vì AT

K0 đóng trong không gian con K0 nên A ∩ K là tập compacttrong X Suy ra A ∩ K là tập con đóng trong X Do đó

CHƯƠNG2 KHÔNG GIAN VỚI HỌ HCP

(2) P là họ bảo tồn bao đóng (CP) nếu

S

P0

= S

{P : P ∈ P0},với mọi P0 ⊂ P

(3) P là họ σ-bảo tồn bao đóng di truyền (σ-HCP) nếu

(2) Mỗi họ con của họ HCP (tương ứng, CP) là họ HCP (tương ứng, CP)

Bổ đề 2.1.3 NếuP là họ HCP trong không gian X, thìP = {P : P ∈ P}

cũng là họ HCP

Chứng minh Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ}, ta cần chứng minh

Vì X là không gian chính quy nên với mỗi α ∈ J, tồn tại các tập mở

Uα và Vα của X sao cho

x ∈ Uα, Aα ⊂ Vα và UαT

Vα = ∅.Mặt khác, vì Vα là tập mở nên

Aα ⊂ PαT

Vα ⊂ PαT

Vα.Hơn nữa, vì P là họ HCP nên

Do đó, tồn tại α ∈ J sao cho x ∈ PαT

Vα Bởi vì Uα là lân cận của x nên

Vì vậy, điều giả sử trên là vô lý

Hệ quả 2.1.4 Giả sử P là họ gồm các tập con nào đó của không gian

X Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương

(1) P là họ HCP;

(2) P = {P : P ∈ P} là họ HCP;

Chứng minh (1) ⇒ (2): Theo Bổ đề 2.1.3

(2) ⇒ (1): Hiển nhiên

Hệ quả 2.1.5 Giả sử P là họ gồm các tập con nào đó của không gian

X Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương

(1) P là họ σ-HCP;

(2) P = {P : P ∈ P} là họ σ-HCP;

Chứng minh: Suy trực tiếp từ Hệ quả 2.1.4

Bổ đề 2.1.6 Nếu P là họ HCP các tập con đóng của không gian Fréchet

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng Giả sử P∗ không là họ HCP của

X Khi đó, tồn tại họ {Fα : α ∈ J}, với Fα là họ con hữu hạn của P vàvới mỗi α ∈ J, tồn tại Aα ⊂ T

F sao choS

Bổ đề 2.1.7 Giả sử X là không gian dãy Nếu P là họ HCP của X thì

D(P)= {x ∈ X : P không là điểm-hữu hạn tại x}

là không gian con đóng rời rạc của X

Chứng minh Nếu D là tập hữu hạn ⇒ D đóng và rời rạc.

Giả sử D là tập vô hạn, ta cần chứng minh mọi tập con vô hạn A của

D đều đóng Thật vậy, giả sử tồn tại tập con vô hạn A ⊂ D không đóngtrong X Vì X là không gian dãy nên tồn tại dãy

{xn : n ∈ N} ⊂ A

hội tụ đến x /∈ A, ta có thể giả thiết rằng các xn phân biệt Lấy P1 ∈ P

sao cho x1 ∈ P1 Do P không là điểm-hữu hạn tại xn nên bằng quy nạp

ta có thể chọn được

Pn ∈ P\{P1, , Pn−1}

sao cho xn ∈ Pn, với mọi n ∈ N

Bởi vì xn ∈ Pn và xn phân biệt nên từ tính chất HCP của P suy ra

{xn : n ∈ N} là tập đóng Do đó, x ∈ S

{xn : n ∈ N} ⊂ A Mâu thuẫnvới x /∈ A Vì vậy, D đóng và rời rạc trong X

Bổ đề 2.1.8 Giả sử P là họ HCP của không gian dãy X và K là tậpcompact trong X Đặt

D(P)= {x ∈ X : P không là điểm-hữu hạn tại x}

Khi đó K ∩ D là hữu hạn

Chứng minh Ta sẽ chứng minh theo phản chứng

Giả sử tồn tại tập compact K ⊂ X sao cho KT

D là vô hạn Khi đó,tồn tại tập đếm được

{xn : n ∈ N} ⊂ KT

D,với giả thiết các xn phân biệt Vì P không là điểm-hữu hạn tại xn với mọi

n ∈ N nên chọn họ phân biệt {Pn : n ∈ N} sao cho xn ∈ Pn Vì P là HCPnên {xn : n ∈ N} là tập con vô hạn đóng rời rạc trong K Mâu thuẫn vớitính compact của K Vậy K T

D là hữu hạn

Bổ đề 2.1.9 Giả sử P là họ HCP gồm các tập con nào đó của khônggian X và

{x}S

{xnk : k ∈ N} ⊂ P.Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng

Giả sử với mọi dãy con {xni} của {xn} ta đều có

{x}S

{xni : k ∈ N} 6⊂ P với mọi P ∈ P.Khi đó, LT

P là hữu hạn với mọi P ∈ P Không mất tính tổng quát, giả

sử L = {xn : n ∈N} là dãy vô hạn Lấy xn1 ∈ S

xnk ∈ Pk ∈ P với mọi k ∈ N , và xnk 6= xnl nếu k 6= l

Bởi thế, {xnk} không phải CP Mâu thuẫn với giả thiết P là HCP

Mệnh đề 2.1.10 Giả sử P là phủ gồm các tập con đóng của không giandãy X Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương

(1) P là họ hữu hạn địa phương;

(2) P là họ điểm-hữu hạn HCP;

Chứng minh (1) ⇒ (2): Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ} là họ hữu hạn địaphương, J ⊂ Λ, Aα ⊂ Pα, với mỗi α ∈ J Ta chứng minh

S

{Aα : α ∈ J } = S

{Aα: α ∈ J }.Thật vậy

F nên ∪F không đóng trong X.

Mà X là không gian dãy nên tồn tại dãy S ⊂ S

F, hội tụ đến y /∈ S

F.Bởi vì, mỗi phần tử của F là đóng, P ∈ F, y /∈ P và dãy S hội tụ đến y

nên P chỉ chứa nhiều nhất là hữu hạn phần tử của dãy S Do vậy, ta cóthể chọn được dãy phân biệt {xk : k ∈ N} là dãy con của S và họ vô hạn

{Pk : k ∈ N} ⊂ F sao cho với mỗi k ∈ N, Pk chỉ chứa duy nhất phần tử

xk của dãy {xk : k ∈ N} Từ tính chất HCP của P và y ∈ S

F Bởi vậy,P là họ hữu hạn địa phương

Hệ quả 2.1.11 Cho P là phủ HCP gồm các tập con đóng của không giandãy X Khi đó

D(P) = {x ∈ X : P không là hữu hạn địa phương tại x}

là đóng và rời rac trong X

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.10, ta có

D(P) = {x ∈ X : P không là điểm-hữu hạn tại x}

Sử dụng Bổ đề 2.1.7, ta suy ra được D(P) là không gian con đóng và rờirạc của X

Mệnh đề 2.1.12 Giả sử P là họ các tập con đóng HCP của không giandãy X Khi đó, P là họ điểm-đếm được khi và chỉ khi P là họ đếm đượcđịa phương

Chứng minh (1) Điều kiện đủ: Hiển nhiên

(2) Điều kiện cần: Giả sử P là họ điểm-đếm được Ta chứng minh P là

họ đếm được địa phương

Thật vậy, giả sử ngược lại rằng P không là họ đếm được địa phươngcủa X Khi đó, tồn tại x ∈ X sao cho

F, hội tụ đến

y /∈ S

F Hơn nữa, vì mỗi phần tử của F là đóng, P ∈ S

F, y /∈ P và S

là dãy hội tụ đến y nên P chỉ chứa nhiều nhất là hữu hạn phần tử của dãy

S Do đó, ta có thể chọn được dãy phân biệt {xk : k ∈ N} là dãy con của