Một số PP dựng đường vuông góc trong CM Hinh học THCS

Một số kinh nghiệm trong việc kẻ đường vuông góc trong chứng minh HHọc I/Đặt vấn đề: Trong chương trình PTCS việc rèn luyện cho các em giải toán hình học theo chuyên đề không được hệ th

Một số kinh nghiệm trong việc kẻ đường vuông góc trong chứng minh HHọc

I/Đặt vấn đề:

Trong chương trình PTCS việc rèn luyện cho các em giải toán hình học theo chuyên đề không được hệ thống, cụ thể mà phải vận dụng tuỳ nơi, tuỳ lúc các kiến thức khác nhau Trong đó việc giải bài toán được hay , ngắn gọn còn tuỳ thuộc việc vận dụng vẽ đường phụ một cách khoa học , sáng tạo trong quá trình làm toán Cho nên nhiều em ngại làm toán hình và càng lúng túng trong việc tìm cách vẽ thêm đường phụ như thế nào cho tiện ích, trong các cách vẽ đường phụ thì vẽ đường vuông góc cũng là một thủ thuật trong một số bài toán hình ,làm cho bài toán trừu tượng lại trở thành cụ thể có hướng đi rõ ràng để đến điều cần chứng minh

II/ Lý do chọn đề tài :

Trên cơ sở thực tế giảng dạy thời gian dành cho luyện tập có hạn, việc bồi dưỡng theo chuyên đề lại không có cho nên số học sinh đại trà ngại làm toán hình học và không giỏi môn Hình học nhiều, nhất là khi chứng minh đòi hỏi phải vẽ đường phụ thì học sinh lại càng lúng túng Cho nên tôi muốn giúp học sinh suy nghĩ cách vẽ đường phụ như thế nào có lợi trong việc chứng minh hình học,cụ thể là đường vuông góc có lợi như thế nào và khi nào vận dụng sẽ mang lại hiệu quả trong chứng minh một số bài toán HHọc ở bậc THCS ra sao

III/ Phần nội dung :

1/ Dựng đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông :

Trong thực tế một số bài toán để nhằm vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông hoặc khi phân tích đề bài ta cần dựng tam giác vuông để thực hiện mục đích bài toán đặt ra, ta cần phải dựng đường vuông góc

Ví dụ: ( Đề thi chọn HSG vòng 1/2006 - PGD Đại lộc)

Cho tam giác ABC Gọi độ dài 3 cạnh là a,b,c ( BC,CA,AB)

C/m rằng : sin(A/2) b a c





A

Từ : sin(A/2) b a c





a A

Sin c

 ( ) ( / 2 )

a cSinA

B H

Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông để có biểu C

K

thức b*SinA/2, c*SinA/2 gợi cho ta phải dựng tam giác vuông để có cạnh huyền nhân với sin góc đối ( trong đó cạnh huyền là b,c)

Gọi AD là phân giác trong góc A ( D thuộc cạnh BC)

Ta dựng BH,CK vuông góc với AD

Ta được hai tam giác vuông BHA,CKA vuông tại H và K

Ta có :

BH = AB*Sin A /2

CK = AC*Sin A /2

Suy ra : BH +CK = AB*Sin A /2 + AC*Sin A /2

= ( AB +AC)*Sin A/2

Mà BH +CK BD +DC = BC

Hay : ( AB +AC)*Sin A/2 BC bSinA/ 2 cSinA/ 2 a

 (bc)Sin(A/ 2 ) a

Ta suy ra : sin(A/2) b a c



 ( ĐPCM)

Ví dụ:

Cho tam giác ABC Gọi 2R là đường kính ngoại tiếp tam giác ABC

C/Minh: a/sinA=b/sin B =c/Sin c = 2R

( Trong đó a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC)

c/Sin C = 2R c 2R*SinC (1) Biểư thức (1) gợi cho ta dựng tam giác vuông sao cho có đường kính là cạnh huyền và có thể góc nào đó bằng góc C Từ đó ta dựng dường kính

AD, ta được tam giác ABD vuông tại B, góc ADB= góc ACB

Mà : AB = AD* SinD =2R* SinD Hay : c = 2R*sin C

Suy ra : c/Sin C = 2R Tương tự ta sẽ chứng minh được:

a/sinA=b/sin B =c/Sin c = 2R

Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D,E,F theo thứ tự thuộc

các cạnh AB,BC,CA Sao cho : DB AD EC BE CF FA

C/Minh : AE vuông góc DF

Nhận xét : Để chứng minh AE vuông góc

DF ta chứng minh : gócF = gócA

Mà : tg F = AD AF (1) Vây tg A lại bằng tỉ số nào , điều đó gợi cho ta dựng tam giác vuông để tìm tỉ số nào đó

mà phải chứng minh tỉ số đó bằng tỉ số :AD/AF

Ta dựng EH vuông góc AB, ta được tam giác EHA vuông tại H

Ta có : tgA =

HA

HE

(2)

Mà : Tam giác BHE vuông cân tại H Nên : HE =HB

Do đó : HA HE BH HA BC BE DB AD AD FA (3) ( vì AB=AC ,mà AD/DB=CF/FA nên suy ra AD=CF, FA=BD)

C

D

B

B

C

C

F

E H

Một số kinh nghiệm trong việc kẻ đường vuông góc trong chứng minh HHọc

Từ (2) và (3) ta suy ra : tg A =AD/FA (4)

Từ (1) và (4) ta suy ra : tg A = tg F

hay góc A = góc F

Mà gócA + góc A = 1 vuông Suy ra : Góc F+GócA= 1 Vuông

Hay : AE vuông góc DF

2/ Dựng đường vuông góc nhằm tạo ra 2 tam giác vuông bằng nhau :

Có khi ta dựng đường vuông góc để tạo 2 tam giác vuông bằng nhau nhằm mục đích chứng minh các cạnh bằng nhau hoặc các góc bằng nhau

Ví dụ : Cho tam giác vuông ABCD Gọi O là giao điểm của hai đường chéo,M là

trung điểm của CD Gọi N là trung điểm OB

Chứng minh : Tam giác ANM vuông cân

Ta nhận xét tam giác ANO vuông tại O cho nên gợi cho ta dựng MN thuộc tam giác vuông nào đó để chứng minh 2 tam giác bằng nhau suy ra điều chứng minh

Từ N ta dựng đường vuông góc với OB cắt BC tại N Nhằm mục đích Chứng minh N = N

Mà N + N = 1 vuông

Nên N + N = 1 vuông Suy ra góc ANM vuông Đồng thời chứng minh AN=NM sau

Thật vậy sau khi dựng đường MN vuông góc OB

Ta có : NK = NO = OB/2= OC/2

góc NKM = Góc NOA ( bằng 1 vuông)

Tam giác NKM = Tam giác NOA( c-g-c)

Ta suy ra được : AN = NM (1)

Và : N = N

Mà : N + N = 1 vuông

Nên N + N bằng 1 vuông Suy ra góc ANM vuông (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra tam giác ANM vuông cân

Ví dụ: Cho tam giác vuông tại A.Dựng đường phân giác BD , cho BD=7,DC=15

Tính AD =?

Vận dụng tia phân giác ta kẻ DE vuông góc với BC

Ta có: Tam giác BAD= Tam giác BED Suy ra : DA = DE = x

BA = BE

Ta có : BD vuông góc AE tại H

Với HD = KH

Ta có DE2 = DH*DB Hay x2 = 7*y (1)

Do EK song song DC EK/DC = BK/DB

Hay : x/15 = (7-2y)/7 (2)

A

B

C D

K N

M O

A

B

C E

K

D H

Từ (1) và (2) ta suy ra : 30x2-49x-735 =0

Ta được : x = 4.2

3/ Kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra hai tam giác đồng dạng:

Trong một số bài toán đôi khi ta phải kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo thành 2 tam giác đồng dạng để tính toán một số tỉ số nào đó

Ví dụ : Cho hai đường tròng (O) và ( I) có cùng bán kính cắt nhau tại AB sao cho

góc OAI = 90o Vẽ cát tuyến MAN

Tính AM2 + AN2 theo R

Ta nhận thấy AM,AN đều liên quan đến đường kính và dây , nên ta dựng OK,IH lần lượt vuông góc với MN

Ta được : Tam giác OKA đồng dạng tam giác AHI(g.g) Cho ta : OK/AH = KA/IH = OA/ IA = 1

( Vì OA = IA= R) Suy ra : OK = AH

IH = AK

Mà AM2 = 4AK2 = 4(OA2-OK2)

AN2 = 4AH2 = 4(IA2 -IH2) Suy ra : AM2 + AN2 = 8R2 - 4(OK2+IH2)

= 8R2 - 4(AH2+IH2) Do OK=AH

= 8R2 - 4(AI2) = 8R2 - 4R2 = 4R2

Ví dụ :( Đề thi HSG tỉnh QNam năm 04-05) : Từ điểm A ở ngoài đường tròn(O).

Kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC tới đường tròn( B,C là tiếp điểm) Qua A kẻ đường thẳng cắt (O) tại D và E ( D nằm giữa Avà E,DE không qua tâm Gọi H là trung điểm

DE ,AE cắt BC tại K

a/ Chứng minh Ha là tia phân giác góc BHC

b/ Chứng Minh: 2/AK=1/AD+1/AE

Câu a/ Xét 2 tứ giác nội tiếp đường tròn OABH,OHAC ta suy ra điều chứng minh

Để chứng minh câu b/ ta biến đổi để tìm hướng đi như sau:

2/AK=1/AD+1/AE

M

N A

B

K

H

A B

C

Một số kinh nghiệm trong việc kẻ đường vuông góc trong chứng minh HHọc

2AD*AE = AK*(AE+AD) (*) +Biểu thức (*) nếu nhìn dưới góc độ phương tích đường tròn (O) thì

vế trái ta có : 2AD*AE= 2AB2=2AC2 =P(A/(0)) (1) ( Ta có thể hướng dẫn HS chứng minh 2 tam giác đồng dạng để suy

ra biểu thức) + Vế trái gợi cho ta biến đổi K phải thuộc đường tròn nào đó có liên quan đến ( O) và điểm A Cho nên ta dựng OA vuông góc với BC ( thực chất OA vuông góc với BC ta chỉ càn nối lại sẽ có)

+ Tứ giác OKHA nội tiếp đường tròn ta có:

AK*AH = AI*AO( Ta có thể nhìn dưới dạng phương tích đường tròn,nhưng đối với HS THCS ta có thể chứng minh 2 tam giác đồng dạng để suy ra biểu thức)

Ta suy ra : AK = AI*AO/AH

Mà : AI*AO =AB2( Tam giác ABO vuông tại B,BI là đường cao)

Nên : AK(ED+AD)=AB2(AE+AD)/AH

=AB2(AD +DE+AD)/(AD +DE/2)

( Do :AE=AD + DE ,AH = AD +DE/2 ) =AB2(2AD +DE)/(2AD + DE):2 = 2AB2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2AD*AE = AK*(AE+AD) Hay : 2/AK=1/AD+1/AE ( Đpcm)

4/ Kẻ đường vuông góc nhằm tạo ta tứ giác nội tiếp:

Qua phân tích đề bài ta nhận thấy nếu kẻ đường vuông góc thì tạo ra tứ giác nội tiếp để các góc cùng chắn một cung trong một đường tròn thì bằng nhau để vận dụng mục đích chứng minh

Ví dụ: Cho tam giác vuông tại A(AB>AC).Gọi AH là đường cao.Trên cạnh AC

lấy điểm E sao cho AE=AB.Gọi M là trung điểm BE

Chứng minh : HM là tia phân giác góc AHC

Ta phân tích : Nếu góc H1= góc H2 thì mỗi góc bằng 450

Do đó mỗi góc sẽ bằng góc ABE bắng 450 ( vì tam giác ABE vuông cân)

Cho nên từ A ta dựng đường vuông góc với

BE nhằm tạo ra tứ giác nội tiếp trong đó gócH1= góc ABE ( cùng chắn một cung)

Ta dựng AM vuông góc BE ( vì tam giác ABE vuông cân tại A,mà M là trung điểm BE)

Lúc đó tứ giác ABHM nội tiếp đường tròn đường kính AB ,ta sẽ chứng minh được yêu cầu bài toán đề ra

Ví dụ: Cho đường tròn (O) ,Gọi H là trung điểm của dây AB bất kỳ ,qua H dựng

2 cát tuyến PQ,KL bất kỳ Nối KP,QL cắt dây MN tại I và T

Chứng minh : HI=HT

A

B

C

E H

M

Ta nhận thấy 2 dây PQ,KL là 2 dây bất kỳ cho nên nếu ta dựng dây PQ đối xứng qua đường kính thì ta chỉ cần chứng minh góc HPI= góc HGT là tạo được 2 tam giác bằng nhau ta suy ra HI=HT Nhưng để chứng minh góc HPI= góc HGT lại tiếp tục phân tích tiếp, Ta có góc KPQ= góc KLQ, Do đó muốn chứng minh góc HPI= góc HGT ta lại cần chứng minh tứ giác HGLT nội tiếp đường tròn là thoả mãn vấn đề đặt ra

Thật vậy ta dựng PG vuông góc với OH , xét tứ giác HGLT

Ta có: Góc GHT = Sđo(PM+NQ)/2 ( gócGHT= gócMPH) (1) Góc TLG = Sđo(QM+MG)/2 (2)

Vì : Cung MP = CungGN ( Do MN song song với PG)

Nên suy ra góc TLG + Góc THG = 1800

Vậy tứ giác HTLG nội tiếp đường tròn, ta sẽ suy ra điều phân tích trên dẫn đến bài toán được chứng minh

5/ Kẻ đường cao nhằm tạo nửa tam giác đều :

Trong một số bài toán thường giả thiết cho các góc 300 ,600 ,1200, 1500= thì ta dựng đường vuông góc nhằm tạo ra nửa tam giác đều có nhiều tiện ích

Ví dụ :Cho tam giác ABC có gócA = 1200 Với AB=4,AC = 6

Tính độ dài trung tuyến AM

Nếu dựng BH vuông góc AC thì ta sẽ được nửa tam giác đều , lúc đó ta sẽ tính được

BH, bây giờ vấn đề đặt ra là AM trong tam giác vuông nào để vận dụng định lí

Pi-Ta-Go và có mối liên quan với tam giác BHA

Thật vậy : Tacó BH= AB*

2

3 = 2 3 Dựng MK vuônggóc AC,ta được MK là đường trung bình của tam giác BHC Cho nên : MK=BH/2 = (2 3)/2 = 3

Mà tam giác AMK vuông tại K cho ta AM2= AK2+MK2

= (6/2)2+( 3)2

= 12

Ta suy độ dài đoạn AM cần tìm

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc C= 1200,góc B= 450, trên tia đối CB lấy 1 điểm

d sao cho CD= 2CB Tính số đo góc ADB

P

Q N

I

L

G

B

A

C K

M H

Một số kinh nghiệm trong việc kẻ đường vuông góc trong chứng minh HHọc

Vì góc C= 1200 gợi cho ta dựng nửa tam giác đều

Ta dựng AH vuông góc BD , Ta được tam giác ACH là nửa tam giác đều,ABH là tam giác vuông cân

Ta có : tg ADB = AH/HD

Và : AH = BH

CH =AH*tgCAH = AH*tg 300 = (AH* 3)/3

Ta lại có: HD = CD-CH= 2CB-CH=2(HB-HC) -CH=2HB-3CH

= 2AH-3CH=2AH-3*(AH* 3)/3=AH(2- 3)

Từ đó ta có: Tg ADB = AH/(AH(2- 3)= 2+ 3

suy ra : ADB = 750

5/ Kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông cân :

Trong trường hợp có một sốbàitoán có những góc 450,1350 ta nên đựng đường vuông góc để tạo ra tam giác vuông cân sẽ có tiện ích trong việc chứng minh yêu cầu bài toán

Ví dụ : Cho tam giác ABC , có góc A=450

Chứng minh : SABC=(AB2+AC2-BC2)/4

Bài toán gợi cho ta phải dựng đường vuông góc đồng thời diện tích của tam giác liên quan đến đường cao đó như thế nào?

Ta dựng BH vuông góc với AC, ta có

Tam giác ABH là tam giác vuông cân tại H

Ta có HB=HA=x Gọi HC=y

SABC=AC*HB/2 (1)

Mà : (AB2+AC2-BC2)/4 =((x 2)2+(x+y)2-(x2+y2))/4

= 2x*(x+y) /4=AC*BH/2 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra điều cần chứng minh

Ví dụ : Cho tam giác ABC có góc A=1350,BC=5,AH=1

Tính BC=?

Bài toán này gợi cho ta dựng đường vuông góc tạo thành tam giác vuông cân có thể từ đỉnh B hoặc C

Từ C ta kẻ CK vuông góc AB

Ta có Tam giác HBA đồng dạng với Tam giác KBC(g.g)

Cho ta : AH/KC=AB/BC Hay : 1/y=x/5 Hay : x*y=5 (1) Tam giác KBC vuông ở K ,Ta có :

H

C B

D A

B

C H A

A

C K

BK2+KC2=BC2 Hay (x+y)2+y2=52 (2)

Từ (1) và (2): (x,y) = ( 5, 5); ( , 10

2

10 )

IV.Kết luận : Đây là một chuyên đề mang tính chất gợi í nhằm giúp HS có hướng

trong quá trình phân tích tìm hướng đi nhằm vẽ thêm khi chứng minh một số dạng toán , chưa phải hệ thống đầy đủ ,mà còn tuỳ thuộc linh hoạt trong quá trình phân tích định hướng của mỗi cách giải, cho nên không thể đầy đủ mong các thầy cô đồng môn bổ sung hoàn thiện hơn

Người viết

Nguyễn Đắc Duân