Trớc tiên là học sinh phải nắm vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết cũng nh các tính chất về quan hệ chia hết.. Dấu hiệu chia hết cho 3hoặc 9: Một số chia hết cho 3hoặc 9
Trang 1I Đặt vấn đề
Cùng với sự phát triển của đất nớc, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới không ngừng Các nhà trờng càng chú trọng đến chất lợng toàn diện bên cạnh sự
đầu t thích đáng cho giáo dục Với vai trò là môn học công cụ,bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác
Dạy nh thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải đợc nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say
mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình
Để đáp ứng đợc yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh Do vậy trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tợng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển t duy Toán học
Bản thân tôi trong quá trình nghiên cứu chơng trình lớp 6 cũ và mới tôi nhận thấy phép chi hết là một đề tài thật lý thú, phong phú và đa dạng không thể thiếu ở môn số học lớp 6
Trang 2B Giải quyết vấn đề
I Trớc tiên là học sinh phải nắm vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết cũng nh các tính chất về quan hệ chia hết.
1 Định nghĩa:
Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x
2 Các dấu hiệu chia hết:
a Dấu hiệu chia hết cho 2:
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn
b Dấu hiệu chia hết cho 3(hoặc 9):
Một số chia hết cho 3(hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3(hoặc 9)
Chú ý: Một số chia hết cho 3(hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của
nó chia cho 3(hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại
c Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5 chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5
d Dấu hiệu chia hết cho 4(hoặc 25):
Một số chia hết cho 4(hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số
đó chia hết cho 4(hoặc 25)
e Dấu hiệu chia hết cho 8(hoặc 125):
Một số chia hết cho 8(hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số
đó chia hết cho 8(hoặc 125)
f Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn(từ trái sang phải) chia hết cho 11
3 Tính chất của quan hệ chia hết:
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
Trang 3+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b,c) = 1 thì a chia hết cho (b.c) + Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên +Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a b) chia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a b) không chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n) + Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc
b chia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho m thì a nchia hết cho m với n là số tự nhiên
+ Nếu a chia hết cho b thì a n chia hết cho b n với n là số tự nhiên
II Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể
đa ra một vài phơng pháp thơngf dùng để giải các bài toán chia hết:
Ph
ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết.
Để chứng minh a chia hết cho b( b 0) ta biểu diễn số a dới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b( hoặc chia hết cho b)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (3n)100 chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n
Giải: Ta có (3n)100 = 31000 n1000 = 34.3996.n1000 = 81.3996.n1000
Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3996.n1000 chia hết cho 81
(3n)1000 chia hết cho 81
V
ớ dụ 2: Chứng minh rằng : 165 + 215 chia hết cho 33
Giải :
Ta cú : 165 + 215 = (24)5 + 215 = 220 + 215 = 215(25+1) = 215 33
Vỡ 33 chia hết cho 33 215 33 chia hết cho 33
Vậy 165 + 215 chia hết cho 33
Ph
ơng pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết.
* Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu:
Trang 4- Để chứng minh a chia hết cho b(b 0) ta biểu diễn số a dới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đeèu chia hết cho b
- Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng của các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b
Ví dụ 3 : Khi chia một số cho 255 ta đợc số d là 170 Hỏi số đó có chia hết
cho 85 không? Vì sao?
Giải: Gọi số đó là a (a là số tự nhiên).
Vì a chia cho 255 có số d là 170 nên a = 255.k + 170 (k là số tự nhiên)
Ta có: 255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85
170 chia hết cho 85
(255.k + 170) chia hết cho 85 (Tính chất chia hết của một tổng)
Do vậy a chia hết cho 85
Ví dụ 4: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2.
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một tổng)
Từ bài tập, này giáo viên có thể đa học sinh vào tình huống : Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?
Qua đó gợi trí tò mò, đa học sinh vào tình huống có vấn đề cần phải giải quyết Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh, để trả lời câu hỏi này, các em cần làm bài tập sau:
Ví dụ 5: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ? Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3.
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6)
Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên (4a + 6) không chia hết cho 4
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4
Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp cha chắc đã chia hết cho n
* Dùng tính chất chia hết của một tích:
Trang 5Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau:
+ Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1 Sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n
+ Biểu diễn a = a1.a2 , b = b1.b2 , rồi chứng minh a1 chia hết cho b1 ; a2 chia hết cho b2
Ví dụ 6: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với mọi a , b là số tự nhiên.
Giải:
Vì 495 chia hết cho 9 nên 1980.a chia hết cho 9 với mọi a
Vì 1035 chia hết cho 9 nên 1035.b chia hết cho 9 với mọi b
Nên: (495a + 1035b) chia hết cho 9
Chứng minh tơng tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b
Mà (9, 5) = 1
(495a + 1035b) chia hết cho 45
Ví dụ 7: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải:
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2
Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1)
Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho 2
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2)
4n.(n + 1) chia hết cho 8
2n.(2n + 2) chia hết cho 8
Ph
ơng pháp 3: Dùng định lý về chia có d.
Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p
Ví dụ 8: Chứng minh rằng:
a Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3
b Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4
Giải:
a Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2)
Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số d 0; 1; 2
Trang 6- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.
- Nếu r = 1 thf n = 3k + 1 (k là số tự nhiên)
n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hết cho 3
n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3
- Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên)
n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hết cho 3
n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3
Tóm lại: n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.
b Chứng minh tơng tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi
n là số tự nhiên
Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n
III Khi học sinh đã nắm vững các phơng pháp thờng dùng để chứng minh chia hết, giáo viên có thể ra một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, đợc đào sâu các kiến thức về phép chia hết.
Bài 1: Tìm tất cả các số x, y để có số 34x5 y chia hết cho 36
Giải: Vì (4, 9) = 1 nên 34x5 y chia hết cho 36 34x5 y chia hết cho 9 và
y
x5
34 chia hết cho 4
Ta có: 34x5 y chia hết cho 4 5y chia hết cho 4 y 2 ; 6
34x5 y chia hết cho 9 (3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9
(9 + 13 + x + y) chia hết cho 9 (3 + x + y) chia hết cho 9
Vì x, y N và 0 x; y 9 Nên x + y thuộc 6 ; 15
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 ( > 9 - Loại )
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956
Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi
ba số trên Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211
Giải:
Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là:
a b ba
ab
b
a0 ; 0 ; 0 ; 0
T ổng của các số đó là:
Trang 7a0bab0 ba0 b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a
= 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2).
Giải:
Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4
Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2)
Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) 4 chia hết cho (n + 2) (n + 2)
là ớc của 4
(n +2) 1 ; 2 ; 4
n 0 ; 2
Vậy với n 0; 2 thì (5n + 14) chia hết cho (n +2)
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để 153
n
n
là số tự nhiên
Giải: Để 153
n
n
là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3)
[(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3)
12 chia hết cho (n +3)
(n + 3) là Ư(12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12
n 0; 1; 3; 9
Vậy với n 0; 1; 3; 9thì 153
n
n
là số tự nhiên
Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số chia
hết cho 5; 7; 9
Giải:
Giả sử ba số viết thêm là abc
Ta có: 579abc 5 ; 7 ; 9 579abcchia hết cho 5.7.9 = 315
Mặt khác: 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc) chia hết cho 315
Trang 8Mà 315.1838 chia hết cho 315 (30 + abc) chia hết cho 315 30 + abc (315).
Do 100 abc 999 130 30 + abc 1029
30 + abc 315; 630; 945
abc 285 ; 600 ; 915
Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915
C Kết luận
I / Kết quả:
Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau nhiều năm dạy Toán 6, bản thân thấy: Khi dạy phần chia hết trong tập hợp số tự nhiên, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt và nhận dạng đợc các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ đó hầu hết giải đợc các bài tập phần này, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc giải tổng quát Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy đợc dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn này
II / Bài học kinh nghiệm:
Phần " Phép chia hết trong " ở lớp 6 là một nội dung quan trọng bởi
kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kến thức về sau và đặc biệt ứng dụng của nó rất nhiều Do vậy, trớc hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết đặc biệt là tính chất của quan hệ chia hết bởi vì tính chất này rất hay sử dụng
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Cần rèn luyện nhiều về cách lập luận và trình bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp
Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hớng giải quyết nào đó để khi gặp bài tơng tự, học sinh có thể tự liên hệ đợc
III Ki ến nghị đề xuất:
Vấn đề sỏch tham khảo ở trường THCS Lương Chớ cũn hạn chế cả về số lượng và chất lượng đầu sỏch , chưa đỏp ứng đủ yờu cầu , của giỏo viờn và học sinh Vỡ vậy cần đầu tư thờm
Đề nghị cỏc cấp lónh đạo tạo điều kiện cho nhà trường được xõy dựng thờm phũng học để chuyển về học một ca
Trang 9Với việc đổi mới phương phỏp dạy học theo chiều hướng tớch cực , phỏt huy tớnh độc lập của học sinh khụng thể trong chốc lỏt mà là cả một quỏ trỡnh , lõu dài từng bước từ thấp đến cao Mục tiờu cuối cựng là hướng dẫn học sinh biết cỏch giải toỏn , học toỏn và vận dụng toỏn học vào cỏc bộ mụn khỏc cũng như vào thực tế
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy phần phép chia hết trong N Trong quá trình giảng dạy chắc chắn cha thể hoàn hảo đợc Rất mong nhận đợc sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học tới đợc tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục nớc nhà
Ngày 10 tháng 4 năm2008
Ngời viết
Bựi Thị Hương