SKKN mot so PP tim CTri

- Trong chơng trình toán phổ thông cấp THCS nhiều mảng kiến thức trong SGKđề cập đến rất ít nhng trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những em HS nắm rất vững kiến thức SGK nhng k

Mục lục

Trang:

A Mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ đề tài 1

5 Đối tợng nghiên cứu 2

6 Phơng pháp tiến hành 2

4 Phạm vi đề tài 2

7 Dự kiến kết quả đề tài 2

B Nội dung 3

Phần 1: Bài toán cực trị và phơng pháp giải trong đại số 3

I Kiến thức cơ bản 3

1 Định nghĩa bài toán cực trị 3

2 Các bớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị 3

!! Phơng pháp cơ bản và ví dụ 3

1 Phơng pháp dùng bất đẳng thức 3

2 Phơng pháp dựa vào tính chất lũy thừa bậc chẵn 8

3 Phơng pháp miền giá trị 10

4 phơng pháp đồ thị hàm số 12

Phần II Bài toán cực trị trong hình học 17

I Kiến thức cơ bản 17

II Một số dạng toán thờng gặp 19

C Thực nghiệm s phạm 29

D Kết quả thực hiện 35

E Tài liệu tham khảo 36

``

a mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

- Hai yếu tố đã góp phần đổi mới phơng pháp giảng dạy nói chung và phơng pháp giảng dạy mon toán cấp THCS nói riêng, muốn thực hiện đợc điều đó thì vi trò của ngời thầy hết sức quan trọng Để góp phần vào công cuộc đổi mới phơng pháp giảng dạy thì bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong SGK mà còn phải làm sao đó từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp HS lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống

- Trong chơng trình toán phổ thông cấp THCS nhiều mảng kiến thức trong SGK

đề cập đến rất ít nhng trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những em HS nắm rất vững kiến thức SGK nhng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta - những

ngời thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là dạng toán “ Tìm cực trị “ Thật vậy trong chơng trình toán phổ thông dạng kiến thức về cực trị‘’cực trị ’cực trị’cực trịlà một trong những mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lai khá rộng rãi nó không những có mặt trong phân môn đại số mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn hình học, nó không chỉ dừng ở chơng trình THCS mà còn là một phần quan trọng

trong chơng trình THPT Vì vậy dạng toán’cực trị cực trị’cực trị ’cực trị’cực trịlà phần gây cho HS ngay cả HSgiỏi nhiều bối rối tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ HS say mê môn toán và học giỏi toán vì nó đòi hỏi phải t duy, tìm tòi sáng tạo

- Để giải đợc một bài toán cực trị cấp THCS yêu cầu phải nắm vững đợc các kiếnthức cơ bản phổ thông phải biến đổi thành thạo các biểu thức đại số và sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp và điều đặc biệt là thông qua các bàitập cực trị hHS có thể vận dụng linh hoạt vào các loại toán khác nh giải phơng trình,

hệ phơng trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học

Tóm lại: Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức , đọc nhiều tài liệu và qua

những năm dạy toán ở trờng THCS , tôi đã rút ra đợc vài kinh nghiệm tôi mạnh

dạn lấy đề tài nghiên cứu tựa đề là: Một số ph“ ơng pháp tìm cực trị trong trờng phổ thông cấp THCS “ Nếu có thể chúng ta cùng nghiên cứu và bổ sung cho hoàn

chỉnh hơn

2 Mục đích nghiên cứu

- Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải toán cực trị nói riêng đợc tháo gỡ phần nào những khó khăn Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao rèn luyện khả năng t duy và học tập bộ mônmột cách chủ động

- Tạo thêm hứng thú cho học sinh trong học tập môn Toán cũng nh kích thích

sự đam mê tự học và tự tìm tòi nghiên cứu

- Giúp bản thân những tri thức và kinh nghiệm phục vụ cho quá trình giảngdạy góp phần nâng cao chất lợng dạy và học của nền giáo dục nớc nhà

3 Nhiệm vụ đề tài

- Đề tài đa ra một số kiến thức cơ bản về bài toán cực trị’cực trị’cực trị ’cực trị’cực trịphù hợp với trình

4 Phạm vi đề tài

Phát triển năng lực t duy của HS thông qua giải toán tìm cực trị trong hình học

và trong đại số đối với HS lớp 7, 8, 9

5 Đối t ợng nghiên cứu

- Đề tài áp dụng phần nhiều cho HS lớp 8, 9 tuy nhiên có một số bài cho H

lớp 7 và trong các bài luyện tập, ôn tập cuối năm, cuối kì, luyện HS giỏi, luyện thi tuyển THPT

6 Ph ơng pháp tiến hành :

Giáo viên trang bị kiến thức cơ bản, học sinh phân tích vận dụng định h ớnggiải bài tập Sau đó kiểm tra đánh giá và thảo luận tập thể

7 Dự kiến kết quả đề tài

áp dụng đề tài sẽ tháo gỡ cho học sinh nhiều khó khăn trong việc giải toáncực trị Tạo cho học sinh có cơ sở và niềm tin trong giải toán cực trị

B- Nội dungphần ! : Bài toán cực trị Phần đại số

A Yêu cầu

1 / với giáo viên :

- Xây dựng cơ sở lí thuyết để giải các bài toán cực trị và phơng pháp giải cho từngdạng toán

- phân loại các bài tập từ dễ đến khó

- Rèn luyên nâng cao khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảokiến thức trong khi nghiên cứu

- Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra nhũng vớng mắc , sai sót mà HS haymắc phải khi làm bài tập

2 / Với học sinh :

- Hiểu đợc bản chất các loại toán

- Nhận dạng đợc từng loại bài tập , vận dụng phơng pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán

- Phát huy khả năng t duy sáng tạo trong khi giải toán , biết suy luận từ bài dễ đênbài khó với cách giải hay hơn

B một số Kiến thức cơ bản

1 Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D

a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiệnsau đồng thời đợc thoả mãn

1o f(x)  M với  x  D

2o Tồn tại x0  D sao cho f(x0) = M kí hiệu là max f(x) = M

b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồngthời hai điều kiện sau:

1o f(x)  m với  x  D

2o Tồn tại x0  D sao cho f(x0) = m

2 Các b ớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị

D

x



 0 ) inf(

Chú ý :

1 / Nếu chỉ chứng minh đợc f (x)  m hoặc f(x)  M thì cha đủ để kết luận về

a a

a

2 1 2

a b

1

.(Quy ớc nếu ai = 0 thì bi = 0 i = 0, 1, 2, 3, n)

c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối

* a  0  a  D dấu bằng xảy ra  a = 0

* a  b  a  b với a,b  D dấu bằng xảy ra  a.b  0

Tổng quát : a1, a2, , an  D thì a1  a2   a n  a1 a2  a n

Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu

* a  b  a  b dấu bằng xảy ra khi a.b  0

d) Với a  b > 0 thì

b a

1 1

 dấu bằng xảy ra khi a = b

( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b

1.3 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

f(x,y,z) = x4 + y4 + z 4 xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4}

Tìm xem vận dụng BĐT nào cho bài toán này là điều khó khăn nhất đói vớihọc sinh Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy

2 , 3

2 , 3

2

) DVậy Min f (x,y,z) = 16/3

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 1

1

1 x   x x

Tơng tự :

2 2 2

2 2 2

1 2 2

3 3 3

1 3 3

1 2 2

1 2

z y

 Max A =

3 2

1 2 2

1 2

z y

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) D = x 2  x 1

b) Cho x1, x2 , , x2004 thoả mãn

2005 2004

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x-2)(1-x)  0  1  x  2

Vậy Min D = 1 khi 1  x  2

1

Những sai lầm th ờng gặp của dạng toán này

Sai lầm thờng gặp khi vận dung BĐT rất phổ biến là :

- Điều kiện tồn tại BĐT

- Dấu bằng của BĐT không xảy ra với những giá trị tìm đợc

Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của

( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b

Để ra ngay kết quả A ≥ 8  Min A = 8 

x

t

y x

t

z

x t

z

y

t z

y

x

Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0

Đây là những sai lầm thờng gặp mà nhiệm vụ của ngời thầy là phải chỉ ra đợcnhững sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị

1.4 Bài tập vận dụng

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = x 2 ( 1  x 1 )  x 2 ( 1  x 1 )

2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền

2.1 Nội dung ph ơng pháp

*/ A2  0 x ( x là biến của biểu thức A )  A2k  0 x

*/ - B2  0 x (x là biến của biểu thức B )  - B2k  0 x

Nhiệm vụ của ngời thầy phải chỉ ra đợc :

*/ A2k +m ≥ m  m là GTNN  A = 0

*/ -B2k+ M ≤ M  M là GTLN  B = 0

2.2 Kiến thức bổ sung:

Nhiệm vụ của các em là làm thế nào để có thể đa về dạng A2k +m ≥ m và

-B2k+ M ≤ M bằng các phép biến đổi đại số

Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x2 - 4x + 1

Giải : A = -5 ( x2 + 4/5 x ) + 1 = -5 ( x2 + 4/5x + 4/25 ) + 9/5

( x2 + 2/5 )2 +9/5 ≤ 9/5Dấu “=” xảy ra  x + 2 /5 = 0  x = - 2/5

* Chú ý : f(x) = ax 2 + bx + c

* Có giá trị nhỏ nhất  a > 0

* Có giá trị lớn nhất  a < 0.

Không dừng lại ở đây ta có thể đa ra một số ví dụ sau :

Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

( 1 )

1 2

6 8 3

x x C

Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải Tuy nhiên có thể gọiphơng pháp giải là tìm cách đa về dạng ax2 + bx + c bằng cách đổi biến số , cụ thểcách làm nh sau :

2

) 1 (

1 1

2 3 )

1 (

1 ) 1 ( 2 ) 1 2 (

x

x x

y x

Sai lầm thờng gặp ở dạng toán này là:

y

x

Các em không thấy đợc rằng đẳng thức xảy ra ở (1) khi 



 1 2

x

y x

Hoặc với bài:

Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của:

học sinh cha chỉ ra khi

nào dấu đẳng thức xảy ra: M = -

Vậy việc tìm ra điều kiện dấu đẳng thức xảy ra là rất quan trọng trong việc tìm

cực trị của biểu thức đại số.

9 5 2

Ph ơng pháp 3 :

Phơng pháp miền giá trị hàm số

3.1 Nội dung ph ơng pháp.

Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x  D gọi y0

là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho Điều đó có nghĩa hệ ph ơngtrình sau đây với ẩn x có nghiệm 





D x

y x

Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số.

f(x) =

1 2 3

3 10 2

2 2

x x

với x R

Giải

Gọi y0 là giá trị tuỳ ý của hàm số Vậy phơng trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm

1 2 3

3 10 2

2 2

x x

= y0 (1)

Do 3x2 +2x + 1 > 0 x  R(1)  2x2 + 10x + 3 = 3x2y0 + 2xy0 + y0

 ( 3y0 - 2 ) x2 + 2x ( y0 - 5 ) + y0 - 3 = 0 (2) Xét 2 khả năng sau :

Bài toán 2 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x,y) = x2 + y2xét trên miền D = (x,y) ; ( x2 - y2 + 1)2 + 4x2y2 - x2 - y2 = 0

Giải: Gọi t0 là một giá trị bất kì của hàm số f(x,y) trên miền D Điều đó chứng tỏ phơng trình ẩn (x,y) sau có nghiệm:

4 0 4 1 3

3

2 0

2

0 2

2

x t

t

t y

x

Để (4) ẩn x có nghiệm thì:

t2 - 3t0 + 1  0



2

5 3 2

5 3

Do t0 + t0 + 1 > 0 t0  với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm

Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm

Phơng pháp đồ thị và hình học4.1 Nội dung ph ơng pháp

- Dựa trên tính chất "đơn điệu" của đồ thị hàm số

- Từ đó suy ra cực đại và cực tiểu của đồ thị

Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phơng pháp đồ thị và hình họcngời ta thờng sử dụng các tính chất sau:

- Trong tất cả các đờng gấp khúc nối 2 điểm A, B cho trớc thì đờng thẳng nối

AB là đờng thẳng có độ dài bé nhất

- Trong một tam giác, tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ 3

- Cho điểm M ở ngoaì đờng thẳng d cho trớc khi đó độ dài kẻ từ M xuống dngắn hơn mọi đờng xiên kẻ từ M xuống d

- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đờng tròn thì tam giác đều có chu vi

và diện tích lớn nhất

Nếu nh một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bằng một phép biến đổinào đó có thể qui về sự kiện hình học nói trên thì ta nên dùng phơng pháp đồ thịhình học để giải chúng Dĩ nhiên là phơng pháp này chỉ thích hợp cho các bài toántrong nội dung của nó đã tiềm ẩn những yếu tố hình học, mà thoạt tiên ta cha nhìn

ra nó, chứ không phải bài nào cũng có thể giải bằng phơng pháp này

Sau đây tôi sẽ trình bày bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà đối với

nó phơng pháp đồ thị và hình học sẽ tỏ rõ hiệu quả

4.3Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2

3 2

1 2

3 2

2 2

2

3 0 2

1 2

3 ( 0 ) 2

1 ( và C (x,0)

Nhận xét: Dựa vào hình vẽ ta có K = AC + CB  AB

Mà AB2 =  2

3 + 12 = 4 => AB = 2Vậy khi đó dấu bằng xảy ra khi A, B, C thẳng hàng

hay x = 0 (C trùng O(0,0))

Vậy Min K = 2 khi x = 0

Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của D = x  2  y  2

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:

2

) ( 2 1 1

) ( 1 3

2

3 2 1

d x

x

d x

d x

2

3



nếunếunếu

y 3

-3 O

- Nhận xét:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y không có cực đại mà chỉ có cực tiểu

y = 1 trên 1  x  2 vậy Min D = 1 khi và chỉ khi 1  x  2

trớc hết là bằng cách cho học sinh làm nhiều dạng tơng tự để dần học sinh làm quen

1) Lời giải của bài toán cực trị thờng đợc trình bày theo hai cách:

Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lợng cần tìm cực trị

lớn hơn đại lợng tơng ứng của mọi hình khác (nếu bài toán tìm GTLN) và nhỏ hơn

đại lợng tơng ứng của hình khác (nếu bài toán tìm GTNN)

Cách 2: Thay đại lợng cần tìm cực thành một đại lợng khác tơng đơng (nếu

đ-ợc) rồi từ đó tìm kiến thức tìm GTLN, GTNN của A (A là một đại lợng nào đó nhgóc, đoạn thẳng, )

Chú ý : Thờng trình bày cực trị theo 2 cách:

1) Tìm cực trị dùng bất đẳng thức trong tam giác

Ví dụ 2: Cho đờng tròn (O;R); A là điểm cố định trong đờng tròn

(A  O) Xác định vị trí của điểm B trên đờng tròn O sao cho góc OBA lớn

nhất

Giải:

Giả sử có B  (O) Vẽ dây BC của đờng tròn (O) qua A ta có OB = OC = R

=> OBC cân tại O => góc OBC =

2

180 0

COB



Nên góc OBAmax  góc COBmin

Trong COB có CO = OB = R không đổi

CM

O

KH

=> COB min  BCmin = OHmax

Mà OH  OA nên OHmax  H  A  BC  OA tại A

Vậy OBAmax  B  (O) sao cho BC  OA tại A

Ví dụ3: : Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho AM +

O M AC

M

Vậy min (AM + MB + MC + MD) = AC + BD M  O

1.3 Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho góc vuông xOy; điểm A thuộc miền trong của góc Các diểm M,

N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox,Oy sao cho góc MAB = 900 Xác định vịtrí của M, N để MN có độ dài nhỏ nhất

Bài 2: Cho 2 đờng tròn ở ngoài nhau (O;R) và (O';R') A nằm trên (O), B nằm

trên (O') Xác định vị trí của điểm A,B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất

2 / Tìm cực trị dùng quan hệ giữa đ ờng vuông góc với đ ờng

Ví dụ1:: Cho ABC (Â = 900) M là điểm chuyển động trên cạnh BC Vẽ MD

 AB; ME  AC (D  AB, E  AC) Xác định vị trí của M để DE có độ dài nhỏnhất

E

=> AEMD là hình chữ nhật.

=> DE = AM mà AM  AH (không đổi)

(theo t/c đờng xiên và đờng vuông góc)

Dấu "=" xảy ra  M H Vậy khi M  H thì DE nhỏ nhất

Ví dụ 2 : Cho đờng thẳng d và đờng tròn (O;R) có khoảng cách từ tâm đến d là OH

 R Lấy hai điểm bất kỳ A  d; B  (O;R) Hãy chỉ ra vị trí của A và B sao cho độdài của AB ngắn nhất? Chứng minh điều đó

Giải:

Từ tâm (O) kẻ OH  d, OH cắt đờng tròn (O) tại K Xét ba điểm A B O ta có

AB + OB  OA mà OA  OH (quan hệ đờng xiên và đờng vuông góc)

=> AB  OH - OB = HK không đổi

Vậy min AB = KH  



 K B

H A

2.3.Bài tập vận dụng:

Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tơng ứng hai điểm M và

N sao cho Bạch Mã = CN Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho nửa đờng tron (O;R) đờng kính AB.M là một điểm trên nửa đờng

tròn, kẻ MH  HB Xác định vị trí của M để:

a) SABC lớn nhất

b) Chu vi của MAB lớn nhất

3 Tìm cực trị vận dụng bất đẳng thức trong đờng tròn

3.1 Kiến thức cơ sở:

+ Trong một đờng tròn: đờng kính là dây cung lớn nhất

+ Dây cung lớn hơn  dây đó gần tâm hơn

+ Cung lớn hơn dây trơng cung lớn hơn

+ Cung lớn hơn  góc ở tâm lớn hơn

3.2 Các ví dụ áp dụng :

Ví dụ 1 : Cho đờng tròn (O) và một điểm M nằm trong đờng tròn đó (M  O).

Xác định vị trí của dây cung AB của đờng tròn (O) qua M sao cho độ dài AB ngắnnhất

Giải:

Ta có dây AB  OM tại M là dây

cung có độ dài nhỏ nhất

Thật vậy: Qua M vẽ dây A'B' bất kỳ

của (O) A'B' không vuông góc với OM

A

B

H K O

d A

O

M’cực trị

A

M B’cực trịA’cực trị

B