Chuyên đề hàm số

Vấn đề 5: Biện luận số đường cong đi qua diểm cho trước:Phương pháp: cho đường Cm = fx, m và điểm Mx0; y0 cho trước... Vấn đề 7: Tìm tập hợp điểm quỹ tích:Phương pháp: điểm M di động tho

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 Vấn đề 1: Phép biến đổi đồ thị :

Phương pháp:

1) Dạng 1: Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị (C1): y= f( )x , với các ghi nhớ:

* (C): y = f(x) và (C’): y = – f(x) đối xứng nhau qua Ox

y

* Đồ thị (C1) : y = f ( )x được vẽ bằng các bước:

+ Giữ lại đồ thị (C) nằm phía trên Oõx

+ Lấy đối xứng qua Ox của phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox

+ Hợp 2 phần đồ thị ta được đồ thị (C1): y= f ( )x

2) Dạng 2:Từ đồ thị (C):y = f(x) suy ra đồ thị của hàm (C2): y=f( )x với các ghi nhớ

* y=f( )x là hàm chẵn nên có đồ thị đối xứng qua Oy

* Ta vẽ đồ thị (C2) qua các bước:

+ Giữ lại phần đồ thị (C) bên phải Oy

+ Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại của (C)

+ Hợp 2 phần đồ thị ta có đồ thị (C2): y =f( )x

3) Dạng 3: từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị của hàm (C3): y= f( )x bằng cách kết hợp dạng 1 và dạng 2

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục qua Oy (sau khi bỏ đi phần bên trái Oy Giữ nguyên phần bên phải, hợp của nó và phần lấy đối xứng là đồ thị (C2)y=f( )x

+ Lấy đối xứng tất cả các phần đồ thị (C2) vừa kết hợp nằm dưới trục Ox lên trên Ox

+ Giữ nguyên phần bên trên, lúc đó ta có đồ thị của hàm (C3): y= f( )x

4) Dạng 4: Ta xét trường hợp đơn giản

Từ đồ thị (C) : y Ax ax Bx b C

+

+ +

= 2 (giả sử a > 0) suy ra đồ thị (C4)

= +

+ +

=

0) a

; (x

0) a

; (x

a

b b

ax

C Bx Ax

a

b b

ax

C Bx Ax b

ax

C Bx Ax

2 2

Qua các bước :

+ Vẽ (C), và bỏ đi nhánh đồ thị của (C) bên trái tiệm cận đứng (d):x= −a b

+ Lấy đối xứng phần (C) bên trái tiệm cận đứng (d): x= −a b vừa bỏ đi qua d

• Tương tự với a < 0 (ta có thể nhân tử và mẫu với –1)

• Tương tự với các đồ thị (C4) y cx ax d b

+

+

( )x Q

x P

y= và các đồ thị ( )

( )x Q

x P

x f

+ Vẽ (C): y = f(x) và bỏ phần ở dưới trục Ox

+ Lấy đối xứng phần giữ lại qua trục Ox, (xuông phía dưới trục Ox)

Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )

b) Suy ra đồ thị ( ): 1

2

1 = x−

x y C

Giải: Đồ thị (C)

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

x y

x=1

y=x+1

Đồ thị (C1)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

x y

−

=

x

x y C

Đồ thị (C2)

-2

2 4 6

x y

x=1

y=x+1 y=-x+1

x=-1

Bài toán 3: (Phép suy thứ ba)

Vẽ đồ thị ( ) = x2

Đồ thị (C3)

-2

2 4 6

x y

Đồ thị (C4)

-2

2 4 6

x y

x=1

y=x+1 y=-x-1

x=-1

Bài toán 5: (Phép suy thứ năm)

Vẽ đồ thị ( )

1 :

2 5

−

=

x

x y C

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-10 -8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

x=1

y=x+1y=-x-1

 Vấn đề 2: Biện luận tương giao của hai đường:

Phương pháp : Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y= g(x)

Biện luận sự tương giao của (C1) với (C2)

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)

f(x) = g(x) ⇔ f(x) – g(x) = 0 (1)

* Giải và biện luận phương trình (1)

* Kết luận : số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C1) với (C2)

- Phương trình (1) có nghiệm đơn : (C1) cắt (C2)

- Phương trình (1) có nghiệm kếp : (C1) tiếp xúc (C2)

Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x + 2 (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có

hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D) Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)

x3 – 3x + 2 = m(x – 2) + 4

 (x – 2)( x2 + 2x + 1 – m) = 0 (1)

* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)

- Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2

- Xét phương trình g(x) = x2 + 2x + 1 – m = 0 (2)

Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0 ⇔ m = 9

Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4 Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2

Ta có ∆′=m

m < 0 ⇔ ∆′< 0: (2) vô nghiệm

m = 0 ⇔ ∆′=0: (2) có nghiệm kép x = – 1

0 < m ≠ 9 ⇔ ∆′> 0: (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

- Kết luận:

m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm

m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại 1 điểm

0 < m ≠ 9 : (D) cắt (C) tại 3 điểm

m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại điểm (2; 4)

Bài toán 2: Cho hàm số y = y = x 4x 12 x 2 + +

(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thị (C)

⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 < x2 < – 2 V – 2 < x1 < x2

2 1

4 1 2

0 3 2 1 4

2 4 4

0 1

m m m

m af

m m m

m

m a

m

m

0 13

0 16 24 2 9

m

m

thì (D) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng

một nhánh của (C)

Bài toán 3:Cho hàm số = −21

5 3

m m

Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Gọi I là trung điểm A, B:

1 2

m m x y

m x x x

I I

B A I

A và B đối xứng qua (d)

⇒ I thuộc (d): y = x – 1

4

1 4

1 3

; 2

; 2

1

B

Bài toán 4:Cho (P) y = x2 – 2x – 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x

cho (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B a) Viết phương trình (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc

b) Viết phương trình (d) khi AB = 10Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

x2 – 2x – 3 = 2x + m

⇔ x2 – 4x – 3 – m = 0 (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B

x f y

+ +

− +

⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt x1 ,x2 ≠ − 1 Λx1 < 0 < x2

( )()

01 2 12 1

0 21 0

a a a

Phương trình Tiếp tuyến (C) tại M(x0;y0) là: (y – y0) = f’(x0)(x – x0)

2)Loại 2: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và đi qua điểm A

- Cách 1:

* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) đi qua A(xA; yA) và có hệ sốgóc k : (D) : y =k(x – xA) + yA

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = k(x – xA) + yA (1)

* (D) là tiếp tuyến của (C) khi (1) có nghiệm kép, từ đó xác định đuợc k Từ đó viết được phương trình (D)

- Cách 2:

* Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm

* Phương trình tiếp tuyến (D) tại M: (y – y0) = f’(x0)(x – x0)

* (D) đi qua điểm A nên : (yA – y0) = f’(x0)(xA – x0) (1)

Giải (1) tìm được x0, từ đó tìm được phương trình của (D)

3)Loại 3: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và có hệ số góc cho trước

- Cách 1:

* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) và có hệ số góc k

(D) : y = kx + m (1)

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = kx + m

* (D) là tiếp tuyến của (C) ⇔ (1) có nghiệm kép Từ đó tìm được giá trị của m ,

từ đó viết được phương trình của (D)

- Cách 2:

* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) và M(x ; y ) là tiếp điểm:

(D) có hệ số góc k

(D) có hệ số góc f’(x0)

⇒ f’(x0) = k (1)

* Giải (1) tìm được x0 ; y0 = f(x0) Từ đó viết được phương trình của (D)

Bài toán 1: Cho hàm số (C) = 22−3−2+4

x

x x

y M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểmcủa hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M

Giải: (x ≠ 1) (C)

− +

4 3

2

x

x x

x x

−

=

1

1 1

a b

1 1 2 1

1 2

1

; 1

1

a A

d d

Tiệm cận xiên của (C) là (d2) : ( ) ( ) 

2x d d2 B a a y

Ta có : (x A +x B)= (1 + 2a− 1)=a=x M

2

1 2

1

a

a a

a y

− +

−

= +

1

1 1 2 2

3 1

2 2

1 2

1 2

1

Vậy M là trung điểm của AB

Giao điểm của 2 tiệm cận là I  ⇒S IAB = y A−y I x B−x I

1

; 1

1

2 2

−

a

Vậy SIAB không phụ thuộc vào M

Bài toán 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + 5 (C)

Tìm tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất Giải : Gọi M(x0; y0) ∈( )C : hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x0) = 3 2 6 0 9

Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao

cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)

x3 + mx2 + 1 = – x + 1

⇔ x(x2 + mx + 1) = 0 (*)

Đặt g(x) = x2 + mx + 1 (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt

⇔ g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

C B

x x P

m x x S

Tiếp tuyến tại B và C vuông góc

⇔m (nhận so với điều kiện)

Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 – 3x – 2 (H)

Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H) Gọi A1, B1, C1 lần luợt là giao điểm của (H) với các tiếp tuyến của (H) tại A, B, C Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng

Giải: Gọi M(x0; y0) thuộc (H) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M

0 0

3 0

a b a b a c

a b

3 3

3

3

2 2

− + +

− + +

=

⇔

ac a c

ab a b

ab b ac

a c a

b a

6 8

2 2

2 2

3 3

3 3

4

3 4

2 2

− + +

− + +

=

⇔

c ac a

b ab a

ab b ac

Vậy : A, B, C thẳng hàng ⇔ A1, B1, C1 thẳng hàng

 Vấn đề 4: Biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình bằng đồ thị:

Phương pháp :

1)Dạng 1: cho phương trình f(x m) = 0 (1)

* Đưa về dạng : g(x) = m

* Vẽ đồ thị (C) : y = g(x) và (D) : y = m

* Xét sự tương giao của (C) và (D) trên đồ thị theo tham số m

* Kết luận : số giao điểm trên đồ thị là số nghiệm của phương trình (1)

2)Dạng 2: f(x) = g(m)

* y = g(m) là đường thẳng luôn qua M(x0; y0) cố định

* y = g(m) là đường thẳng có hệ số góc khôâng đổi

* g(m) = f(m)

Bài toán 1: Cho hàm số y = x3 – 3x (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y x 3x

sin 3 3 sin −

2 4

x y

2

1

; 1

k x

t Maxy

2

1

; 1

l x

t Miny

t

Bài toán 2: Cho hàm số =2 2 ++1+1

x

x x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức =2cos2cos+cos+1 +1

x

x x

y

Giải: a)Đồ thị (C)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-12 -10 -8 -6 -4 -2

2 4 6

x y

b) Đặt t= cosx ⇒ 0 ≤t≤ 1

Vậy =2 2++1+1

t

t t

t

1cos

1cos)

(21

12

loại

(k, l Z)

∈ Π

cos 0 1

Bài toán 3: Cho hàm số = 2 ++2−3

x

x x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị

b) Biện luận theo m số nghiệm của: ( ) 4 (1 ) 2 3 2 0

=

−

−

− +

t f

Giải: a)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6 -4 -2

2

x y

b) t4 +(1 −m)t2 − 3 − 2m= 0 (*)

( 2)

3 2 3

m t

t

+

− +

Xét hàm số = 2 ++2−3

x

x x

y với x=t2≥ 0

Nhìn vào đồ thị ta thấy khi m≥ −23 thì (d) cắt (C) tại 1 điểm có hoành độ không âm

Vậy khi m= −23 có nghiệm x = t2 = 0

⇒ (*) có nghiệm kép t1=t2= 0

a) Khảo sát và vẽ đồ thịb) Biện luận theo m số nghiệm của (m− 2)x −m= 0với x∈[− 1 ; 2]

Giải:a) Đồ thị (C)

-2

2 4 6

x y

b) Xét phương trình (m− 2 )x −m= 0với x∈[− 1 ; 2]

y với x∈[− 1 ; 2]

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -2

2 4

x y

Nhìn vào đồ thị ta thấy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b) Biện luận số nghiệm của phương trình (1 −m)x2 −(1 −x)x+ 1 = 0Giải: a) Đồ thị (C)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

2 4 6

Đặt (d) : y = mx + 1 , (d) luôn đi qua A(0;1)

Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (d) : (C) : = −21

x

x y

(d) là tiếp tuyến của (C) khi (*) có nghiệm kép

4 1

0 1

2

m m

≠

⇔

0 3 2

3

m m

m :(d) cắt (C) tại 2 diểm phân biệt ⇔phương trình

(*)có 2 nghiệm đơn

(− 3 ; 1]

∈

Bài toán 6: Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình

0 2 12

x m

x x

x − + − − = ⇒ − + = +

2 3 4 0

2 12 16

Giải: a) Đồ thị (C) : y= 3 + 2x2 −x4

1 2 3 4

m t

y= = − 4 + 2 2 + 3 =

Nhìn vào đồ thị ta thấy :

Khi t= 4 ⇔ m= ± 1 : (*) có 2 nghiệm kép x = ± 1

t= 3 ⇔m= 0 Vm= ± 2 : (*) có 3 nghiệm ; 1 nghiệm kép x = 0

và 2 nghiệm đơn x= ± 2

2 2 4 3

m m

m m

t : (*) có 2 nghiệm đơn

Vấn đề 5: Biện luận số đường cong đi qua diểm cho trước:

Phương pháp: cho đường (Cm) = f(x, m) và điểm M(x0; y0) cho trước Biện luận theo m số đường (Cm) đi qua M

m x m y

+

+ +

β

+

+ +

α αβ

2

α

α α

α thì (*) vô= nghiệm

Vậy β = α + 1 ; α ≠ 1 ∪ α ≠ − 3 thì không có (Cm) đi qua M

- Nếu β = α + 1 ; α = 1 ∪ α = − 3 thì có vô số (Cm) đi qua M1( )1 ; 2 ,M2(− 3 , − 2)

Nhận xét : M1, M2 chính là 2 điểm có định của (Cm)

Bài toán 2:Cho hàm số ( )

m x

m m x m m mx y

−

+

− +

− +

m m x m m mx y

−

+

− +

− +

−

=

0

2 0 2

2 0 0

2 1

0 0

0 0 2 0 2

0 2 0 0

0 0 0 2 0

0 0

⇒ ∆1 > 0 , ∀t∈R⇒ ∆1 > 0 , ∀y0∈R

⇒ (*) luôn có 2 nghiệm m

Vậy: có 2 đường (Cm) đi qua M(x0; y0) với x0 > 1

Vấn đề 6: Tìm điểm cố định của họ đường cong:

Phương pháp:

Cho (Cm): y = f(x, m) Tìm các điểm cố định của (Cm) khi m thay đổi

* Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (Cm) luôn đi qua

C B

A II

Giải hệ ta được các cặp nghiệm (x0; y0) Đó chính là toạ độ các điểm cần tìm

Bài toán 1: Cho hàm số y = x3 – (m + 1 )x2 – (2m2 – 3m + 2 )x + 2m(2m – 1 ) (Cm)

Tìm điểm cố định mà họ (Cm) luôn đi qua với mọi m ĐỊnh m để (Cm)

tiếp xúc với OxGiải: a) y = x3 – (m + 1 )x2 – (2m2 – 3m + 2 )x + 2m(2m – 1 )

⇔ ( 2x – 4)m2 + (x2 – 3x + 2)m + y – x3 + x2 + 2x = 0

Toạ độ điểm cố định là nghiệm của hệ :

02 3

04 2

2 3

2

y

x x x xy

x x x

Kết luận : (Cm) luôn đi qua điểm M(2; 0) với mọi m

b) M(2; 0) là điểm cố định của(Cm) nên M(2; 0) vừa thuộc (Cm) vừa thuộc 0x

nên: x3 – (m + 1 )x2 – (2m2 – 3m + 2 )x + 2m(2m – 1 ) = 0

 (x – 2)[x2 – (m – 1)x – (2m2 – m)] = 0

Để (Cm) tiếp xúc với Ox thì g(x) = x2 – (m – 1)x – 2m2 + m = 0 có nghiệm

x = 2 hoặc có nghiệm kép khác 2

2 02

01 6 9

3

1 02

01 6 9

22

m

m g

m m

m g

m m

Bài toán 2: cho đường cong (Cm): y = (m + 1)x3 – 2mx2 – (m – 2)x + 2m + 1

Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố định khi m thay đổi

Giải : y = (m + 1)x3 – 2mx2 – (m – 2)x + 2m + 1

0 12

02

2

3

23

y x y x y x

y x x

xx x

Bài toán 3: cho hàm số ( )

m x

x m y

−

−

−

= 1 2 (Hm)Chứng minh rằng (Hm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi ,ngoại trừ một vài giá trị m mà ta phải xác định

m x

x m

=

+

⇔

= + +

− +

⇔

0 2 0

0 2

x xy

y x

x xy m y x

1 1 1

m y x

m y

x

Vậy: khi m thay đổi , với m m ≠≠−21 thì (Hm) luôn đi qua hai điểm cố định

Bài toán 4: Cho hàm số y = mx3 + (1 – m)x + 1 có đồ thị (Cm)

Tìm tất cả các điểm mà (Cm) không bao giờ đi qua với mọi m

Giải: Gọi M (x0; y0) là điểm mà (Cm) không bao giờ đi qua

M(x0; y0) không thuộc (Cm) ⇔ (x3 – x)m + x + 1 – y ≠ 0 với mọi m

=

−

⇔

0 1

0

3

y x

x x

0

y

x y

x

V 2y

x

(Cm) không bao giờ đi qua các điểm của (0; a) , (1; b) ,

(-1; c) với a ≠1 V b ≠2 V c ≠ 0

Bài toán 5 : Cho họ đường cong (Cm) y = (m + 3)x3 – 3(m + 3)x2 – (6m + 1)x + 1

CMR: (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng Giải : y = (m + 3)x3 – 3(m + 3)x2 – (6m + 1)x + 1

⇔ (x3 – 3x2 – 6x + 1)m + (3x3 – 9x2 – x + 1 – y) = 0

Toạ độ điểm cố định (nếu có) sẽ là nghiệm của hệ

() ()

1 01

63 0

xy

xx

x yx

Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 6 ⇒ y’ = 0 ⇔x= 1 ± 3

Suy ra yCĐyCT = −(6 3 + 7)(6 3 − 7)= − 59

Kết luận : (Cm) luôn qua 3 điểm cố định thược đường thẳng (d): y = 17x – 2

Vấn đề 7: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích):

Phương pháp: điểm M di động thoả các điều kiện cho trước

* Tính toạ độ điểm M phụ thuộc theo một tham số m , t

Bài toán 1: Cho hàm số y=x3 −3x2

Gọi ( )∆ là đường thẳng qua gốc tạo độ và có hệ số góc k Với những giá trị nào của k thì ( )∆ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, O ? Tìm tập hợp trung điểm I của AB khi k thay đổi

Giải: ( )∆ qua gốc toạ độ nên có dạng :y = kx

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )∆ và (C) là :

0

0

k

k g

0

k k

Vì xA, xB là nghiệm của g(x)

a

b x x S

B A

B

Gọi I là trung điểm của AB

x x x

I I

B A I

2 3 2

3 2

0 3 2

0

I

I

y y

Vậy tập hợp của I là đường thẳng có phương trình

1

2 0

y k

− +

≠

⇔

0

2 0 0 0

2 2

1

kx

y k yx kx

k

Từ M vẽ 2 tiếp tuyến đến (C) vuông góc nhau

⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt







−=

≠

1

1 , 2 1

2 1

k k

k k

( )















≠

−

−=

−

≠

⇔

0

1 4 0

2 0 0

2 0

2 0 0

x y x y x











≠

= +

≠

⇔

0 0

2 0

2 0

0

4 0

x y

y x x

Vậy tập hợp các điểm thoả yêu cầu bài toán là đường tròn có phương trình

4

2

2 +y =

x

loại bỏ 4 giao điểm của đường tròn với 2 đường tiệm cận

Bài toán 3:Cho Parabol(Pm)y= 2x2 −(m− 2)x+ 2m− 4 Tìm quỹ tích đỉnh của (Pm)

(Pm)y= 2x2 −(m− 2)x+ 2m− 4 có đỉnh S:

( ) ( )     − + − − = −= 2 2 2 2 2 2 m x m x y a b x S

( ) ( ) ( ) ( )     − + − − = − = ⇔ 2

1

2 2 2 2

4

2

x y

m x S

Thế vào (2) , ta được :

x x y x x x x

y= 2 2 − 4 + 2 4 ⇔ = − 2 2 + 8 Vậy quỹ tích đỉnh S của (P) : y= − 2x2 + 8x

Bài toán 4: Cho hàm số (Cm) :y= f( )x =x3 − 3mx2 + 2x− 3m− 1

Tìm quỹ tích điểm uốn của đồ thị (Cm) của hàm số Giải: TXĐ : D = R

Ta có y′ = f′( )x = 3x2 − 6mx+ 2

f