một số pp cmbdt

lí do chọn đề tàiCác bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải đợc các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng th

lí do chọn đề tài

Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải đợc các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, còn phải nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

Có nhiều phơng pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác nhau , cũng

có bài phải phối hợp nhiều phơng pháp một cách hợp lí

Bài toán chứng minh bất đẳng thức đợc vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức và đợc sử dụng nhiều trong khi ôn tập , ôn thi ngoại khoá Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm đợc những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

Trong thực tế giảng dạy ở trờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất

đẳng thức thờng khong có cách giải mẫu , không theo một phơng pháp nhất định nên học sinh không xác định đợc hớng giải bài toán Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác

Trong nội dung của đề tài xin đợc tập trung giới thiệu một số phơng pháp hay đợc sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức nh : dùng định nghĩa , biến đổi t-

ơng đơng , dùng các bất đẳng thức đã biết , phơng pháp phản chứng và một

số bài tập vận dụng , nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và

bộ môn Toán nói chung

Vì thời gian có hạn , kinh nghiệm giảng dạy còn cha nhiều và khả năng nghiên cứu cha tốt nên nội dung của đề tài còn nhiều hạn chế mong các bạn góp ý thêm

phần ii : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

=

4

) 2

( ) (

2 a2 +b2 − a2 + ab+b2

4

1 ) 2 2

2 ( 4

1 a2 + b2 −a2−b2− ab = a−b 2 ≥ Với mọi a, b

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

2 Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng

- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất

đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng

 9 ≥ 4ab + 8  1 ≥ 4ab  (a + b)2 ≥ 4ab

Bất đẳng thức cuối đúng Suy ra điều phải chứng minh

Bài 2: Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4

2

b ab a b

 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 3(a2 - 2ab + b2) ≥ 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : 32 3 2 3

Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức : 2 2 

2 2

2 2

−ab b a b a

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

Bài 6 : Với a > 0 , b > 0 Chứng minh bất đẳng thức :

3 Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc

- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh ,

Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 ≥ 2xy

b a

c a c

b c b a

Giải

áp dụng BĐT Cauchy , ta có :

a + (b + c) ≥ 2 a(b+c) 

c b a

a c

b

a

+ +

≥ +

2

Tơng tự ta thu đợc :

c b a

b a

c

b

+ +

≥

+

2 ,

c b a

c b

a

c

+ +

≥ +

2

Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :

a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều

là số dơng )

+

+ +

+

c a c

b c b a

4 3

0 , 0

1 2 2

y

x y x

y x

y x

=> a+b+ b+c+ c+a≤ 6

Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 31

b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :

1 2 2

1 ) 1 (

Giải :

Ta có : + > 0

a

b b

a

, a , b > 0

Ta có : + + =

c b a

1 1 1

) 1 1 1 (

c b

a + + 1 = (1 1 1)

c b

a+ + (a + b + c) =1 + + + + 1 + + + + 1

b

c a

c c

b a

b c

a b a

= 3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥

c

a a

c b

c c

b a

b b

a

3 + 2 + 2 + 2 = 9 => 1+1+1≥ 9

c b a

Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =

3 1

=> 1x +1y ≥ x+4 y

b, Ta có : p - a = 0

2− >

+c a b

Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ;

áp dụng kết quả câu a , ta đợc ; p1a p1b (p a)4(p b)= c4

− +

p c p a

=> đIều phải chứng minh

Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c  a = b = c

Khi đó tam giác ABC là tam giác đều

4 Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :

- Kiến thức : Dùng các tính chất đã đợc học để vận dụng vào giải các bài tập

Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhợc nhau ,

từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng

Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :

+ Dùng mệnh đề đảo

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết

+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngợc nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

1 )

1

( −a ≤ a+ −a =

a => a(1 - a) ≤

4 1

Bài 2 : ( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau )

Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau : +1 < 2

Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

+1+ +1+ +1 < 6

a

c c

b b

a

 ( +1) + ( +1) + ( +1) < 6

c

c b

b a

=> ( +1) + ( +1) + ( +1) ≥ 6

c

c b

b a

Vậy không tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên

=> đpcm

Bài 3 : Chứng minh rằng không có các số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng

- Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho

về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải

+ +

+

c a c

b c

y+ −

, b =

2

y x

z+ −

, c =

2

z y

1 ) ( 2

1 ) (

2

1

=

− + +

≥

− + + + + +

z

y y

z z

x x

z y

x x

y

Bài 2 : Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức :

2 2 2 2

≤

−

Đặt : a = (1 2)(1 2)

2 2

y x

y x

+ +

−

và b = (1 1 2)(1 2)

2 2

y x

y x

+ +

−

=> ab = 2 2 2 2

2 2 2

2

) 1 ( ) 1 (

) 1

)(

(

y x

y x y

x

+ +

( 4

1

b a ab b

Mà : (a - b)2 = 2 2

1

2 1

1 2

1 2

1

2 2

+

+ +

+ + bc b ca c ab

Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( 1+1+1) ≥ 9

z y x

Theo bất đẳng thức Côsi

Mà : x + y + z ≤ 1 nên suy ra 1+1+1 ≥ 9

z y

7.Phơng pháp 7: Dùng phép quy nạp toán học

- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng

ph-ơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)

- Ví dụ :

Vậy (**) đúng với mọi k ≥ 3

+ Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n ≥ 3

3.6

5

3.6

5

1 2

k

k

1 3

1

+

k 2 ( 1 )

1 2

(2k + 1)2(3k + 4) ≤ (3k + 1)4(k +1)2

 12k3 + 28k2 + 19k + 4 ≤ 12k3 + 28k2 + 20k +4

 k ≥ 0

=> (**) đúng với mọi k ≥ 1

Vậy (*) dúng với mọi số nguyên dơng n

8 Ngoài ra còn có một số phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức

nh : Phơng pháp làm trội , dùng bất đẳng thức trong tam giác , tam thức

bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bàI toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Trong phạm vi nhỏ của đề tàI này không hệ thống ra những phơng pháp đó

Phần iii : ứng dụng của bất đẳng thức

I- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị

- Kiến thức : Nếu f(x) ≥ m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m

Nếu f(x) ≤ M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M

Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị

Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức

Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chú ý : A +B ≥A+B

Xảy ra dấu '' = '' khi AB ≥ 0

A ≥ 0 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0

Vậy min B = 12 khi a = b = 12

Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

DÊu b»ng x¶y ra khi : t = 0  x2 + x - 2 = 0

DÊu '' = '' x¶y ra khi (2x - 3)(1 - 2x) ≥ 0  12 ≤x≤23

VËy minC = 2 khi

2

3 2

Bµi 5 : Cho ba sè d¬ng x , y , z tho¶ m·n : 1+1x + 1+1y + 1+1z ≥ 2

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch : P = xyz

Bµi 6 : Cho 3 sè d¬ng a, b, c th¶o m·n : a + b + c = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt

cña biÓu thøc : F = ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2

c

c b

b a

Giải:

Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + ( 12 12 12

c b

a + + ) + 6 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có :

(a.1 + b.1 + c.2)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

=> a2 + b2 + c2 ≥ 13

Tơng tự : (1 1 1) 2

c b

a+ + ≤ 3( 12 12 12)

c b

a + +

Mặt khác : + + =

c b a

1 1 1

(a1+b1+c1).1 = (a1+b1+c1)(a + b + c) = 3 + (

a

b b

a

+ ) + (

b

c c

b

+ ) + (

c

a a

c

+ ) ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 => a1+b1+c1 ≥ 9

=> (1 1 1) 2

c b

a + + ≥ 81 => (12 12 12)

c b

a + + ≥ 27

F ≥ 31 + 27 + 6 = 33

Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 13

Vậy MinF = 3331 khi : a = b = c = 31

Bài 7 : Cho G = yz x−1+zx xyz y−2+xy z−3

1 2

1 3

≤

−

z z

=> G ≤

3 2

1 2 2

1 2

Vậy MaxG =

3 2

1 2 2

1 2

với x > 1

b Tìm giá trị lớn nhất của K = x 1 −x

HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 :

II - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình

- Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình

Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phơng trình có nghiệm

Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn

4

9) = 16x Dấu '' = '' xảy ra

=

−

2

3 1 2

1 1

Phơng trình (1) có nghiệm  dấu '' = '' ở (2) xảy ra

Vậy (1) có nghiệm x =

4

5

Bài 2: a, Tìm giá trị lớn nhất của L = 2x− 3 + 5 − 2x

VP = (x - 2)2 + 2 ≥ 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2

=> VT ≤ 4 , dấu '' = '' xảy ra khi 6 −x = x+ 2  x = 2

=> không có giá trị nào của x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm

0 2

2

y x

=> phơng trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2

III - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phơng trình :

- Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phơng trình của hệ , suy luận và kết luận nghiệm

= +

− +

0 2

0 3 4 2 2 2 2

2 3

y y x x

y y x

- Kiến thức : Biến đổi một phơng trình của hệ , sau đó so sánh với phơng trình còn lại , lu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc

= + +

xyz z y x

z y x

4 4 4

+

= + +

1 ) 6 3 2

)(

6

1 3

1 2

1 (

14

3 2

z y x z y x

z y x

(2)  (3+2+1)( 3x+ 2y+z) = 36

z y x

 6( + ) + 3 ( + ) + 2 ( + ) = 22

y

z z

y x

z z

x x

y y x

Mặt khác : vì x, y, z > nên 6( + ) ≥ 12

x

y y

x

; 2 ( + ) ≥ 4

z

y y z

( + ) + 3 ( + ) + 2 ( + ) ≥ 22

y

z z

y x

z z

x x

y y x

x + x2 + x3 = 14 <=> (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0

<=> x - 2 = 0 <=> x = 2

Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2

* Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc

đợc các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng đợc

Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên

Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :

Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phơng trình

Hoán vị các số trên , ta đợc nghiệm của phơng trình là :

- Học sinh nắm đợc ph]ơng pháp giải , nhận dạng đợc dạng bài tập và biết vận dụng vào giải các bài tập tơng tự

- học sinh đợc rèn cách trình bày lời giải , lập luận chặt chẽ và chính xác , phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh

HS3: Bất đẳng thức Côsi ; Bunhiacôpxki ? Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

GV: Chữa bài HS1: M = x2 - 6x + 9 + 4 = (x - 3)2 + 4 ≥ 4 => Min M = 4 khi x = 3

HS2 : Vận dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có : ( 2x− 3.1 + 5 − 2x.1)2 ≤ (1 + 1)(2x - 3 + 5 - 2x) = 4

HS : Có dạng A(x) = B(x) , trong đó A(x) , B(x) là các biểu thức biến x

Cách giải : Tìm ĐKXĐ (nếu có)

Tìm tất cả ác giá trị của biến thoả mãn ĐKXĐ nghiệm đúng phơng trình đã cho

GV : Nếu ta có A(x) ≥ a ; B(x) ≤ a , vậy phơng trình A(x) = B(x)

có nghoiệm khi nào ?

HS : Khi A(x) = B(x) = a ( xảy ra trờng hợp dấu bằng )

GV : Đặt vấn đề vào bài

B, Bài giảng :

Hoạt động của thày và trò Nội dung

Hoạt động 1: Dạng 1:

GV: yêu cầu HS giải bài tập

Gợi ý: ? Nhận xét vế trái của (1)

HS : VT ≤ 2

Vậy phơng trình (1) có nghiệm khi nào ?

GV : yêu cầu hs làm câu b

Hs trình bày lời giải

1, Bài 1: Giải phơng trình :

a, 2x− 3 + 5 − 2x = 2 (1)

b, 3 x− 1 + 4 5 −x = 10 (2) Giải

a, Đk :

2

5 2

3 ≤x≤

VT ≤ 2; xảy ra '' = '  x = 2 Vậy 91) có nghiệm x = 2.

b, Đk : 1 ≤ x ≤ 5 (3 x− 1 + 4 5 −x) 2 ≤ (9+ 16)(x - 1 + 5 - x) = 25 4 = 100

=> VT ≤ 10 Dấu '' = '' xảy ra khi

HS: trình bày lời giải

GV : Yêu cầu HS làm bài tập

? Em hãy nêu cách giải phơng trình

5 3

2x− + − x −x2 + x− =

 2x− 3 + 5 − 2x =x2 − 4x+ 6

HD :

VT ≤ 2 Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2

VP ≥ 2 Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 Vậy phơng trình có nghiệm khi

x = 2

Bài 3 : Giải phơng trình :

13 x− 1 + 9 x+ 1 = 16x

Điều kiện : x ≥ 1 (*) Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

=

−

2

3 1 2

1 1

Hoạt động 3: Dạng 2

GV : Lu ý A≥ 0 ; A 2 ≥ 0

Xảy ra dấu '' = '' khi nào ?

HS : dấu '' = '' xảy ra khi A = 0

Gv: yêu cầu hs tìm min L ? áh trình bày

lời giải

GV : hớng dẫn HS tìm GTNN của

9 10

5x2 − x+ ? => đpcm

GV đề xuất bài toán mới ;

? Nêu đặc điểm của biểu thức trong

3x2 + x+ + x2 − x+ ≥

giải:

a, Ta có : 3(x + 1) 2 + 9 ≥ 9

=> L = 3x2 + 6x+ 12 ≥ 3 Xảy ra dấu '' = '' khi x = -1 Vậy min L = 3 khi x = -1

b, Tơng tự ; 5x2 − 10x+ 9 ≥ 2

Vậy : 3x2 + 6x+ 12 + 5x2 − 10x+ 9 ≥ 5

Bài 4 : Giải PT

5 9 10 5 12 6

3x2 + x+ + x2 − x+ =

HD :

3x2 + 6x+ 12 ≥ 3 dấu '' = '' xảy ra khi x - 1

5x2 − 10x+ 9 ≥ 2

dấu '' = '' xảy ra khi x = 1 Vậy PT vô nghiệm

4 Hoạt động 4 : Vận dụng

GV : yêu cầu HS giải phơng trình

HS lên bảng trình bày lời giải

HS dới lớp làm vào vở BT

Bài 5 : GPT

2 2

3x + x+ + x + x+ = − x−x

Giải;

2 4 ) 1 ( 3 7 6

3x2 + x+ = x+ 2 + ≥

Xảy ra dấu '' = '' khi x = -1

3 9 ) 1 ( 5 14 10

A(x) ≥ m xảy ra dấu '' = '' khi x = a

B(x) ≤ m xảy ra dấu '' = '' khi x = b

=> PT có nghiệm x = a nếu a = b

Nếu a # b => PT vô nghiệm

4, Hớng dẫn học ở nhà :

Xem lại cách giải các bài tập đã chữa tại lớp

Vận dụng tốt các kiến thức đã học để giải các bài tập

Bài tập về nhà :

Bài 1: Giải PT :

a, 3x2 − 12x+ 6 + y2 − 4y+ 13 = 5

b, 2x2 − 4x+ 5 + 2x2 − 4x+ 14 = − 2x2 + 2x+ 3 3 − 1

D, Tổng kết - Rút kinh nghiệm

Phần kết luận

Bất đẳng thức là một kiến thức khó , có nhiều phơng pháp giải , có nhiều ứng dụng trong việc giải các dạng toán , những bài toán về bất đẳng thức lại rất

đa dạng và phong phú , thông thờng không có lời giải mẫu Vì vậy để giúp học sinh có thể học tốt hơn kiến thức về bất đẳng thức và vận dụng đợc một số kiến thức cần thiết , một số phơng pháp suy nghĩ cần thiết của bộ môn toán

Việc hệ thống lại các phơng pháp chứng minh , những ví dụ và bài tập minh hoạ kèm theo , những kiến thức lu ý , gợi ý học sinh , sẽ giúp cho học sinh hiểu đợc rộng hơn và sâu hơn về phơng pháp giải , một số bài tập vận dụng đa ra nhằm để củng cố kiến thức về bất đẳng thức và một phần nào đó đinhj hớng cho học sinh biết cách lựa chọn phơng pháp để giải đợc các bài tập vận dụng Rèn luyện khả năng t duy , khả năng phân tích , tổng hợp , phát huy tính tích cực và trí thông minh của học sinh

Đối với những học sinh mà khả năng nhận thức còn hạn chế , thì việc hệ thống lại các tính chất , các bất đẳng thức thông dụng , các phơng pháp giải và các bài toán vận dụng sẽ giúp cho học sinh hiểu đợc các công việc cần thiết khi giải bài toán bất đẳng thức , nắm đợc cách trình bày cho mỗi dạng bài toán , tập dần cách phân tích đề bài để biết cách lựa chọn hớng đi , kiến thức và vận dụng kiến thức phù hợp , nâng dần hiểu biết về kiến thức bất đẳng thức

Vì kinh nghiệm học tập , giảng dạy và nghiên cứu còn nhiều hạn chế , nên đề tài sẽ không tránh khỏi những thiếu xót , sẽ có những vấn đề về nội dung

đặt ra cha mới , hoặc việc trình bày đề tài cha tốt , nên tôi rất mong nhận đợc sự quan tâm , chỉ bảo đóng góp ý kiến và giúp đỡ từ phía các thấy cô giáo , các bạn

đồng nghiệp , các em học sinh , để việc nghiên cứu về kiến thức bất đẳng thức của tôi ngày một tốt hơn , sâu hơn , để áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả tốt hơn , để giúp các em học sinh ngày một giỏi hơn

Tôi xin trân thành cảm ơn !

Hải Dơng , Ngày 14 tháng 5 năm 2006

Tài liệu tham khảo

1.Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 340 ra tháng 10 năm 2005 - NXBGD

Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Số 341 ra tháng 11 năm 2005 - NXBGD