Các định nghĩa về giới hạn: 1... Tìm các giới hạn sau:... + Nếu p>q thì không tồn tại giới hạn.. Tìm các giới hạn sau: lim... Giới hạn hàm sốDạng 6: Khử dạng vô định hàm lợng giác Ph ơ
Trang 1Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số
I Các định nghĩa về giới hạn:
1 Giới hạn hàm số:
x aim f x A ε 0 δ 0 x a δ f x A ε
2 Giới hạn bên trái:
3 Giới hạn bên phải:
4 Giới hạn ở vô cực:
xim f x A ε 0 M 0 x M f x A ε
xim f x A ε 0 M 0 x M f x A ε
5 Giới hạn là vô cực (không tồn tại giới hạn):
x aim f x M 0 δ 0 x a δ f x M
6 Quan hệ giữa giới hạn phải, giới hạn trái với giới hạn hàm số:
l ( ) l ( ) l ( )
x aim f x A x aim f x x aim f x A
II Các định lí về giới hạn:
Giả sử l ( )
x aim f x A
x aim g x B
x aim k f x g x k im f xx a k im g xx a kA kB
2 l ( ) ( ) l ( ).l ( )
x aim f x g x x aim f x x aim g x A B
( ) l ( )
x a
x a
x a
im f x
4 Nguyên lý giới hạn kẹp:
Nếu f x ( ) h x ( ) g x ( ) mà l ( ) l ( )
x aim f x x aim g x A
x aim h x A
5 Các giới hạn đặc biệt (học sinh phải học thuộc vì các giới hạn này rất hay dùng) :
sin
ln( )
1 x
x
x
6 Chú ý: có 4 dạng vô định: 0; ; ; 0.
0
Trang 2Giới hạn hàm số
Dạng 1: Giới hạn xác định
Phơng pháp: Chú ý một số giới hạn cơ bản đã biết:
+ Nếu C là hằng số thì l
o
xim C Cx
+l n
x
1
x
+ Nếu f(x) là hàm số sơ cấp và x o TXĐ thì l ( ) ( )
xim f xx f x
Bài 1 Tìm các giới hạn sau:
2
πxx
2005
x 3
x 2
Dạng 2: Khử dạng vô định 0
0
o
P(x):đa thức,P(x với
Q(x):đa thức,Q(x
) ( )
lim
o
x x
0
P x I
Ph
ơng pháp:
( )
P x
I
Bài 2 Tìm các giới hạn:
2
Loại 2: với f(x )=g(x o o
f(x),g(x) chứa căn thức đồng bậc
) ( )
lim
( )
o
x x
0
f x I
g x
Ph
ơng pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử và mẫu nhằm trục các nhân tử
x x o ra khỏi căn thức
Bài 3 Tìm các giới hạn sau:
2
2
2
1 x
x 5 2
Loại 3: với f(x )=g(x o o
f(x) chứa căn thức kh"ng đồng bậc
) ( )
lim
( )
o
x x
0
f x I
g x
Ph
ơng pháp:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
o
f x
Bài 4 Tìm các giới hạn sau:
Trang 3Giới hạn hàm số
x
Dạng 3: Khử dạng vô định
Ph
ơng pháp: Xét với P(x):đa thức hoặc các hàm đại số
Q(x):đa thức
( ) lim ( )
o
x x
P x I
Q x
hoặc các hàm đại số Gọi
bậc P(x)=p, Q(x)=q và m=Min(p,q), khi đó chia cả tử và mẫu cho x ta có kết luận sau: m
+ Nếu pq thì tồn tại giới hạn
+ Nếu p>q thì không tồn tại giới hạn
ài 5.Tìm các giới hạn sau:
) lim
2
x
2 x 1
d
Dạng 4: Khử dạng vô định
Ph
ơng pháp: Biến đổi đa về dạng
Bài 6 Tìm các giới hạn sau:
x
x 1
Dạng 5: Khử dạng vô định .0
Ph
ơng pháp: Biến đổi đa về dạng
Bài 7 Tìm các giới hạn sau:
) lim
2
x
Trang 4Giới hạn hàm số
Dạng 6: Khử dạng vô định hàm lợng giác
Ph
ơng pháp Sử dụng các kết quả giới hạn cơ bản sau:
sin
.lim ;lim
sin
.lim lim lim
sin
.lim
x o
3
tg
5
sin
tgax
bx tgbx
bx
Bài 8 Tìm các giới hạn sau:
sin cos sin sinsin sin cos
sin
cos
cos cos cos
sin( )
πx
3
2
πx
cosx
2