LUẬN văn sư PHẠM TOÁN KHÔNG GIAN tôpô và các MINH họa TRÊN r n

Ông thêm vào một số khái niệm cơ bản của lý thuyết tập hợp như: tập dẫn xuất, tập mở, xét tập ựiểm trong không gian Euclide một phần công trình nghiên cứu của ông về chuỗi Fourier .Ầ đán

Giảng viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện

Ma Trần Thị Thanh Thúy Phạm Minh Trí (MSSV:1060088)

Cần Thơ 2010

o O o 

Học tập và nghiên cứu toán cao cấp là một công việc rất thú vị nhưng cũng ñầy khó khăn và thử thách ðược trang bị kiến thức liên quan cùng với sự hỗ trợ nhiệt tình của giáo viên hướng dẫn cô Trần Thị Thanh Thúy là những ñiều kiên thuận lợi ñể em ñã hoàn thành ñề tài nghiên cứu của mình

Nay em xin gởi lời cảm ơn chân thành ñến tập thể giảng viên bộ môn toán ñã tạo ñiều kiện cho em nghiên cứu Cám ơn các thầy cô ñã giảng dạy em trong thời gian qua Trong ñó thầy Lê Hồng ðức là người ñặt nền tảng giải tích cho em qua môn “giải tích 1” và “giải tích hàm” Thầy Lâm Quốc Anh ñã giúp em hình thành tính hệ thống khi trình bài một vấn ñề qua môn “cơ sở hình học” Thầy Bùi Anh Kiệt dạy em môn “toán rời rạc” giúp em hiểu tốt hơn về vấn ñề liên thông liên quan ñến ñề tài ðặc biệt em xin gởi lời cảm ơn ñến cô Trần Thị Thanh Thúy là giảng viên hướng dẫn cũng là người trực tiếp giảng dạy các học phần liên quan ñến tôpô

LỜI NÓI ðẦU

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ðẦU

PHẦN NỘI DUNG

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ

I KHÔNG GIAN TÔPÔ 1

II TẬP MỞ, LÂN CẬN, TẬP ðÓNG 4

1 Tập mở 4

2 Lân cận 5

3 Tập ñóng 6

4 Tập Fσ và Gσ 8

III CÁC LOẠI ðIỂM, PHẦN TRONG, BAO ðÓNG 9

1 ðiểm giới hạn – tập dẫn xuất 9

2 Giới hạn của dãy 11

3 Phần trong 12

4 Bao ñóng 14

5 ðiểm biên 16

IV TẬP TRÙ MẬT - KHÔNG GIAN KHẢ LY 18

V CƠ SỞ SỞ TÔPÔ 19

1 Cơ sở tôpô 19

2 Tiền cơ sở 22

VI SO SÁNH CÁC TÔPÔ 23

VII CÁC TIÊN ðỀ ðẾM ðƯỢC 26

VIII KHÔNG GIAN CON 29

IX ÁNH XẠ LIÊN TỤC 31

X PHÉP ðỒNG PHÔI 35

XI CÁC TIÊN ðỀ TÁCH 38

XII KHÔNG GIAN COMPACT 40

XIII KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG 41

XIV TÔPÔ TÍCH 46

Chương 2 CÁC BÀI TOÁN TÔPÔ TRÊN n R Vấn ñề 1 Vài không gian tôpô trên R 53

Vấn ñề 2 Tập mở, tập ñóng 54

Vấn ñề 3 Các loại ñiểm, phần trong, bao ñóng 59

Vấn ñề 4 Tập trù mật- không gian khả li 62

Vấn ñề 5 Các tiên ñề ñếm ñược 63

Vấn ñề 6 Không gian con 64

Vấn ñề 7 Ánh xạ liên tục 65

Vấn ñề 8 Phép ñồng phôi 67

Vấn ñề 9 Không gian tách 69

Vấn ñề 10 Không gian liên thông 71

Vấn ñề 11 Không gian compact 73 PHẦN KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A’ tập dẫn xuất

Ad

S(x, r0) trong R là khoảng (x−r0;x+r0) ; trong 2

R là ñĩa mở tâm (a ; b) bán kính r0 - 2

0 2 2

r)by()ax(:)y,x

S[x, r0] trong R là ñoạn [x−r0;x+r0] ; trong 2

R là ñĩa ñóng tâm (a ; b) bán kính r0 - 2

0 2 2

r)by()ax(:)y,x

1 Lý do chọn ựề tài

Tiếp cận với sinh viên ngành toán với tên gọi Ộtôpô ựại cươngỢ, nó như bài toán mở ựối với sinh viên chúng ta vì việc vận dụng kết quả của nó vào các môn học tiếp theo hầu như rất hạn chế, mãi ựến môn Ộgiải tắch hàmỢ và Ộựộ ựo và tắch phân lebesgueỢ mới thấy ựược nó là nền tảng cho toán hiện ựại Với vai trò quan trọng ựó việc nghiên cứu

và nắm vững tắnh chất cơ bản của tôpô là hết sức quan trọng Nhưng ựể làm ựược ựiều

ựó theo em là rất khó với các bạn mới tiếp cận toán hiện ựại đề tài sẽ ựưa ra nhiều vắ

dụ nhằm cụ thể hóa không gian trừu tượng và các phản vắ dụ giúp các bạn nắm sâu hơn bản chất của vấn ựề

2 Lịch sử vấn ựề

Với việc giải quyết bài toán 7 cây cầu Konigsberg vào năm 1736, Euler biết mình ựã tiếp cận với một thứ hình học mới mà yếu tố khoảng cách không còn quan trọng Nhưng tư tưởng này dường như bị Archimedes và Descartes bỏ qua Công trình này vẫn tiếp tục ựược Euler và nhiều nhà toán học khác như Lhuilier và Mõbius, Riemann, Jordan, Ầ nghiên cứu Năm 1895 Henri Poincaré xuất bản ỘAnalyis SitusỢ giới thiệu khái niệm ựồng phôi và tương ựương tôpô, một phần của ựại số tôpô Ờ Ộalgebra topologyỢ - sau này

Hướng phát triển thứ hai bắt ựầu vào năm 1817 khi Bolzano mở rông giới hạn của dãy

số thực lên giới hạn của tập con vô hạn bị chặn của những số thực Cột mốc năm 1872 với sự phát triển mạnh mẽ của tôpô hiện ựại ựược xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp của Georg Cantor Ông thêm vào một số khái niệm cơ bản của lý thuyết tập hợp như: tập dẫn xuất, tập mở, xét tập ựiểm trong không gian Euclide một phần công trình nghiên cứu của ông về chuỗi Fourier Ầ đánh dấu sự ra ựời của Ộpoint set topologyỢ Năm 1906 Maurice Fréchet hợp nhất các công trình nghiên cứu của Cantor, Volterra, Ascoli Ầ giới thiệu không gian metric

Sự ra ñời của môn giải tích hàm là hướng thứ ba của sự phát triển Với những ñóng ghóp của Jacob Bernoulli và Johann Bernoulli với hàm một biến; Hadamard với hàm tuyến tính, Schmidt và Fréchet khảo sát tính hội tụ trong không gian liên tục Tiến xa hơn trên con ñường toán học trừu tượng là không gian ñịnh chuẩn của Banach

Trải qua chặn ñường phát triển dài với rất nhiều thành tựu ngày này tôpô có mặt trong hầu hết các chuyên ngành của toán học: tôpô ñại số, tôpô tập ñiểm, tôpô hình học, ña tạp … và những ứng dụng rỗng rãi của nó trong tin học

Chương trình toán bậc ñại học trong nước chỉ mới tiếp cận các khái niệm tôpô ở dạng ñại cương ðể học tập và nghiên cứu tốt về sau người học cần xây dựng những nền tảng toán học này cho thật tốt

3 Mục ñích nghiên cứu

+ Cụ thể hóa các khái niệm, ñịnh lý bằng các ví dụ và phản ví dụ

+ Làm rõ mối liên hệ giữa các khái niệm trong không gian tôpô

+ Sắp xếp phân dạng các bài tập tạo nguồn tư liệu học tập

4 Phạm vi nghiên cứu

Trong phạm vi ñề tài em ñi sâu nghiên cứu các tính chất của tôpô tổng quát và tôpô

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Tìm tòi tra cứu thông tin từ Internet

+ Phân dạng bài tập và trình bài theo khuôn khổ giáo trình: “tôpô ñại cương”

+ Rút kinh nghiệm và tìm hướng nghiên cứu sâu hơn

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG

KHÔNG GIAN TÔPÔ

I KHÔNG GIAN TÔPÔ

ðịnh nghĩa

thỏa mãn các tiên ñề sau ñây:

τ) gọi là không gian tôpô rời rạc

là không gian Darixki

 Giao của một họ các tôpô trên X cũng là một tôpô trên X

 Hợp của hai tôpô không chắc là tôpô

Ví dụ Cho X = 1 , 2 , } và S={∅, 1},X}, T={∅, 2},X} S và T là các tôpô trên X nhưng

=

∪ T

S { ∅ , 1 }, 2 }, X } không là tôpô trên X Vì 1},{ }∈S∪T nhưng 1, }∉S∪T

 Các minh họa trên R

số nguyên dương bất kì là một tôpô trên R

Chứng minh

+ Ta có R, ∅ thuộc τ

thì tồn tại số tự nhiên n, m sao cho U = (- n, n) và V = (- m, m)

Do ñó U∩V=(−min{m,n},min{m,n})∈τ

∈ I iiU

},mmax{

∈ I iU

U τ

Vậyτlà một tôpô trên R

 Bằng những lập luận tương tự ta chứng minh ñược họ các tập con sau ñây của R là một tôpô

3) ''τ gồm R, ∅ và mọi khoảng [n, +∞ ) trong ñó n là số nguyên dương bất kì

4) Trên tập X một phân hoạch P của X là họ tập hợp gồm những tập con rời nhau của X sao cho hợp của nó là X Tôpô τP gồm X, ∅và họ các tập thuộc P gọi là tôpô phân hoạch

các khoảng dạng [a, b) (với a, b là số nguyên)

5) Cho X là tập vô hạn và p∈X là một ñiểm bất kỳ trong X Cho τF là một họ các tập

tôpô trên X gọi là tôpô Fort

khoảng dạng [a, b) ((a, b])

7) Trên R trang bị tôpô τ ={S⊂R∀x∈S,∃a,b∈R:x∈(a,b)⊆S} không gian (R,τ)ñược gọi là không gian tôpô Euclide trên R

∈

J jA)

b,a(

U + Cuối cùng ta kiểm tra với mọi A1, A2 thuộc vào τ thì A1∩A2∈τ Thật vậy với mọi

}3n{}2n{}1n

∞ +

=

∪

=

∪+

∪+

∪+

i

Ui = {0} không là tập mở

 Các minh họa trên R

1) Trong không gian tôpô Euclide trên R mọi khoảng (r, s) là tập mở

Tương tự ta chứng minh ñược (−∞, ) cũng là tập mở trong R

3) Một tập con S của R là tập mở nếu và chỉ nếu nó là hợp của những khoảng mở

U

∈

)

Vx = (a, b) sao cho x∈Vx ⊆S Khi ñó S=Ux∈S{ }⊆Ux∈SVx ⊆S⇒S=Ux∈SVx Vậy S

là hợp của những khoảng mở

4) Không phải tất cả tập mở trên R ñều là khoảng

Ví dụ Tập (1,2)∪(3.4) và (2n,2n 1)

1 n

2

ca

Nếu A = {x} thì V ñược gọi là một lân cận của ñiểm x

 Minh họa trên R

1) Khoảng mở (a, b) là lân cận của mọi ñiểm thuộc nó

2) ðoạn [0, 1] trên R là lân cận của mọi ñiểm x0 vì x0∈(0,1)⊂[0,1]

3) ðoạn [0, 1] không là lân cận của 1 vì không tồn tại khoảng (a, b): 1∈(a,b)⊂[0,1]

Thật vậy, giả sử tồn tại khoảng (a, b): 1∈(a,b)⊂[0,1] khi ñó ta có 0 < a < 1 < b suy ra

]1,0[2

b1)b,a(2

b1b2

b1

1

a

[0,1] không là lân cận của 1

 Tính "ñóng" của một tập tùy thuộc vào tôpô ñang xét

Ví dụ

R

b) Xét R ñược trang bị tôpô τ = { ∅, R} ∪ {(x, +∞)| x ∈ R}

Ta có (0, 1) không mở trong không gian này nhưng mở trong không gian tôpô Euclide trên R

 Trong không gian tôpô có những tập không ñóng cũng không mở

Ví dụ

a) Xét tôpô Eucilde trên R tập A = (0, 1] không là tập ñóng cũng không là tập mở b) Tập các số tự nhiên chẵn E không là tập mở trong tôpô bù hữu hạn trên R vì phần bù của nó tập các số tự nhiên lẽ N\E không là tập hữu hạn

Mặt khác E cũng không là tập ñóng vì phần bù N\E không là tập mở

 Minh họa trên R

1) ðoạn [a, b] là tập ñóng trong tôpô Euclide trên R

Chứng minh

Rõ ràng R\ [a,b]=(−∞,a)∪(b,+∞)∈τ suy ra [a, b] là tập ñóng

ðặc biệt khi a = b ta có {a} là tập ñóng

2) Tập Z các số nguyên là tập con ñóng của R

Chứng minh

Z n

+

=

∈

mở trong R Suy ra Z ñóng trong R

3) Mọi tập hữu hạn trên R là tập ñóng nhưng không mở

Thật vậy, gọi A là tập con hữu hạn của R, ñặt A={x1,x2, ,xn} ta có A ñóng vì {x} là

A x

U

∈

Nếu A mở thì với mọi xi∈A ta có ∃(a,b):xi∈(a,b)⊂A ñiều này là không thể vì

ðể chứng minh Q không là tập ñóng ta ñi chứng minh R\Q không là tập mở Tương tự

vì giữa 2 số thực bất kì tồn tại số hữu tỉ Nên R\Q không chứa bất kì khoảng mở (a, b) nào Nên Q không ñóng trong R

4 Tập Fσ và Gσ

ðịnh nghĩa Cho (X,τ) là một không gian tôpô

 Tích chất Phần bù của Fσ là tập Gσ và phần bù của tập Gσ là tập Fσ

Chứng minh

1 iF

 Minh họa trên R

Chứng minh

+ Ta có [a, b] là tập ñóng trong R nên hiển nhiên nó thuộc Fσ

Thêm vào ñó ]

i

1b,i

1a[)

b,a(

a b

2 i

−+

1a(]b,

III CÁC LOẠI ðIỂM, PHẦN TRONG, BAO ðÓNG

1 ðiểm giới hạn – tập dẫn xuất

ðịnh nghĩa Cho không gian tôpô (X,τ), x∈X và A⊂X

* x là ñiểm giới hạn của A nếu ∀V∈Vx ⇒(V\{x}∩A ≠∅)

* Tập hợp tất cả các ñiểm giới hạn của tập A gọi là tập dẫn xuất của A Ký hiệu: A’ hoặc Ad

•••• Ví dụ Cho không gian tôpô (X,τ) trong ñó X = {a, b, c, d, e} tôpô

}}

e,d,c,b},d,c,a{},d,c{},

* b, d và e là ñiểm giới hạn của A

+ Tập mở chứa b là X và {b, c, d, e} và cả hai ñều chứa phần tử khác b của A là c Nên

b là một ñiểm giới hạn của A

+ ðiểm d là ñiểm giới hạn của A mặc dù nó không thuộc A Vì những tập mở chứa d là }

d

,

c , a,c,d}, {b,c,d, } và X ñều chứa c Tương tự e là ñiểm giới hạn của A mặc dù

nó không thuộc A

* a, c không là ñiểm giới hạn của A

+ Tương tự V = c,d}∈Vcnhưng (V\{c})∩A=∅ vì vậy c không là ñiểm giới hạn của

A

ñiểm giới hạn của G Nếu G là tập ñóng, ñiều trên không còn ñúng

Chứng minh

Lấy x ∈G Vì G mở nên tồn tại r0 > 0 : S(x, r0) ⊂ G

Chọn r ≤ r0, ta có: S(x, r) ⊂ S(x, r0) ⊂ G Do ñó, tồn tại y ∈ S(x, r), y ≠ x và y ∈G Vậy, mọi x thuộc G ñều là ñiểm giới hạn của G

Nếu G là tập ñóng, ñiều trên không còn ñúng

Ví dụ Xét G = {0} Ta có 0 không là ñiểm giới hạn của G

 Minh họa trên R

1) Với A = ( −∞, +∞) , tập các ñiểm giới hạn của A là ( −∞, +∞)

2) Với A = (−2, 4] ∪ [7,12] , tập các ñiểm giới hạn của A là [−2, 4] ∪ [7,12]

3) Tập N không có ñiểm giới hạn vì nếu a ∈ R, tồn tại ∂ > 0 sao cho: ( a −∂, a + ∂) không có chứa ñiểm của N khác a

ñiểm của (a, b] khác c

i) A ∩ Ad = ∅

ii) A ⊂ Adiii) Ad⊂ A

iv) A = AdThật vậy:

2, } Khi ñó, Ad = {0} và do ñó A ∩ Ad = ∅ ii) Chọn A = (a, b] Khi ñó, A ⊂ Ad = [a, b]

 Một dãy có thể có nhiều giới hạn

Thật vậy, xét tập X ñược trang bị tôpô τ ={∅,X} thì với mọi dãy {xn}, ta có

;UUy

nên tồn tại hai số tự nhiên N1, N2 sao cho xj∈U,∀j≥ N1 và xj∈V,∀j≥N2 Khi ñó

}N

;Nmax{

j,

V

U

một giới hạn

 Không gian tôpô Euclide là không gian Hausdorff nên giới hạn một dãy (nếu có) là duy nhất

 Trong không gian tôpô không là không gian Hausdorff, một dãy có thể hội tụ về nhiều ñiểm

Trong không gian tôpô thô (X,τ), {xn} ⊂X thì xn →x,∀x∈X

 Minh họa trên R

1) Nếu xn = c là dãy hằng trong R với tôpô thông thường thì c là giới hạn của dãy N

* Phần trong của A là tập mở lớn nhất trong X chứa trong A

Kí hiệu: A0 hoặc intA

•••• Ví dụ Cho X={a,b,c,d,e} và τ ={X,∅,{a},{c,d},{a,c,d}, b,c,d,e}} Tìm phần trong của các tập sau A= a,c,d, }; B= b,c,d,e}

Chứng minh

Các tập con mở của A gồm ∅; {a}; {c, d}; {a, c, d} Suy ra intA = {a, c, d}

Tương tự ta có: intB⊂int(A∪B)

Vậy int(A∪B)⊃intA∪intB

 Minh họa trên R

1) Xét tôpô Euclide trên R, int((3, 4)) = (3, 4); int([0, 1]) = (0, 1); int({1}) =∅

nhưng 0 và 1 không là ñiểm trong của A (mâu thuẫn với A là tập mở) Suy ra (0, 1) là tập mở lớn nhất trong [0, 1]

2) Nếu U mở thì U = int U không nhất thiết ñúng

Xét U = R \ {0} trong R với tôpô thông thường Khi ñó, U mở nhưng

int U = intR = R

3) int(A∪B)⊄intA∪intB

Xét A=[0;1) và B=[1;2] Ta có A∪B=[0;2] và

BintAint)2

;1()1

;0()2

;0()

B

A

4 Bao ñóng

* Bao ñóng của A là tập ñóng bé nhất trong X chứa A

{a} Vì tập ñóng chứa b là tập ñóng nhỏ nhất trong không gian (X,τ) nên {b}={b, } Tương tự ta có a, }=X và {b,d}={b,c,d, }

cả ñiểm giới hạn

Chứng minh

( )⇒ Giả sử A ñóng trong ( )X,τ và p là ñiểm giới hạn của A và p∈X\A Khi ñó

A

\

mọi ñiểm giới hạn của A ñều thuộc A

z A

\ X

+ Tập [a, b] ñóng trên R vì tất cả ñiểm giới hạn của [a, b] ñều thuộc [a, b]

+ Tập (a, b) không là tập ñóng vì không chứa ñiểm giới hạn a và b

+ [a,+∞) ñóng trên R

 Mệnh ñề 2 Bao ñóng của A là tập hợp tất cả các ñiểm dính của A

 Mệnh ñề 3 Trong không gian tôpô (X, τ) cho Ai⊂ X ,∀i ∈ I với I là một tập chỉ số nào ñó Chứng minh rằng:

I iA

U

∈

I iA

U

∈ Kéo

I i

 Minh họa trên R

I i I

I i I

I

A)

2,0[]2,0[

ðịnh nghĩa Cho không gian tôpô (X,τ), x∈X

Tập hợp các ñiểm biên của A ñược gọi là biên của A

Ký hiệu: δ(A) hoặc Fr(A) hoặc b(A)

 Tính chất

 ∂A=A\int(A)

Ta có: A\∂A=A\(A∩X\A)=A\X\A=A∩(X\X\A)=A∩intA=intA Suy ra

)Aint(

)Aint(

\A)Aint(

\)Aint(

A)Aint(

\B())Aint(

\A())BAint(

\B())BA

 Minh họa trên R

ñĩa tròn D với biên hình tròn C thì intA =D, A=A∪C và ∂A=C

2) Trong không gian tôpô có thể có hai tập con A và B khác nhau nhưng có cùng bao ñóng, cùng phần trong, cùng biên

Xét R với tôpô thông thường Chọn A = (0 ; 1) và B = [0 ; 1]

;0{])2

IV TẬP TRÙ MẬT VÀ KHÔNG GIAN KHẢ LY

ðịnh nghĩa

Cho không gian tôpô (X,τ), A, B ⊂ X

Chứng minh

Ta có X\(X\A)=X\(X\int(A))=int(A)

Do ñó A=X nếu và chỉ nếu int(X\A)=X\A=∅

 Mệnh ñề 2 Hợp hữu hạn các tập không ñâu trù mật là một tập không ñâu trù mật

 Mệnh ñề 3 Hợp ñếm ñược các tập không ñâu trù mật không nhất thiết là tập không ñâu trù mật

= 1 n = {r1, r2 , } không là tập không ñâu trù mật

1) R với tôpô thông thường là không gian khả li vì tập số hữu tỉ Q là tập con ñếm ñược

và trù mật khắp nơi trong R

Chứng minh

với (a,b)⊆R \Q) Tóm lại Q=R

2) Tập số hữu tỉ Q trù mật trong không gian tôpô giới hạn dưới trên R

Chứng minh

Giả sử G là tập mở trong tôpô ñã cho Khi ñó, tồn tại [a, b): [a, b) ⊂ G

Vì luôn có số r ∈ Q: r ∈ [a, b) nên G ∩ Q ≠∅

Vậy, Q là trù mật khắp nơi trong R với tôpô ñã cho

V CƠ SỞ TÔPÔ

1 Cơ sở tôpô

•••• Ví dụ Cho (X,τ)là một không gian tôpô rời rạc Khi ñó họ các tập con gồm một phần tử của X: β ={{x}:x∈X} là một cơ sở

B}

x{

tôpô trên X (khi ñó β là cơ sở cho tôpô τ )

Tóm lại ta có τ là một tôpô trên X

Mệnh ñề này cho phép chúng ta ñịnh nghĩa tôpô một cách ñơn giản là chỉ ra một cơ sở

Ta sẽ dùng mệnh ñề này ñể ñịnh nghĩa tôpô trên mặt phẳng Tôpô này ñược biết ñến như là “tôpô Euclide” trên mặt phẳng

•••• Ví dụ Cho β là một họ các “hình chữ nhật mở”

β ={(x,y):x,y∈R2,a< x<b,c<y< } Khi ñó β là một cơ sở cho một tôpô trên

một tôpô chúng ta có thể hình dung mặt

phẳng là hợp tất cả hình chữ nhật mở, giao của hai hình chữ nhật mở là một hình chữ

khi với mỗi β 1, β2 thuộc βvà với mỗi x∈B1∩B2ñều tồn tại B∈β sao cho

sở cho tôpô trên tập khác rỗng X Nếu β1 là một họ các tập con của X sao cho

 Mệnh ñề 5 Cơ sở tôpô có thể không là tôpô

x

BB

U

∈

B xB

 Minh họa trên R

giới hạn dưới trên R

Chọn B3 = [max {a, c}, min {b, d} ) Ta ñược: x ∈ B3 ⊂ B1∩ B2

2) Họ ñếm ñược β ={(a,b)a,b∈Q,a<b} là một cơ sở sinh ra tôpô Euclide trên R Chứng minh

Với mọi x∈R thì ∀V∈Vx,∃(a,b)∈β:x∈(a,b)⊂V Do ñó, B là một cơ sở cho tôpô chuẩn trên R

3) Tồn tại vô số các cơ sở cho tôpô trên R

Chứng minh

Ta có họ β ={(a,b):a,b∈Q} là một cơ sở cho tôpô trên R Cho nên họ

β*={(a,b)∪(c,d)a;b;c;d∈Q; c = const, d = const} cũng là một cơ sở tôpô trên R Khi cho c; d bất kỳ ta có vô số cơ sở tôpô trên R

2 Tiền cơ sở

thể của các phần tử trong σ là một cơ sở cho một tôpô nào ñó trên X=U{S:S∈σ} Khi ñó họ σ ñược gọi là tiền cơ sở

•••• Ví dụ

1) Cho X= {1,2,3,4} và σ ={{1,2}, 2,3}}, ñặt A ={1,2},B={2,3} khi ñó ta có

β ={{1,2}, 2}, 2,3},∅,X} là cơ sở cho tôpô τ(σ)={A∩B,A,B,AUB,X,∅}

2) Họ S={{a}, a,c,d},{b,c,d,e,f}} là tiền cơ sở của không gian tôpô (X,τ) với

}f,e,d

Họ các khoảng mở dạng (a,+∞) hoặc (−∞,b) là một tiền cơ sở cho tôpô Euclide trên R Chứng minh

Gọi β là một họ các giao hữu hạn của các khoảng mở dạng (a,+∞) hoặc (−∞,b)

Ta có: ∀x∈R,∀V∈Vx ⇒∃a,b∈R:x∈(a,b)⊂R khi ñó

2

xbx2

xaa

;2

xa(

)

;2

xa()2

xb

;()2

xb

;(x:)

;2

xa()2

xb

;(,VV,

R

tôpô Euclide trên R

VI SO SÁNH CÁC TÔPÔ

ðịnh nghĩa Giả sử τ1,τ2 là các tôpô trên X τ1 ñược gọi là yếu (nhỏ, thô) hơn τ2 hay nói ngược lại τ2 là mạnh (lớn, mịn) hơn τ1 nếu τ1 ⊂τ2 Kí hiệu: τ1≤τ2

Ví dụ Cho hai không gian tôpô ( X ,τ1) với τ1 = { ∅ ; X ; A } và ( X ,τ2) với τ1 = { ∅ ; X ; B };

≠

 Minh họa trên R

Xét các không gian tôpô trên R

τ1 là tôpô chuẩn

cả các khoảng mở (a,b) và các tập có dạng (a,b) \ K, với K = {

n

1

| n ∈ N}

τ3 là tôpô bù hữu hạn

τ4 là tôpô cận trên với các nửa khoảng (a, b] là cơ sở

τ5 là tôpô với các tập dạng (−∞, a) là cơ sở

Ta có bảng so sánh các tôpô như sau

(1) Vì τ2 chứa cơ sở là họ các khoảng mở trong (R,τ1) nên τ2 ⊃τ1

(2) (0, 1) là mở trong R với tôpô τ1 nhưng (0,1) ∉τ 3 vì phần bù của nó không hữu hạn

n

1b,a(n

−

(5) Vì (−1, 1) \ K không là tập mở trong (R, τ 1)

(6) Ta có (0,1)∈τ2 nhưng (0,1)∉τ3 vì R \(0,1) không là tập hữu hạn

Mỗi phần tử A thuộc cơ sở của τ 2 là tập có dạng hoặc là (a, b) hoặc là (a, b)\K Nếu A

là (a, b) thì (a, b) )∈τ4 vì (a, b) có thể ñược viết dưới dạng (a,c]

b c a

U

<

tự, cho (a, +∞)

ñó, A là hợp của các khoảng mở ở giữa các ñiểm bù của A và các khoảng mở nửa vô

(10) Vì τ3 ⊂τ1 ⊂τ2

(11) Cho U∈τ3 và U≠∅, khi ñó R \U ={r1,r2, ,rn}, r1 <r2 < <rn Ta có:

),r)r,r)

n

1r,m()

n

1r,r)

r,

4 i

(12) Một hợp của các phần tử thuộc cơ sở của τ5 sẽ có dạng U( −∞ , ) a và dạng này chỉ

là một khoảng (−∞, sup{a}) Do ñó, R\ {0} ∈ τ3 nhưng R\ {0} ∉ τ5

(13) Cho phần tử cơ sở (c,x]∈τ4 ta chứng minh (c,x]∉τ1 Thật vậy nếu (c,x]∈τ1 thì tồn tại (a,b)∈τ1 sao cho x∈(a,b)⊂(c,x] (mâu thuẫn) Nên τ4 ⊄τ1

(14) Ngoài ra, τ 2∉τ 4 do (1,2] ∈ τ4 nhưng (1,2] ∉τ 2

(15) Ta có ( 0 , 1 ] ∈τ4 nhưng (0,1]∉τ3 vìR\(0,1] không hữu hạn

(16) Cho phần tử cơ sở (c,x]∈τ4 khi ñó (c,x]∉τ5 vì (c,x] bị chặn dưới trong khi các phần tử của τ5 không bị chặn dưới Tương tự chứng minh (4) Suy ra τ4∉τ5

]n

1a,b()

a,

tồn tại một cơ sở lân cận của x gồm ñếm ñược phần tử

ñếm ñược phần tử

•••• Ví dụ

 Mệnh ñề 2 Không phải mọi không gian tôpô ñều thỏa tiên ñề ñếm ñược thứ II

Ví dụ: không gian rời rạc với X là không ñếm ñược (Cụ thể, lấy X = R)

 Mệnh ñề 3

a) Không gian tôpô bù hữu hạn(X,τ) thỏa tiên ñề ñếm ñược thứ 2 ⇔ X ñếm ñược

minh

a) Giả sử X ñếm ñược Khi ñó tập con mở khác rỗng của X là tập ñếm ñược Do ñó tồn tại ñếm ñược các tập mở trong tôpô bù hữu hạn ðiều ñó có nghĩa là bằng cách lấy mỗi tập mở làm cơ sở chúng ta có một cơ sở ñếm ñược, và vì vậy X thỏa tiên ñề ñếm ñược thứ hai

\X

i = 1,2,… Ta có A là hợp ñếm ñược các tập ñếm ñược vì vậy ñếm ñược Nhưng X

cho a ∉ A hay a ∈ Bi, i∀ Vì a ∈ Bi, i∀ nên tập mở X\{a} không thể biểu diển

iB

Do ñó X với tôpô bù hữu hạn thỏa tiên ñề ñếm ñược thứ hai nếu và chỉ nếu X ñếm ñược

b) Ta ñã biết họ tập một phần tử là cơ sở cho không gian tôpô rời rạc Do ñó nếu X ñếm ñược thì tôpô rời rạc trên X có một cơ sở ñếm ñược

Mặt khác, giả sử X không ñếm ñược Bất kì cơ sở trên X phải chứa tất cả tập một phần

tử của X Vì X là không gian tôpô rời rạc nên ∀ x ∈ X ta có V ={x}∈Vxnên

∈

ñếm ñược Suy ra X không thỏa mãn tiên ñề ñếm ñược thứ hai

Do ñó X với tôpô rời rạc thỏa tiên ñề ñếm ñược thứ hai nếu và chỉ nếu X ñếm ñược

Từ mệnh ñề trên ta có: R với tôpô bù hữu hạn hoặc tôpô rời rạc không thỏa tiên ñề ñếm ñược thứ 2 vì R là tập không ñếm ñược

N> sao cho ∀n>N ta có xn ∈V nên V∩A≠∅ Do ñó x∈A

* Ngược lại giả sử (X,τ) thỏa mãn tiên ñề ñếm ñược thứ nhất Chọn {Vn}∞n=1 là một cơ

sở lân cận của x sao cho V1 ⊃V2 ⊃V3 ⊃ Nếu x∈A thì Vn ∩A≠∅ khi ñó với mỗi n, chọn xn ∈Vn \Vn+1 Ta ñược {xn}n∞1 ⊂A

1) Nếu X thỏa mãn tiên ñề ñếm ñược thứ nhất thì X có thể không thỏa tiên ñề ñếm ñược thứ hai

Ví dụ Xét R với tôpô rời rạc

+ Với mỗi ñiểm x trong R, {{x}} là cơ sở lân cận ñếm ñược của x Do ñó, không gian này thỏa tiên ñề ñếm ñược thứ I

+ Ta chứng minh R với tôpô rời rạc không thỏa tiên ñề ñếm ñược thứ II

Giả sử {Bn} n là cơ sở tôpô của không gian Khi ñó, với mỗi x, tồn tại Bn sao cho:

2) Không gian tôpô Euclide trên R thỏa mãn tiên ñề ñếm ñược thứ nhất

Chứng minh

Ta có β ={(a,b):a<b,a,b∈Q} là cơ sở cho tôpô Euclide trên R Mà Q là tập ñếm

1 Suy ra R thỏa mãn tiên ñề ñếm ñược thứ nhất

VIII KHÔNG GIAN CON

}G,

Y

G

là tôpô cảm sinh trên Y bởi tôpô τx Không gian (Y,τy)

ñược gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô

X Họ βy ={B∩Y:B∈β} là một cơ sở cho tôpô cảm sinh τy trên Y

Chứng minh

Gọi β ={Bi} là cơ sở của tôpô τ Ta có ∀x∈Y,∀Vxy∈τy ⇒∃B∈τ :Vxy =B∩Y Khi ñó B∈Vx ⇒∃Bi∈β:x∈Bi ⊂ B hay

y x i

y i

y y

cơ sở cho tôpô cảm sinh τy trên Y

họ tập hợp {(c,d)∩(a,b):c,d∈R,c< } Hay họ tập hợp

}dca,Rd

 Mệnh ñề 2 Nếu Y là một không gian con của X và A là một tập con của Y, khi ñó tôpô cảm sinh trên A bởi tôpô trên Y trùng với tôpô cảm sinh trên A bởi tôpô trên X Chứng minh

Cho không gian tôpô (X,τ); (Y,τY) là một không gian tôpô cảm sinh trên Y

X X

X X

U

UAU:U

)UY(AU:U

ττ

Do ñó một không gian con của không gian con là không gian con

thể bị sai khi không giả sử U là tập mở

Chứng minh

Ta có U∈τ và V∈τU Do τU ={U∩W:W∈τ} nên tồn tại W∈τ sao cho

ðiều ñó có thể bị sai khi không giả sử U là tập mở

Thật vậy, trên R với tôpô Euclide cho U=(0,1] và V=(0,1] Ta có V=U∈τU

Nhưng V không mở trong R

1) Không gian tôpô Euclide cảm sinh trên Z là không gian tôpô rời rạc

Chứng minh

2

1n

;2

1nZ}

U n

U

∈

là không gian tôpô rời rạc

Chú ý Ta có thể thay Z bằng tập số hữu tỉ Q; tập số tự nhiên N

2) Một tập mở (hay ñóng) trong tôpô cảm sinh trên Y có thể không mở (hay không ñóng) trong không gian X

Ví dụ

1 Xét tập [1,2] ⊂ R, cơ sở cho tôpô cảm sinh τ trên [1, 2] là

]}

2,1{[

}a1:]2,a{(

}b1:)b,1{[

}ba

1

2

3,0()2

3,1

không gian cảm sinh trên [1, 2]

+ Tương tự (1, 2] không mở trong R nhưng mở trong [1, 2] Thậm chí [1, 2] không mở trong R nhưng mở trong [1, 2]

(0,1), trong Y ta có A = (0,1] nhưng trong R thì A = [0,1]

IX ÁNH XẠ LIÊN TỤC

ðịnh nghĩa

Cho (X,τx) và (Y,τy) là không gian tôpô

* Ánh xạ f :(X,τx)→(Y,τy) ñược gọi là ánh xạ liên tục trên X nếu với mọi U∈τy thì